the Effectiveness of the Extended-Radial Point Interpolation Numerical Meshless Method for Post-Buckling analysis of FGM- microtubes Containing Fluid under Temperature and Velocity Fields

Subject Areas : Journal of New Applied and Computational Findings in Mechanical Systems

Behrooz Ariannezhad ^{1 *} , Amirheshmat Khedmati Bazkiaei ²

1 -
2 - Department of Mechanical Engineering. Islamic Azad University. Sousangerd. Iran

Received: 2025-02-06 Accepted : 2025-05-23 Published : 2025-02-22

Keywords: Buckling, Microtube, Functionally Graded Material(FGM), Temperature and Fluid Velocity Fields, Extended-Radial Point Interpolation Numerical Meshless Method, Power Index,

Abstract :

Long tubes with diameters in the micro and nano dimensions, while having a relatively complex manufacturing technology, have a wide range of applications For example, they are used in the fields of: electromechanics, biosensors, atomic microscopes, actuators, fluid transport in drug delivery, medical engineering and surgery, etc. The reason for the widespread use of microtubes is their special geometry and mechanical properties.The use of Functionally Graded Material as heterogeneous and  isotropic materials has received much attention.Because these materials, with gradual and continuous changes in structural properties from surface to surface, do not have the problem of sudden changes in material behavior at the interface of composite materials. In this research, the buckling analysis of FGM-microtubes has been studied using a numerical point interpolation meshless method with base functions developed to weakly solve the differential equations governing the analysis based on the classical Euler-Bernoulli beam model and the non-classical strain gradient theory with three length parameters. The research findings, in addition to the effectiveness of using the aforementioned numerical method, indicate that the reduction in microtube diameter has an inverse relationship between the natural frequency and the critical velocity. With the simultaneous effect of velocity fields and temperature changes on the critical diameter, the transverse displacement of the FGM-microtube increases, and its stiffness decreases However, increasing the power index increases the transverse displacement after buckling and causes the microtubule behavior to become closer and closer to that of the FGM material from that of the pure material.

 

References:

[1] C.-L. Kuo, T. Masuzawa, M. Fujino, A micropipe fabrication process, in: Micro Electro Mechanical Systems, 1991, MEMS'91, Proceedings. An Investigation of Micro Structures, Sensors, Actuators, Machines and Robots. IEEE, IEEE, 1991, pp. 80-85.
[2] R. Mindlin, H. Tiersten, Effects of couple-stresses in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 11 415-448 (1962).
[3] R. Toupin, Elastic materials with couple-stresses, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 11 (1962) 385-414.
[4] W. Koiter, Couple stresses in the theory of elasticity, I and II, in: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B, 1964, pp. 17-29.
[5] S. Zhou, Z. Li, Length scales in the static and dynamic torsion of a circular cylindrical micro-bar, Journal of Shandong university of technology, 31 (2001) 401-407.
[6] W. Xia, L. Wang, Microfluid-induced vibration and stability of structures modeled as microscale pipes conveying fluid based on non-classical Timoshenko beam theory, Microfluidics and nanofluidics, 9 (2010) 955-962.
[7] S. Ahangar, G. Rezazadeh, R. Shabani, G. Ahmadi, A. Toloei, On the stability of a microbeam conveying fluid considering modified couple stress theory, International Journal of Mechanics and Materials in Design, 7 (2011) 327-342
. [8] M. Kahrobaiyan, M. Asghari, M. Rahaeifard, M. Ahmadian, A nonlinear strain gradient beam formulation, International Journal of Engineering Science, 49 (2011) 1256-126 7.
[9] M. Asghari, M. Kahrobaiyan, M. Nikfar, M. Ahmadian, A size-dependent nonlinear Timoshenko microbeam model based on the strain gradient theory, Acta Mechanica, 223 (2012) 1233-1249.
[10] J. Zhao, S. Zhou, B. Wang, X. Wang, Nonlinear microbeam model based on strain gradient theory, Applied Mathematical Modelling, 36 (2012) 2674-2686.
[11] S. Ramezani, A micro scale geometrically non-linear Timoshenko beam model based on strain gradient elasticity theory, International Journal of Non-Linear Mechanics 873-863 (2012) 47.
[12] M. Asghari, M. Kahrobaiyan, M. Ahmadian, A nonlinear Timoshenko beam formulation based on the modified couple stress theory, International Journal of Engineering Science, 48 (2010) 1749-1761.
[13] E. Jomehzadeh, H. Noori, A. Saidi, The size-dependent vibration analysis of micro-plates based on a modified couple stress theory, Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 43 (2011) 877-883.
[14] L. Wang, Size-dependent vibration characteristics of fluid-conveying microtubes, Journal of Fluids and Structures, 26 (2010) 675-684.
[15] W. Xia, L. Wang, Microfluid-induced vibration and stability of structures modeled as microscale pipes conveying fluid based on non-classical Timoshenko beam theory, Microfluidics and nanofluidics, 9 (2010) 955-962.
[16] S. Ahangar, G. Rezazadeh, R. Shabani, G. Ahmadi, A. Toloei, On the stability of a microbeam conveying fluid considering modified couple stress theory, International Journal of Mechanics and Materials in Design, 7 (2011) 327-342.
[17] F. Rajabi, S. Ramezani, A nonlinear microbeam model based on strain gradient elasticity theory with surface energy, Archive of Applied Mechanics, 82 (2012) 363-376.
[18] M.H. Ghayesh, M. Amabili, H. Farokhi, Nonlinear forced vibrations of a microbeam based on the strain gradient elasticity theory, International Journal of Engineering Science, 63 (2013) 52-60.
[19] B. Wang, S. Zhou, J. Zhao, X. Chen, A size-dependent Kirchhoff micro-plate model based on strain gradient elasticity theory, European Journal of Mechanics-A/Solids, 30 (2011) 517-524.
[20] S. Ramezani, A shear deformation micro-plate model based on the most general form of strain gradient elasticity, International Journal of Mechanical Sciences, 57 (2012) 34-42.
[21] L. Yin, Q. Qian, L. Wang, Strain gradient beam model for dynamics of microscale pipes conveying fluid, Applied Mathematical Modelling, 35 (2011) 2864-2873.
[22] A. Witvrouw, A. Mehta, The use of functionally graded poly-SiGe layers for MEMS applications, in: Materials Science Forum, Trans Tech Publ, 2005, pp. 255-260.
[23] Z. Lee, C. Ophus, L. Fischer, N. Nelson-Fitzpatrick, K. Westra, S. Evoy, V. Radmilovic, U. Dahmen, D. Mitlin, Metallic NEMS components fabricated from nanocomposite Al–Mo films, Nanotechnology, 17 (2006) 3063.
[24] M. Rahaeifard, M. Kahrobaiyan, M. Ahmadian, Sensitivity analysis of atomic force microscope cantilever made of functionally graded materials, in, ASME, 2009.
[25] G. Sheng, X. Wang, Dynamic characteristics of fluid-conveying functionally graded cylindrical shells under mechanical and thermal loads, Composite Structures, 93 (2010) 162-170.
[26] M. Asghari, M. Rahaeifard, M. Kahrobaiyan, M. Ahmadian, The modified couple stress functionally graded Timoshenko beam formulation, Materials & Design, 32 (2011) 1435-1443.
[27] [J. Reddy, Microstructure-dependent couple stress theories of functionally graded beams, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 59 (2011) 2382-2399.
[28] A. Nateghi, M. Salamat-Talab, J. Rezapour, B. Daneshian, Size dependent buckling analysis of functionally graded micro beams based on modified couple stress theory, Applied Mathematical Modelling, 36 (2012) 4971-4987.
[29] L.-L. Ke, Y.-S. Wang, J. Yang, S. Kitipornchai, Nonlinear free vibration of size-dependent functionally graded microbeams, International Journal of Engineering Science, 50 (2012) 256-267.
[30] J. Reddy, J. Kim, A nonlinear modified couple stress-based third-order theory of functionally graded plates, Composite Structures, 94 (2012) 1128-1143.
[31] M. Asghari, Geometrically nonlinear micro-plate formulation based on the modified couple stress theory, International Journal of Engineering Science, 51 (2012) 292-309.
[32] L.-L. Ke, J. Yang, S. Kitipornchai, M.A. Bradford, Bending, buckling and vibration of size-dependent functionally graded annular microplates, Composite Structures, 94 (2012) 3250-3257.
[33] S. Sahmani, R. Ansari, R. Gholami, A. Darvizeh, Dynamic stability analysis of functionally graded higher-order shear deformable microshells based on the modified couple stress elasticity theory, Composites Part B: Engineering, (2013).
[34] R. Ansari, R. Gholami, S. Sahmani, Free vibration analysis of size-dependent functionally graded microbeams based on the strain gradient Timoshenko beam theory, Composite Structures, 94 (2011) 221-228.
[35] M. Kahrobaiyan, M. Rahaeifard, S. Tajalli, M. Ahmadian, A strain gradient functionally graded Euler–Bernoulli beam formulation, International Journal of Engineering Science, 52 (2012) 65-76.
[36] B. Zhang, Y. He, D. Liu, Z. Gan, L. Shen, A novel size-dependent functionally graded curved mircobeam model based on the strain gradient elasticity theory, Composite Structures, 106 (2013) 374-392.
[37] S. Sahmani, R. Ansari, On the free vibration response of functionally graded higher-order shear deformable microplates based on the strain gradient elasticity theory, Composite Structures, (2012).
[38] H. Sadeghi, M. Baghani, R. Naghdabadi, Strain gradient elasticity solution for functionally graded micro-cylinders, International Journal of Engineering Science, 50 (2012) 22-30.
[39] M. Salamat-talab, F. Shahabi, A. Assadi, Size dependent analysis of functionally graded microbeams using strain gradient elasticity incorporated with surface energy, Applied Mathematical Modelling, 37 (2013) 507-526 [40] L.Chengyun, Zhou, W., Cai, Z.,Coupling of shearing and size effects on thermal buckling of microbeams, Acta Mechanica ,(2024).
[41] Zhao, B., Yi, H., Lin, S., Lai, A., A new buckling model for thin-walled micro-beams based on modified gradient elasticity: Coupling effect and size effect. Thin-Walled Structures, 201, (2024),111983.
[42] Ren, X., Shi, S. A buckling analysis of thermoelastic micro/nano-beams considering the size-dependent effect and non-uniform temperature distribution. Materials, 16(19), (2023). 6390.
[43] D. Lam, F. Yang, A. Chong, J. Wang, P. Tong, Experiments and theory in strain gradient elasticity, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 51 (2003) 1477-1508.
[44] F. Yang, A. Chong, D. Lam, P. Tong, Couple stress based strain gradient theory for elasticity, International Journal of Solids and Structures, 39 (2002) 2731-2743.
[45] S. Kong, S. Zhou, Z. Nie, K. Wang, Static and dynamic analysis of micro beams based on strain gradient elasticity theory, International Journal of Engineering Science, 47 (2009) 487-498.
[46] T.B. Benjamin, Dynamics of a system of articulated pipes conveying fluid. II. Experiments, Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 261 (1961) 487-499.
[47] Y. Zhang, X. Liu, J. Zhao, Influence of temperature change on column buckling of multiwalled carbon nanotubes, Physics Letters A, 372 (2008) 1676-1681.
[48] Liu, G.R. and Gu, Y.T.An introduction to meshfree methods and their programming.(2005)Springer Science & Business Media.

