توسیعی برای یک نامساوی شامل میانگین‌های حسابی و لگاریتمی با استفاده از نامساوی هرمیت-هادامارد تعمیم یافته

محورهای موضوعی : آمار

محسن رستمیان دلاور ¹ , محسن کیان ²

1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بجنورد، بجنورد، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بجنورد، بجنورد، ایران

تاریخ دریافت : 1399/09/14 تاریخ پذیرش : 1402/06/21 تاریخ انتشار : 1403/07/26

کلید واژه: M-Lipschitz function, Hermite-Hadamard’s inequality, Special means, Bounded function,

چکیده مقاله :

با استفاده از تعریف نگاشت حقیقی L(t) و استفاده از تحدب تابع مورد نظر، توسیعی برای نامساوی معروف هرمیت-هادامارد ارائه می‌شود. این نامساوی جدید دارای کاربردهای مختلف در بحث نامساویهای ریاضی است که در حالت خاص تعمیم دهنده یک نامساوی میانگینی است شامل میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیم یافته که در مباحث مربوط به میانگینهای ریاضی شناخته شده و دارای کاربردهای فراوان هستند. در واقع یک نامساوی کلاسیک در مورد میانگین حسابی و میانگین لگاریتمی تعمیم یافته در مباحث آنالیز ریاضی برای توانهای طبیعی وجود دارد که با استفاده از نتایج این مقاله میتوان آن را به توانهای حقیقی و صورتهای جدیدتر تعمیم داد. در ضمن برخی از خواص تابعی جدید مربوط به نگاشت L(t) را در این مقاله بررسی و اثبات می کنیم. در بخش پایانی شرط "M-لیپشیتس" بودن و شرط کرانداری تابع، جایگزین شرط تحدب تابع مورد نظر می‌شود تا با استفاده از آن نامساویهای جدیدتر و تعمیم یافته در رابطه با میانگین‌های عددی خاص بدست آید.

چکیده انگلیسی:

We present an extension version of the well-known Hermite-Hadamard inequality by using the definition of the mapping L(t) and by using the convexity of considered function. This inequality has several applications in mathematical inequalities which in special case gives a generalization for a mean type inequality including Arithmetic mean and generalized Logarithmic mean, which is known in the field of mathematical means with many applications. In fact we extended an Arithmetic-generalized Logarithmic mean type inequality with a natural number as the power to a generalized real number type inequality, by the use of results obtained in this work. Also some new properties related to the mapping L(t) are investigated. Furthermore, at last, some estimation type inequalities for the case that considered function is M-Lipschitz and the case that is bounded are given. In fact by using the definition of the mapping L(t) we obtain an estimation type results for the difference of Arithmetic mean and generalized Logarithmic mean.

منابع و مأخذ:

[1] S.S. Dragomir, C.E.M. Pearce, “Selected topics on Hermite-Hadamard inequalities and Applications”, RGMIA Monographs, Victoria University, 2000.

[2] J.L.W.V. Jensen, “On konvexe funktioner og uligheder mellem middlvaerdier”, Nyt. Tidsskr. Math. B., 16 (1905), 49-69.

[3] J.L.W.V., Jensen, “Sur les fonctions convexes et les ińegaliťes entre les voleurs mogernmes”, Acta Mathematica, 30 (1906), 175-193.

[4] D.S. Mitrinović, I.B. Lacković, “Hermite and convexity”, Aequationes Mathematicae, 28 (1985) 229-232.

[5] J. Pečarić, F. Proschan, Y. L. Tong, “Convex Functions, Partial Orderings and Statistical Applications”, Academic Press, Inc., 1992.

[6] M. Rostamian Delavar, M. De La Sen, “Some generalizations of Hermite-Hadamard type inequalities”, SpringerPlus, 5:1661 (2016).

[7] M. Rostamian Delavar, S.S. Dragomir , “On η–convexity”, Mathematical Inequalities and Applications, 20 (2017) 203-216.

[8] S. S. Dragomir, R. P. Agarwal, “Two inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to trapezoidal formula”, Applied Mathematics Letters, 11 (1998), 91-95.

[9] U. S. Kirmaci, “Inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to midpoint formula”, Applied Mathematics and Computations, 147(1) (2004) 137-146.

[10] C. E. M. Pearce, J. Pečarić, “Inequalities for differentiable mappings with application to special means and quadrature formula”, Applied Mathematics Letters, 13 (2000) 51-55.

[11] S.S. Dragomir, D.M. Milošević, J. Sándor, “On some refinements of Hadamard’s inequalities and applications”, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat., 4 (1993) 3-10.

[12] K.-L. Tseng, H. Shiow-Ru, S.S Dragomir, “Fejer-Type Inequalities (II)”, Mathematica Slovaca, 67 (2017) 109-120.

[13] R. A. Silverman, “Calculus With Analytic Geometry”, Pearson College Div, 1985.

[14] Robert A.W., Varberg D.E., “Convex functions”, Academic Press, New York, 1973.

[15] S.S. Dragomir, Y.J. Cho, S.S. Kim, “Inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings and their applications”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 245 (2000) 489-501.

[16] G-.S. Yang, K-.L. Tseng, “Inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 260 (2001) 230-238.

[17] M. Rostamian Delavar and S. S. Dragomir, “Weighted trapezoidal inequalities related to the area balance of a function with applications”, Applied Mathematics and Computations, 340 (2019), 5-14.

[18] M. Rostamian Delavar, S. S. Dragomir, “Trapezoidal type inequalities related to h-convex functions with applications”, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemáticas (RACSAM), 113 (2019) 1487-1498.