فرض کنید G یک گروه با عنصر همانیe،R یک حلقه مدرج و M یک R-مدول مدرج باشد. زیرمدول مدرج سره Nاز Mرا یک زیرمدول قویاً اول مدرج گوییم، هرگاه به ازای هر x_g,y_h∈h(M) که ((N+Rx_g):_R⁡M)y_h⊆N، آنگاه x_g∈ Nیا y_h∈N. در این مقاله، مفهوم زیرمدول‌های قویاً اول مدرج که تعمیمی از زیرمدول‌های اول مدرج است را معرفی می‌کنیم سپس برخی مثال‌ها و خاصیت‌های اساسی زیرمدول‌های قویاً اول مدرج را مورد بررسی قرار می‌دهیم و نتایج جدیدی در این خصوص را ارایه می‌کنیم. در واقع در این مقاله نشان می‌دهیم مفاهیم زیرمدول‌های قویاً اول مدرج و زیرمدول‌های اول مدرج با هم متفاوت هستند. در ادامه، زیرمدول‌های قویاً اول مدرج را تحت همریختی، ضرب دکارتی، موضعی‌سازی و مدول‌های خارج‌قسمتی مورد بررسی و مطالعه قرار می‌دهیم. سپس، دو نوع از زیرمدول‌های مدرج از یک مدول ادغام شده در امتداد یک ایده‌آل مدرج را بیان کرده و بررسی می‌کنیم تحت چه شرایطی این نوع زیرمدول‌های مدرج یک زیرمدول قویاً اول مدرج هستند. پرونده مقاله

‎Let $G$ be a group with identity $e$ and $R$ be a commutative $G$-graded ring with nonzero identity‎, ‎$S\subseteq h(R)$ a multiplicatively closed subset of $R$ and $M$ be a graded $R$-module‎. ‎A graded submodule $N$ of $M$ with $(N:_{R}M)\cap S=\emptyset$ is said to be graded $S$-strongly prime if there exists $s\in S$ such that whenever $((N+Rx_{g}):_{R}M)y_{h}\subseteq N$‎, ‎then $sx_{g}\in N$ or $sy_{h}\in N$ for all $x_{g},y_{h}\in h(M)$‎. ‎The aim of this paper is to introduce and investigate some basic properties of the notion of graded $S$-strongly prime submodules‎, ‎especially in graded multiplication modules‎. ‎Moreover‎, ‎we investigate the behaviour of this structure under graded module homomorphisms‎, ‎localizations of graded modules‎, ‎quotient graded modules‎, ‎Cartesian product‎. پرونده مقاله