Particle swarm optimization in optimal control problems for Car on a constrained piecewise affine hill

Subject Areas :

Ahmad  Kia Kojouri ¹ (Department of Electrical Engineering, Islamshahr Branch, Islamic Azad University, Islamshahr, Iran)
Javad  MashayekhiFard ² (Department of Electrical Engineering, Sabzevar Branch, Islamic Azad University, Sabzevar, Iran.)

Received: 2023-12-15 Accepted : 2024-04-22 Published : 2024-04-27

Keywords: piecewise affine, particle swarm optimization, constrained optimal control, reducing the complexity of the control low.,

Abstract :

In spite of all the Demonstrate Prescient Control (MPC) based arrangement preferences such as ensuring soundness, the most impediment such as an exponential development of the number of the polyhedral locale by expanding the expectation skyline exists. This causes an increase in the computation complexity of control law. In this paper, we consider the arrangement to ideal control issues for constrained piecewise affine systems based on demonstrating predictive control. After that, we utilize particle swarm optimization calculation to complexity diminishment of arrangement and alter the framework execution. In truth the point of the paper is twofold. To begin with, we consider the hypothetical comes about on the structure of the control law. At the minute, we portray how the complexity of deciding control law can be capable of decreased and moving forward system execution at the same time by utilizing particle swarm optimization. The considered calculation is associated with a Car on a constrained piecewise affine hill and the result is shown to the advantage of our analysis. The objective of the car is to climb to the top of a steep slope and then preserve its position at the top (the beginning), without falling from the piecewise affine environment. The number of control law polyhedrals diminishes from 129 to 25.

Full-Text:



نشریه علمی - تخصصی یافته­های نوین کاربردی و محاسباتی در سیستم­های مکانیکی		12 سال سوم: شماره4، زمستان 1402  │

 

 كنترل بهينه سيستم هاي تكه­اي شبه خطی مقيد برای خودرو بر روی شیب با استفاده از الگوریتم بهینه­سازی ازدحام ذرات

 

احمد کیاکجوری1 ، جواد مشایخی فرد 2*

 

1. استادیار، گروه مهندسي برق، واحد اسلامشهر، دانشگاه آزاد اسلامی، اسلامشهر، ايران

2. استادیار، گروه مهندسي برق، واحد سبزوار، دانشگاه آزاد اسلامی، سبزوار، ايران

 

*نویسنده مسئول: [e-mail]

تاریخ دریافت: 24/09/1402       تاریخ پذیرش: 03/02/1403

 

چکیده

علی‌رغم برتری­های مبتنی بر مدل کنترل پیش‌بین مانند قابلیت اطمینان، بزرگ‌ترین مانع رشد تصاعدی تعداد مکان‌های چندوجهی، با بزرگتر شدن افق پیش بینی رخ می‌دهد. این امر باعث افزایش پیچیدگی محاسباتی قانون کنترل می‌شود. در این مقاله، حل مسئله كنترل بهينه سيستم هاي تكه­اي شبه خطی مقيد بر اساس روش كنترل پيش بين و كنترل افق پيشرو در نظر گرفته شده است.  برای کاهش پیچیدگی از الگوریتم بهینه­سازی ازدحام ذرات استفاده گردیده است. به بیان دیگر، در این پژوهش دو هدف دنبال می­شود، نخست اینکه مسئله كنترل بهينه سيستم تكه­اي شبه خطی مقيد فرموله و حل صريح مسئله ‌با روش کنترل پیش‌بین و بكارگيري برنامه­ريزي چند پارامتري به صورت قانون كنترل روي نواحي چندوجهي، بيان و سپس مشكلات مربوط به پيچيدگي حل و رشد نمايي آن به علت افزايش افق پيش‌بين ارائه می­شود. سپس با تعريف تابع هدف جديد بر اساس كاهش چندوجهي‌هاي قانون كنترل، با تلفيق الگوريتم بهینه‌سازی ازدحام ذرات و حل صريح بدست آمده روش کنترل پیش‌بین و تنظيم پارامترهاي سيستم تكه­­اي شبه خطی مقيد به‌كاهش پيچيدگي­­­هاي سيستم اقدام شده است، به طوري­كه تعداد چندوجهي‌هاي حاصل به حداقل‌ برسد. برای نشان دادن کارآیی روش، مدلسازی یک خودرو در حال بالا رفتن از یک تپه شیب­دار و حفظ تعادل خود درنظر گرفته شده است. تعداد قانون کنترل چند‌وجهی از 129 به 25 کاهش یافته است. 

کلمات کلیدی: سيستم تكه­اي شبه خطی، کنترل بهینه مقيد، بهینه سازی ازدحام ذرات، کاهش پیچیدگی قانون کنترل.

