زیرمدول‌های قویاً اول مدرج به‌روی حلقه‌های جابجایی مدرج

محورهای موضوعی : جبر

فرخنده فرضعلی پور ¹ (دانشگاه پیام نور، دانشکده علوم پایه، گروه ریاضی، تهران، ایران)
پیمان غیاثوند ² (دانشگاه پیام نور، دانشکده علوم پایه، گروه ریاضی، تهران، ایران)
معصومه هزارجریبی ³ (دانشگاه پیام نور، دانشکده علوم پایه، گروه ریاضی، تهران، ایران)

تاریخ دریافت : 1401/06/30 تاریخ پذیرش : 1401/10/20 تاریخ انتشار : 1402/10/28

کلید واژه: Graded prime submodule, graded strongly semiprime submodule, graded strongly prime submodule,

چکیده مقاله :

فرض کنید G یک گروه با عنصر همانیe،R یک حلقه مدرج و M یک R-مدول مدرج باشد. زیرمدول مدرج سره Nاز Mرا یک زیرمدول قویاً اول مدرج گوییم، هرگاه به ازای هر x_g,y_h∈h(M) که ((N+Rx_g):_R⁡M)y_h⊆N، آنگاه x_g∈ Nیا y_h∈N. در این مقاله، مفهوم زیرمدول‌های قویاً اول مدرج که تعمیمی از زیرمدول‌های اول مدرج است را معرفی می‌کنیم سپس برخی مثال‌ها و خاصیت‌های اساسی زیرمدول‌های قویاً اول مدرج را مورد بررسی قرار می‌دهیم و نتایج جدیدی در این خصوص را ارایه می‌کنیم. در واقع در این مقاله نشان می‌دهیم مفاهیم زیرمدول‌های قویاً اول مدرج و زیرمدول‌های اول مدرج با هم متفاوت هستند. در ادامه، زیرمدول‌های قویاً اول مدرج را تحت همریختی، ضرب دکارتی، موضعی‌سازی و مدول‌های خارج‌قسمتی مورد بررسی و مطالعه قرار می‌دهیم. سپس، دو نوع از زیرمدول‌های مدرج از یک مدول ادغام شده در امتداد یک ایده‌آل مدرج را بیان کرده و بررسی می‌کنیم تحت چه شرایطی این نوع زیرمدول‌های مدرج یک زیرمدول قویاً اول مدرج هستند.

چکیده انگلیسی:

Let G be a group with identity e, R a graded ring and M a graded R-module. ‎A‎ proper graded submodule ‎ N of ‎ M ‎is said ‎‎to ‎be‎ graded strongly ‎‎prime,‎ if we have ((N+Rx_g):_R⁡M)y_h⊆N, then x_g∈ N or y_h∈N ‎‎for all x_g,y_h∈h(M)‎‎‎‎‎. In this paper, we introduce the concept of graded strongly prime submodules as a generalization of graded prime submodules and we investigate some examples and basic properties of graded strongly prime submodules and state new results in this regard. In fact, in this article we show that the concept of graded strongly prime submodules is different from the concept of graded prime submodules. In continuing, we study the behavior of this structure module homomorphis, localization, quotient modules, Cartesian product. Finally, we state two kind of graded submodules of the amalgamation module along a graded ideal and investigate conditions under which they are graded strongly prime.

منابع و مأخذ:


[1] R. Abu-Dawwas, ‎M. Bataineh. ‎Graded prime submodules over non-commutative rings. ‎Vietnam J‎. ‎Math.‎ ‎46(3): 681-692‎(2018).‎‎

[2] ‎S. Ebrahimi Atani, F. Farzalipour‎. ‎‎On graded secondary modules‎. ‎Turk‎. ‎J‎. ‎Math.‎ ‎31: ‎371-378(2007)‎.

[3] J. ‎Escoriza, B. T‎orrecillas‎‎‎. ‎‎‎Multiplication ‎objects in commutative grothendieck categories‎‎. ‎Comm. Algebra‎‎‎ ‎26‎(‎6‎): ‎1867‎-‎1883(‎1998‎)‎‎‎.

[4] ‎F. Farzalipour, P. Ghiasvand‎. ‎On the union of graded prime submodules‎. ‎Thai‎. ‎J‎. ‎Math.‎ 9(1): ‎49-55(2011)‎‎.

[5] ‎F. Farzalipour, P. Ghiasvand‎, ‎M. Adlifard.‎ On graded weakly semiprime submodules‎‎. Thai‎. ‎J‎. Math.‎ 12(1): ‎167-174(2014)‎‎.

[6] ‎P. Ghiasvand, F. Farzalipour ‎.‎‎ Graded semiprime submodules over non-commutative graded rings‎. ‎J. Algebraic System‎ 10(1):95-110(2022)‎‎.

[7] P. Ghiasvand, F. ‎Farzalipour.‎ ‎‎On graded weak multiplication modules‎‎. ‎Tamkang J‎. ‎Math.‎ ‎43(2): ‎171-177‎(2012)‎.

[8] K. Hakan Oral, U. Tekir, A. G. ‎‎ Ag‎‎‎arg‎u‎‎‎‎‎n‎‎‎‎‎. On graded prime and primary submodules. ‎Turk. J. ‎Math.‎ ‎35:‎ ‎1‎59-167‎‎(2011)‎.

