تاثیر تعداد عناصر از مرتبه بزرگترین شمارنده اول مرتبه گروه روی ساختار گروه

محورهای موضوعی : آمار

علیرضا خلیلی ¹ (گروه آموزش ریاضی، دانشگاه فرهنگیان، تهران، ایران)
سید صادق صالحی امیری ² (گروه ریاضی، واحد بابل، دانشگاه آزاد اسلامی، بابل، ایران)

تاریخ دریافت : 1397/06/21 تاریخ پذیرش : 1400/06/16 تاریخ انتشار : 1400/03/01

کلید واژه: Sylow subgroup, Element order, Simple group,

چکیده مقاله :

فرض کنید S یک گروه ساده غیرآبلی است که با گروه L_2 (r) (جایی که r عدد اول مرسن است) یکریخت نمی باشد. در [1] مورتو حدس زد که اگر گروه متناهی G توسط عناصر از مرتبه p، که در آن p بزرگترین شمارنده اول مرتبه S است تولید شود و تعداد عناصر از مرتبه p درگروههای G وS برابر باشند، آن گاه G/(Z(G))≅S . در این مقاله درستی این حدس برای گروههای ساده پراکنده ثابت شده است.

چکیده انگلیسی:

Let G be a finite group. We denote by n_{p}(G) the number of Sylow p-subgroup of G, that is, n_{p}(G)=|mathrm{Syl}_{p}(G)|. Denoted by m_{i}(G) the number of elements of order i of G.Given a positive integer n and a prime r, we write n_{r} to denote thefull r-part of n, so we can factor n=n_{r}m, where m is not divisibleby r.Now fix a prime p. We say that a positive integer n is a strong Sylow number for $p$ if for every prime q, the full q-part n_{q} of n satisfies n_{q}equiv 1 (mod p). Note that if n is a strong Sylownumber for p, then nequiv 1 (mod p), and thus n is not divisible by p. Note also that the set of strong Sylow numbers for p is closed undermultiplication.Let S be a nonabelian simple group that is not isomorphic to L_2 (r), where r is a Mersenne prime and let p be the greatest prime divisor of |S|. In [1, Conjecture E] A. Moreto conjectured that if a finite group G is generated by elements of order p and G has the same number of elements of order p as S, then G/(Z(G))≅S. In this paper, we verify the conjecture for the sporadic simple groups.

منابع و مأخذ:

 

[1] A. Moreto, The number of elements of prime order, Monatsh. Math, 186 (1) (2018), 189-195.

[2] A. S. Mamontov, E. Jabara, Recognition of the group  by the set of element orders in the class of all groups, Algebra Logik, 54 (2015), 279-282.

[3] W. Shi, Arithmetical properties of finite groups, Groups St. Andrews 2005, London Math. Soc., Lecture Note Ser, 340 (2), 646-653. Cambridge University Press, Cambridge (2007).

[4] A. V. Vasil’ev, M. Grechkoseeva, V. D. Mazurov, Characterization of the finite simple groups by spectrum and order, Algebra Logic, 48 (5) (2009), 385-409.

[5] A. Khalili Asboei, S. S. Salehi Amiri , A. Iranmanesh, A. Tehranian, A characterizati-on of sporadic simple groups by NSE and order, J. Algebra Appl, 12 (02) (2013), 1250158.

[6] P. Hall, On a theorem of Frobenius, Proc. Lond. Math. Soc, 40 (1936), 468-501.

[7] A. Khosravi, B. Khosaravi, Two new characterization of sporadic simple groups, Pure Math. Appl, 16 (2005), 287-293.

[8] A. V. Zavarnitsine, Finite simple groups with narrow prime spectrum, Sib. Élektron. Mat. Izv, 6 (2009), 1-12.