Particle swarm optimization in optimal control problems for Car on a constrained piecewise affine hill
Subject Areas : Journal of New Applied and Computational Findings in Mechanical SystemsAhmad Kia Kojouri 1 , Javad MashayekhiFard 2
1 - Department of Electrical Engineering, Islamshahr Branch, Islamic Azad University, Islamshahr, Iran
2 - Department of Electrical Engineering, Sabzevar Branch, Islamic Azad University, Sabzevar, Iran.
Keywords: piecewise affine, particle swarm optimization, constrained optimal control, reducing the complexity of the control low.,
Abstract :
In spite of all the Demonstrate Prescient Control (MPC) based arrangement preferences such as ensuring soundness, the most impediment such as an exponential development of the number of the polyhedral locale by expanding the expectation skyline exists. This causes an increase in the computation complexity of control law. In this paper, we consider the arrangement to ideal control issues for constrained piecewise affine systems based on demonstrating predictive control. After that, we utilize particle swarm optimization calculation to complexity diminishment of arrangement and alter the framework execution. In truth the point of the paper is twofold. To begin with, we consider the hypothetical comes about on the structure of the control law. At the minute, we portray how the complexity of deciding control law can be capable of decreased and moving forward system execution at the same time by utilizing particle swarm optimization. The considered calculation is associated with a Car on a constrained piecewise affine hill and the result is shown to the advantage of our analysis. The objective of the car is to climb to the top of a steep slope and then preserve its position at the top (the beginning), without falling from the piecewise affine environment. The number of control law polyhedrals diminishes from 129 to 25.
|
| ||
نشریه علمی - تخصصی یافتههای نوین کاربردی و محاسباتی در سیستمهای مکانیکی |
| ||
كنترل بهينه سيستم هاي تكهاي شبه خطی مقيد برای خودرو بر روی شیب با استفاده از الگوریتم بهینهسازی ازدحام ذرات
احمد کیاکجوری1 ، جواد مشایخی فرد 2*
1. استادیار، گروه مهندسي برق، واحد اسلامشهر، دانشگاه آزاد اسلامی، اسلامشهر، ايران
2. استادیار، گروه مهندسي برق، واحد سبزوار، دانشگاه آزاد اسلامی، سبزوار، ايران
*نویسنده مسئول: mashayekhi@iaus.ac.ir
تاریخ دریافت: 24/09/1402 تاریخ پذیرش: 03/02/1403
چکیده
علی‌رغم برتریهای مبتنی بر مدل کنترل پیش‌بین مانند قابلیت اطمینان، بزرگ‌ترین مانع رشد تصاعدی تعداد مکان‌های چندوجهی، با بزرگتر شدن افق پیش بینی رخ می‌دهد. این امر باعث افزایش پیچیدگی محاسباتی قانون کنترل میشود. در این مقاله، حل مسئله كنترل بهينه سيستم هاي تكهاي شبه خطی مقيد بر اساس روش كنترل پيش بين و كنترل افق پيشرو در نظر گرفته شده است. برای کاهش پیچیدگی از الگوریتم بهینهسازی ازدحام ذرات استفاده گردیده است. به بیان دیگر، در این پژوهش دو هدف دنبال میشود، نخست اینکه مسئله كنترل بهينه سيستم تكهاي شبه خطی مقيد فرموله و حل صريح مسئله با روش کنترل پیش‌بین و بكارگيري برنامهريزي چند پارامتري به صورت قانون كنترل روي نواحي چندوجهي، بيان و سپس مشكلات مربوط به پيچيدگي حل و رشد نمايي آن به علت افزايش افق پيشبين ارائه میشود. سپس با تعريف تابع هدف جديد بر اساس كاهش چندوجهيهاي قانون كنترل، با تلفيق الگوريتم بهینهسازی ازدحام ذرات و حل صريح بدست آمده روش کنترل پیش‌بین و تنظيم پارامترهاي سيستم تكهاي شبه خطی مقيد به‌كاهش پيچيدگيهاي سيستم اقدام شده است، به طوريكه تعداد چندوجهيهاي حاصل به حداقل برسد. برای نشان دادن کارآیی روش، مدلسازی یک خودرو در حال بالا رفتن از یک تپه شیبدار و حفظ تعادل خود درنظر گرفته شده است. تعداد قانون کنترل چندوجهی از 129 به 25 کاهش یافته است.
