نتایجی در مورد خاصیت آرتینی مدول های کوهمولوژی موضعی در نقطه ارتفاع یک ایده آل

محورهای موضوعی : جبر

میریوسف صادقی ^{1 *} , خدیجه احمدی آملی ² , مریم چقامیرزا ³

1 - گروه ریاضی- دانشگاه پیام نور- تهران-ایران
2 - گروه ریاضی، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران
3 - گروه ریاضی، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران

تاریخ دریافت : 1402/03/29 تاریخ پذیرش : 1403/02/10 تاریخ انتشار : 1403/09/10

کلید واژه: مدول‌های کوهمولوژی موضعی, مدول‌های آرتینی, حلقه‌های موضعی, حلقه‌های کوهن- مکالی, حلقه‌های به‌ طور تحلیلی تحویل‌ناپذیر.,

چکیده مقاله :

فرض کنید R یک حلقه نوتری جابجایی، I یک ایده‌آل غیر صفر از R و M یک R -مدول تولید شدۀ متناهی باشند. ابتدا نشان می‌دهیم که اگر IM≠M و MinAss_R (M/IM)⊆Min(I)\Max(R) باشند، آن‌گاه Supp_R H_I^(ht_M I) (M)⊈Max(R)و بنابراین R -مدول H_I^(ht_M I) (M) آرتینی نیست. به عنوان یک نتیجه از آن و با انتخاب خود حلقه R به‌جای M ، این مطلب حاصل می‌شود که اگر Min(I)\Max(R)≠∅ ، آنگاه R -مدول H_I^(ht‌I) (R) آرتینی نیست. سپس در حالتی که Rیک حلقه موضعی باشد، شرایطی را ارائه داده ایم که تحت آن‌ها R -مدول H_I^(dim⁡R-1) (R) می‌تواند آرتینی باشد. در سرتاسر این مقاله، Rبیانگر یک حلقۀ جابجاییِ نوتری با عضو همانی غیر صفر، I بیانگر یک ایده‌آل غیر صفر از R و M یک R مدول تولید شدۀ متناهی می‌باشند. بطور معمول، از نمادهای N_° برای نمایش مجموعۀ اعداد صحیح نامنفی، از Min(I) برای نمایش مجموعۀ ایده‌آل‌های اول مینیمال Iو از Max(R) برای نمایش مجموعۀ تمام ایده‌آل‌‌‌های ماگزیمال حلقه R استفاده خواهیم کرد. برای R -مدول M، مقصود از Supp_R (M) ، تکیه‌گاه M نسبت به حلقۀ R می‌باشد که عبارت است از : Supp_R (M)={P∈Spec(R)├ ┤| 〖 M〗_P≠0} . i-اُمین مدول کوهمولوژی موضعی M نسبت به ایده‌آل I به‌صورت H_I^i (M):=lim┬□(→┬nϵN )⁡〖Ext_R^i (R⁄I^n 〗,M) , تعریف می‌شود.

چکیده انگلیسی:

Let R be a commutative Noetherian ring, a be a non-zero ideal of R, and M be a finitely generated R-module. We first show that, if IM≠M and MinAss_R (M/IM)⊆Min(I)\Max(R), then Supp_R H_I^(ht_M I) (M)⊈Max(R), and so the R-module H_I^(ht_M I) (M) is not Artinian. As a consequence, if Min(I)\Max(R)≠∅, then the R-module H_I^(ht‌I) (R) is not Artinian, considering M:=R. Later, we give some results on Artinianness of the R-module H_I^(dim⁡R-1) (R), when R is a local ring. Throughout this article‎, ‎$R$ denotes a commutative‎ Noetherian ring with non-zero identity‎, ‎$\fa$‎ denotes a proper non-zero ideal of $R$‎, ‎and $M$‎ ‎denotes a finitely generated $R$-module‎.‎‎‎ ‎‎ ‎By‎‎ ‎‎‎$\mathbb{N}_{0}$, ‎we‎ ‎mean‎ the set of‎ ‎non-negative integers. ‎‎‎ Moreover‎, ‎we use $\Min(\fa)$ (resp‎. ‎$\Max(R)$)‎ ‎to denote the set of minimal prime ideals of $\fa$‎ (resp‎.‎‎‎ ‎the set of maximal ideals of $R$‎). The $i$-th local cohomology module‎ ‎of $M$ is defined by‎ ‎$$H_{\mathfrak{a}}^{i}(M):= \displaystyle\lim_‎ ‎{\overrightarrow{n\in ‎\mathbb{N}}}\mathrm{Ext}‎‎_{R}^{i} ‎\left( {R}/{\mathfrak{a}^{n}},M\right).$$

منابع و مأخذ:

[1] M. P. Brodmann and R. Y. Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications. 2nd ed. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press (2013).