 

 

 

مقدمه

از موارد مورد مطالعه در سیستم­های هیبریدی[2-1]، چارچوب تکه‌ای شبه خطی¹[4و3] است که با افراز بندی فضای گسترده ورودی-حالت به نواحی چند وجهی[5-6] و اختصاص دادن یک معادله حالت شبه خطی به هرکدام از این نواحی تعريف مي­شود. تعداد زیادی از فرآیندهای هیبریدی نظیرسوییچ بین مدهای دینامیکی، اشباع محرک­ها در سیستم­های خطی و سیستم­های کلیدزنی که رفتار دینامیکی به­وسیله تعداد محدودی از مدل­های زمان- گسسته شبه خطی بیان می‌شود را مي‌توان توسط سیستم­های تکه‌ای شبه خطی زمان-گسسته مدل نمود[7-9]. بسیاری از تحلیل­گران چارچوب‌های در نظر گرفته‌شده‌ خود را با کلاس چارچوب تکه‌ای شبه خطی مانند سیستم مبدل کنترل DC-DC، فرآیند چند- مخزن [11و10] و سیستم بزرگراه خودکار²[12] مدل کرده‌اند. ملاحظات و مشکلات متعددی در مورد بررسی قانون کنترل ایده‌آل حلقه بسته برای چارچوب تکه‌ای شبه خطی در نظر گرفته و ایجاد شده است. در دو دهه اخير توجه زیادی به محاسبه کنترل کننده فرم- بسته بهینه برای این سیستم‌ها صورت پذیرفته است. مسئله مورد نظر به مسئله کنترل بهینه سیستم­های مقید زمان متناهی تكه­اي شبه خطی مقيد (CFTOC)معروف گردید[13]. سانتج [5] یکی از پیشگامان این مسائل بود. در دهه70 تحقیقات بسیار وسیعی آغاز شد که هدف از این تحقیقات، پیدا کردن قانون‌های کنترلی بود به نحوی که حالت‌ها را به­توان به صورت پارامترهای مسئله بهینه سازی فرض کردنمود، که با تغییر آنها هم قیود و هم تابع هدف تحت تاثیر واقع شود یا به عبارتی قانون مذکور، ارتباط بین متغیرهای بهینگی و تغییرات تابع هدف بهینه را نشان دهد. گسترش این تحقیقات منجر به تحولی در برنامه­ریزی ریاضی گردید که به برنامه­ریزی چند پارامتری معروف شد و اکنون یک ابزار مفید برای پیدا کردن راه حل صریح مسائل کنترلی بهینه می باشد. از انواع ساده برنامه‌ریزی­های ریاضی می توان از دو گروه معروف و پرکاربرد برنامه­ریزی خطی و برنامه­ریزی درجه دو (غیر خطی) نام برد. در برنامه­ریزی خطی تابع هدف و شرایط، خطی مرتبه اول و در برنامه­ریزی درجه دو تابع هدف درجه دوم و شرایط شبه خطی می باشند. با گسترش برنامه­یزی چند پارامتری و کاربرد آن در کنترل بهینه، استفاده از برنامه­ریزی خطی و برنامه­ریزی درجه دو نیز به بحث چند پارامتری تعمیم یافت و روش­های بهینه­ای بر مبنای استفاده از برنامه­ریزی خطی و مرتبه دو چند پارامتری[14-16] و حتي برنامه­ريزي چند پارامتري خطي و مرتبه دو عدد صحيح مختلط ارائه شد [17]. متاسفانه اگر راه حل مسئله سيستم تكه اي شبه خطی مقيد بدون توجه به روش كنترل افق پيشرو ³ بدست آورده شود، تضمینی بر شدنی بودن مسئله و برآورده شدن قیدها برای تمامی زمان­ها در سیستم حلقه- بسته وجود ندارد[18]. اما اگر حل با بكارگيري استرات‍ژي روش كنترل افق پيشرو يا روش کنترل پیش‌بین⁴ به دست آيد، قانون كنترل فيدبك حالت چارچوب تکه‌ای شبه خطی متغير با زمان، به صورت نامتغير با زمان مي شود و مي تواند به عنوان يك جدول مراجعه‌اي كنترلي آنلاين مورد استفاده قرارگيرد[20و19]. اما یکی از عمده­ترین مشکلات، افزایش پیچیدگی قانون کنترل فیدبک چارچوب تکه‌ای شبه خطی بدست‌آمده با بزرگتر شدن افق پیش بینی و تأثیر آن بر عملکرد سیستم است، از طرفی برای عملکرد مطلوب سیستم افزایش افق پیش­بینی ضروری است؛ در واقع به علت ساختار و طبيعت تركيبي مسئله بيان شده، تعداد نواحي فضاي حالت كه بر روي جدول مراجعه­اي كنترل تعريف شده است، در بدترين حالت به صورت نمايي افزايش مي‌يابد. از اين­رو حجم بالای محاسبات آنلاين و پیچیدگی محاسبات آفلاين، و وابستگي آن به تعداد نواحی چند وجهی­ها و افزایش تعداد قیدها از موارد چالش برانگيز در این مسائل بوده است[21]. چندين محقق، موضوع كاهش پيچيدگي و تقريب را با بهبود مسئله اصلي سيستم تكه­اي شبه خطی مقيد و بازيابي يك حل زير بهينه از مسئله و يا پس پردازش كنترل كننده بهينه محاسبه شده مرتبط نموده­اند[23و22]. با تضمين كاهش پيچيدگي، پايداري حلقه بسته يا كاهش عملكرد نامي سيستم مورد غفلت قرارگرفته و به­طور دقيق بررسي نمي­گردد[24]. به دلیل وجود ارتباط قوی میان پیچیدگی سيستم تكه­اي شبه خطی مقيد و تعداد مناطق چند‌وجهی برای قانون کنترل چارچوب تکه‌ای شبه خطی، می‌توان به این مسئله به شکل یک نظریه پیچیدگی محاسباتی نگاه نمود. برای حل مسائل پیچیدگی محاسباتی، استفاده از الگوریتم­های تقریبی بسیار مناسب هستند. الگوریتم‌های تقریبی قادر به یافتن جواب‌های تقريبي مناسب برای مسائل بهینه‌سازی سخت در زماني کوتاه هستند. الگوریتم‌های فوق ابتکاری[25]، یکی از انواع الگوریتم‌های بهینه‌سازی تقریبی هستند که دارای راهکارهای برون­رفت از بهینه محلی می‌باشند و قابل کاربرد در طیف گسترده­ای از مسائل هستند. الگوریتم بهینه­سازی ازدحام ذرات⁵ ، براي اولين بار توسط کندي و ابرهارت مطرح گردید[27و26] كه يک الگوريتم محاسبه‌اي تکاملي الهام گرفته از طبيعت و براساس تکرار مي‌باشد. الگوريتم بهینه سازی ازدحام ذرات از تعداد مشخصي از ذرات تشکيل مي‌شود که به طور تصادفي، مقدار اوليه مي­گيرند. براي هر ذره دو مقدار وضعيت و سرعت، تعريف مي­شود که به ترتيب با يک بردار مکان و يک بردار سرعت، مدل مي‌شوند. همچنين الگوريتم بهینه­سازی ازدحام ذرات قادر به بهينه‌سازي توابع هزينه‌ پيچيده با تعداد زياد حداقل محلي است. بنابراین، بخش‌های مقاله به شرح زیر است: 1- نشان دادن مسئله‌ سيستم تكه­اي شبه خطی مقيد با راهبردهای فعلی 2- کاهش پیچیدگی محاسباتی به عنوان یک مسئله پیچیدگی محاسباتی با محاسبه پیشنهادی.