کلمات کلیدی: سيستم تكهاي شبه خطی، کنترل بهینه مقيد، بهینه سازی ازدحام ذرات، کاهش پیچیدگی قانون کنترل.
مقدمه
از موارد مورد مطالعه در سیستمهای هیبریدی[2-1]، چارچوب تکهای شبه خطی1[4و3] است که با افراز بندی فضای گسترده ورودی-حالت به نواحی چند وجهی[5-6] و اختصاص دادن یک معادله حالت شبه خطی به هرکدام از این نواحی تعريف ميشود. تعداد زیادی از فرآیندهای هیبریدی نظیرسوییچ بین مدهای دینامیکی، اشباع محرکها در سیستمهای خطی و سیستمهای کلیدزنی که رفتار دینامیکی بهوسیله تعداد محدودی از مدلهای زمان- گسسته شبه خطی بیان میشود را مي‌توان توسط سیستمهای تکهای شبه خطی زمان-گسسته مدل نمود[7-9]. بسیاری از تحلیلگران چارچوب‌های در نظر گرفته‌شده خود را با کلاس چارچوب تکهای شبه خطی مانند سیستم مبدل کنترل DC-DC، فرآیند چند- مخزن [11و10] و سیستم بزرگراه خودکار2[12] مدل کرده‌اند. ملاحظات و مشکلات متعددی در مورد بررسی قانون کنترل ایده‌آل حلقه بسته برای چارچوب تکهای شبه خطی در نظر گرفته و ایجاد شده است. در دو دهه اخير توجه زیادی به محاسبه کنترل کننده فرم- بسته بهینه برای این سیستم‌ها صورت پذیرفته است. مسئله مورد نظر به مسئله کنترل بهینه سیستمهای مقید زمان متناهی تكهاي شبه خطی مقيد (CFTOC)معروف گردید[13]. سانتج [5] یکی از پیشگامان این مسائل بود. در دهه70 تحقیقات بسیار وسیعی آغاز شد که هدف از این تحقیقات، پیدا کردن قانون‌های کنترلی بود به نحوی که حالتها را بهتوان به صورت پارامترهای مسئله بهینه سازی فرض کردنمود، که با تغییر آنها هم قیود و هم تابع هدف تحت تاثیر واقع شود یا به عبارتی قانون مذکور، ارتباط بین متغیرهای بهینگی و تغییرات تابع هدف بهینه را نشان دهد. گسترش این تحقیقات منجر به تحولی در برنامهریزی ریاضی گردید که به برنامهریزی چند پارامتری معروف شد و اکنون یک ابزار مفید برای پیدا کردن راه حل صریح مسائل کنترلی بهینه می باشد. از انواع ساده برنامه‌ریزیهای ریاضی می توان از دو گروه معروف و پرکاربرد برنامهریزی خطی و برنامهریزی درجه دو (غیر خطی) نام برد. در برنامهریزی خطی تابع هدف و شرایط، خطی مرتبه اول و در برنامهریزی درجه دو تابع هدف درجه دوم و شرایط شبه خطی می باشند. با گسترش برنامهیزی چند پارامتری و کاربرد آن در کنترل بهینه، استفاده از برنامهریزی خطی و برنامهریزی درجه دو نیز به بحث چند پارامتری تعمیم یافت و روشهای بهینهای بر مبنای استفاده از برنامهریزی خطی و مرتبه دو چند پارامتری[14-16] و حتي برنامهريزي چند پارامتري خطي و مرتبه دو عدد صحيح مختلط ارائه شد [17]. متاسفانه اگر راه حل مسئله سيستم تكه اي شبه خطی مقيد بدون توجه به روش كنترل افق پيشرو 3 بدست آورده شود، تضمینی بر شدنی بودن مسئله و برآورده شدن قیدها برای تمامی زمانها در سیستم