در شبکه حسگر بی­ سیم وقتی که همه حسگرها دارای شعاع ارتباطی یکسانی باشند، از گراف دیسک­ واحد برای مدل­ سازی آن شبکه استفاده می‌شود. به این ترتیب دو مساله بهینه ­سازی زیر مورد تحقیق محققان واقع شده است: مجموعه مستقل ماکزیمال در شبکه و مینیمال مجموعه احاطه کننده شبکه. با توجه به NP- سخت بودن هر دو مساله فوق، الگوریتم‌های متعدّدی برای تقریب آنها تا کنون ارائه شده است. گراف لانه­ زنبوری مسطح از به هم پیوستن تعدادی شش ­ضلعی منتظم ­به ­دست می ­آید، به طوری که دو شش ضلعی مجاور دارای یک لبه مشترک هستند. چندین مطالعه در مورد رفتار ساختار لانه زنبوری انجام شده­ است. تعداد نتایج در این زمینه زیاد و همواره در حال افزایش است. در این مقاله، با استفاده از گراف لانه ­زنبوری و روش‌های ماتریسی، الگوریتمی برای تقریب مجموعه مستقل ماکزیمال شبکه ارائه داده ­ایم. اگر گراف کران­ دار باشد مساله ­های مد نظر را می ­توان در زمان چند جمله ­ای حل کرد. در پایان نیز، درستی الگوریتم و پیچیدگی آن را به دست آورده و با یک مثال عددی آن را بررسی کرده­ ایم. Manuscript profile

در یک گراف دیسک واحد دو رأس مجاورند اگر با متر اقلیدسی دو بعدی فاصله بین آنها کوچکتر یا مساوی یک باشد. اندازه مجموعه مستقل ماکسیمال در یک گرافG را عدد استقلال گفته و با α(G) نشان می دهیم. اندازه مجموعه احاطه گر همبند مینیمال در گراف G را عدد احاطه گر همبند می گفته و با γ_c (G) نمایش می دهیم. واضح است اگر فاصله بین دو گره از یک گراف دیسک واحد بیشتر از یک باشد آن دو گره مسقل هستند. یک زیر مجموعه S از راس ها در یک گراف مجموعه احاطه گر نامیده می شود اگر هر راس از گراف G یا عضو مجموعه S باشد یا با عضوی از آن مجاور باشد. یک مجموعه احاطه گر همبند است اگر یک زیر گراف همبند القا کند. یک مجموعه احاطه گر همبند اغلب به عنوان یک دکل مجازی در شبکه های سنسور بی سیم جهت بهبود ارتباطات و کارایی یهتر استفاده می شود. واضح است که دکل مجازی کوچکتر کارایی بهتری دارد. با این حال محاسبه یک مجموعه احاطه گر همبند مینیمال همچنان NP-سخت است. از طرفی ارتباط بین اندازه مجموعه مستقل ماکسیمال و اندازه مجموعه احاطه گر همبند مینیمال در یک گراف G بسیار اهمیت دارد. هدف اصلی این مقاله بهبود بخشیدن به کران بالای عدد استقلال وابسته به عدد احاطه گر همبند برای یک گراف دیسک واحد است. بعلاوه ما کران بالای موجود تا کنون را بهبود داده ایم. Manuscript profile