[2] R. Y. Sharp, Steps in commutative Algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Text 19, Cambridge University Press (2000).

[3] C. Huneke, Problems on local cohomology, Free Resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Research Notes in Mathematics 2, Boston, Ma, Jones and Bartlett Publisher, (1992), 93-108.

[4] A. Ogus, Local cohomological dimension of algebraic varieties. Annals of Math., 98 (1973), 327-365.

[5] R. Hartshorne and R. Speiser, Local cohomological dimension in characteristic p. Ann. Math., 105 (1977), 45-79.

[6] T. Marley, The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension. manuscripta math., 104 (2001), 519-525.

[7] M. Aghapournahr and K. Bahmanpour, Cofiniteness of weakly Laskerian local cohomology modules. Bull. Math. Soc. Math. Romanie, 105 (2014), 347-365.

[8] D. Asadollahi and R. Naghipour, Faltings' Local-global Principle for the Finiteness of local cohomology modules. Commun. Algebra, 43 (2015), 953-958.

[9] L. Melkersson, Modules cofinite whit respect to an ideal. J. Algebra, 285 (2005), 649-668.

[10] R. Hartshorne, Affine duality and cofiniteness. Invent. Math., 9 (1970), 145-164.

[11] K. I. Yoshida, Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of dimension one. Nagoya Math. J., 147 (1997), 179-191.

متن کامل:



 

دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال دهم، شماره پنجاه و یکم، آذر و دی 1403

شماره شاپا: -588X2588

 

 

 

 

 

نتایجی در مورد خاصیت آرتینی مدول‌های کوهمولوژی موضعی در نقطۀ ارتفاع ایده‌آل

 

 

میریوسف صادقی ¹1، خدیجه احمدی آملی2 ، مریم چقامیرزا3

 

(1و2و3)  گروه ریاضی، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران

 

 

تاريخ ارسال مقاله: 29/03/1402 تاريخ پذيرش مقاله: 10/02/1403

چکيده

فرض کنید  یک حلقه جابجاییِ نوتری،  یک ایده­آل غیرصفر از  و  یک  - مدول تولید شدۀ متناهی باشند. ابتدا نشان می­دهیم درصورتیکه  و  باشند، آن­گاه   و بنابراین  -مدول   آرتینی نیست. به‌ عنوان نتیجه‌ای از آن و با انتخاب حلقه  به­جای ، این مطلب حاصل می­شود که اگر  ، آنگاه  -مدول   آرتینی نیست. سپس در حالتی که یک حلقه موضعی باشد، شرایطی را ارائه داده‌ایم که تحت آن­ها  -مدول   می­تواند آرتینی باشد.

 

 

واژه‌هاي کلیدی: مدول­های کوهمولوژی موضعی، مدول­های آرتینی، حلقه­های موضعی، حلقه­های کوهن- مکالی، حلقه­های به­ طور تحلیلی تحویل‌ناپذیر.

 

---

[1] *. عهده­دار مکاتبات:                                                                                       [e-mail] Email: 

1- مقدمه

در سرتاسر این مقاله، بیانگر یک حلقۀ جابجاییِ نوتری با عضو همانی غیر صفر،  بیانگر یک ایده­آل غیر صفر از  و  یک  -مدول تولید شدۀ متناهی می­باشند. بطور معمول، از نمادهای  برای نمایش مجموعۀ اعداد صحیح نامنفی، از  برای نمایش مجموعۀ ایده­آل­های اول مینیمال و از    برای نمایش مجموعۀ تمام ایده­آل­­­های ماگزیمال حلقه  استفاده خواهیم کرد.  برای  -مدول  ، مقصود از نماد  ، تکیه­گاه  نسبت به حلقۀ  می­باشد که عبارت است از مجموعۀ:

 .