حلقه- بسته وجود ندارد[18]. اما اگر حل با بكارگيري استرات‍ژي روش كنترل افق پيشرو يا روش کنترل پیش‌بین4 به دست آيد، قانون كنترل فيدبك حالت چارچوب تکهای شبه خطی متغير با زمان، به صورت نامتغير با زمان مي شود و مي تواند به عنوان يك جدول مراجعهاي كنترلي آنلاين مورد استفاده قرارگيرد[20و19]. اما یکی از عمدهترین مشکلات، افزایش پیچیدگی قانون کنترل فیدبک چارچوب تکهای شبه خطی بدست‌آمده با بزرگتر شدن افق پیش بینی و تأثیر آن بر عملکرد سیستم است، از طرفی برای عملکرد مطلوب سیستم افزایش افق پیشبینی ضروری است؛ در واقع به علت ساختار و طبيعت تركيبي مسئله بيان شده، تعداد نواحي فضاي حالت كه بر روي جدول مراجعهاي كنترل تعريف شده است، در بدترين حالت به صورت نمايي افزايش مييابد. از اينرو حجم بالای محاسبات آنلاين و پیچیدگی محاسبات آفلاين، و وابستگي آن به تعداد نواحی چند وجهیها و افزایش تعداد قیدها از موارد چالش برانگيز در این مسائل بوده است[21]. چندين محقق، موضوع كاهش پيچيدگي و تقريب را با بهبود مسئله اصلي سيستم تكهاي شبه خطی مقيد و بازيابي يك حل زير بهينه از مسئله و يا پس پردازش كنترل كننده بهينه محاسبه شده مرتبط نمودهاند[23و22]. با تضمين كاهش پيچيدگي، پايداري حلقه بسته يا كاهش عملكرد نامي سيستم مورد غفلت قرارگرفته و بهطور دقيق بررسي نميگردد[24]. به دلیل وجود ارتباط قوی میان پیچیدگی سيستم تكهاي شبه خطی مقيد و تعداد مناطق چندوجهی برای قانون کنترل چارچوب تکهای شبه خطی، میتوان به این مسئله به شکل یک نظریه پیچیدگی محاسباتی نگاه نمود. برای حل مسائل پیچیدگی محاسباتی، استفاده از الگوریتمهای تقریبی بسیار مناسب هستند. الگوریتمهای تقریبی قادر به یافتن جواب‌های تقريبي مناسب برای مسائل بهینهسازی سخت در زماني کوتاه هستند. الگوریتمهای فوق ابتکاری[25]، یکی از انواع الگوریتمهای بهینهسازی تقریبی هستند که دارای راهکارهای برونرفت از بهینه محلی می‌باشند و قابل کاربرد در طیف گستردهای از مسائل هستند. الگوریتم بهینهسازی ازدحام ذرات5 ، براي اولين بار توسط کندي و ابرهارت مطرح گردید[27و26] كه يک الگوريتم محاسبه‌اي تکاملي الهام گرفته از طبيعت و براساس تکرار ميباشد. الگوريتم بهینه سازی ازدحام ذرات از تعداد مشخصي از ذرات تشکيل ميشود که به طور تصادفي، مقدار اوليه ميگيرند. براي هر ذره دو مقدار وضعيت و سرعت، تعريف ميشود که به ترتيب با يک بردار مکان و يک بردار سرعت، مدل مي‌شوند. همچنين الگوريتم بهینهسازی ازدحام ذرات قادر به بهينهسازي توابع هزينه پيچيده با تعداد زياد حداقل محلي است. بنابراین، بخش‌های مقاله به شرح زیر است: 1- نشان دادن مسئله سيستم تكهاي شبه خطی مقيد با راهبردهای فعلی 2- کاهش پیچیدگی محاسباتی به عنوان یک مسئله پیچیدگی محاسباتی با محاسبه پیشنهادی.
