بعضی ویژگی‌های گراف‌های جابجایی گروه‌های n-مرکز ساز متناهی

محورهای موضوعی : جبر

زینب فروزان فر ¹ , مهدی رضائی ^{2 *}

1 - گروه ریاضی، مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئین زهرا، بوئین زهرا، قزوین، ایران
2 - گروه ریاضی، مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئین زهرا، بوئین زهرا، قزوین، ایران

تاریخ دریافت : 1400/09/28 تاریخ پذیرش : 1401/04/27 تاریخ انتشار : 1402/10/28

کلید واژه: Commuting graph, Laplacian spectrum, n-centralizer, non-central element,

چکیده مقاله :

فرض کنید G یک گروه نا‌‌آبلی متناهی و Z(G) مرکز گروه G باشد. گراف جابجایی گروه G که با Γ_G نمایش داده می‌شود، یک گراف ساده غیر جهتدار است که مجموعه رئوس آن، مجموعه G-Z(G) می‌باشد و دو رأس متمایز x و y مجاور هستند اگر و تنها اگرxy=yx . گروه G را n-مرکزساز نامیم هرگاه تعداد مرکزسازهای متمایز اعضای آن برابرn باشد. همچنین گروه ناآبلی متناهی G یک AC-گروه نامیده می‌شود هرگاه C_G(x) برای هر x ϵG-Z(G) آبلی باشد. طیف یک گراف، مجموعه مقادیر ویژه متمایز ماتریس مجاورت آن گراف به همراه چندگانگی آن‌ها می‌باشد. بطور مشابه طیف لاپلاسین یک گراف، مجموعه مقادیر ویژه متمایز ماتریس لاپلاسین آن گراف به همراه چندگانگی آن‌ها می‌باشد. همچنین مجموعه مقادیر ویژه متمایز ماتریس لاپلاسین بی‌ علامت یک گراف به همراه چندگانگی آن‌ها، طیف لاپلاسین بی علامت آن گراف نامیده می‌شود. در این مقاله نشان می‌دهیم که گروه‌های 6-مرکزساز و 7-مرکزساز متناهی AC-گروه می‌باشند و گراف‌های جابجایی این گروه‌ها بصورت اجتماعی از گراف‌های کامل می‌باشند. همچنین طیف، طیف لاپلاسین و طیف لاپلاسین بی علامت گراف‌های جابجایی این گروه‌ها محاسبه می‌گردند.

چکیده انگلیسی:

Let G be a finite non-abelian group and Z(G) the center of G . The commuting graph of G , denoted by Γ_G , is a simple undirected graph whose vertex set is G-Z(G) and two distinct vertices x and y are adjacent if and only if xy=yx . We say that a group G is n - centralizer if the number of distinct centralizers of its elements is n. Also, a finite non-abelian group G is called an AC-group if C_G(x) is abelian for any x ϵG-Z(G) . The spectrum of a graph is the set of distinct eigenvalues with their multiplicities of the adjacency matrix of the graph. Similarly, the Laplacian spectrum of a graph is the set of distinct eigenvalues with their multiplicities of the Laplacian matrix of the graph. Also, the set of distinct eigenvalues with their multiplicities of the signless Laplacian matrix of the graph is called the signless Laplacian spectrum of the graph. In this paper, we show that the finite 6-centralizers and 7-centralizers groups are AC-group. Moreover, the spectrum, Laplacian spectrum and signless Laplacian spectrum of commuting graphs of these groups are computed.

منابع و مأخذ:

[1] A. Abdollahi, S. M. Jafarian Amiri, A. Mohammadi Hassanabadi, “Groups with specific number of centralizers,” Houston J. Math., vol. 33, no. 1, pp. 43-57, 2007.

[2] A. Ashrafi, “Counting the centralizers of some finite groups,” Korean J. Comput. Appl. Math., vol. 7, no. 1, pp. 115-124, 2000.

[3] S. J. Baishya, “On finite groups with specific number of centralizers,” Int. Electron. J. Algebra, vol. 13, pp. 53-62, 2013.

[4] S. Belcastro, G. Sherman, “Counting centralizers in finite groups,” Math. Mag., vol. 67, no. 5, pp. 366-374, 1994.

[5] N. Biggs, “Algebraic graph theory,” New York: Cambridge University Press, 1994.

[6] R. Brauer, K. A. Fowler, “On groups of even order,” Ann. Math., vol. 62, no. 2, pp. 565-583, 1955.

[7] J. Dutta, R. K. Nath, “Spectrum of commuting graphs of some classes of finite groups,” Matematika, vol. 33, no. 1, pp. 87-95, 2017.

[8] B. Mohar, “The Laplacian spectrum of graphs, in graph theory, combinatorics, and applications,” In Proceedings of the Sixth Quadrennial International Conference on the Theory and Applications of Graphs, Western Michigan University, Kalamazoo, 1988, (Edited by Y. Alavi, G. Chartrand, O. R. Oellermann and A. J. Schwenk), pp. 871-898, Wiley, New York, 1991.

[9] R. K. Nath, “Various spectra of commuting graphs n-centralizer finite groups,” Int. J. Eng. Sci. Tech., vol. 10, pp. 170-172, 2018.

[10] M. J. Tomkinson, “Groups covered by finitely many cosets or subgroups,” Comm. Algebra, vol. 15, pp. 845-859, 1987.