Full-Text:



	17
نشریه علمی - تخصصی یافته­های نوین کاربردی و محاسباتی در سیستم­های مکانیکی		سال چهارم: شماره 4، زمستان 1403 │

 

کارآیی روش بدون المان توسعه یافته جهت تحلیل پس کمانش میکرولوله­های هدفمند 

حاوی سیال تحت میدان­های دما و سرعت

 

بهروز آرین­نژاد1*  ، امیر حشمت خدمتی بازکیایی2

 

1. گروه مهندسی مکانیک، واحد اهواز، دانشگاه آزاد اسلامی، اهواز، ایران

2. گروه مهندسی مکانیک، واحد سوسنگرد، دانشگاه آزاد اسلامی، سوسنگرد، ایران. 

 

 *نویسنده مسئول: [e-mail]

تاریخ دریافت: 28/09/1403       تاریخ پذیرش: 19/11/1403

چکیده:

میکرو/ نانولوله­ها هدفمند ­به ­دلیل ­هندسه ­و رفتار­ مکانیکی­ خاص کاربرد زیادی درسیستم­های ­الکترومکانیکی ­دارند. در این تحقیق جهت یافتن معادلات حاکم بر تحلیل از تئوری غیرکلاسیک گرادیان کرنش مبتنی برمدل ­کلاسیک تیر اویلر برنولی با هندسه­­ غیرخطی وون-کارمن استفاده می­شود. در این تحلیل ­نحوه تاثیر تغییرات دما، قطر خارجی، سرعت بی بعد شده و قانون توانی بر رفتار غیرخطی میکرو لوله نیز مورد مطالعه قرار گرفته است. با حل ضعیف معادلات دیفرانسیلی حاکم به روش ­درون یابی نقطه­ای توسعه یافته، میدان جابجایی ناشی از کمانش میکرو لوله هدفمند تحت میدان­های سرعت و دما محاسبه ­گردیدند. یافته­های تحقیق ضمن کارآیی استفاده از روش عددی یاد شده، بیان می­دارند که کاهش قطر میکرولوله با فرکانس طبیعی و سرعت بحرانی نسبت عکس دارد. با تاثیر همزمان میدان­های سرعت و تغییرات دما، محدوده قطر بحرانی خارجی بین 12 تا 15 میکرو متر و قطر خارجی بحرانی 13 میکرو متر با دامنه بیشینه نوسان 01/0 تعیین ­گردید. این در حالی است که با این قطر بحرانی و افزایش دما، جابجایی عرضی میکرو لوله هدفمند افزایش، سفتی آن کاهش یافته است. با افزایش اندیس توانی به ویژه در13 n>، مشاهده گردید که رفتار میکرو لوله­ از جنس مواد خالص به میکرو لوله­ای از جنس مواد هدفمند نزدیکتر می­شود.

 

کلمات کلیدی: کمانش، میکرو لوله، مواد هدفمند، میدان­های دما و سرعت سیال، روش بدون المان نقطه­ای

 

