حرکت اعضای گروه‌های جایگشتی دووجهی متناهی

محورهای موضوعی : جبر

مهدی رضائی ¹ (گروه ریاضی، مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئين زهرا، بوئين زهرا، قزوین، ایران)

تاریخ دریافت : 1402/03/28 تاریخ پذیرش : 1402/06/20 تاریخ انتشار : 1402/10/28

کلید واژه: انتقالی, دور, حرکت, گروه دووجهی,

چکیده مقاله :

فرض کنید G یک گروه جایگشتی روی یک مجموعه Ω باشد به طوری که هیچ نقطه ثابتی در Ω نداشته باشد و فرض کنید m یک عدد صحیح مثبت باشد. اگر برای هر زیرمجموعه Γ از Ω و هر g از G اندازه‌های |Γg Γ| کراندار باشند، آن‌گاه حرکت Γ و حرکت g به ترتیب با نمادهای move(Γ) و move(g) نشان داده شده و به صورت زیر تعریف می‌شوند: move(Γ):=max{ |Γg Γ| |g∈G} و move(g):=max{ |Γg Γ| | Γ⊆Ω}. اگر برای هر زیرمجموعه Γ از Ω داشته باشیم move(Γ)≤m، آن‌گاه G با حرکت کراندار m نامیده شده و حرکت G به صورت زیر تعریف می‌شود: move(Γ):=max{ |Γg Γ| |Γ⊆Ω, g∈G}. در این مقاله به بررسی حرکت اعضای گروه دووجهی از مرتبه n که با نماد Dn نشان داده می‌شود، می‌پردازیم. برای این‌ کار ابتدا نشان می‌دهیم که این گروه روی مجموعه {1,...,n} به صورت انتقالی عمل می‌کند. سپس ساختار دوری اعضای این گروه‌ها و حرکت این اعضا تعیین می‌شوند. در انتها، حالتی که n یک عدد اول فرد باشد بررسی می‌شود و نشان می‌دهیم که حرکت تمامی عناصر گروه دووجهی در این حالت یکسان می‌باشد.

چکیده انگلیسی:

فرض کنید G یک گروه جایگشتی روی یک مجموعه Ω باشد به طوری که هیچ نقطه ثابتی در Ω نداشته باشد و فرض کنید m یک عدد صحیح مثبت باشد. اگر برای هر زیرمجموعه Γ از Ω و هر g از G اندازه‌های |Γg – Γ| کراندار باشند، آن‌گاه حرکت Γ و حرکت g به ترتیب با نمادهای move(Γ) و move(g) نشان داده شده و به صورت زیر تعریف می‌شوند: move(Γ):=max{ |Γg – Γ| |g∈G} و move(g):=max{ |Γg – Γ| | Γ⊆Ω}. اگر برای هر زیرمجموعه Γ از Ω داشته باشیم move(Γ)≤m، آن‌گاه G با حرکت کراندار m نامیده شده و حرکت G به صورت زیر تعریف می‌شود: move(Γ):=max{ |Γg – Γ| |Γ⊆Ω, g∈G}. در این مقاله به بررسی حرکت اعضای گروه دووجهی از مرتبه n که با نماد Dn نشان داده می‌شود، می‌پردازیم. برای این‌ کار ابتدا نشان می‌دهیم که این گروه روی مجموعه {1,...,n} به صورت انتقالی عمل می‌کند. سپس ساختار دوری اعضای این گروه‌ها و حرکت این اعضا تعیین می‌شوند. در انتها، حالتی که n یک عدد اول فرد باشد بررسی می‌شود و نشان می‌دهیم که حرکت تمامی عناصر گروه دووجهی در این حالت یکسان می‌باشد.