دسته بندی گروه های EPPO متناهی با هفت کلاس تزویج نامرکزی

محورهای موضوعی : آمار

زینب فروزان فر ¹ (استادیار گروه ریاضی، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره) - مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئین زهرا، قزوین، ایران)
مهدی رضائی ² (استادیار گروه ریاضی، دانشگاه بین المللی امام خمینی (ره) - مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئین زهرا، قزوین، ایران)

تاریخ دریافت : 1399/09/16 تاریخ پذیرش : 1400/07/10 تاریخ انتشار : 1401/04/01

کلید واژه: Order, Frobenius group, conjugacy class, Sylow p-subgroup,

چکیده مقاله :

فرض کنید G یک گروه متناهی و (Z(G مرکز گروه G باشد. فرض کنید برای گروه متناهی G، (PI_e(G مجموعه مرتبه های عناصر G را نمایش دهد. در این صورت G را یک گروه EPPO نامند، هرگاه هرگاه مرتبه عناصر آن توان‌های نامنفی از اعداد اول باشد. همچنین فرض کنید برای یک زیر مجموعه A از G،(r_G(Aتعداد کلاس های تزویج ازG باشد که اشتراکش با A غیر بدیهی است. هدف این مقاله دسته بندی گروه های EPPO متناهی با ویژگی r_G(G-Z(G))=7 می‌باشد. ابتدا حالتی که Z(G)=1 می‌باشد را مورد بررسی قرار می‌دهیم. سپس به بررسی حالتی که (G/Z(G آبلی باشد می‌پردازیم. پس از آن حالتی که(G/Z(Gناآبلی هست را در نظر می‌گیریم. این حالت را در سه زیر حالتی که(G/Z(Gیک p -گروه، یک گروه فروبنیوس یا گروهی ۲-فروبنیوس باشد، بررسی می‌کنیم. در واقع نشان می‌دهیم که تنها گروه هایی که در خاصیت مورد نظر صدق می‌کنند همان گروه هایی هستند که در حالت Z(G)=1 بدست آمده اند و تمامی این گروه ها، گروه هایی فروبنیوس هستند.

چکیده انگلیسی:

Let G be a finite group and Z(G) be a subgroup of it. Suppose that for the finite group G, Pi_e(G) denotes the set of orders of elements of G. Then G is an EPPO-group if the orders of its elements are non-negative powers of primes. Also, for a subset A of G, let r_G(A) be the number of conjugacy classes of G that intersect A non-trivially. The purpose of this paper is to classify all finite EPPO-groups with the property r_G(G-Z(G))=7. We first verify the case where Z(G)=1. Then we verify the case where G/Z(G) is abelian. After that, we consider the case where G/Z(G) is non-abelian. We verify this case in three subcases where G/Z(G) is a p-group, a Frobenius group or a 2-Frobenius group. In fact, we show that the only groups which satisfy the intended property are the groups that are attained in the case Z(G)=1 and all of these groups are Frobenius groups.

منابع و مأخذ:

[1] W. J. Shi. A class of special minimal normal subgroups (Chinese). Journal of Southwest Teachers College 9: 9-13 (1984) 

 

[2] M. Shahryari, M. A. Shahabi. Subgroups which are the union of three conjugacy classes. Journal of Algebra 207:326-332 (1998)

 

[3] U. Riese, M. A. Shahabi. Subgroups which are the union of four conjugacy classes. Communications in Algebra 29:695-701 (2001)

 

[4] G. Qian, W. Shi, X. You.  Conjugacy classes outside a normal subgroup. Communications in Algebra 32:4809-4820 (2004)

 

[5] X. You, Z. Liu, W. Zhu. Finite groups in which there are at most four noncentral conjugacy classes. International Conference on Multimedia Technology (ICMT) (2011)

 

[6] M. Rezaei, Z. Foruzanfar. Finite groups with five non-central conjugacy classes. Journal of Algebraic Systems 4:85-95 (2017)

 

[7] M. Rezaei, Z. Foruzanfar. Finite groups with six non-central conjugacy classes. Iranian Journal of Science and Technology, Transaction A: Science 43:1665-1669 (2019)

 

[8] A.V. Lopez, J. V. Lopez. Classification of finite groups according to the number of conjugacy classes. Israel Journal of Mathematics 51:305-338 (1985)

 

[9] W. J. Shi and H. Lv. A Note of CP₂ Groups. Communications in Mathematics and Statistics 5:447-451 (2017)

 

[10] M. Suzuki. On a class of doubly transitive groups. Annals of Mathematics 75:105-145 (1962)

 

[11] R. Brandl. Finite groups all of whose elements are of prime power order. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana A(5) 18:491-493 (1981)

 

[12] W. J. Shi, W. Z. Yang. The finite groups all of whose elements are of prime power order Journal of Yunnan Educational College 1:2-10 (1986)

 

[13] The GAP Group, GAP Groups. Algorithms and Programming. Version 4.11.0, (2020) http://www.gap-system.org.

 

[14] M. Fang, P. Zhang. Finite groups with graphs containing no triangles. Journal of Algebra 264:613-619 (2003)