ابتدا، مسئله كنترل بهينه سيستم چارچوب تکهای شبه خطی مقيد فرموله و حل صريح مسئله با وش کنترل پیش‌بین و بكارگيري برنامه ريزي چند پارامتري به صورت قانون كنترل سیستم تكهاي شبه خطی روي نواحي چندوجهي، بيان ميگردد و سپس مشكلات مربوط به پيچيدگي حل و رشد نمايي آن به دلايلي نظير تعداد نواحي چندوجهي و افزايش افق پيشبين ارائه ميشود؛ آنگاه با تلفيق الگوريتم بهینه سازی ازدحام ذرات و حل صريح بدست آمده از روش کنترل پیش‌بین وتنظيم پارامترهاي سيستم چارچوب تکهای شبه خطی به‌كاهش پيچيدگيهاي سيستم اقدام نموده به طوريكه تعدادچندوجهيهاي حاصل حداقل شده و كارآيي سيستم بهبود يابد. سرانجام روش پيشنهادي بر روي خودرو بر روی شیب كه به فرم چارچوب تکهای شبه خطی مدل شده پياده سازي میگردد.
کنترل بهینه زمان متناهي سیستمهای تکهای شبه خطی مقيد
از آن‌جایی که سیستمهای تکهای شبه خطی با تعداد چارچوب‌های سیستمهای مکمل خطی، دینامیک منطقی ترکیبی و مقیاس‌بندی بیشترین-کمترین متناسب هستند، از اينرو بخش وسيعي از سيستمهاي هيبريدي خطي را تشكيل خواهند داد. سيستمهاي هيبريد خطي به صورت سيستمهاي تکهای شبه خطی مقيد مدل شده به صورت رابطه (1) می باشند[7].
(1)
جاييکه t≥0، دامنة 
از تابع fPWA(.,.) يك مجموعه غيرتهي فشرده در 
، ND<∞ تعداد ديناميكهاي سيستم و 
بيانگر پارتيشنهاي چندوجهي از دامنه D خواهد بود.
يعني 
و براي تمامي d≠j، int(Dd)∩int(Dj)=∅ میباشد.
(2)
براي سيستم تکهای شبه خطی از رابطه (1)، مسئله چارچوب تکهای شبه خطی مقید در قالب رابطه (3) بیان ميگردد [28].
(3)
كه 
تابع هزينه، (l(.,.) تابع هزينه مرحله‌اي، lT(.) تابع جريمه نهايي، UT متغير بهينه سازي كه به صورت توالي ورودي 
تعريف شده، T<∞ افق پيشبين و χf مجموعه هدف پاياني (انتهايي) در Rnx مي‌باشند. هنگامي كه مسئله سیستم تكهاي شبه خطی مقيد چندين حل دارد یا به عبارتی بهينه كننده، منحصر به فرد نيست 
بيانگر يك تحقق از مجموعه بهينه كنندههاي موجود و ممكن ميباشد. مسئله سیستم تكهاي شبه خطی مقيد بهطور تلويحي، مجموعهاي از حالتهاي شدني 
و مجموعه وروديهاي شدني 
را تعريف مينمايد. هدف از اين بخش دستيابي به يك بيان صريح با فرم بسته براي 
وt=0,…,T-1 میباشد. در ادامه يك محدوديت براي مسئله سیستم تكهاي شبه خطی مقيد درنظر گرفته ميشود[7و3]. مبدأ در فضاي حالت – ورودي گسترده، يك نقطه تعادل سيستم تکهای شبه خطی با رابطه (1) است به اين معنا كه 
و 
؛ اين فرض خللي به كليت موضوع وارد نمي‌كند. يعني نتايج بهدست آمده براي نقطه تعادل غير صفر نيز صادق خواهد بود. شايان توجه است كه قيدهاي حالت خطي(x(t)∈χ⊆Rnx) و محدوديتهاي ورودي (u(t)∈U⊆Rnu) به فرم عمومي 
به طور طبيعي در توصيف Dd شركت داشته‌اند. هدف از حل مسئله، یافتن بیان صریح یا فرم بسته برای مجموعه 
،توابع 
و 
می باشد. سيستم چارچوب تکهای شبه خطی (1) با تابع هزينه در رابطه (4) بر اساس نرم 1و∞ در نظر گرفته می شود.