مقدمه

نانو ­علم و ­نانو تکنولوژی ­رویکردی نسبتا جدید جهت توصیف، کنترل، تولید و بهره­برداری ازخواص و تحلیل پدیده­ها در مواد با ­ابعاد مولکولی و اتمی (­نانو­ و میکرو­متری) می‌باشد. از آﻧﺠﺎ ﮐﻪ رﻓﺘﺎر ﻣﻮاد در ﻣﻘﯿﺎس ﻧﺎﻧﻮ ﺑﺎ آﻧﭽﻪ در اﺑﻌﺎد ﻣﺎﮐﺮو وﺟﻮد دارد ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ، داﻧﺸﻤﻨﺪان ﺗﺌﻮريﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻔﯽ ﺑﺮاي ﺑﺮرﺳﯽ رﻓﺘﺎر ﻣﻮاد در ﻣﻘﯿﺎس ﻧﺎﻧﻮ ارایه دادﻧﺪ. حسینی و همکاران]1[ در یک مطالعه مروری به بیان ­آخرین دستاوردهای پژوهشی در مورد خمش، کمانش و ارتعاش نانوصفحات، نانوتیرها، نانومیله‌ها و نانولوله‌ها با استفاده از نظریه الاستیسیته غیرموضعی و نظریه گرادیان کرنش غیرموضعی پرداختند. ایچیکاوا]2[ به مزایای استفاده از مواد هدفمند در مقایسه با مواد مرکب و به کارگیری نانو ذرات در تولید این مواد اشاره نمودند. چرا که این مواد به دلیل تغییر تدریجی خواص، با چالش عدم هماهنگی بین ساختار زمینه و الیاف در مواد مرکب مواجه نیستند. جهت مطالعه و بررسی رفتار­های مکانیکی نانو مواد، ﻋﻼوه ﺑﺮ روشﻫﺎي آزﻣﺎﯾﺸﮕﺎﻫﯽ از روشﻫﺎيی نظیر ﻣﺪلﺳﺎزي اﺗمی-مولکولی، ﻣﺪلﺳﺎزي ﺗﺮﮐﯿﺒﯽ هم استفاده ﻣﯽﺷﻮد. ارش و وانگ]3[ در پژوهش خود به بررسی کاربرد تئوری­های غیر محلی در مدل­سازی نانو لوله­های کربنی پرداختند. آنها نشان دادند که استفاده از مدل­سازی و مطالعه رفتار نانو ساختارها، تئوری­های غیرکلاسیک توسعه یافته­ای ­نظیر؛ تئوری تنش کوپل¹، تئوری گرادیان کرنش²، تئوری اثر سطح³ و تئوری غیر موضعی⁴ می­تواند مشکلات هزینه و عدم کنترل مواد در مقیاس نانو حین تحلیل­های تجربی را مرتفع سازند .ردي و ﮐـﯿﻢ]4[ با تئوری ﺗﻨﺶ ﮐﻮﭘﻞ اﺻﻼح ﺷﺪه به تحلیل ورق­های ساخته شده از ﻣﺎده ﻣﺪرج ﺗﺎﺑﻌﯽ و مقایسه آن ﺑﺎ ﺗﺌﻮري ﺗﻐﯿﯿﺮ ﺷﮑﻞ ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺳﻮم ﺑﺮﺷﯽ پرداختند. نتیجه مطالعه آنها از دقیق­تر بودن نتایج تئوری غیرکلاسیک به کار گرفته شده حکایت دارد. ﺳﯿﻤﺴﮏ و ﻫﻤﮑﺎران]5[ ﺧﻤﺶ اﺳﺘﺎﺗﯿﮑﯽ ﺗﯿﺮ ﺗﯿﻤﻮﺷﻨﮑﻮ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺌﻮري ﺗﻨﺶ ﮐﻮﭘﻞ اﺻﻼح ﺷﺪه ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﯿﻞ ﻗﺮار دادﻧﺪ. در اﯾﻦ ﺗﺤﻘﯿﻖ بیان نمودند که ﺧﯿﺰ محاسبه ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ ﺗﺌﻮري ﮐﻼﺳﯿﮏ، همواره ﺑﺰرﮔﺘﺮ از مقادیر محاسبه شده ﺗﻮﺳﻂ ﺗﻨﺶ ﮐﻮﭘﻞ اﺻﻼح ﺷﺪه است. ژﯾﺎن ﻟﯽ و ﻫﻤﮑﺎران]6[ ﺷﮑﻞ ﺑﺴﺘﻪ ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻤﺶ اﺳﺘﺎﺗﯿﮑﯽ و ارﺗﻌﺎﺷﺎت آزاد ﯾﮏ ﻣﯿﮑﺮوﺻﻔﺤﻪ ﻣﺴﺘﻄﯿﻠﯽ و ﻗﻄﺎﻋﯽ از ﻣﺎده هدفمند ﺑﺎ ﺗﮑﯿﻪﮔـﺎه ﺳﺎده را ارایه ﮐﺮدﻧﺪ. ﻧﺘﺎﯾﺞ آنها ﻧﺸﺎن ﻣﯽدﻫﺪ ﮐﻪ بکارگیری ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻃﻮل در تئوری تنش کوپل در مقایسه با تئوری کلاسیک تنش، ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﮐﺎﻫﺶ اﻧﻌﻄﺎفﭘﺬﯾﺮي ﻣﯿﮑﺮوﺻﻔﺤﻪ می­شود. لذا این امر ﺧﯿﺰ ورق را کاهش و ﺑﺴﺎﻣﺪ ﻃﺒﯿﻌﯽ درآن را افزایش می­دهد. یکی از مهم‌ترین دلایل­ این ­اختلاف ­در­ محاسبات،­ به ­ﺗﻔﺎوت ­اﺻﻠﻲ ﺑﻴﻦ ­ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻛﻼﺳﻴﻚ­ و ﻧﻈﺮﻳﻪ ­ﻏﻴﺮﻣﺤﻠﻲ ­درﺗﻌﺮﻳﻒ ­تنش مربوطه می­شود. ﻧﻈﺮﻳﻪهایﻛﻼﺳﻴﻚ ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﻣﺤﻴﻂﻫﺎي ­ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ عمدتا مبتنی بر رواﺑﻂ ﺳﺎﺧﺘﺎري ﻫﺎﻳﭙﺮاﻻﺳﺘﻴﻚ اﺳﺘﻮار بوده و در آنها ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ ﺗﻨﺶ در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ﺑﻪﺻﻮرت ﺗﺎﺑﻌﻲ از ﻛﺮﻧﺶﻫﺎي ﻫﻤﺎن ﻧﻘﻄﻪ است. ارینگن و ادلن]9-7[ نظریه غیر محلی را مطرح نمودند. آنها ثابت نمودند که تنش در هر نقطه نه تنها تابع میدان کرنش آن نقطه است بلکه تابع کرنش تمام نقاط پیرامون و محیط پیوسته است. وانگ و همکاران]10[ به بررسی اثرات سطحی بر روی ارتعاشات عرضی و کمانش محوری نانو تیرهای مضاعف بر اساس مدل بهبود یافته تیر اویلر-برنولی پرداختند. آنها در سه حالت تغییر شکل رایج، فرکانس طبیعی و بار محوری بحرانی با در نظر گرفتن الاستیسیته سطحی و تنش باقی ‌مانده سطح را محاسبه کردند. آنها بیان داشتند که اثرات سطحی هنگامی که اندازه مقطع تیرها به نانومتر می‌رسد، بسیار اهمیت دارد و فرکانس طبیعی و بار بحرانی را افزایش می‌دهند. وانگ­]11[ به ارایه مدل غیر محلی اصلاح شده برای شناسایی تاثیر پارامتر غیرمحلی بر فرکانس‌های طبیعی و سرعت‌های جریان بحرانی پرداخت. او از طریق شبیه­سازی عددی ارتعاش و پایداری نانو لوله‌های حاوی جریان دریافت که با لحاظ کردن این پارامترها، فرکانس‌های طبیعی بالاتر و سرعت‌های جریان بحرانی بالاتری را در مقایسه با نتایج به دست آمده از مدل‌های کلاسیک و غیرمحلی یافت می­شود. محمود و همکاران­]12[ به مطالعه اثرات وابسته خواص سطحی و الاستیسیته غیرمحلی بر انحراف استاتیک نانو تیرها پرداختند. آنها از تئوری الاستیسیته سطحی برای توصیف رفتار لایه سطحی و تئوری تیر اویلر-برنولی برای تعیین تغییر شکل تیر استفاده نمودند. جهت تحلیل از روش المان‌ محدود استفاده کرده‌اند .