خاصیت جابه جایی روی حلقه های قویاً متناوب

محورهای موضوعی : جبر

سعید نصیری فر ¹ , شعبانعلی صفری ثابت ²

1 - گروه رياضي، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامي، تهران، ايران
2 - گروه رياضي، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامي، تهران، ايران

تاریخ دریافت : 1400/12/20 تاریخ پذیرش : 1401/07/09 تاریخ انتشار : 1402/10/28

کلید واژه: Chacron criterion, Periodic rings, Commutativity, Strongly periodic rings, Jacobson radical,

چکیده مقاله :

فرض کنید R یک حلقه شرکت پذیر اما نه لزوماً یکدار است، مرکز حلقه R را با Z ، رادیکال جیکوبسن آن را با J و مجموعه تمام عناصر پوچ توان حلقه R را با N نشان می دهیم. حلقه R را که به ازای هر x∈R و اعداد صحیح مثبت متفاوت m و n در شرط x^(n )=x^m، صدق کند، یک حلقه متناوب است. ریشه اصلی تعریف حلقه متناوب به قضیه جیکوبسن باز می گردد. وی در این قضیه ثابت کرد که هر حلقه با شرط x=x^(n(x)) وn(x)>۱ ، جا به جایی است . ریاضی دانان معاصر از جمله عدیل یاکوب، هاوارد بل، چاکرون و ... در مقطعی از زندگی علمی خود در این حیطه فعالیت کرده اند. ما برای اولین بار در این مقاله به بیان حلقه های قویاً متناوب و بررسی خواص و ساختار آنها پرداخته ایم. حلقه R را که به ازای هر x∈R \ (J ∪ N) اعداد صحیح مثبت متمایز m ,n از زوجیت های متمایز وجود دارند به طوری که x^(n )-x^m∈N را یک حلقه قویاً متناوب نامیم. در این مقاله مثال هایی از حلقه های قویاً متناوب و یکدار غیر جابه جایی ارائه می دهیم و در قضیه ۳-۶ ، نیز نشان می دهیم که حلقه قویاً متناوب یکدار جابه جایی است یا (R,+) یک ۲-گروه و R متناوب می باشد.

چکیده انگلیسی:

Let R be an associative ring but not neccessarily unital, denoting the center of the ring R by Z, the radical Jacobsen denoting it by J, and the set of all nilpotent elements of the ring R by N. Ring R is said to be periodic if for every element x∈R there exist distinct m ,n ∈Z^+ such that x^(n )=x^m .The main origin of the definition of the periodic ring, goes back to Jacobsen's theorem.In this theorem he proved that each ring with the condition x=x^(n(x)) ,n(x)>1 ,is commutative.Also,great contemporary mathematicians such as Adilyagqub , Howard.E.Bell, M.Chacron,etc.have worked in this field at some point in their scientific life. For the first time in this article, we have described strongly periodic rings and examined their properties and structure. Ring R is said to be strongly periodic if for every element x∈R \ (J ∪ N) there are positive integers m ,n of opposite parity such that x^(n )-x^m∈N. In this paper, we provide examples of strongly periodic and non-commutative unital rings, and in Theorem 3-6, we also show that the strongly periodic unital ring is commutative or (R, +) a 2-group and R is periodic.

منابع و مأخذ:

فهرست منابع

M. Chacron. On a theorem of Herstein. Canada. Journal of mathematics, 21 (1969) 1348-1353.

H.E.Bell.On commutativity of semiperiodic rings.Results in mathematics,53,(2009),19-26.

I.N.Herstein,A generalization of a theorem of Jacobson III.Amer.J.Math.75,(1953),105-111.

Hungerford,W.T.,1973,Algebra. Math . Assoc. of America.