(4)
كه 
با p={1,∞} بيانگر نرم برداري استاندارد 1,∞است. حل صريح مسئله كنترل بهينه با رابطه (3) و مفروضات بیان شده، قانون كنترل فيدبك حالت چارچوب تکهای شبه خطی متغير با زمان تعريف شده از حالت اولية x(0) روي ناحيه چندوجهي به‌فرم
ميباشد، كه 
،
ناحيه چند وجهي از مجموعه حالتهاي شدني x(0)، 
است كه بهصورت 
داده شده، مي باشد. در موردي كه سياست كنترل افق پيشرو يا يك مدل كنترل پيش بين براي حلقه بسته استفاده گردد، كنترل به صورت قانون فيدبك حالت متغير با زمان به فرم رابطه (5) و براي t≥0، 
است[1].
(5)
مسئله سیستم تكهاي شبه خطی مقيد را براي تمامي زمانهاي t، شدني مينامند اگر در زمان t عمل كنترل براي حالت اندازه‌گيري‌شده xt=:x(0) موجود باشد. طوري كه محدوديتهاي ورودي و حالت روي افق پيشبين مفروض T، برآورده گردد[29]. در ادامه فرض ميگردد كه پارامترهاي T, Q, R, Pوχf طوري انتخاب شوندكه رابطه (6) پايدار و براي تمامي زمانها، شدني باشد[11]. تابع لياپانف چارچوب تکهای شبه خطی چندوجهي به فرم 
است كه i=1,…,Np و براي سيستم حلقه بسته x(t)∈χT موجود و ارائه شده است.
(6)
همچنين مسئله سیستم تكهاي شبه خطی مقيد موردنظر میتواند برای هر انتخابی ازP , Q, R مطرح و حل شود[7,3,31] با اینحال از نقطه نظر عملی برای پرهیز از عملهای کنترلی اضافه در هدایت حالتها به نقطه تعادل، لازم است تا ماتریسهای R,Q تمام رتبه ستونی باشند[30]. در خط سير اين مقاله، تمركز بر كاهش پيچيدگي قانون كنترل فرم بسته 
ميباشد بدون آنكه خللي بر پايداري حلقه بسته و شدني بودن مسئله براي تمامي زمانها وارد گردد.
كاهش پيچيدگي
با توجه به ساختار و پارامترهاي سيستم اصلي ومسئله بهينهسازي، يكي از اشكالهاي اساسي قوانين كنترل بهينه با فرم بسته
، افزايش و رشد نمايي تعداد نواحي Np است. بنابراين براي اجراي واقعي حل فرم بسته، يافتن تقريبي مناسب از كنترل كننده يا كنترل كننده‌اي با پيچيدگيِ كاهش يافته، بسيار ضروري به نظرميرسد. بعضي از محققين موضوع كاهش پيچيدگي يا تقريب كنترل كننده را با بهبود مسئله سیستم تكهاي شبه خطی مقيد با بازيابي يك حل زير بهينه از آن يا با پسپردازش كنترل كننده بهينه محاسبه‌شده را بيش از پيش مورد توجه قرار دادهاند. به عنوان نمونه هدف محققين درمراجع [11و7] محاسبه يك ارائه حداقلی چندوجهي از نواحي كنترل كننده اصلي به منظور كاهش پيچيدگي محاسباتي وفضاي ذخيرهسازي موردنياز ميباشد؛ اگرچه در عمل، محاسبه محدود به تعداد كمي نواحي ميباشد. از اينرو بسته به آن، زمان محاسبه به صورت نمايي افزايش مييابد؛ طرح پيشنهادي ديگري درمراجع [22,29] ارائه شده است كه مسئله سیستم تكهاي شبه خطی مقيد اصلي براي سيستمهاي خطي مقيد به منظوردستيابي به تقريبي براي تحليل ساده‌تر، با بكارگيري برنامهريزي چندپارامتري بهبود مييابد. اگرچه بسياري از طرحهاي پيشنهادي دركاهش تعداد چندوجهيها، توجه وتمركز زيادي روي تضمين پايداري يا كاهش عملكرد نامي سيستم ندارند[14]. در ادامه ابتدا به معرفی الگوریتم بهینه سازی ازدحام ذرات پرداخته و سپس روشي بر اساس تلفيق الگوريتم بهینه سازی ازدحام ذرات و حل صريح به دست آمده از مسئله سیستم تكهاي شبه خطی مقيد برای کاهش پیچیدگی ارائه می گردد که نه تنها بر کاهش پیچیدگی و زمان حل مسئله مذکور تاثیرگذار است بلکه حتی میتوان به بهبود عملکرد نهایی سیستم و کاهش خطاهای حالت ماندگار سیستم نیز چشم داشت.