[9] N. Nastasescu, F. ‎Van Oystaeyen, ‎Graded Rings Theory‎. ‎Mathematical Library 28‎, ‎North Holand‎, ‎Amsterdam‎, ‎(19‎82‎)‎.

[10] ‎N Nastasescu, F. ‎Van Oystaeyen‎, ‎Methods of Graded Rings‎. Lecture Notes in Mathematics, ‎vol‎. ‎1836‎. ‎Springer‎, (2004).

[11] M. Refaei, K. ‎Alzobi‎. ‎On graded primary ideals. Turk‎. ‎J‎. ‎Math.‎ 28(3): ‎217-229(2004)‎‎.

متن کامل:



 

 

زیرمدول‌های قویاً اول مدرج به‌روی حلقه‌های جابجایی مدرج

 

 

 

 

تاريخ ارسال مقاله:             تاريخ پذيرش مقاله:

چکيده

فرض کنید  یک گروه با عنصر همانی، یک حلقه مدرج و  یک -مدول مدرج باشد. زیرمدول مدرج سره  از  را یک زیرمدول قویاً اول مدرج گوییم، هرگاه به  ازای هر  که ، آنگاه  یا .  در این مقاله، مفهوم زیرمدول‌های قویاً اول مدرج که تعمیمی از زیرمدول‌های اول مدرج است را معرفی می‌کنیم سپس برخی مثال‌ها و خاصیت‌های اساسی زیرمدول‌های قویاً اول مدرج را مورد بررسی قرار می‌دهیم و نتایج جدیدی در این خصوص را ارایه می‌کنیم. در واقع در این مقاله نشان می‌دهیم مفاهیم زیرمدول‌های قویاً اول مدرج و زیرمدول‌های اول مدرج با هم متفاوت هستند. در ادامه، زیرمدول‌های قویاً اول مدرج را تحت همریختی، ضرب دکارتی، موضعی‌سازی و مدول‌های خارج‌قسمتی مورد بررسی و مطالعه قرار می‌دهیم. سپس، دو نوع از زیرمدول‌های مدرج از یک مدول ادغام شده در امتداد یک ایده‌آل مدرج را بیان کرده و بررسی می‌کنیم تحت چه شرایطی این نوع زیرمدول­های مدرج یک زیرمدول قویاً اول مدرج هستند.

واژه‌هاي کليدي: زیرمدول اول مدرج، زیرمدول قویاً اول مدرج، زیرمدول قویاً نیم‌اول مدرج

 

 

1- مقدمه و پیش‌نیازها

مفهوم مدرج کردن در جبر، به‌ویژه در مدول‌های مدرج در مطالعه‌ی جنبه‌های همولوژیکی حلقه‌ها ضروری هستند. در بیشتر موارد برای توسعه جبر جابجایی بر حلقه‌های مدرج تاکید دارند. حلقه‌های مدرج در هندسه جبری و جبر جابجایی نقش اساسی دارند. مدرج‌سازی چه در سطح مقدماتی و چه در سطح پیشرفته برای علوم ریاضی کاربرد دارد ([10] و [11]). در سال‌های اخیر، حلقه‌ها و مدول‌ها با ساختارهای مدرج به‌طور گسترده مورد مطالعه قرار گرفته است ([1]، [4]، [5]، [6]، [8] و [9]).

در سراسر این مقاله همه حلقه‌ها، حلقه‌های جابجایی مدرج یکدار و همه مدول‌ها، مدول‌های مدرج یکانی هستند.

فرض کنید  یک گروه با عنصر همانی و یک حلقه باشد. در این‌صورت  را یک حلقه -مدرج گوییم، هرگاه ، به‌طوری‌که برای هر،   یک زیرگروه جمعی از  است و به ازای هر دو عنصر داشته باشیم . عناصر  را همگن از درجه گوییم. اگر، آنگاه می‌توان را به‌صورت یکتایی به فرم نوشت. بعلاوه، یک زیرحلقه  است و اگر، آنگاه . همچنین، . ایده‌آل  از حلقه مدرج  یک ایده‌آل مدرج است، هرگاه

 

به‌عبارتی برای هر ، که در آن برای هر،. فرض کنید  یک ایده‌آل مدرج  باشد. در این‌صورت رادیکال مدرج  را که با نماد  نمایش می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

 

ایده‌آل مدرج سره از حلقه مدرج را یک ایده‌آل اول مدرج (اولیه مدرج) می‌گوییم، هرگاه به ازای هر  که ، آنگاه  یا  () رجوع شود به [12]. مجموعه تمام ایده‌آل‌های اول مدرج  را با نماد  نشان می‌دهیم. حلقه مدرج  را اول مدرج (اولیه مدرج) گوییم، هرگاه ایده‌آل مدرج صفر، ایده‌آل اول مدرج (اولیه مدرج) باشد. ایده‌آل مدرج سره از حلقه مدرج  را یک ایده‌آل نیم‌اول مدرج گوییم، هرگاه به ازای هر  و  که، آنگاه . فرض کنید  یک حلقه مدرج و  یک -مدول باشد. در این‌صورت یک -مدول مدرج است، هرگاه به ازای هر ،

،

 و برای ،   یک زیرگروه جمعی است. واضح است  یک-مدول است. همچنین، . فرض کنید  یک زیرمدول -مدول مدرج  باشد. در این‌صورت یک زیرمدول مدرج از  است، هرگاه

 

به‌عبارت دیگر برای هر،  که در آن برای هر ، . بعلاوه،  یک -مدول خارج‌قسمتی مدرج با -مؤلفه به‌صورت

 

است.

