چکیده نظریه خانواده های α-حلال، بعنوان یک توسیع از تئوری نیم گروههای پیوسته قوی و خانواده عملگرهای کسینوسی با هدف مطالعه ی معادلات تحولی کسری با مشتق کاپوتو از مرتبه α گسترش زیادی پیدا کرده است. یکی از مسائل مهم در نظریه نیم گروه های پیوسته قوی، همچنین خانواده های کسینوسی بحث پیدا کردن کران های متفاوتی برای این خانواده ها (بر حسب مولد آنها) است. در این مقاله، خانواده‌های α-حلال با کران چندجمله‌ای مورد مطالعه قرار می گیرند. در واقع شرایطی روی حلال یک عملگر با دامنه‌ی چگال بیان می‌کنیم که یک خانواده ‌α-حلال چند جمله‌ای کراندار تولید کند. همچنین ثابت می‌کنیم که این شرایط در فضای هیلبرت لازم نیز هستند. با توجه به اینکه خانواده‌های حلال توسیع نیم‌گروه‌های پیوسته قوی هستند، نتایج به‌دست آمده تعمیمی از قضایای اثبات شده توسط آیزنر برای نیم گروههای چند جمله ای کراندار می‌باشد. از طرفی، چون جوابهای معادلات تحولی کسری بر حسب خانواده های α-حلال بیان می شود لذا توسط این نتایج، همزمان در مورد وجود و پایداری جواب های این مسئله ها بحث می شود. پرونده مقاله