مشخصه‌سازی خانواده‌های α- حلال با کران چند جمله ای
محورهای موضوعی : آمارمینا شاه علی 1 , سیده مرضیه قویدل 2
1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه رازی، کرمانشاه، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه رازی، کرمانشاه، ایران
کلید واژه: Strongly continuous semigroups, Resolvent, Polynomially bounded, &alpha, Generator, - Resolvent families,
چکیده مقاله :
چکیده نظریه خانواده های α-حلال، بعنوان یک توسیع از تئوری نیم گروههای پیوسته قوی و خانواده عملگرهای کسینوسی با هدف مطالعه ی معادلات تحولی کسری با مشتق کاپوتو از مرتبه α گسترش زیادی پیدا کرده است. یکی از مسائل مهم در نظریه نیم گروه های پیوسته قوی، همچنین خانواده های کسینوسی بحث پیدا کردن کران های متفاوتی برای این خانواده ها (بر حسب مولد آنها) است. در این مقاله، خانواده‌های α-حلال با کران چندجمله‌ای مورد مطالعه قرار می گیرند. در واقع شرایطی روی حلال یک عملگر با دامنه‌ی چگال بیان می‌کنیم که یک خانواده α-حلال چند جمله‌ای کراندار تولید کند. همچنین ثابت می‌کنیم که این شرایط در فضای هیلبرت لازم نیز هستند. با توجه به اینکه خانواده‌های حلال توسیع نیم‌گروه‌های پیوسته قوی هستند، نتایج به‌دست آمده تعمیمی از قضایای اثبات شده توسط آیزنر برای نیم گروههای چند جمله ای کراندار می‌باشد. از طرفی، چون جوابهای معادلات تحولی کسری بر حسب خانواده های α-حلال بیان می شود لذا توسط این نتایج، همزمان در مورد وجود و پایداری جواب های این مسئله ها بحث می شود.
Abstract.The theory of α- resolvent families was developed as a generalization of the classical theory of strongly continuous semigroups and cosine operator families, to study the fractional evolution equations with Caputo derivative of order α. An important problem in semigroup theory and also for cosine operator families is to discuss different type of boundedness (in terms of their generator) for these families. In this paper, we study polynomially bounded α- resolvent families. We impose conditions on the resolvent of a closed and densely defined linear operator to be the generator of an α-resolvent family. We also show that these conditions are necessary in the case of Hilbert spaces. This generalizes the result by T. Eisner on polynomially bounded semigroups. Moreover, since α- resolvent families describe the solutions to fractional evolution equations, with this generation result, we discuss the existence and stability of solutions to these problems at the same time.
[1] Da Prato G., Iannelli M., "Linear abstract integro-differential equations of hyperbolic type in Hilbert spaces", Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 62 (1980) 191-206.
[2] Da Prato G., Iannelli M., "Linear integro-differential equations in Banach spaces", Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 62 (1980) 207-219.
[3] Pruss J., "Evolutionary integral equations and applications", Birkhäuser, Basel, Berlin, (1993).
[4] Bajlekova E., "Fractional evoluion equations in Banach spaces (Ph.D. thesis)", University press Facilities, Eindhoven University of Technology, 2001.
[5] Engel K., Nagel R., "One-parameter semigroups for linear evolution equations", Graduate Texts in Math. Springer Verlag, 194 (2000).
[6] Eisner T., "Polynomially bounded C0-semigroups", Semigroup Forum, 70 (2005) 118-126.
[7] Eisner T., "Stability of operators and operator semigroups", Operator Theory, Advances and Applications, vol. 209. Birkhäuser Verlag, Basel (2010).
[8] Eisner T., Zwart H., "A note on polynomially growing C0-semigroups", Semigroup Forum, 75 (2007) 438-445.
[9] Gomilko A.M., "On conditions for the generating operator of a uniformly bounded C0-semigroup of operators", Functional Analysis and its Applications, 33 (1999) 294-296.
[10] Shi D.H., Feng D.X., "Characteristic conditions of the generation of C0-semigroups in a Hilbert space", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 247 (2000) 356-376.
[11] Arendt W., Batty C.J.K., Hieber M. and Neubrander F., "Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Probl-ems", Monographs in Mathematics 96, Birkhauser, 2001.
[12] Liu R., Li M., "Characteristic conditions for the generation of -times resolvent families on a Hilbert space", Journal of Mathematical Research and Exposition (English Edition), 3 (2011) 420-428.