ﺳﺎن و ﻫﻤﻜﺎران]13[ از ﻣﺪل ﺗﻴﺮ اویلر_ﺑﺮﻧﻮﻟﻲ ﺑﺮاي ﺑﺮرﺳﻲ رﻓﺘﺎر ﻛﻤﺎﻧﺶ ﻧﺎﻧﻮ ﻟﻮﻟﻪﻫﺎي ﻛﺮﺑﻨﻲ ﺗﺤﺖ ﻓﺸﺎر ﻣﺤﻮري اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮدﻧﺪ. آﻧﻬﺎ ثابت نمودند ﻛﻪ اثر اندازه و سطح در مقیاس کوچک دو وﻳﮋﮔﻲ ذاﺗﻲ و اجتناب­ناپذیر در ﻧﺎﻧﻮﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ هر دو باید در تئوری غیرمحلی درنظر گرفته شوند. آنها بیان صریحی از راه حل‌­ها جهت یافتن بارهای بحرانی کمانش مطابق با شرایط مرزی معمول پرداختند. ﻛﻮﻣﺎر و ﻫﻤﻜﺎران]14[ ﻛﻤﺎﻧﺶ ﻧﺎﻧﻮﻟﻮﻟﻪ ﻛﺮﺑﻨﻲ ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﺮزي ﻣﺨﺘﻠﻒ را ﺑﺎ تئوری ﺗﻴﺮ­ اوﻳﻠﺮ_ﺑﺮﻧﻮﻟﻲ مدل­سازی نمودند و نتایج خود را بر اساس روش انرژی در تئوری­های الاستیسیسته غیرمحلی و غیرمحلی اصلاح شده ارایه نمودند. آﻧﻬﺎ یافته­های ﺧﻮد را ﺑﺎ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ‌دﺳﺖ آﻣﺪه ازروش دﻳﻨﺎﻣﻴﻚ ﻣﻮﻟﻜﻮﻟﻲ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ نمودﻧﺪ. بررسی آنها نشان داد که ﺑﺮاي ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺑﺴﻴﺎر ﻛﻮﭼﻚ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻏﻴﺮﻣﺤﻠﻲ، ﻧﺘﺎﻳﺞ تئوری اﻻﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ ﻏﻴﺮﻣﺤﻠﻲ و تئوری اﻻﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ ﻏﻴﺮﻣﺤﻠﻲ اﺻﻼح ﺷﺪه ﺑﺮ ﻫﻢ ﻣﻨﻄﺒﻖ هستند. اما ﺑﺎ اﻓﺰاﻳﺶ ﭘاراﻣﺘﺮهای ﻏﻴﺮﻣﺤﻠﻲ ﻧﺘﺎﻳﺞ اﻳﻦ دو ﻧﻈﺮﻳﻪ از ﻫﻢ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﻲﮔﻴﺮد. واﻧﮓ و همکاران]16و15[ اﺛﺮات ﺳﻄﺢ ﺑﺮ روي ﻛﻤﺎﻧﺶ ﻣﺤﻮري و ارﺗﻌﺎﺷﺎت ﺟﺎﻧﺒﻲ ﻧﺎﻧﻮ میلهﻫﺎ را ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻲ ﻗﺮار دادﻧﺪ. آﻧﻬﺎ اﺛﺮات اﻻﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ ﺳﻄﺢ و ﺗﻨﺶ ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه ﺳﻄﺤﻲ را ﺑﺎ رواﺑﻂ ﺗﻴﺮ ﺗﻴﻤﻮﺷﻨﻜﻮ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻛﺮدﻧﺪ ﺗﺎ ﻣﻌﺎدﻻت ﺣﺎﻛﻢ ﺑﺮ ﻛﻤﺎﻧﺶ ﻳﺎ ارﺗﻌﺎش ﻧﺎﻧﻮ میله را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻧﺪ. آﻧﻬﺎ درﻳﺎﻓﺘﻨﺪ ﻛﻪ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ اﺛﺮات ﺳﻄﺤﻲ ﺑﺮاي ﻣﻮادي ﺑﺎ ﺛﺎﺑﺖﻫﺎي ﺳﻄﺢ ﻣﺜﺒﺖ، ﺑﺎﻋﺚ اﻓﺰاﻳﺶ ﻧﻴﺮوي ﻛﻤﺎﻧﺶ ﺑﺤﺮاﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻣﻲﺷﻮد. اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﺮاي ﻧﺎﻧﻮمیلهﻫﺎي ﺑﺎ ﺳﻄﺢ ﻣﻘﻄﻊ داﻳﺮه­اي و ﺑﺎ ﻧﺴﺒﺖ ﻃﻮل ﺑﻪ ﻗﻄﺮ ﺑﺰرگ ﺧﻮد را بیشتر ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﻟﻴﻮ و ﻫﻤﻜﺎران]17[ ﻳﻚ ﻣﺪل اﺟﺰا ﻣﺤﺪود ﺑﺮاي ﺑﺮرﺳﻲ اﺛﺮات اﻧﺮژي ﺳﻄﺤﻲ و بار بحرانی کمانش ﺑﺮ روي ﻧﺎﻧﻮﺗﻴﺮﻫﺎ ارایه ﻛﺮدﻧﺪ. آﻧﻬﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻈﺮیه ﺳﻄﺢ ﮔﻮرﺗﻴن_ﻣﺮداك و ﻣﺪل­سازی ﺗﻴﺮهای ﻧﺎزك و ﺿﺨﻴﻢ، ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﻃﺒﻴﻌﻲ را ﺑﻪدﺳﺖ آورده و ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺧﻮد را ﺑﺎ روشﻫﺎي تجربی ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ و صحت­سنجی کردند و بیان نمودند روش اجزا محدود­ به‌ عنوان ابزاری کارآمد برای تحلیل، طراحی و پیش‌بینی پاسخ مکانیکی عناصر تیر موجود در سیستم‌های نانو الکترومکانیکی و دیگر دستگاه‌های نانو مقیاس عمل می‌کند. صحت یافته­های خود را از طریق مقایسه با نتایج دینامیک مولکولی، انجام دادند. ﻟﻴﻢ و ﻫﻤﻜﺎران]18[ و همچنین ﻳﺎﻧﮓ و همکاران] ]19[ ﻛﻤﺎﻧﺶ ﺣﺮارﺗﻲ ﻧﺎﻧﻮﻣﻴﻠﻪ را ﺑﺮ اﺳﺎس تئوری ﻏﻴﺮﻣﺤﻠﻲ اﺻﻼح ﺷﺪه ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻲ ﻗﺮار دادﻧﺪ. آنها ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﺟﺪﻳﺪی با ﻣﺮﺗﺒﻪ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑﺮاي ﻛﻤﺎﻧﺶ ﻧﺎﻧﻮﻣﻴﻠﻪ ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﺮزي در ﻫﺮ دو ﺟﻬﺖ ﻋﺮﺿﻲ و ﻣﺤﻮري ارایه نمودند. این معادلات مبتنی بر تئوری ﻏﻴﺮﻣﺤﻠﻲ و اﺻﻞ ﺣﺴﺎب ﺗﻐﻴﻴﺮات ﺑﻪدﺳﺖ آﻣﺪه و اﺛﺮات ﻣﻘﻴﺎس ﻧﺎﻧﻮ و ﺗﻐﻴﻴﺮ دﻣﺎ ﺑﺮ ﻧﻴﺮوي ﺑﺤﺮاﻧﻲ ﺑﺮرﺳﻲ می­کردند. آنها ﻧﺸﺎن دادﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺎر ﺑﺤﺮاﻧﻲﻛﻤﺎﻧﺶ ﻧﺎﻧﻮ ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎ ﺑﺎ اﻓﺰاﻳﺶ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎ در حد دمای محیط و کمی بالاتر اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ. این در حالی است که دردمای ﺑﺎﻻ ﻧﻴﺮوي ﺑﺤﺮاﻧﻲﻛﺎﻫﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ. ﻣﻮﺳﻮي و ﻫﻤﻜﺎران]20[ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﺟﺪﻳﺪ اﻻﺳﺘﻴﺴﻴﺘﻪ ﻏﻴﺮﻣﺤﻠﻲ اﺻﻼح ﺷﺪه ﻛﺎﻣﻞ را ﻣﻌﺮﻓﻲ نمودﻧﺪ. آﻧﻬﺎ ﺑﺮ اﺳﺎس ﻣﻌﺎدﻻت ﺳﺎﺧﺘﺎري ﻏﻴﺮﻣﺤﻠﻲ اﺻﻼح ﺷﺪه ﭘﻴﺸﻴﻦ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺻﻞ ﻫﻣﻴﻠﺘﻮن، ﺧﻤﺶ و ﻛﻤﺎﻧﺶ ﻧﺎﻧﻮﺻﻔﺤﺎت ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ را ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﺮدﻧد. مطالعات آنها ﻧﺸﺎن داد، ﺑﺎزآراﻳﻲ ﺳﺮي ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪه در رواﺑﻂ ﻣﻨﺠﺮ به کاهش خطا در ﻣﻌﺎدﻻت ﺳﺎﺧﺘﺎري اﺻﻼح ﺷﺪه ﻣﻲﺷﻮد. در این پژوهش برای مطالعه رفتار پس از کمانش میکرو لوله­های هدفمند حاوی جریان سیال تحت میدان­های سرعت ازتئوری غیرکلاسیک گرادیان کرنش و حل معادلات استاتیکی حاکم با روش بدون المان درون یابی نقطه­ای استفاده خواهد شد. از طرفی با توجه به بکارگیری میکرولوله­ها در سیستم­های میکرو سیالی در شرایط مختلف محیطی، به شکل همزمان نقش دما نیز به عنوان یکی از پارامترهای تأثیرگذار در طراحی و رفتار میکرو/ لوله­ها بررسی می­گردد. شایان ذکر است بکارگیری تئوری بیان شده، جنس و سایز لوله، روش حل و تاثیر همزمان میدان­های سرعت و دما از جنبه­های نوآوری تحقیق حاضر بشمار می­رود.