 

 

 

 

i-اُمین مدول کوهمولوژی موضعی  نسبت به ایده­آل   به­صورت

 

تعریف می­شود. برای کسب اطلاعات بیشتر در زمینۀ این مدول­ها و هر نمادی که در مورد آن توضیح کافی داده نشده است، به ]1[ و ]2[ مراجعه شود.

 

هیونِکه در ]3[ سؤالات زیر را مطرح کرده است:

1. در چه مواقعی  -مدول  آرتینی است؟

2. در چه مواقعی مجموعۀ ایده­آل­های اول وابستۀ  متناهی است؟

آرتینی بودن مدول  در مرجع ]1[ و در قضیه­های 7. 1. 3 و 7. 1. 6  و همچنین در تمرینات 7. 1. 4 و 7. 1. 7 مطالعه شده است.

 

علاوه بر این، همان­طور که هونکه ]3[ در قضیه­های 4.1 و 4.2 نیز به آن­ها اشاره کرده است، دو نتیجۀ مهم در دهۀ هفتاد و طی سال­های 1973 و 1977 در مورد آرتینی بودن  روی حلقه­های موضعی منظم اثبات شده­اند. یکی از این نتایج توسط اوگوس و روی حلقه­های موضعی منظم از مشخصۀ صفر و دیگری توسط هارتشورن و اسپیزر روی حلقه­های موضعی منظم از مشخصه   به شرح زیر مورد بررسی قرار گرفته­اند:

قضیه 1.1. (]4 [را ببینید) فرض کنید  یک حلقۀ موضعی منظم و شامل (میدان اعداد گویا) باشد. همچنین فرض کنید   یک ایده­آل از حلقه   باشد به طوری­که برای هر ، تکیه‌گاه   فقط شامل ایده­آل ماگزیمال   باشد. در این­صورت برای هر ،  -مدول  آرتینی است.

   قضیه 1.2. (]5 [را ببینید) فرض کنید  یک حلقۀ موضعی منظم از مشخصۀ   باشد. همچنین فرض کنید    یک ایده­آل از  باشد به­ طوری­که برای برخی اعداد طبیعی  ، تکیه گاه   فقط شامل ایده­آل ماگزیمال   باشد. در این­صورت   آرتینی است.

معمولاً اطلاعات چندان زیادی دربارۀ  در نقطۀ  در دسترس نیست. به عبارت دیگر مدولهای کوهمولوژی موضعی در این نقطه زیاد شناخته شده نیستند. هرچند مارلی در نتیجه 2.5 از ]6[ نشان داده است که تکیه­گاه   در نقاط  و  

یک مجموعۀ متناهی است.

 

در این مقاله، ما عمدتاً خواص آرتینی بودن و آرتینی نبودن مدول­های کوهمولوژی موضعی را مورد بحث قرار داده­ایم. با توجه به اینکه مدول­های آرتینی دارای تکیه‌گاه متناهی هستند و تکیه‌گاه هر مدول شامل مجموعه ایده­آل­های اول وابستۀ آن مدول نیز است، از این­رو بررسی آرتینی بودن ، در پاسخ به سؤال دوم هیونکه نیز مفید خواهد بود.

 اگر بخواهیم با جزئیات بیشتری توضیح دهیم، به عنوان اولین و یکی از نتایج مهم در این مقاله، نشان می­دهیم در صورتی که  یک حلقۀ نوتری دلخواه،   یک  -مدول تولید شدۀ متناهی و  یک ایده­آل از  باشند به­طوری­که  و

,

آن­گاه  -مدول  آرتینی نیست (گزارۀ 2.1 را ببینید).

 

حال با به کار بردن مطلب فوق برای خود حلقۀ ، نتیجه می­شود که اگر،

 آن‌گاه  -مدول   آرتینی نیست (نتیجۀ 2.2 را ببینید). به عنوان یک نتیجۀ مهم از این مطلب،  نتیجۀ 2.4 حاصل می­شود که بیان می­کند: اگر  یک حلقۀ موضعی و  ایده­آلی از  باشند به­طوری­که ، آن­گاه  -مدول   آرتینی نیست.

