تعیین جواب بهینه معادله تصادفی-مالی فاینمن-کاک بر پایه بسط ژاکوبی و ایرفویل

محورهای موضوعی : حسابداری مالی و حسابرسی

محمد علوی ششتمد ¹ , شادان صدیق بهزادی ²

1 - گروه مدیریت بازرگانی، دانشگاه آزاد اسلامی واحد تهران مرکزی،تهران، ایران
2 - گروه ریاضی و آمار، واحد قزوین،دانشگاه آزاد اسلامی قزوین، ایران

تاریخ دریافت : 1401/04/14 تاریخ پذیرش : 1401/06/16 تاریخ انتشار : 1401/08/20

کلید واژه: پایه متعامد ژاکوپی, پایه متعامد ایرفویل, واژه‌های کلیدی: روش هم محلی, معادله‌ی فاینمن- کاک,

چکیده مقاله :

چکیدهدر این مقاله، معادله فاینمن-کاک را با روش هم محلی با پایه‌های ژاکوپی و ایرفویل، حل می‌کنیم. این معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یکی از معادلات مهم و پرکاربرد تصادفی در ریاضیات مالی است.به دلیل افزایش تقاضادر علوم کاربردی مثل ریاضیات مالی، اقتصاد و پیچیدگی در مدلسازی‌ها، تجزیه و تحلیل و محاسبه داده‌ها، تلاش‌های چشمگیری در جستجوی مدل‌های بهتر ریاضی برای بدست آوردن جواب‌های تقریبی معادلات مدلسازی شده در سال‌های اخیر انجام شده است. به خوبی تشخیص داده شده است که بسیاری از سیستم‌هایی که در دوره جدید با آن روبرو شده‌اند را نمی‌توان تنها با معادلات دیفرانسیل معمولی به روش‌های سنتی و یا مدل معادلات دیفرانسیل تصادفی نشان داد.حالات اینگونه سیستم‌ها دارای دو مؤلفه است، یعنی حالت مداوم و حالت رویداد گسسته. دینامیک گسسته ممکن است برای نشان دادن یک محیط تصادفی یا سایر عوامل تصادفی که نمی‌تواند در مدل‌های معادله دیفرانسیل سنتی نشان داده شود مورد استفاده قرار گیرد.سیستم‌های دینامیکی که در بالا به آنها اشاره شد اغلب به عنوان سیستم ترکیبی شناخته می‌شوند. در نگاه اول، این فرایندها ظاهراً شبیه به فرآیندهای انتشار مشهور هستند. فرمول فاینمن –کاک یکی از روش‌های نوین پیشنهادی برای حل اینگونه از معادلات است.این فرمول روش حلی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل تصادفی ارائه می‌دهد. کاربردهای این فرمول در زمینه‌ی کنترل تصادفی، تأمین ریاضی مالی، تجزیه و تحلیل ریسک و زمینه‌های مرتبط با آن می‌توان نام برد.در این مقاله با پیاده‌سازی روش‌های عددی روی معادله فاینمن-کاک، دستگاه‌های غیرخطی حاصل می‌شود که می‌توان آنها را با روش‌های عددی حل دستگاه‌های غیرخطی، مثل روش تکراری نیوتن حل کرد. وجود، یکتایی جواب و همگرایی روش‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد و در مثالی نشان خواهیم داد که با تعداد تکرار کم و معیار توقف مناسب با سرعت همگرایی بالا به جواب تقریبی معادله همگرا شد و این نشان‌دهنده‌ی دقت بالای جواب تقریبی و سرعت همگرایی روش‌ها ی عددی است.

چکیده انگلیسی:

AbstractIn this paper, we solve the Feynman-Kac equation using the collocation method with Jacobi and Airfoil bases. This partial differential equation is one of the most important and widely used random equations in financial mathematics. Due to the increasing demand in applied sciences such as financial mathematics, economics and complexity in modeling, data analysis and calculation, significant efforts have been made in search of better mathematical models to obtain approximate solutions to the modeled equations in recent years. It is well established that many of the systems encountered in the new era cannot be represented by ordinary differential equations in the traditional way or by the model of random differential equations. This equation offers a solution for quadratic partial differential equations and stochastic differential equations. Applications of this formula in the field of random control, financial mathematics, risk analysis and related fields can be mentioned. In this paper, by applying numerical methods to the Feynman-Kac equation, nonlinear devices are obtained that can be solved by numerical methods for solving nonlinear devices, such as Newton's iterative method.