تئوری تحقیق 

تئوری­های کلاسیک مکانیک محیط­های پیوسته، توان تحلیل در ابعاد ماکرو برای مواد را دارا هستند. لذا تحلیل و مطالعه رفتارهای مکانیکی میکرو و نانو مواد با استفاده از تئوری­های کلاسیک رایج در مکانیک شکست و خستگی امکان­پذیر نیست. زیرا در این تئوری­ها، اثرات اندازه در مدل­سازی­های ساختاری و سازه­ها در مقیاس میکرو و نانو لحاظ نشده است. ضمن اینکه نتایج چنین رهیافتی از تقارب مطلوب با مدل­سازی­های تجربی، مولکولی یا ترکیبی برخوردار نخواهد بود. تحلیل­های تجربی و ترکیبی بسیار هزینه­بر هستند. لذا استفاده ازروش­های تحلیلی غیرکلاسیک رایج­تر است. تئوری غیر موضعی ارینگن، تئوری­های تنش­کوپل وتنش­کوپل اصلاح شده هرکدام با دارا بودن یک یا دو ثابت طولی، اثرات اندازه را در پیش­بینی میدان جابجایی ­در محاسبه نتایج و تخمین مقادیرکرنش و تنش در خود دارا هستند. مطابق جدول(1) تئوری گرادیان کرنشی با سه پارامتر­ مستقل طولی­( گرادیان تأخیر، گرادیان انحراف طولی و گرادیان چرخش)، علاوه بر محاسبه جابجایی می­تواند به یافتن چرخش­ها حول محورها نیز بپردازد. البته به دلیل استفاده از مشتقات مرتبه بالا معادلات دیفرانسیل پیچیدگی خاص خود را داشته و نیازمند شرایط مرزی بیشتری جهت حل هستند.

تئوری گرادیان کرنشی فرم عمومی­تر تئوری تنش کوپل است. بر اساس تئوری گرادیان کرنش، چگالی انرژی جنبشی تابعی از، تانسور کرنش متقارن⁵، بردار گرادیان تأخیر⁶، تانسور گرادیان انحراف اتساع و تانسور گرادیان چرخش متقارن است. در این تئوری­، انرژی کرنشی برای مواد ایزوتروپیک الاستیک خطی بر روی دامنه تحلیلی نظیر  با در نظر گرفتن تغییر شکل­های کوچک به­صورت رابطه (1) تعریف می­شود] 23و22 [:

جدول 1: مقایسه کلی تئوری­های مورد استفاده در تحلیل میکرو / نانو سازه­ها

تئوری مورد استفاده در تحلیل میکرو/ نانو سازه­ها		مزایا	معایب
تئوری­های کلاسیک در مکانیک شکست و خستگی مبتنی بر مکانیک محیط­های پیوسته		قابل استفاده در تحلیل سازه در مقیاس معمولی و ماکرو	عدم در نظر گرفتن تاثیر سایز، عدم تطبیق یافته­ها با نتایج تجربی و ترکیبی در مقیاس مولکولی­، وابستگی مقدار تنش در هرنقطه به مقدار کرنش در آن نقطه
تئوری غیرکلاسیک  تنش کوپل		قابل استفاده در مقیاس میکرو و نانو با یک یا دو پارامتر طولی جهت تخمین میدان جابجایی،کم هزینه بودن نسبت به تحلیل­های تجربی­، تخمین تنش و کرنش در یک نقطه با مقادیر تنش و کرنش در تمامی نقاط پیرامون آن­نقطه، درنظر گرفتن نیروی واندروالسی، سازگاری ­با اصول مکانیک محیط پیوسته	عدم پیش­بینی و دقت لازم جهت تخمین میدان جابجایی و چرخش­ها به شکل هم زمان، نیازمند تعیین پارامتر طول به کمک داده­های تجربی، مشکل محاسبه تغییر شکل­های بزرگ و رفتارهای غیرخطی، عدم مدل­سازی مطلوب  اثرات سطحی
تئوری غیر کلاسیک گرادیان کرنشی		قابل استفاده در تحلیل­های خطی و غیرخطی با سه پارامتر طولی جهت تخمین ­میدان­های ­جابجایی و چرخش همزمان، کم هزینه بودن نسبت به تحلیل­های تجربی، تخمین تنش و کرنش با مقادیر تنش و کرنش در تمام نقاط با معادلات دیفرانسیلی غیرخطی با مشتقات مرتبه بالا	پیچیدگی فرمول بندی و حل عددی به دلیل وجود مشتقات­ مرتبه بالا در معادلات حاکم، نیاز به شروط مرزی اضافه برای حل­، نبود داده های دقیق تجربی به دلیل پر هزینه بودن تحلیل های تجربی
(1)

که در آن  تانسورکرنش وون کارمن،  بردار گرادیان تأخیر،   تانسور انحراف اتساع (طولی) و  تانسور گرادیان چرخش متقارن بوده و به ترتیب عبارتند از:

(2)

