بررسی وجود جوابهای ضعیف مثبت دستگاههای جدیدی از نوع کیرشهف با شرط مرزی دیریکله
محورهای موضوعی : آمارمحمد باقر قائمی 1 , مهدی چوبین 2
1 - گروه ریاضی دانشکده علوم دانشگاه علم و صنعت تهران ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه ولایت، ایرانشهر، ایران
کلید واژه: positive weak solution, Kirchhoff equation, Dirichlet boundary condition,
چکیده مقاله :
معادله کیرشهف (*) [rho frac{{{partial ^2}u}}{{partial {t^2}}} - left( {frac{{{P_0}}}{h} + frac{E}{{2L}}int_0^L {left| {frac{{partial u}}{{partial x}}} right|} dx} right)frac{{{partial ^2}u}}{{partial {x^2}}} = 0] تعمیم معادله موج کلاسیک دالامبر با در نظر گرفتن اثرات تغییر طول رشته در طی ارتعاشات است. در (*)، L پارامتر طول رشته، h مساحت سطح مقطع، E ضریب یانگ مواد، rho چگالی جرم و P_0 کشش اولیه است. در سال های اخیر، برخی تعمیم های کاربردی معادله کیرشهف در بسیاری از مقالات ارایه شده و مورد مطالعه قرار گرفته است. در این مقاله، به بررسی وجود جوابهای ضعیف دسته ای از دستگاههای از نوع کیرشهف با پارامترهای چندگانه می پردازیم. نشان خواهیم داد که تحت چه شرایطی این دستگاه ها به ازای همه پارامترهای مثبت دلخواه دارای جواب مثبت هستند. رویکرد ما در این مقاله براساس روش جواب های پایینی-بالایی است.
The Kirchhoff equation(*) [rho frac{{{partial ^2}u}}{{partial {t^2}}} - left( {frac{{{P_0}}}{h} + frac{E}{{2L}}int_0^L {left| {frac{{partial u}}{{partial x}}} right|} dx} right)frac{{{partial ^2}u}}{{partial {x^2}}} = 0]extends the classical d'Alembert's wave equation by considering the effects of the changes in the length of the strings during the vibrations. The parameters in equation (*) have the following meanings: L is the length of the string, h is the area of cross-section, E is the Young modulus of the material, rho is the mass density and P_0 is the initial tension. In recent years, some applicable generalization of Kirchhoff equation have been proposed and studied in many papers. In this paper, we study the existence of positive weak solutions for new Kirchhoff type systems with multiple parameters. We will show under what conditions these systems have a positive weak solution for any positive parameters. Our approach in this paper is based on the sub- and supersolution method. approach in this paper is based on the sub- and supersolution method.
[1] J. Ali and R. Shivaji, Positive solutions for a class of -Laplacian systems with multiple parameters, J. Math. Anal. Appl., 335 (2007) 1013-1019.
[2] A. Bensedik and M. Bouchekif, On an elliptic quation of Kirchhoff-type with a potential asymptotically linear at infinity, Math. Comput. Modelling, 49 (2009) 1089–1096.
[3] C. Chen, On positive weak solutions for a class of quasilinear elliptic systems, Nonlinear Anal., 62 (2005) 751–756.
[4] C. Chen, J. Huang and Z.Q. Han, Multiple solutions to the nonhomogeneous -Kirchhoff elliptic equation with concave-convex nonlinearities, Appl. Math. Lett., 26 (7)(2013) 754–759.
[5] B. Cheng, X. Wu and J. Liu, Multiplicity of solutions for nonlocal elliptic system of -Kirchhoff type, Abstr. Appl. Anal., 13 (2011) Article ID 526026.
[6] M. Chipot, B. Lovat, Some remarks on nonlocal elliptic and parabolic problems, Nonlinear Anal., 30 (7) (1997) 4619–4627.
[7] G. A. Afrouzi, S. Shakeri and H. Zahmatkesh, Existence Results for a Class of Kirchhoff-Type Systems with Combined Nonlinear Effects, Ukrainian Mathematical Journal, 71(4) (2019) 651–662.
[8] F. J. S. A. Corrêa and G. M. Figueiredo, On an elliptic equation of -Kirchhoff type via variational methods, Bull. Aust. Math. Soc., 74 (2006) 263–277.
[9] J. Huang, C. Chen and Z. Xiu, Existence and multiplicity results for a -Kirchhoff equation with a concave-convex term, Appl. Math. Lett., 26 (11) (2013) 1070–1075.
[10] G. Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische physik: mechanik, Teubner, Leipzig, Germany, 1883.
[11] T. F. Ma, Remarks on an elliptic equation of Kirchhoff type, Nonlinear Anal., 63 (2005) 1967–1977.
[12] K. Perera and Z. Zhang, Nontrivial solutions of Kirchhoff-type problems via the Yang index, J. Differential Equations, 221 (1) (2006) 246–255.
[13] S. H. Rasouli, Existence of solutions for singular -Kirchhoff type systems with multiple parameters, Electron. J. Differential Equations, 2016 Paper No. 69, 8 pp.