این بدان معنی است که روی یک حلقۀ موضعی دلخواه مانند ،  آرتینی است اگر و تنها اگر    و  اگر و تنها اگر به ازای هر  -مدول تولیده شدۀ متناهی  و هر  ، -مدول   آرتینی باشد (نتیجۀ 2.7 را ببینید).

علاوه بر این، در این مقاله نتایج جالبی را روی حلقه­های موضعی به طور تحلیلی تحویل­ناپذیر¹ و همچنین روی حلقه­های کوهن-مکالی (نه لزوماً موضعی) ارائه می­دهیم (نتیجۀ 2.8 و گزارۀ 2.9 را ببینید). لازم به یادآوری است که حلقۀ موضعی  یک حلقۀ به­طور تحلیلی تحویل­ناپذیر نامیده می­شود، هرگاه  (یعنی حلقه کامل شده  نسبت به ایده­آل ماگزیمال  ) یک حوزۀ صحیح باشد.

 

در نهایت و به عنوان آخرین و یکی از مهم­ترین نتایج در این مقاله، در گزارۀ 2.11 شرایطی را ارائه می­دهیم که تحت آن‌ها -مدول   می­تواند آرتینی باشد.

 

 

2- نتایج اصلی

مطالب این بخش را با یک گزاره شروع می­کنیم که نقاطی را مشخص می­کند که در آن­ها مدول­های کوهمولوژی موضعی آرتینی نیستند. در ادامه، منظور ما از   یعنی ارتفاع ایده‌آل  نسبت به حلقۀ  می‌باشد، که عبارت است از:

 

 

 

همچنین منظور ما از ، یعنی ارتفاع نسبت به -مدول  که عبارت است از :

 

 

                                                     

که در آن  ( تعریف 15.6 و تمرین 17.15 از ]2[ را ملاحظه کنید).

 

  گزاره 2.1. فرض کنید یک حلقه نوتری دلخواه،  یک-مدول تولید شدۀ متناهی و   ایده­آلی از  باشند به‌طوری­که  و 

 . 

در این صورت:

 

 

و ­­­­ در نتیجه -مدول  آرتینی نیست.

برهان: قرار می­دهیم . در این­صورت

 

 

چنان موجود است به­طوری­که

 . از طرف دیگر چون ، بنابراین  و لذا قضیۀ صفر نشدن گروتندیک نتیجه می­دهد که

 

 

.                 

بنابراین   و  از این­رو خواهیم داشت:

   .

 

به عنوان چند نتیجۀ فوری از گزاره 2.1 ، نتایج بعدی حاصل می­شوند.

 

نتیجه 2.2. فرض کنید   ایده­آلی از  باشد به­طوری­که . قرار دهید . دراین­صورت خواهیم داشت:

 

 و بنابراین  -مدول  آرتینی نیست. بویژه در حالتی­که  یک حلقۀ موضعی بوده و   (یا به­طور معادل ( باشد، آن­گاه  آرتینی نیست.

برهان: از اینکه  ،  لذا شرایط گزارۀ 2.1 برقرار هستند.

نتیجه 2.3.  فرض کنید   یک حلقۀ موضعی  از بعد  و   یک -مدول تولید شدۀ متناهی باشند. همچنین فرض کنید   یک ایده­آل با بعد یک از  ( یعنی  ) باشد به­طوری­که:

.

قرار دهید . در این­صورت

 

,

 

و در نتیجه  آرتینی نیست.

برهان: از اینکه   و

 

 

 

بنابراین­ خواهیم داشت:

.  

حال حکم با توجه به گزارۀ 2.1 به راحتی حاصل می­شود. 

نتیجه 2.4. فرض کنید  یک حلقۀ نوتری دلخواه (نه لزوماً موضعی) و  یک ایده­آل از  با شرط  باشند. قرار دهید . در این­صورت -مدول  آرتینی نیست.

برهان: با توجه به این­که  ، لذا خواهیم داشت:

 

و حکم به راحتی از نتیجۀ 2.2 به دست می­آید. 