منابع و مأخذ:

فهرست منابع
محمدرضا نیکبخت ، علی قاسمی، محمد ایمانی، تاثیر خطای پیش بینی سود مدیریت بر پایداری اجزای نقدی و تعهدی سود و ارزشیابی بیش از حد سهام، پژوهش های حسابداری مالی و حسابرسی. دوره 12 ،شماره 46 ،مرداد 1399 ،صفحه 26-1
سید کاظم ابراهیمی، علی بهرامی نسب، صدیقه پروانه، تاثیر رقابت در بازار محصول بر ریسک پذیری سرمایه گذاران، پژوهش های حسابداری مالی و حسابرسی. دوره 10، شماره 40  ، بهمن 1397 ، صفحه 186-171
مهدی دسینه، یداله تاری وردی، فرزانه حیدر پور،تأثیرمعیارهای مبتنی بر حسابداری ویژگی های سود بر ریسک نامطلوب سود، پژوهش های حسابداری مالی و حسابرسی. دوره 11، شمار41، فروردین1398 ، صفحه 153-76

A. LE Aavil, N. Oudjane, F. Russo, Monte-Carlo Algorithms for Forward Feynman-Kac type representation for semilinear nonconservative Partial Differential Equations, Preprint hal, 2017.
A. Lejay, H. M. Gonzalez, A forward-backward probabilistic algorithm for the incompressible  Navier-Stokes equations, hal, 2019.
Ch. Beck, S. Becker, P. Cheridito, Deep splitting method for parabolic PDE Nanyang Technological University, Singapore, 2019.
Crepey .S, Financial Modeling, Springer-Verlag, 2013.
E. C. Waymire, Probability & incompressible Navier-Stokes equations: An overview of
some recent developments, Probab. Surv,5 (2005) 1–32.
F. Antonelli, Backward-forward stochastic differential equations, Ann. Appl, 8 (1993) 777–793.
H. Pham, Feynman-Kac representation of fully nonlinear PDEs and applications.
Acta Mathematica Vietnamica ,4 (2015)  255–269.
J. Ma, J. Yong, Forward-backward stochastic differential equations and their applications,
Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1999.
J. Sun1, D. Nie1, W. Deng, Error estimates for backward fractional Feynman-Kac
equation with non-smooth initial data, Math Na, 2019.
M. Ossiander, A probabilistic representation of solutions of the incompressible Navier-
Stokes equations in R3, Probab. Theory Relat, 2(2005)  267–298.
Michael.J,  Stochastic Calculus and Financial Applications,  Springer New York, 2001. 
P. Cheridito, H. M. Soner, N. Touzi, N. Victoir, Second-order backward stochastic differential equations and fully nonlinear parabolic PDEs, Pure Appl. Math, 3(2007) 1081–1110.
R. N. Bhattacharya, L. Chen, S. Dobson, R. B. Guenther, C. Orum, M. Ossiander,Majorizing kernels and stochastic cascades with applications to incompressible Navier-Stokes equations, Trans. Amer. Math, 2(2003) 5003–5040.
R. P. Feynman, Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Rev. Mod.Phys, 3(1948) 367–387.
S. Benachour, B. Roynette, P. Vallois, Branching process associated with 2d-Navier Stokes equation, Rev. Mat. Iberoam, 5 (2001) 331–373.
Wazwaz. A. M, A First Course in Integral Equations, World Scientific, 2015.
Wazwaz A. M, Linear and Nonlinear Integral Equations,  Methods and Applications Springer, 2011.
X. Mao ,  Stochastic Differential Equations and Their Applications, Horwood Chichester, 1997.
Y. G , Z. C , Hybrid Switching Diffusions , Properties and Applications Springer, New York, 2010.
Y. Le Jan, A. S. Sznitman, Stochastic cascades and 3-dimensional Navier-Stokes equations,Probab, Theory Relat, 1(1997) 343–366.
Y. Zhou , W. Cai , Numerical Solution of the Robin Problem of Laplace Equations with a Feynman-Kac Formula and Reflecting Brownian Motions, 2019.