مثال: فرض کنید  و .-مدول  را در نظر بگیرید. در این‌صورت  یک حلقه مدرج با زیرگروه‌های  و یک مدول مدرج با . همچنین فرض کنید . در این‌صورت یک زیرمدول است. اما  یک زیرمدول مدرج از نیست، زیرا  ولی  و .

 زیرمدول مدرج سره  از -مدول مدرج  را اول (اولیه) مدرج گوییم، هرگاه به ازای هر  و  که ، آنگاه

یا  (). زیرمدول مدرج سره  از -مدول مدرج  را نیم‌اول مدرج گوییم، هرگاه به ازای هر

،  و

به‌طوری‌که ، آنگاه ، رجوع شود به [7]. -مدول مدرج  را با مولد متناهی مدرج گوییم، هرگاه عناصر

 

موجود باشند به‌طوری‌که

.

فرض کنید  و  دو حلقه -مدرج باشند، در این‌صورت  یک حلقه -مدرج با     -مؤلفه

 

می‌باشد. حال فرض کنید  یک -مدول مدرج و  یک -مدول مدرج باشد. در این‌صورت

 

یک -مدول مدرج است به‌طوری که به ازای هر

،.

 فرض کنید

 و

دو -مدول-مدرجباشند. در این‌صورت تابع ، یک همریختی مدرج است، هرگاه

(1) به ازای هر ، 

.

(2) به ازای هر  و ،  

.

   (3) به ازای هر  ، .

فرض کنید  یک -مدول مدرج و   یک زیرمجموعه بسته ضربی  باشد. در این‌صورت  یک -مدول مدرج با مولفه‌های  

 

و

 

می‌باشند. 

در این مقاله، ابتدا مفهوم زیرمدول‌های قویاً اول مدرج که تعمیمی از زیرمدول‌های اول مدرج هستند را بیان می­کنیم و برخی خاصیت‌های اساسی از این نوع زیرمدول‌ها را مورد مطالعه قرار می‌دهیم. در ادامه، رفتار زیرمدول‌های قویاً اول مدرج را تحت همریختی، ضرب دکارتی، موضعی‌سازی و مدول‌های خارج‌قسمتی مورد بررسی قرار داده و نتایجی را در این زمینه‌ها ارایه می‌کنیم.

 

2. زیرمدول‌های قویاً اول مدرج

در این بخش، زیرمدول‌های قویا‌ً اول مدرج و زیرمدول‌های قویاً نیم‌اول مدرج را معرفی می‌کنیم و خاصیت‌های چنین زیرمدول‌های مدرج را مورد بررسی و مطالعه قرار می‌دهیم. همچنین، ارتباط بین زیرمدول‌های اول مدرج و زیرمدول‌های قویاً اول مدرج را بیان می‌کنیم.

تعریف 1: فرض کنید  یک -مدول مدرج باشد. زیرمدول مدرج سره  از  را یک زیرمدول قویاً اول مدرج گوییم، هرگاه به ازای هر ، اگر داشته باشیم

،

آنگاه  یا .

تذکر: اگر  را به عنوان یک -مدول مدرج در نظر بگیریم، آنگاه زیرمدول‌های قویاً اول مدرج ، دقیقاً ایده‌آل‌های اول مدرج حلقه مدرج  هستند.

تعریف 2: فرض کنید  یک -مدول مدرج باشد. زیرمدول مدرج سره  از  را یک زیرمدول قویاً نیم اول مدرج گوییم، هرگاه به ازای هر  به‌طوری‌که ، آنگاه .

گزاره 3: فرض کنید  یک -مدول مدرج باشد. در این صورت گزاره‌های زیر برقرارند.

   (1) هر زیرمدول‌ قویاً اول مدرج، اول مدرج است.

   (2) هر زیرمدول‌ قویاً اول مدرج، قویاً نیم اول مدرج است.

   (3) هر زیرمدول‌ ماکسیمال مدرج، قویاً اول مدرج است.

اثبات: (1) فرض کنید  یک زیرمدول‌ قویاً اول مدرج  باشد. فرض کنید  به‌طوری‌که  و . نشان می‌دهیم . فرض کنید . لذا  را می‌توان به فرم  نوشت که در آن . بنابراین به ازای هر ، داریم:

 

 

از این‌که  و  یک زیرمدول‌ قویاً اول مدرج  است، در نتیجه ، بنابراین. لذا ، بنابراین  یک زیرمدول اول مدرج  است.

(2) اثبات بدیهی است.

(3) فرض کنید  یک زیرمدول‌ ماکسیمال مدرج از  باشد و  به‌طوری‌که

  و .   در نتیجه . بنابراین

  و لذا .

در مثال زیر، نشان می‌دهیم که هر زیرمدول اول مدرج لزوماً یک زیرمدول قویاً اول مدرج نیست و این نشان می‌دهد که این دو مفهوم از لحاظ ساختاری با هم متفاوت هستند.