در نتایج قبلی شرایطی بررسی شد که مدول­های کوهمولوژی موضعی درنقطۀ ارتفاع ایده­آل ، آرتینی نبودند. گزارۀ بعدی به عنوان نتیجۀ دیگری از گزارۀ 2.1 ، شرایطی را بررسی می­کند که تحت آن­ها مدول کوهمولوژی موضعی می­تواند در نقطۀ ارتفاع ایده­آل، آرتینی باشد. در حقیقت گزارۀ 2.5 بیانگر آن است که اگر  در نقطۀ  آرتینی باشد، آن­گاه این مدول به ازای هر  نیز آرتینی است. این مطلب نشان می­دهد عکس تمرین 7.1.4  از ]1[ تحت شرایطی برقرار است.

 

گزاره 2.5.  فرض کنید  یک حلقۀ موضعی و  یک -مدول تولید شدۀ متناهی باشند. همچنین فرض کنید   ایده­آلی از  باشد به­طوری‌که  و

.

قرار دهید . در این­صورت گزاره­های زیر با هم معادل هستند:

(1)       ؛

(2)       ؛

(3)       به ازای هر ،  آرتینی است؛

(4)        آرتینی است.

برهان: (2)  (1) : به برهان خلف، فرض کنیم حکم برقرار نباشد و . بنابراین با توجه به فرض خواهیم داشت:

 

.

 

حال بنابر گزارۀ 2.1، نتیجه می­شود:

 

 

 

و ا ین متناقض  با  فرض ا ست .  لذا باید داشته باشیم:

.

(3)  (2): از این­که ، لذا  و در نتیجه به ازای هر ، خواهیم داشت  و بنابراین به ازای هر ،  آرتینی خواهد بود.

(1) (4)  (3): بدیهی هستند. 

به عنوان یک نتیجه از گزارۀ 2.5، نتیجۀ 2.7 حاصل می­شود. برای دست­یابی به این نتیجه، به گزارۀ 2.6  نیازمندیم.

گزاره 2.6.  فرض کنید یک حلقۀ نوتری دلخواه (نه لزوماً موضعی) و . در این­صورت به ازای هر ،  آرتینی است اگروتنها اگر به ازای هر -مدول تولید شدۀ متناهی  و هر ،  آرتینی باشد.

برهان:   فرض کنیم به ازای هر ،  آرتینی و  یک -مدول تولید شدۀ متناهی دلخواه باشند. در این صورت رشتۀ دقیق کوتاهی به صورت:

,

موجود است که در آن  یک -مدول آزاد تولید شدۀ متناهی است. قرار می­دهیم . بنابراین با توجه به نتیجۀ 3.3.3  از ]1[، برای هر   خواهیم داشت: 

.

حال بدون اینکه از کلیت مسئله کاسته شود، می­توانیم فرض کنیم  و از این رو کافی است حکم را برای تمام مقادیر   که    اثبات کنیم. به استقراء نزولی حکم را ثابت می­کنیم. ابتدا فرض کنید . از اینکه رشته

 

دقیق است و به­ازای هر ،  یک تابعگون جمعی است، لذا  آرتینی است و درنتیجه   نیز آرتینی خواهد بود. حال حکم به استقراء نزولی رویهایی‌که  و با توجه به رشته دقیق بلند:

 

 

حاصل می­شود.

  این قسمت بدیهی است.  

نتیجه 2.7.  فرض کنید  یک حلقۀ نوتری موضعی و  یک ایده­آل از  باشند. قرار دهید . در این­صورت گزاره­های زیر با هم معادل هستند: 

(1)       ؛

(2)       ؛

(3)       به ازای هر ،  آرتینی است؛

(4)       به ازای هر  و هر -مدول تولید شدۀ متناهی ،  آرتینی است.

برهان: حکم به­ راحتی از گزاره­های 2.  5 و 2. 6 حاصل می­شود.

 

نتیجه 2.8. فرض کنید  یک حلقۀ نوتری موضعیِ به­طور تحلیلی تحویل­ناپذیر از بعد و  یک ایده­آل سره از   باشند. قرار دهید . در این­صورت گزاره­های زیر برقرار هستند:

 

(1)       اگر ، آنگاه  آرتینی نیست.

(2)       اگر ، آنگاه برای هر -مدول تولید شدۀ متناهی مانند  و هر ،  آرتینی است.

