عملگر ترکیبی وزن دار 𝝀𝑪𝝋 ارگودیک میانگین در فضای بلوچ

محورهای موضوعی : آمار

فخرالدین فلاحت ¹ (گروه ریاضی، واحد شیراز، دانشگاه آزاد اسلامی، شیراز، ایران)
زهرا کمالی ² (گروه ریاضی، واحد شیراز، دانشگاه آزاد اسلامی، شیراز، ایران)

تاریخ دریافت : 1399/09/09 تاریخ پذیرش : 1400/06/18 تاریخ انتشار : 1401/01/01

کلید واژه: Mean ergodic operator, Denjoy-Wolff Point, Bloch space, Weighted composition operator,

چکیده مقاله :

بررسی عملگرهای ترکیبی ارگودیک میانگین در فضاهای متنوع باناخ همواره مورد علاقه ریاضیدانان بوده است و بسیاری از مولفان در سالهای اخیر ، این مسئله را بطور دقیق در فضاهای مختلف، از جمله فضای توابع تحلیلی در دیسک واحد، فضای هاردی و فضای بلوچ، مورد بررسی و واکاوی قرارداده اند.در این مقاله برای یک خودنگاشت φ از دیسک واحد و λ∈ℂ ، عملگر ترکیبی وزندار، (λ𝐶φ)𝑓=λ𝑓𝑜φ برای هر 𝑓 در فضای بلوچ و فضای بلوچ کوچک در نظر می گیریم و به بررسی شرایطی می پردازیم که طی آن عملگر ترکیبی وز ن دار 𝜆𝐶𝜑 ، روی فضاهای باناخ بلوچ و بلوچ کوچک، ارگودیک میانگین و به طور یکنواخت ارگودیک میانگین می باشد. در واقع نشان می دهیم اگر |λ|>1 ، λ𝐶φ نمی تواند کرا ن دار توانی ارگودیک میانگین و به طور یکنواخت ارگودیک میانگین باشد و در مقابل اگر |λ|<1 ، λ𝐶φ همواره کران دار توانی ا رگودیک میانگین و به طور یکنواخت ارگودیک میانگین می باشد و در حالت |λ|=1 ، خواهیم دید که این موضوع ارتباط مستقیمی با نقطه دنجوی - ولف 𝜑 دارد.

چکیده انگلیسی:

Investigating the mean ergodicity of composition operators on various Banach Spaces has always been of interest to mathematicians and many authors studied this topics intensively, in many different spaces, such as, the space of all holomorphic functions on unit disk, Hardy space and Bloch space. In this paper, for a self map of the unit disk, φ and λ∈ℂ, we consider weighted composition operator, (λ𝐶φ)𝑓=λ𝑓𝑜φ , for every 𝑓 in Bloch space and Little Bloch space and inquiry the conditions under which the weighted composition operator 𝜆𝐶𝜑, is mean ergodic or uniformly mean ergodic on the Bloch and Little Bloch Space. In fact, we will show, if |λ|>1,𝜆𝐶𝜑, cannot be power bounded, mean ergodic or uniformly mean ergodic, in contrast, if |λ|<1, 𝜆𝐶𝜑, is always power bounded, mean ergodic or uniformly mean ergodic. In the case, |λ|=1, we will see that it depends directly to the Denjoy-Wolff point of 𝜑.

منابع و مأخذ:

 

[1] J. M. Anderson, Clunie and Ch. Pommerenke, On Bloch functions and normal functions, J. Reine Angew. Math., 279 (1974), 12-37.

 

[2] W. Arendt, I. Chalendar, M. Kumar, S. Srivastava, Asymptotic behavior of the powers of composition operators on Banach spaces of holomorphic functions, Indiana Univ. Math. J., 67 (4) (2018) 1571–1595.

 

[3] W. Arendt, I Chalendar and M Kumar, Powers of composition operators: asymptotic behaviour on Bergman, Dirich-

let and Bloch spaces, J. Australian Math. So., 108(3) (2020) 289-320.

 

[4] M.J. Beltr n Meneu, M.C. G mez-Collado, E. Jord  and D. Jornet, Mean ergodic composition operators on Banach spaces of holomorphic functions, J. Funct. Anal., 270 (12) (2016) 4369–4385.

 

[5] M.J. Beltr n Meneu, M.C. G mez -Collado, E. Jord , and D. Jornet, Mean ergodicity of weighted composition operators on spaces of holomorphic functions, J. Math. Anal. Appl., 444 (2) (2016) 1640–1651.

 

[6] J. Bonet and P. Dom nski, A note on mean ergodic composition operators on spaces of holomorphic functions, Math., RACSAM 105 (2) (2011) 389-396.

 

[7] J. Bonet and W. Ricker, Mean ergodicity of multiplication operators in weighted spaces of holomorphic functions, Arch. Math., 92 (2009) 428–437

 

[8] J. Cima, The basic properties of Bloch functions, Int. J. Math. Math. Sci., 3 (1979) 369-413.

 

[9] C. Cowen and B. MacCluer, Composition Operators on Spaces of Analytic Functions, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.

 

[10] V. P. Fonf, M. Lin and P. Wojtaszczyk, Ergodic characterizations of reflexivity in Banach spaces, J. Funct. Anal., 187 (2001) 146-162.

 

[11] E. Jord  and A. Rodr guez-Arenas, Ergodic properties on Banach spaces of analytic functions, J. Math. Ana. App., 486(1) (2020) 1-22.

 

[12] U. Krengel, Ergodic Theorems, De Gruyter, Berlin, 1985.

 

[13] M. Lin, On the uniform ergodic theorem, Proc. Amer. Math. Soc., 43(2) (1974) 337–340.

 

[14] E.R. Lorch, Means of iterated transformations in reflexive vector spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 45 (12) (1939) 945-947.

 

[15] H.P. Lotz, Uniform convergence of operators on  and similar spaces, Math. Z., 190 (1985) 207–220.

 

[16] K. Madigan and A. Matheson, Compact composition operators on the Bloch space, Trans. Amer. Math. Soc., 347 (7) (1995) 2679—2687. 

[17] V. Neumann J, Proof of the quasi-ergodic hypothesis, Proc. Natl. Acad. Sci., USA, 18(1) (1932) 70-82. 

 

[18] K. Petersen, Ergodic theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2. Cambridge University Press, Cambridge, 1983.  

 

[19] J.H. Shapiro, Composition Operators and Classical Function Theory, Springer, Berlin, 1993.

 

[20] E. Wolf, Power bounded composition operators, Comput. Methods Funct. Theory, 12 (1) (2012) 105–117.

 

[21] C. Xiong, Norm of composition operators on the Bloch space, Bull. Austral. Math. Soc., 70 (2004), 293-299.

 

[22] K. Yosida, Mean ergodic theorem in Banach spaces, Proc. Imp. Acad., 14 (8) (1938) 292–294.

 

[23] K. Yosida and S. Kakutani, Operator-theoretical treatment of Markoff’s process and mean ergodic theorem