در رابطه (1)،  تانسور کلاسیک تنش است، که ­در واقع همان کار مزدوج تانسور کرنش  محسوب می­شود. تنش­های مرتبه بالای  ،  و   نیز به ­ترتیب، کار­های مزدوج  ،  و   بوده که عبارتند از: (3)                      در رابطه (3)،  و   ثوابت کلاسیک تئوری الاستیسیته و  ،  و   پارامتر­های مستقل طولی بوده که به ­ترتیب مربوط به بردار گرادیان تاخیر، تانسورگرادیان انحراف طولی وتانسور گرادیان چرخش متقارن می‌باشند. در این پژوهش جهت مطالعه رفتار کمانش میکرو لوله­ حاوی جریان از روش انرژی و اصل همیلتون استفاده خواهد شد. لذا ابتدا انرژی­ سیستم (انرژی کرنشی و انرژی جنبشی­) محاسبه می­گردند. سپس به کمک اصل همیلتون و صفر در نظر گرفتن تغییرات انرژی کل سیستم، معادلات حاکم بر میکرولوله یافت می­شوند. در مسائل پایداری که تحلیل از نوع استاتیکی است، از انرژی جنبشی سازه صرف­نظر              می‌گردد. تحت چنین شرایطی تنها مولفه­ انرژی جنبشی موجود که در مدل­سازی برای میکرو لوله، انرژی جنبشی مربوط به ورود سیال بوده که عبارت است از] 26[ : که در آن  ، جرم سیال بر واحد طول میکرو لوله و  سرعت متوسط سیال جاری درون میکرو لوله است. می­توان اثر تغییر دما را با استفاده از اصول ترموالاستیک، به صورت یک نیروی خارجی بر میکرو لوله نشان داد. لذا این نیرو که به بار حرارتی موسوم است عبارت است از: (4)   در رابطه(5)،  مدول الاستیسیته،  ضریب پواسون،  ضریب انبساط طولی و  تغییر دمای میکرو لوله هستند. انرژی کل سیستم نیز برابر است با: (5)       بر اساس اصل همیلتون، تغییرات انرژی کل در یک  سیستم صفر است لذا: (6)    اکنون با جایگذاری روابط (1)، (4) و (5) در رابطه­ (7) و استفاده از حساب تغییرات و انتگرال­گیری جزء به جزء می­توان نوشت: (7)     نیروی محوری   باعث جابجایی عرضی ذرات صفحه میانی در میکرو لوله نسبت به حالت اولیه درمیکرو لوله حاوی جریان با سرعت بحرانی می­شود. علاوه بر آن معادلات دیفرانسیل را غیر­خطی می­کند]26و25[. تحت چنین شرایطی فرم بی­بعد و غیرکلاسیک معادله دیفرانسیل حاکم بر میکرو لوله در صفحه میانی را می­توان به صورت زیر ارایه نمود:  (8)     که در آن پارامترهای بی­بعد عبارتند از] 24-22 [: (9)            (10)               معادله (9) یک معادله دیفرانسیل انتگرالی غیرخطی بر حسب زمان و مکان است. می­توان با استفاده از روش گالرکین آن را به یک معادله دیفرانسیل غیر­خطی بر حسب زمان تبدیل نمود. برای این منظور ابتدا فرض می­شود جابجایی عرضی میکرو لوله  برابر است با: در رابطه (11)،   مود اول کمانش میکرو­لوله و  جابجایی میکرولوله پس از کمانش معرفی می­گردند. توجه دارید که انتخاب این توابع تک متغیره به نحوی صورت می­گیرد که ارضا کننده شرایط مرزی میکرو­لوله (دو سر تکیه­گاه ثابت) نیز باشند. برای شروع آسیب و طراحی، رسیدن به مود اول کافی است. چرا که وقتی شرایط بارگذاری و مرزی به­نحوی پیش روند که سازه دچار ناپایداری (خیز و کمانش) شود، دیگر ضرورتی برای محاسبه شکل مودهای ­دیگر وجود ندارد. به عبارت بهتر همان رسیدن به مود اول باعث رخداد حادثه و تغییر شکل میکرو / نانولوله و آسیب به سیستم خواهد شد. به همین منظور جهت رسیدن به حل معادله دیفرانسیلی–انتگرالی حاکم استفاده از تابعی سینوسی در تعریف شکل مود اول برای تقریب جواب استفاده می شود. با جایگذاری رابطه­ (11) در رابطه­ (9) و انتگرال­گیری روی دامنه میکرو لوله، معادله دیفرانسیل حاصله به یک معادله دیفرانسیلی غیرخطی شبهه دافین منجر خواهد شد. با حل این معادله میزان جابجایی میکرو لوله حاوی جریان تحت میدان سرعت و دما، محاسبه می‌گردد. با صفر در نظر گرفتن جابجایی عرضی پیش از کمانش نیز، می­توان به­ رابطه­ای صریح برای سرعت بحرانی میکرولوله  رسید. برای اعمال روش بدون المان درون یابی نقطه­ای باید معادلات دیفرانسیل انتگرالی یافت شده برای کلیه نقاط گره­ای توزیع شده در دامنه تحلیل (نقاط صفحه میانی میکرو لوله) نوشته و حل شوند. جهت انجام محاسبات، میکرو لوله­­ هدفمند از جنس، آلومینیوم و اپوکسی پلیمر ­با خواص زیر در نظر گرفته می­شود (فرض بر این است که لایه­­های داخلی و خارجی به ترتیب غنی از آلومینیوم و اپوکسی پلیمر است و از وجود نیروی اولیه در میکرولوله صرف­نظر می­شود   )       برای بررسی رفتار کمانش میکرو لوله­های هدفمند، نیاز به معادلات حاکم از نوع دیفرانسیلی–انتگرالی غیرخطی در حالت استاتیک است. بنابراین با صرف­نظر کردن از جمله­های وابسته به زمان می­توان نوشت: (11)         جابجایی عرضی میکرو لوله با توجه به مود اول کمانش و شرایط مرزی میکرو لوله که دو سر تکیه­گاه ساده هستند، به صورت رابطه (13) خواهد بود: (12)     (13)   سرعت بحرانی میکرولوله­ هدفمند نیز برابر است با] 24 [: اعمال روش بدون المان درون‌یابی نقطه­ای بردامنه تحلیل روش عددی بدون المان درون‌یابی نقطه­ای را می­توان برای حل­ انتگرالی ­معادلات دیفرانسیل حاکم­ بر تحلیل مسایل مکانیک بکار گرفت. در این روش عددی، تابع تقریب مورد استفاده برای میدان­های جابجایی، تنش و کرنش مطابق رابطه (15) است. در این تحقیق جهت دستیابی به پاسخ های دقیق­تر با اضافه کردن تابع پایه چند ربعی، این روش توسعه داده می شود[27]. (14)   در این رابطه،  تابع پایه­ چند جمله­ای مبتنی بر هرم خیام-پاسکال و ­تابع پایه چند ربعی می باشند. mوn تعداد ­جملات توابع پایه چند جمله­ای و چند ربعی، ­ و  ضرایب مجهول توابع پایه ­هستند. این ضرایب بر مبنای تعداد ­نقاط گره­ای توزیع شده دردامنه پشتیبان ­و با حل دستگاه m+n معادله­ با همان تعداد مجهول بدست می­آیند. می توان این توابع ­را به صورت رابطه (16) بیان نمود: (15)    در این رابطه، و q­­ دو پارامتر شکل مثبت فرض شده که توسط تحلیلگر با مقدار بهینه یا استاندارد تعیین می­گردند. ­dc  بعد دامنه پشتیبان و ri فاصله شعاعی بین نقطه ­مورد بررسی تا نقطه گره­ای در مختصات دکارتی می­باشند. با یافت شدن ضرایب مجهول، توابع شکل جهت تقریب میدان جابجایی برابرند با: (16)  , توابع شکل محاسبه شده در رابطه ­(17)،­ همه مثبت و یکنوا هستند. این توابع شکل خواص تابع دلتای درایک را دارا بوده ­و مجموع آنها برابر واحد است. در این رابطه G  ماتریس درون‌یاب کلی نامیده می­شود. میدان جابجایی نقاط مختلف دامنه تحلیل ­بر حسب توابع شکل درون‌یاب تعریف شده با رابطه (18) تقریب زده می شود: (17)   مطابق شکل (1) جهت مدل­سازی میکرولوله روی دو تکیه گاه ساده قرارداده می‌شود. این میکرو لوله به ­طول  با سطح مقطع ، قطر خارجی و داخلی d ,­ D  و جرم واحد طول  ­ با چگالی   است.  سیال درون آن دارای چگالی سیال   بوده و سرعت آن    فرض می­شود. جریان درون میکرولوله غیرقابل تراکم با سرعت ثابت در نظر گرفته شده و محور  منطبق بر محور مرکزی لوله است.   