برهان: از این­که یک حلقۀ به­طور تحلیلی تحویل­ناپذیر است، لذا  یک حوزۀ صحیح است. از این­رو بنابر قضیۀ صفر شدن لیختن­بام- هارتشورن ( قضیۀ 8.2.1 از ]1[) داریم  اگر و تنها اگر . حال هر دو قسمت حکم از نتایج  2.  4 و 2. 7 حاصل می­شوند. 

گزارۀ بعدی به عنوان کاربرد دیگری از نتیجۀ 2. 2، برای -رشته­ها و حلقه­های کوهن- مکالی مفید است.

نتیجه 2.9.  فرض کنید   ایده­آلی از   باشد به­طوری­که . در این صورت احکام زیر برقرار هستند:

(1)       اگر  توسط یک -رشتۀ منظم به طول   تولید شود، آنگاه           و  بنابراین  آرتینی نیست.

(2)       اگر یک حلقه کوهن-مکالی باشد، آنگاه

                        

    .        

بویژه -مدول  آرتینی نیست.

برهان: با توجه به اینکه  توسط یک -رشتۀ منظم به طول   تولید می­شود، داریم . بنابراین قسمت (1) حکم از نتیجۀ 2. 2 حاصل می­شود. برای قسمت (2)، توجه شود که  یک حلقه کوهن-مکالی است، لذا  و بنابراین حکم از قسمت (1) نتیجه می­شود. 

 

مؤلفین در تعریف 2. 1 از ]7[، به ازای عدد صحیح دلخواه    ، کلاس -مدول­های را معرفی کردند. یادآوری می­شود  یک -مدول  نامیده می­شود، هرگاه -زیرمدول تولید شدۀ متناهی   از  چنان موجود باشد که:

 .

همچنین به طور مشابه در تعریف 2.  1 از ]8[، مؤلفین به ازای عدد صحیح ، کلاس -مدول­های در بعد کمتر از  را مورد مطالعه قرار دادند. همچنین یادآوری می­شود  یک -مدول در بعد کمتر از  نامیده می­شود، هرگاه -زیرمدول تولید شدۀ متناهی   از  چنان موجود باشد که:

 .

 به­ راحتی قابل بررسی است که به ازای های مناسب، کلاس -مدول­های  و همچنین کلاس -مدول­های در بعد کمتر از ، تعمیمی از کلاس -مدول­های تولید شدۀ متناهی، کلاس -مدول­های آرتینی و کلاس -مدول­های مینی­ماکس هستند. برای بررسی این موضوع به لم 2. 3  از ]7[ و تبصرۀ  2. 2 از ]8[ مراجعه شود.

از طرف دیگر ملکرسون در گزارۀ 3. 11 از ]9[ نشان داده که اگر   یک -مدول باشد به طوری­که به ازای هر ، -مدول  تولید شدۀ متناهی باشد و به ازای هر ،    یک -مدول -هم­متناهی باشد، آنگاه   نیز -هم­متناهی است. یادآوری می­شود که کلاس -مدول­های -هم­متناهی توسط هارتشورن در ]10[ به این­صورت معرفی شده است که : یک -مدول مانند  ، -هم­متناهی نامیده می­شود هرگاه  و همچنین به­ازای هر ، -مدول ، تولید شدۀ متناهی باشد.

نتیجۀ بعدی نشان می­دهد که گزارۀ 3. 11 ملکرسون]9[ در مورد کلاس -مدول­های   لزوماً برقرار نیست.

نتیجه 2.10. فرض کنید  یک حلقه کوهن-مکالی از بعد  و  ایده­آلی از آن باشرط   باشند. در این­صورت  یک -مدول  نیست و بنابراین نمی­تواند مینی­ماکس یا آرتینی باشد.

برهان: فرض کنیم حکم برقرار نباشد و   یک -مدول  باشد (فرض خلف). در این صورت یک رشتۀ دقیق کوتاه مانند

 

وجود دارد که در آن  یک -مدول تولید شدۀ متناهی است و همچنین. ابتدا نشان می­دهیم که:

 

.

 

برای این منظور فرض کنیم

 ، دلخواه باشد. با توجه به رشتۀ دقیق  و آرتینی بودن مدول ، نتیجه می­شودکه به‌ازای‌ هر    یک -مدول تولید شدۀ متناهی است. بنابراین گزارۀ 3. 1 از] 11[ ایجاب می­کند که به ازای هر ، . از این رو خواهیم داشت:

 

,

 

 و این با توجه به گزارۀ 2. 9 ، یک تناقض است.  