مثال 4: فرض کنید  یک حلقه -مدرج بدیهی و  یک -مدول -مدرج با مولفه‌های  و  باشد. زیرمدول مدرج  را با مولفه‌های  و   در نظر بگیرید. در این‌صورت  یک زیرمدول اول مدرج  است ولی یک زیرمدول قویاً اول مدرج  نیست، زیرا 

 

 و

،

 اما    و .

گزاره 5: فرض کنید  یک مدول مدرج روی یک میدان مدرج  و یک زیرمدول مدرج سره از باشد.  یک زیرمدول‌ ماکسیمال مدرج است اگر و تنها اگر  یک زیرمدول قویا اول مدرج از مدول   باشد.

اثبات: بنا به قسمت 3 از گزاره 3، هر زیرمدول‌ ماکسیمال مدرج  قویاً اول مدرج است. برعکس، (برهان خلف) فرض کنید  یک زیرمدول‌ قویاً اول مدرج باشد به‌طوری‌که ماکسیمال مدرج نیست. در این‌صورت

 

  موجود است به طوری که . فرض کنید . حال می‌توان نوشت  که در آن . حال به ازای هر ، داریم:  

، چون یک زیرمدول‌ قویاً اول مدرج است و، . بنابراین  و در نتیجه  که 

متناقض با سره بودن   است.

تعریف 6: فرض کنید یک-مدول مدرج و یک ایده‌آل مدرج  باشد. زیرمدول مدرج  از را             -ماکسیمال مدرج گوییم، هرگاه   و اگر   یک زیرمدول مدرج شامل  باشد به‌طوری‌که  ، آنگاه .

لم 7: فرض کنید  یک -مدول مدرج و  یک زیرمدول مدرج از باشد. در این‌صورت اگر  یک زیرمدول -ماکسیمال مدرج و  یک ایده‌آل اول مدرج باشد، آنگاه  یک زیرمدول اول مدرج است.

اثبات: فرض کنید  به‌طوری‌که  و . بنابراین 

 

به‌طور سره شامل  است و لذا   به‌طور سره شامل  است. فرض کنید . برای نشان دادن ، فرض کنید . بنابراین  و  موجود است به‌طوری‌که

 . بنابراین  و . از این‌که  یک ایده‌ال اول مدرج است، پس . در نتیجه  یک زیرمدول اول مدرج است.

قضیه 8: فرض کنید  یک زیرمدول مدرج از  -مدول مدرج  باشد. در این‌صورت عبارت‌های زیرمعادلند:

   (1)  یک زیرمدول‌ قویاً اول مدرج  است.

   (2)  یک زیرمدول‌ قویاً نیم اول مدرج  است و یک زیرمدول اول مدرج است.

   (3)  یک زیرمدول‌ قویاً نیم اول مدرج  است و  یک ایده‌آل اول مدرج  است.

   (4)  یک زیرمدول -ماکسیمال مدرج است و  یک ایده‌آل اول مدرج  است.

اثبات: (1) (2) بنا به گزاره 3 برقرار است.

(2) (3) اگر یک زیرمدول اول مدرج باشد، آنگاه  یک ایده‌آل اول مدرج است [3].

(3) (4) فرض کنید یک زیرمدول‌ مدرج از شامل  باشد به‌طوری‌که . فرض کنید . به ازای هر ،  و در نتیجه

 

 

بنابراین

،

 لذا

.

حال چون یک زیرمدول قویاً نیم‌اول مدرج است، پس. بنابراین . در نتیجه  و اثبات تمام است.

(4) (1) فرض کنید . حال چون ، -ماکسیمال مدرج است و یک ایده‌آل اول مدرج است، بنا به لم 7،  یک زیرمدول اول مدرج است. فرض کنید  به‌طوری‌که

 و .

در این‌صورت

 

و از این‌که

 

 بنابراین

.

چون ، -ماکسیمال مدرج است،

 

و در نتیجه  یک زیرمدول‌ قویاً اول مدرج  است.

تذکر: یک ایده‌آل نیم‌اول مدرج است اگر و فقط اگر .

گزاره 9: فرض کنید  یک زیرمدول مدرج از -مدول مدرج  باشد. در این‌صورت  یک زیرمدول‌ قویاً نیم اول مدرج از  است اگر و فقط اگر  یک ایده‌آل نیم‌اول مدرج و  یک زیرمدول -ماکسیمال مدرج است.

اثبات: فرض کنید  یک زیرمدول‌ قویاً نیم اول مدرج  باشد و  یک ایده‌آل نیم‌اول مدرج نباشد. در این‌صورت . لذا  موجود است به‌طوری‌که . فرض کنید  کوچکترین عدد مثبتی باشد که . فرض کنید . بنابراین

 

و در نتیجه

 

 لذا داریم:

 

 

چون  یک زیرمدول‌ قویاً نیم اول مدرج  است، لذا  که این یک تناقص است. پس  یک ایده‌آل نیم‌اول مدرج است. حال نشان می‌دهیم  یک زیرمدول -ماکسیمال مدرج است. فرض کنید  یک زیرمدول‌ مدرج  شامل   باشد به‌طوری‌که . فرض کنید   یک عنصر دلخواه  باشد. لذا می‌توان نوشت

 

که در آن . در این‌صورت به ازای هر  ، خواهیم داشت

 

لذا

 

 

چون  یک زیرمدول‌ قویاً نیم‌اول مدرج  است، پس  ، بنابراین . در نتیجه  و یک زیرمدول -ماکسیمال مدرج است. برعکس، فرض کنید  به‌طوری‌که

‌

و

.