الگوریتم بهینهسازی ازدحام ذرات برای حل مسئله تکهای شبه خطی
روش بهینهسازی ازدحام ذرات يكي از روشهای تكاملي است كه براي حل مسايل بهینهسازی بكاربرده میشود وتاكنون قابليت آن براي استفاده درمسائل بهينه سازي باتوابع پيوسته به اثبات رسيده است[30]. دراين روش حركت به سوي نقطه بهینه تابع بر اساس اطلاعات بهترين نقطه بهدست آمده ازهر یک عوامل موجود درجمعيت اوليه و نيز بهترين نقطه پيدا شده توسط نقاط همسايه صورت می‌گیرد. باتوجه به شكل (1) اساس كارالگوريتم بهينهسازي ازدحام ذرات را میتوان چنين توضيح داد[11]:
شکل1: اساس کار الگوریتم تکاملی بهینه سازی ازدحام ذرات
VGbest: سرعت در جهت بهینه سراسری، VLbest: سرعت در جهت بهینه محلی، Vi+1: سرعت ذره در تکرار 1+iام، Vi: سرعت ذره در تکرار iام، Xi :موقعیت در تکرار iام، Xi+1 : موقعیت در تکرار i+1ام. ابتدا جمعیت اولیه به صورت تصادفی انتخاب میگردد.
و 
(7)
(8) 
XGbest : بهینه سراسری در تکرار iام، XLbest: بهینه محلی در تکرار iام،ω: ضریب اینرسی. در نهایت هر ذره به صورت Xi+1=Xi+Vi+1 اصلاح میشود. مقادیرc1و c2مقادیری تصادفی هستند. اکنون، بر اساس اهداف این مقاله و الگوریتم بهینه سازی ازدحام ذرات، تابع هدف تعریف‌شده برای این مسئله را میتوان به صورت تعداد چند وجهیها و مشخصه خروجی در نظر گرفت که مشخصه خروجی به صورت ویژگیهای کارکردی مانند زمان نشست، فراجهش و خطای حالت ماندگار تعیین میشود. ابتدا حل صريح مسئله سیستم تكهاي شبه خطی مقيد را که بر پایه روش کنترل پیش‌بین و بكارگيري برنامهريزي چندپارامتري به دست آمده، در نظر گرفته و به عنوان تابع هدف الگوریتم بهینهسازی ازدحام ذرات فرض میشود؛ آنگاه با تعريف تابع هدف جديد بر اساس تعداد چندوجهيهاي قانون كنترل، پارامترهای اصلی سیستم طوری طراحی میگردد تا اولا حل سیستم تكهاي شبه خطی مقيد به تعداد چندوجهيهاي کمتر و طبیعتا پیچیدگی کمتر منتهی شود و همچنین بهبود عملکرد واقعی سیستم با کنترل متغیرهای فیزیکی سیستم و ضرایب کنترل کنندهPID حاصل شود؛ یعنی پس از بدست آوردن قانون كنترل بهينه صريح روش کنترل پیش‌بین و تعریف تابع هدف جديد به رابطه (9) با بكارگيري الگوريتم شماره 1 به كاهش پيچيدگي سيستم پرداخته می شود.
S.T
(9)
الگوریتم 1: حل مسئله مبتنی بر الگوریتم بهینهسازی ازدحام ذرات
۱- داده‌های مورد نیاز مانند موقعیت، سرعت، پارامترهای الگوریتم مانند تعداد جمعیت و تعداد تکرار در نظر گرفته می‌شوند.
۲- جمعیت اولیه به فرم رابطه (10) ایجاد میگردد:
Xi=[P1 V1 P2 V2 KPi KIi]
|
(10)
|