 

 

با توجه به قضیۀ 7. 1. 5 از] 1[، می­دانیم که اگر   یک حلقۀ جابجاییِ نوتری،  یک  -مدول تولید شدۀ متناهی از بعد و  یک ایده­آل دلخواه از  باشند، آنگاه   آرتینی است.

علاوه بر این، همان­طور که در مقدمه نیز به آن اشاره شد، مارلی در نتیجۀ 2. 5 از ] 6[، نشان داده که روی حلقۀ­ موضعی ، به ازای هر -مدول تولید شدۀ متناهی  با بعد  و هر ایده­آل دلخواه از ، مجموعه­­های  و  متناهی هستند.

به عنوان آخرین نتیجه در این مقاله، در گزارۀ 2. 11، شرایطی را ارائه می­دهیم که تحت آن­ها و در حالتی که  یک حلقه موضعی با بعد  باشد، -مدول  آرتینی است.

 

گزاره 2.11. فرض کنید  یک حلقۀ موضعی با بعد  و  یک ایده­آل از   با شرط  باشند. در این صورت تحت هرکدام از شرایط زیر  آرتینی است:

(1)  ؛

(2)  برای هر ایده­آل اول مینیمال  از  داریم:

                                          . 

برهان: در صورتی­که ، آن­گاه حکم از نتیجۀ 2. 7  حاصل می­شود. در حالت ، ابتدا فرض کنیم شرط (1) برقرار باشد و داشته باشیم:

.

بنابراین می­توان فرض کرد:

 .

از اینکه ، لذا  موجود است و با توجه به اینکه

   

بنابراین داریم:

.

از طرف دیگر با توجه به گزارۀ 8. 1. 2 از] 1[، رشتۀ دقیقی به صورت:

                

   

وجود دارد. حال باتوجه به نتیجۀ 2. 7، -مدول  آرتینی است و همچنین از اینکه  ، لذا  نیز آرتینی خواهد بود. 

حال فرض کنیم شرط (2) برقرار باشد. نشان می­دهیم:

 

 

و بنابراین حکم از قسمت (1) حاصل می­شود. برای این منظور فرض کنیم  دلخواه باشد. در این صورت  و لذا قضیۀ صفر  شدن گروتندیک ایجاب می­کند که . بنابراین با توجه به فرض (2)،   نمی­تواند یک ایده­آل اول مینیمال از  باشد. حال باتوجه به این­که  و ، بنابراین  و این نتیجه می­دهد که:

 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فهرست منابع

 

[1] M. P. Brodmann and R. Y. Sharp, Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications. 2nd ed. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press (2013).

 

[2] R. Y. Sharp, Steps in commutative Algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Text 19, Cambridge University Press (2000).

 

[3] C. Huneke, Problems on local cohomology, Free Resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Research Notes in Mathematics 2, Boston, Ma, Jones and Bartlett Publisher, (1992), 93-108.

 

[4] A. Ogus, Local cohomological dimension of algebraic varieties. Annals of Math., 98 (1973), 327-365.

 

[5] R. Hartshorne and R. Speiser, Local cohomological dimension in characteristic . Ann. Math., 105 (1977), 45-79.

 

[6] T. Marley, The associated primes of local cohomology modules over rings of small dimension. manuscripta math., 104 (2001), 519-525.

 

[7] M.  Aghapournahr and K. Bahmanpour, Cofiniteness of weakly Laskerian local cohomology modules. Bull. Math. Soc. Math. Romanie, 105 (2014), 347-365.

 

[8] D. Asadollahi and R. Naghipour, Faltings' Local-global Principle for the Finiteness of local cohomology modules. Commun. Algebra, 43 (2015), 953-958.

 

[9] L. Melkersson, Modules cofinite whit respect to an ideal. J. Algebra, 285 (2005), 649-668.

 

[10] R. Hartshorne, Affine duality and cofiniteness. Invent. Math., 9 (1970), 145-164.

 

[11] K. I. Yoshida, Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of dimension one. Nagoya Math. J., 147 (1997), 179-191.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

[1]   Analytically irreducible Local ring.  

 

---