لذا

 

 

پس. در نتیجه

 

و بنابراین

 

 

 

لذا با توجه به فرض داریم . بنابراین ، در نتیجه .

نتیجه 10: فرض کنید  یک خانواده از زیرمدول‌های-قویاً اول مدرج -مدول مدرج  باشد. در این‌صورت یک زیرمدول قویاً نیم‌اول مدرج است اگر و فقط اگر برای هر ، .

اثبات: فرض کنید . داریم

 

 

چون  یک زیرمدول قویاً نیم‌اول مدرج است، لذا بنا به قضیه 8، یک زیرمدول -ماکسیمال مدرج است و از این‌که  و با توجه به

،

نتیجه می‌گیریم . اثبات برعکس بدیهی است.  

نتیجه 11: فرض کنید  یک حلقه مدرج باشد. در این‌صورت گزاره‌های زیر معادلند:

   (1)  یک زنجیر است.

   (2)  هر زیر مدول قویاً نیم‌اول مدرج از یک-مدول مدرج، قویاً اول مدرج است.

اثبات: (1) (2) چون  اشتراک یک زنجیر از ایده‌آل‌های اول مدرج است، پس

  

با یک ایده‌آل اول مدرج برابر است. در نتیجه بنا به قضیه 8،  یک زیرمدول قویاً اول مدرج است.

(2) (1) فرض کنید  ایده‌آل‌های اول مدرج  باشند. در این‌صورت

 

پس  یک ایده‌آل نیم‌اول مدرج است، لذا بنا به فرض یک ایده‌آل اول مدرج است. حال اگر                 ، آنگاه عناصر  موجودند‌که. لذا

  اما  و همچنین   که این یک تناقض است و در نتیجه  یک زنجیر است.

 مجموعه‌های زیر را در نظر بگیرید.

 

و

 

حال در لم زیر یک مشخصه از حلقه‌های اولیه مدرج را به‌دست می‌آوریم.

لم 12: فرض کنید  یک حلقه مدرج باشد. در این‌صورت گزاره‌های زیر معادلند:

   (1) .

   (2)  یک ایده‌آل اول مدرج است.

   (3)  یک حلقه اولیه مدرج است.

اثبات: (1) (2) فرض کنید . در این‌صورت  موجود است که . فرض کنید  کوچکترین عدد مثبتی باشد به‌طوری‌که . لذا  و ، در نتیجه . حال نشان می‌دهیم  یک ایده‌آل اول مدرج است. فرض کنید  و . در این‌صورت   موجود است به‌طوری‌که  و از این‌که ، بنابراین  .

 (2) (3) فرض کنید  و . در این‌صورت . از طرفی چون ، پس  موجود است که . در نتیجه صفر یک ایده‌آل اولیه مدرج  است.

(3) (1) فرض کنید . در این‌صورت   موجود است ‌که . چون  یک حلقه اولیه مدرج است، پس  موجود است به‌طوری‌که  و در نتیجه .

تعریف 13: -مدول مدرج  را بخش‌پذیر مدرج گوییم، هرگاه به ازای هر ، .

قضیه 14: فرض کنید  یک حلقه اولیه مدرج،  یک -مدول بخش‌پذیر مدرج و  یک زیرمدول مدرج  باشد. در این‌صورت گزاره‌های زیر معادلند:

   (1)  یک زیرمدول ماکسیمال مدرج است.

   (2)  یک زیرمدول قویاً اول مدرج است.

   (3)  یک زیرمدول قویاً نیم‌اول مدرج است.

   (4) یک زیرمدول ماکسیمال مدرج و  تنها ایده‌آل اول مدرج  است.

اثبات: (1) (2) (3) بنا به گزاره 3 برقرار است.

 (3) (4) فرض کنید  یک زیرمدول قویاً نیم‌اول مدرج و  یک زیرمدول مدرج سره  شامل  باشد. نشان می‌دهیم . برای این منظور فرض کنید

.

 از این‌که  یک ایده‌آل نیم‌اول مدرج است و

 ، پس ، بنابراین

.

 لذا  

 

 

 و در نتیجه . چون  یک -مدول بخش‌پذیر مدرج است، پس  و لذا  که این یک تناقض است. در نتیجه  و بنا به قضیه 8،  یک زیرمدول -ماکسیمال مدرج است. لذا     ، بنابراین  یک زیرمدول ماکسیمال مدرج است و لذا  یک ایده‌آل ماکسیمال مدرج است. حال فرض کنید . چون  یک -مدول بخش‌پذیر مدرج است، پس  و این غیرممکن است. در نتیجه برای هر ایده‌آل اول مدرج  از ، داریم

 

چون  یک ایده‌آل ماکسیمال مدرج است، لذا  تنها ایده‌آل اول مدرج  است.

(4) (1) بدیهی است.