شکل 1: میکرولوله حاوی جریان بر روی دو تکیه­گاه ساده بر اساس تئوری کلاسیک تیر اویلر-برنولی میدان جابجایی به صورت رابطه (19) بیان می­شود[21]:   (18)   (19)     در این رابطه،  مولفه­های بردار جابجایی در جهات  بوده و   زاویه­ چرخش است که به صورت زیر تعریف می­شود: (20)        توجه دارید که معادلات انتگرالی حاصل از تعمیم معادله (9)­ برای یافتن میدان جابجایی در هر نقطه گره­ای، با استفاده از روش تربیعی گاووسی توسط روش درون یابی نقطه­ای حل می­گردند. برای این کار، ابتدا دامنه محلی دریک محدوده تربیعی از مختصات دکارتی به مختصات قطبی تبدیل­ می­شود. سپس این محدوده به فضای استاندارد تربیعی گاووسی نگاشته می­گردد. آنگاه با برهم گذاری ماتریس­های سختی، جرم، نیرو ماتریس­های کلی محاسبه می­شوند. در نهایت مقادیر جابجایی و سایر پارامترهای مورد نیاز برای تحلیل کمانش یافت می­گردند. یافته ها:  میکرولوله­ای که جهت محاسبات عددی و صحت مدل­سازی استفاده می­شود، از جنس آلومینیوم با مدول الاستیسیته 80 گیگاپاسکال، نسبت پواسون 23/0و چگالی 2700 کیلوگرم بر متر مکعب در نظرگرفته شده است[21]. همچنین چگالی سیال جاری غیرقابل تراکم با سرعت ثابت در میکرولوله برابر با 1200 کیلوگرم بر متر مکعب است. اگر میکرو­لوله­ای از جنس آلومینیوم اپوکسی پلیمر با خواص ذکر شده قبلی باشد، آنگاه    مقدار  6/17  و اگر میکرو لوله ای از جنس آلومینیوم خالص در نظر گرفته شود  5/1  است[22]. برای صحت سنجی مدل­سازی انجام شده در تحلیل عددی، ابتدا فرکانس­های طبیعی خطی برای میکرولوله­ای­ از جنس فلز (آلومینیوم خالص) بر حسب سرعت جریان از دو روش دیفرانسیل کوادراچر[21] و روش بدون المان ­درون یابی نقطه­ای توسعه یافته، مبتنی بر تئوری گرادیان کرنش مقایسه می­گردند. نمودارهای ارایه شده در شکل (3)، از انطباق خوب نتایج روش عددی و مدل­سازی مطلوب حکایت دارند. همانگونه که واقف هستید، سرعتی از سیال جاری،که در آن میکرولوله ناپایدار شده و کمانش درآن آغاز می­گردد، سرعت بحرانی نامیده می­شود.   شکل 3: مقایسه فرکانس طبیعی خطی میکرولوله­  از جنس آلومینیوم برحسب سرعت جریان در نمودارهای شکل(4) تاثیر اندازه قطر خارجی میکرو لوله بر سرعت بحرانی سیال جاری در آن بر حسب تئوری­های مختلف تحلیل تنش ارایه شدند.   شکل 4: نمودار تغییرات سرعت بحرانی بی بعد شده بر حسب تغییرات قطر خارجی میکرولوله هدفمند     نتایج حاصل از مقایسه نتایج تئوری­های مختلف نشان می­دهند که با کاهش قطر خارجی میکرو لوله هدفمند، سرعت بحرانی افزایش می­یابد. این در حالی است که تئوری کلاسیک مکانیک محیط­های پیوسته در تخمین درست سرعت بحرانی میکرو لوله حاوی جریان ناتوان است (شکل 4). برای مطالعه تاثیر دما بر نحوه تغییرات سرعت بحرانی بی­بعد شده بر حسب تغییر قطر خارجی میکرولوله هدفمند، نمودارهای شکل (5) ترسیم شده­اند. لازم به ذکر است تئوری بکار گرفته شده جهت انجام محاسبات و اعمال روش عددی انتخابی، تئوری غیر خطی گرادیان کرنشی  است. می­توان در نمودارهای شکل (5) مشاهده نمود که با کاهش قطر میکرو­لوله هدفمند، تاثیر دما بر سرعت بحرانی ­کاهش یافته به نحوی که در قطر­های خیلی کوچک می­توان از اثر دما صرف نظر کرد. ولیکن به طور کلی می­توان گفت دما با سرعت بحرانی نسبت عکس دارد. به منظور بررسی تاثیر دما بر نسبت فرکانس های بی­بعد شده ( نسبت فرکانس غیرخطی به فرکانس خطی) بر حسب بیشینه دامنه نوسان در میکرو لوله هدفمند با قطر خارجی بحرانی 13 µm، نمودارهای شکل (6) ترسیم شده‌اند. شکل 5: تغییرات سرعت بحرانی بی­بعد شده بر حسب قطر خارجی میکرولوله هدفمند با در نظر گرفتن اثر دما شک شکل 6: تغییرات فرکانس بی بعد شده بر حسب بیشینه دامنه نوسان در میکرو لوله هدفمند تحت تاثیر دما              با مقایسه نمودارهای شکل (6) می­توان دریافت که با افزایش دما، فرکانس بی­بعد شده(نسبت فرکانس غیرخطی به فرکانس خطی) در میکرولوله­ی بیشتر و درنتیجه میکرو­لوله رفتار غیر­خطی بیشتری از خود نشان می­دهد. این میزان غیرخطی شدن رفتار از دامنه نوسان بیشینه از 01/ 0 شروع و بتدریج بیشتر خواهد شد. جابجایی عرضی بی­بعد شده پس کمانش میکرولوله­ هدفمند حاوی جریان بر حسب سرعت بحرانی بی­بعد شده سیال مبتنی بر تئوری­های گرادیان کرنش، تنش کوپل و تئوری کلاسیک مکانیک پیوسته­ با قطرهای مختلف در جدول(2) و قطرخارجی 13میکرومتر به عنوان قطر بحرانی و شروع کمانش در نمودارشکل (7) به روش بدون المان درون‌یابی نقطه­ای محاسبه و ترسیم شده است.  جدول 2: جابجایی عرضی بی­بعد شده ناشی از کمانش میکرولوله­ هدفمند حاوی جریان بر حسب سرعت بحرانی بی­بعد شده جابجایی پس کمانش (5- 10 * mm) قطر (mµ) روش سرعت بی بعد شده ( نسبت سرعت جریان سیال به سرعت بحرانی) 7 6 5 4 3 2 1 4/56 43/45 8/38 6/26 7/17 21/10 9/9 12 Strain Gradient   8/52 12/49 6/38 2/25 3/16 92/9 07/3 13 02/49 6/41 2/31 7/22 9/12 44/1 51/1 14 04/36 4/32 2/28 42/17 36/9 737/0 358/0 15 39/41 2/36 53/30 55/26 66/10 22/7 33/3 12 Couple Stress   21/42 07/38 61/30 23/18 02/11 11/6 24/2 13 65/34 42/31 49/23 4/18 7/5 03/2 56/2 14 3/29 5/26 09/17 36/11 45/3 23/1 38/1 15 1/35 4/26 43/21 1/14 06/9 12/6 21/1 12 Classic   41/29 3/27 92/18 18/11 32/7 45/4 091/1 13 05/26 3/17 53/14 38/8 42/6 77/1 82/0 14 62/9 034/5 14/4 72/2 51/1 354/0 164/0 15                                   شکل 7: تغییرات جابجایی ناشی از کمانش بر حسب سرعت بی­بعد شده جریان سیال  در میکرو لوله هدفمند    از نمودارهای شکل (7) می­توان دریافت که با افزایش سرعت سیال(چند برابر شد آن نسبت به سرعت بحرانی)­، جابجایی عرضی نقاط مختلف میکرو لوله ناشی از مود اول کمانش افزایش و منجر به ناپایداری آن می­شود. با توجه به انطباق بیشتر نتایج تئوری غیر کلاسیک گرادیان کرنشی میزان انحراف دو تئوری تنش کوپل و کلاسیک نیز مشهودتر است. تأثیر اختلاف دمای شرایط محیطی بر رفتار کمانش میکرولوله­ هدفمند با قطر بحرانی در سرعت­های مختلف بی­بعد شده جریان سیال، مطابق نمودارهای شکل (8) ارایه می­شود. همانطورکه دراین نمودارها مشاهده می­گردد، با افزایش دما، سفتی میکرو لوله کاهش درنتیجه جابجایی عرضی میکرو لوله افزایش می­یابد. این امر منجر به نوسانات و ناپایداری بیشتر می­شود. شکل 8: تأثیر دما بر جابجایی ناشی از کمانش بر حسب سرعت بی­بعد شده جریان سیال بر اساس تئوری گرادیان کرنش تأثیر اندیس قانون توانی بر رفتار پس از کمانش میکرو لوله­های هدفمند برحسب سرعت جریان در قطر بحرانی در شکل (9) رسم شده است. نتایج نشان می­دهند که با افزایش توان ، جابجایی عرضی ناشی از کمانش میکرو لوله حاوی سیال، افزایش و رفتار میکرولوله­ای از جنس آلومینیوم خالص به میکرولوله­ای از جنس اپوکسی پلیمر به ویژه در 13 n >  نزدیک‌تر می­شود. نتیجه گیری: لوله های با قطر در ابعاد میکرو و نانو با طول زیاد ضمن اینکه از تکنولوژی ساخت خاصی برخوردار هستند، کاربردهای وسیعی در زمینه الکترومکانیک، حسگرهای زیستی، میکروسکوپ­های اتمی، محرک­ها، مخازن جهت انتقال سیال در دارو رسانی، مهندسی پزشکی و جراحی و... دارند. علت کاربرد فراوان میکرو لوله­ها، هندسه تو خالی و خواص مکانیکی بسیار خوب آنها است. در این تحقیق به تحلیل کمانش میکرولوله­ هدفمند با بهره­گیری از روش عددی درون یابی نقطه­ای با توابع پایه توسعه یافته جهت حل ضعیف معادلات دیفرانسیلی حاکم بر تحلیل بر اساس مدل کلاسیک تیر اویلر برنولی و تئوری غیرکلاسیک گرادیان کرنش با سه پارامتر طول پرداخته شده است. با مقایسه نتایج تئوری­های مختلف مشاهده گردید که قطر بحرانی 10 میکرو متر به عنوان نقطه آغازین سرعت بحرانی سیال و شروع ناپایداری است. با توجه به حضور میکرولوله­ها در شرایط مختلف محیطی، دما یکی از پارامترهای تأثیرگذار در طراحی دستگاه­های میکروسیالی است. بنابراین اثر