تعریف 15: یک -مدول مدرج  را یک مدول ویژه مدرج گوییم، هرگاه برای هر ایده‌آل ماکسیمال مدرج ، و هر عنصر همگن  و همچنین ، عناصر  و  موجود است به‌طوری‌که .

لم 16: فرض کنید  یک زیرمدول مدرج از -مدول مدرج  باشد و . در این‌صورت گزاره‌های زیر برقرارند:

   (1)  یک زیرمدول ماکسیمال مدرج است اگر و فقط اگر  یک زیرمدول قویاً اول مدرج و  یک ایده‌آل ماکسیمال مدرج است.

   (2) اگر  یک ایده‌آل ماکسیمال مدرج باشد، آنگاه یک زیرمدول قویاً اول مدرج (ماکسیمال مدرج) شامل موجود است.

اثبات: (1) باتوجه به قضیه 8، حکم برقرار است.

(2) بدیهی است که   یک مدول مدرج روی میدان مدرج است. در این‌صورت  یک زیرفضای ماکسیمال مدرج   است. لذا  یک زیرمدول ماکسیمال مدرج شامل  است و چون ، در نتیجه .

گزاره 17: فرض کنید  یک -مدول ویژه مدرج باشد. در این‌صورت هر زیرمدول قویاً اول مدرج، یک زیرمدول ماکسیمال مدرج است.

اثبات: فرض کنید  یک زیرمدول قویاً اول مدرج و  یک ایده‌آل ماکسیمال مدرج  شامل  باشد. فرض کنید  و . در این‌صورت  که . حال فرض کنید . چون  یک -مدول ویژه مدرج است،  و  موجود است به‌طوری‌که . لذا . چون یک زیرمدول اول مدرج است و  و ، بنابراین خواهیم داشت . لذا نتیجه می‌گیریم    

.

بنابراین  یک ایده‌آل ماکسیمال مدرج است. لذا بنا به لم 16،  یک زیرمدول ماکسیمال مدرج است.

 

3. همریختی، ضرب دکارتی و موضعی‌سازی زیرمدول‌های قویاً اول مدرج

دراین بخش، زیرمدول‌های قویاً اول مدرج را تحت همریختی، ضرب دکارتی و موضعی‌سازی مدول‌های مدرج مورد بررسی و مطالعه قرار می‌دهیم.

قضیه 18: فرض کنید  یک -همریختی از مدول‌های مدرج باشد. در این‌صورت

   (1) اگر یک زیرمدول قویاً اول مدرج  باشد، آنگاه  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است.

   (2) اگر  پوشا و  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  شامل  باشد، آنگاه  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است.

اثبات: فرض کنید  به‌طوری‌که

 

در این‌صورت

 

حال چون  یک تابع همریختی است، پس

.

حال نشان می‌دهیم

 

 

 فرض کنید . لذا . چون ، بنابراین

 

و در نتیجه . به‌ وضوح دیده می‌شود که

 

و لذا ، بنابراین . از این‌که یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است، پس  یا . در نتیجه

  یا .

(2) فرض کنید   به‌طوری باشد ‌که . چون پوشاست، عناصر همگن  

موجودند که‌.

 بنابراین

 

واضح است که

 

پس  و                                              ، چون یک زیرمدول قویاً اول مدرج است، لذا  یا . در نتیجه   یا .

گزاره 19: فرض کنید زیرمدول‌های مدرج -مدول مدرج  باشند به‌طوری‌که . در این‌صورت

   (1) اگر  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  باشد، آنگاه  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است.

   (2) یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است اگر و تنها اگر  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  -مدول مدرج  است.

اثبات: (1) تکریختی  با ضابطه               را در نظر بگیرید. لذا ، در نتیجه حکم بنا به قضیه 18، برقرار است.

(2) فرض کنید  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  باشد.

همریختی طبیعی  با ضابطه      را در نظر بگیرید. در این‌صورت پوشاست و. لذا بنا به قضیه 18،  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است.برعکس، فرض کنید   یک زیرمدول قویاً اول مدرج  باشد. فرض کنید  به‌طوری‌که . در این ‌صورت رابطه زیر را داریم:

 

 

بنابراین

 

 

چون  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است، پس

 یا . در نتیجه یا  و بنابراین یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است.

قضیه 20: فرض کنید یک-مدول مدرج و همچنین  یک زیرمجموعه بسته ضربی باشد. در این‌صورت  یک زیرمدول قویاً اول مدرج است و  اگر و تنها اگر  یک زیرمدول قویاً اول مدرج است.

اثبات: () فرض کنید

 

به‌طوری‌که

.

 نشان می‌دهیم . اگر ، آنگاه به ازای هر  ،. لذا

 

 

بنابراین

،

 لذا  و  موجودند به‌طوری‌که

 

و در نتیجه . از طرفی چون                  ، پس  و از این‌که یک زیرمدول اول مدرج است،  و لذا، در نتیجه خواهیم داشت  ، لذا  یا . بنابراین  یا .

() فرض کنید یک زیرمدول قویاً اول مدرج  باشد. در این‌صورت چون ، پس . فرض کنید  به‌طوری‌که . در

این‌صورت داریم:

 

چون  یک زیرمدول قویاً اول مدرج است،  یا . چون یک زیرمدول اول مدرج است، پس  یا . در نتیجه  یک زیرمدول قویاً اول مدرج است.

تذکر: ایده‌آل‌های اول مدرج حلقه

 

به فرم

  است که  یک ایده‌آل اول مدرج  است.

قضیه 21: فرض کنید

 

 یک -مدول مدرج باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر  ،  یک -مدول مدرج است. در این‌صورت زیرمدول مدرج  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است اگر و تنها اگر  موجود باشد به‌طوری‌که  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است و برای هر  ، .

اثبات: فرض کنید  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  باشد. بنابراین  یک ایده‌آل اول مدرج  است. لذا داریم

           

 

درنتیجه  موجود است به‌طوری‌که  یک ایده‌آ‌ل اول مدرج  است و برای هر ، . حال نشان می‌دهیم  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است. فرض کنید  یک زیرمدول مدرج شامل  باشد به‌طوری‌که . حال فرض کنید

 . لذا . چون  یک زیرمدول قویاً اول مدرج است و ، لذا . در نتیجه

 . بنابراین  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است. اثبات برعکس واضح است.

یادآوری: ایده‌]ل‌های مدرج  را هم‌اول مدرج گوییم، هرگاه .

قضیه 22: فرض کنید ایده‌آل مدرج صفر یک تجزیه اولیه هم‌اول مدرج داشته باشد. اگر  یک -مدول تقسیم‌پذیر مدرج باشد، آنگاه هر زیرمدول قویاً اول مدرج، یک زیرمدول ماکسیمال مدرج است.

اثبات: اگر ایده‌آل مدرج صفر، اولیه مدرج باشد، آنگاه بنا به قضیه 14، حکم برقرار است. حال فرض کنید 

 

یک تجزیه اولیه هم‌اول مدرج از ایده‌آل صفر باشد. همریختی مدرج طبیعی

 

 با ضابطه  را در نظر بگیرید. چون  و ها هم‌اول مدرج هستند،  یک یکریختی مدرج است. بنابراین بدون از دست دادن کلیت برهان می‌توان فرض کرد

  که در آن ها حلقه‌های اولیه مدرج هستند. قرار دهید

 

 

 

.

به‌آسانی دیده می‌شود که ها یک -مدول مدرج هستند و

.

 لذا می‌توان فرض کرد  یک -مدول تقسیم‌پذیر مدرج است و هر   یک -مدول مدرج است. به‌طور معادل، برای هر  داریم:

     (الف)  اگر و تنها اگر  برای بعضی  

اگر و تنها اگر

 

  اگر و تنها اگر 

 

    (ب)  اگر و تنها اگر

.

چون یک -مدول تقسیم‌پذیر مدرج است، آنگاه   یک -مدول تقسیم‌پذیر مدرج است. به‌طور مشابه، برای هر ،  یک -مدول تقسیم‌پذیر مدرج است. فرض کنید  یک زیرمدول مدرج  باشد. در این‌صورت   به فرم  است که  یک زیرمدول مدرج   است. فرض کنید  یک زیرمدول   شامل  با   باشد. فرض کنید

 . چون ،  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است و ، لذا بنابه قضیه 8، به‌دست می‌آوریم ، در نتیجه . با توجه به قضیه 8،  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است. از این‌که   یک حلقه اولیه مدرج است، بنابه قضیه 14،  یک زیرمدول ماکسیمال مدرج  است. بنابراین

 

یک زیرمدول ماکیسمال مدرج  است.

تعریف 23: فرض کنید  یک حلقه مدرج و یک ایده‌آل مدرج  و  یک-مدول مدرج باشد. زیرحلقه

 

از حلقه مدرج  یک حلقه مدرج با

 

 و

 

که ادغام شده تکرار  در امتداد ایده‌آل مدرج  نامیده می‌شود. بعلاوه، تکرار -مدول  مدرج  در امتداد ایده‌آل مدرج  به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

 

که یک -مدول مدرج با

 

و

 

و همچنین ضرب اسکالر به‌ صورت زیر تعریف می‌شود:

برای ،   و ؛  

فرض کنید  یک زیرمدول مدرج از یک-مدول مدرج  و   یک ایده‌آل مدرج  باشد. در این‌صورت  

 

 

زیرمدول‌های مدرج  هستند.

فرض کنید  یک همریختی حلقه‌ای مدرج،  یک ایده‌آل مدرج از،  یک-مدول  مدرج،  یک-مدول  مدرج و   یک  همریختی باشد. زیرحلقه مدرج

 

از حلقه مدرج  ادغام  و  در امتداد  نامیده می‌شود. ادغام  و  در امتداد با ترتیب   به‌صورت

 

تعریف می‌شود که یک-مدول مدرج با ضرب اسکالر زیر است.

 

برای زیرمدول مدرج  از  و  از ، به‌وضوح زیرمجموعه‌های

 

و

 

زیرمدول‌های مدرج   هستند.

توجه کنید   ، ،  و ، آنگاه ادغام  و  در امتداد   با ترتیب ، دقیقاً تکرار -مدول مدرج  در امتداد  است. در این حالت

 و  .

قضیه 24: -مدول مدرج  تعریف شده در بالا را در نظر بگیرید. فرض کنید  یک زیرمدول مدرج  باشد. دراین‌صورت  یک زیرمدول قویاً اول مدرج   است اگر و تنها اگر  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است.