دما بر کمانش و میدان جابجایی و رفتارغیرخطی میکرو لوله هدفمند در کنار میدان سرعت و تغییرات قطر خارجی نیز مورد بررسی قرار گرفت. نتایج تحلیل و مدل­سازی عددی نشان داد که محدوده قطر خارجی بحرانی بین 12 تا 15 است. به بررسی بیشتر مشخص گردید که در دامنه نوسان بیشینه 01/0 و قطر خارجی 13 میکرون، مود اول کمانش در میکرو لوله هدفمند رخ می­دهد. یافته­های تحقیق ضمن کارآیی استفاده از روش عددی یاد شده، بیان می­دارند که کاهش قطر میکرولوله با فرکانس طبیعی و سرعت بحرانی نسبت عکس دارد. با تاثیر همزمان میدان­های سرعت و تغییرات دما در قطر بحرانی13 میکرومتر، جابجایی عرضی میکرو لوله هدفمند افزایش، سفتی آن کاهش می­یابد. ولیکن افزایش اندیس توانی به ویژه در 13 n > ، جابجایی عرضی پس کمانش را افزایش داده و باعث می­شود رفتار میکرولوله­ ازجنس مواد خالص به میکرولوله­ به جنس مواد هدفمند نزدیک و نزدیکتر شود. نتایج حاصل از تحلیل کمانش میکرو لوله­ها تحت تاثیر همزمان دو میدان سرعت و دما نشان می­دهندکه، تئوری گرادیان کرنش با 3 پارامتر طولی، مقادیر دقیق­تر و در عین حال نزدیک­تر با نتایج تحلیل مشابه به روش اجزاء محدود را نسبت به تئوری مکانیک کلاسیک و تئوری تنش کوپل پیش­بینی می­نماید.   شکل 9: جابجایی عرضی میکرو لوله  ناشی از کمانش بر حسب سرعت بی­بعد شده جریان سیال به ازای مقادیر مختلف اندیس قانون توانی و با قطربحرانی     مراجع : [1] Hosseini, M., Hadi, A., Malekshahi, A., Shishesaz, M., (2018). A review of size-dependent elasticity for nanostructures. Journal of Computational Applied Mechanics, 49(1), pp 197-211. [2]   Ichikawa, K. (Ed.)., (2001). Functionally graded materials in the 21st century: a workshop on trends and forecasts. Springer Science & Business Media. [3] Arash, B., Wang, Q., (2014). A review on the application of nonlocal elastic models in modeling of carbon nanotubes and graphenes. Modeling of carbon nanotubes, graphene and their composites, pp 57-82. [4] Reddy, J. N., Kim, J., (2012). A nonlinear modified couple stress-based third-order theory of functionally graded plates. Composite Structures, 94(3), pp 1128-1143. [5]  Şimşek, M., Kocatürk, T., Akbaş, Ş. D., (2013). Static bending of a functionally graded microscale Timoshenko beam based on the modified couple stress theory. Composite Structures, 95, pp 740-747. [6] Lei, J., He, Y., Zhang, B., Liu, D., Shen, L., Guo, S., (2015). A size-dependent FG micro-plate model incorporating higher-order shear and normal deformation effects based on a modified couple stress theory. International Journal of Mechanical Sciences, 104, pp 8-23. [7]Eringen, A. C., (1972). Nonlocal polar elastic continua. International journal of engineering science, 10(1), pp 1-16. [8] Eringen, A. C., Edelen, D., (1972). On nonlocal elasticity. International journal of engineering science, 10(3), pp 233-248. [9] Eringen, A. C., (1983). On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves. Journal of applied physics, 54(9), pp 4703-4710. [10] Wang, D. H., Wang, G. F., (2011). Surface Effects on the Vibration and Buckling of Double‐Nanobeam‐Systems. Journal of Nanomaterials, 2011(1), 518706. [11] Wang, L., (2011). A modified nonlocal beam model for vibration and stability of nanotubes conveying fluid. Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures, 44(1), pp 25-28. [12] Mahmoud, F. F., Eltaher, M. A., Alshorbagy, A. E., Meletis, E. I., (2012). Static analysis of nanobeams including surface effects by nonlocal finite element. Journal of mechanical science and technology, 26, pp 3555-3563. [13] Sun, Y. G., Yao, X. H., Liang, Y. J.,& Han, Q., (2012). Nonlocal beam model for axial buckling of carbon nanotubes with surface effect. Europhysics Letters, 99(5), 56007. [14] Kumar, D., Heinrich, C., Waas, A. M., (2008). Buckling analysis of carbon nanotubes modeled using nonlocal continuum theories. Journal of applied physics, 103(7). [15] Wang, G. F., Feng, X. Q., (2009). Surface effects on buckling of nanowires under uniaxial compression. Applied physics letters, 94(14). [16] Wang, G. F., Feng, X. Q., (2009). Timoshenko beam model for buckling and vibration of nanowires with surface effects. Journal of physics D: applied physics, 42(15), 155411. [17] Liu, C., Rajapakse, R. K. N. D., Phani, A. S., (2011). Finite element modeling of beams with surface energy effects. [18] Lim, C. W., Yang, Q., Zhang, J. B., (2012). Thermal buckling of nanorod based on non-local elasticity theory. International Journal of Non-Linear Mechanics, 47(5), pp 496-505. [19] Yang, Q., Lim, C. W., (2012). Thermal effects on buckling of shear deformable nanocolumns with von Kármán nonlinearity based on nonlocal stress theory. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 13(2), pp 905-922. [20] Mousavi, Z., Shahidi, S. A., Boroomand, B., (2017). A new method for bending and buckling analysis of rectangular nano plate: full modified nonlocal theory. Meccanica, 52, pp 2751-2768. [21] Yin, L., Qian, Q., Wang, L., (2011). Strain gradient beam model for dynamics of microscale pipes conveying fluid. Applied Mathematical Modelling, 35(6), pp 2864-2873. [22] Lam, D. C., Yang, F., Chong, A. C. M., Wang, J., Tong, P., (2003). Experiments and theory in strain gradient elasticity. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 51(8), pp 1477-1508. [23] Yang, F. A. C. M., Chong, A. C. M., Lam, D. C. C., Tong, P., (2002). Couple stress based strain gradient theory for elasticity. International journal of solids and structures, 39(10), pp 2731-2743. [24] Kong, S., Zhou, S., Nie, Z., Wang, K., (2009). Static and dynamic analysis of micro beams based on strain gradient elasticity theory. International Journal of Engineering Science, 47(4), pp 487-498. [25] Benjamin, T. B., (1962). Dynamics of a system of articulated pipes conveying fluid-I. Theory. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 261(1307), pp 457-486. [26] Zhang, Y. Q., Liu, X., Zhao, J. H., (2008). Influence of temperature change on column buckling of multiwalled carbon nanotubes. Physics Letters A, 372(10), pp 1676-1681. [27] Liu, G. R., Gu, Y. T., (2005). An introduction to meshfree methods and their programming. Springer Science & Business Media.         [1]  Couple Stress [2]  Strain Gradient [3]  Surface effect [4]  Nonlocal  [5] 1 Symmetric Strain Tensor  [6] 2 Dilation Gradient Vector