اثبات: فرض کنید برای ، داشته باشیم

 

در این‌صورت

 

 

لذا از این‌که   یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است،

  یا

. در نتیجه  یا . بنابراین  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است. برعکس، فرض کنید

 

 

که در آن  

به‌سادگی می‌توان نشان داد

 

چون   یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است، پس   یا . در نتیجه،

 

یا

.

لذا  یک زیرمدول قویاً اول مدرج   است. 

قضیه 24: -مدول مدرج  تعریف شده در بالا را در نظر بگیرید. فرض کنید  یک زیرمدول مدرج  باشد. دراین‌صورت  یک زیرمدول قویاً اول مدرج   است اگر و تنها اگر  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است. 

اثبات: فرض کنید  یک زیرمدول قویاً اول مدرج   باشد. فرض کنید برای

 

 

داشته باشیم

 

لذا

 

 

بنابراین

 

 یا

 .

پس

 

 یا 

.

 در نتیجه  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  است. برعکس، فرض کنید  یک زیرمدول قویاً اول مدرج  باشد. فرض کنید برای  داشته باشیم

.

چون  پوشاست،  موجودند به‌طوری‌که

،

پس

 

 

بنابراین

 

یا

 ،

لذا   یا ، در نتیجه  یک زیرمدول قویاً اول مدرج   است.

فهرست منابع

 [1] Abu-Dawwas R., ‎Bataineh‎ M., ‎"Graded prime submodules over non-commutative rings"‎, ‎Vietnam J‎. ‎Math.‎, ‎46(3) (2018)‎ ‎681-692‎.‎‎ 

[2] ‎Ebrahimi Atani S., Farzalipour F.‎, ‎‎"On graded secondary modules‎"‎, ‎Turk‎. ‎J‎. ‎Math.‎, ‎31 (2007)‎ ‎371-378‎.

[3] ‎Escoriza J., T‎orrecillas‎‎‎ B., ‎‎‎"Multiplication ‎objects in commutative grothendieck categories‎‎", ‎Comm. Algebra‎‎‎, ‎26‎(‎6‎) (‎1998‎)‎ ‎1867‎-‎1883‎‎.

[4] ‎Farzalipour ‎F., Ghiasvand‎ P., ‎"‎On the union of graded prime submodules‎"‎, ‎Thai‎. ‎J‎. ‎Math.‎, 9(1) (2011)‎ ‎49-55‎.

[5] ‎Farzalipour ‎F., ‎Ghiasvand‎ P., ‎Adlifar M.‎, ‎‎"On graded weakly semiprime submodules‎‎", Thai‎. ‎J‎. Math.‎, 12(1) (2014)‎ ‎167-174‎.

[6] ‎Ghiasvand ‎P., ‎Farzalipour F.‎, ‎‎"Graded semiprime submodules over non-commutative graded rings‎"‎‎, ‎J. Algebraic System‎, ‎to appear‎‎.

[7] Ghiasvand ‎P., ‎Farzalipour F.‎, ‎‎"On graded weak multiplication modules‎‎", ‎Tamkang J‎. ‎Math.‎, ‎43(2) (2012)‎ ‎171-177‎.

[8] Hakan Oral K., Tekir U., ‎‎ Ag‎‎‎arg‎u‎‎‎‎‎n‎‎‎‎‎ A. G., ‎"On graded prime and primary submodules"‎‎, ‎Turk. J. ‎Math.‎, ‎35‎ (2011)‎ ‎1‎59-167‎‎.

[9] Nastasescu N., ‎Van Oystaeyen F.‎, ‎"Graded Rings Theory‎", ‎Mathematical Library 28‎, ‎North Holand‎, ‎Amsterdam‎, ‎(19‎82‎)‎.

[10] ‎Nastasescu N., ‎Van Oystaeyen F.‎, ‎"Methods of Graded Rings"‎, Lecture Notes in Mathematics, ‎vol‎. ‎1836‎. ‎Springer‎, ‎Berlin (2004)‎.‎‎

[11] Refaei M.‎, ‎Alzobi‎ K., "‎On graded primary ideals"‎, Turk‎. ‎J‎. ‎Math.‎, 28(3) (2004)‎ ‎217-229‎.

 

Graded strongly prime submodules over graded commutative rings

 

 

 

Department of Mathematics, Payame Noor University, Tehran, Iran

 

Received, Accepted

 

Abstract

Let  be a group with identity ,  a graded ring and  a graded module. ‎A‎ proper graded submodule ‎ of ‎ ‎is said ‎‎to ‎be‎ graded strongly ‎‎prime,‎ if we have , then  or  ‎‎for all ‎‎‎‎‎. In this paper, we introduce the concept of graded strongly prime submodules as a generalization of graded prime submodules and we investigate some examples and basic properties of graded strongly prime submodules and state new results in this regard. In fact, in this article we show that the concept of graded strongly prime submodules is different from the concept of graded prime submodules. In continuing, we study the behavior of this structure module homomorphis, localization, quotient modules, Cartesian product. Finally, we state two kind of graded submodules of the amalgamation module along a graded ideal and investigate conditions under which they are graded strongly prime. 

Keywords: Graded prime submodule, graded strongly prime submodule, graded strongly semiprime submodule.

---