ابتدا، مسئله كنترل بهينه سيستم چارچوب تکه‌ای شبه خطی مقيد فرموله و حل صريح مسئله ‌با وش کنترل پیش‌بین و بكارگيري برنامه ريزي چند پارامتري به صورت قانون كنترل سیستم تكه­اي شبه خطی روي نواحي چندوجهي، بيان مي­گردد و سپس مشكلات مربوط به پيچيدگي حل و رشد نمايي آن به دلايلي نظير تعداد نواحي چندوجهي و افزايش افق پيش‌بين ارائه مي‌شود؛ آنگاه با تلفيق الگوريتم بهینه سازی ازدحام ذرات و حل صريح بدست آمده از روش کنترل پیش‌بین وتنظيم پارامترهاي سيستم چارچوب تکه‌ای شبه خطی به‌كاهش پيچيدگي­هاي سيستم اقدام نموده به طوري­كه تعدادچندوجهي­هاي حاصل حداقل شده و كارآيي سيستم بهبود يابد. سرانجام روش پيشنهادي بر روي خودرو بر روی شیب كه به فرم چارچوب تکه‌ای شبه خطی مدل شده پياده سازي می­گردد.

کنترل بهینه زمان متناهي سیستم­های تکه‌ای شبه خطی مقيد

از آن‌جایی که سیستم­های تکه‌ای شبه خطی با تعداد چارچوب‌های سیستم­های مکمل خطی، دینامیک منطقی ترکیبی و مقیاس‌بندی بیشترین-کمترین متناسب هستند، از اين­رو بخش وسيعي از سيستم‌هاي هيبريدي خطي را تشكيل خواهند داد. سيستم‌هاي هيبريد خطي به صورت سيستم­هاي تکه‌ای شبه خطی مقيد مدل شده به صورت رابطه (1) می باشند[7].

                                         (1)

جايي­که t≥0، دامنة  از تابع fPWA(.,.) يك مجموعه غيرتهي فشرده در ، ND<∞ تعداد ديناميك­هاي سيستم و  بيانگر پارتيشن­هاي چندوجهي از دامنه D خواهد بود.

يعني  و براي تمامي d≠j، int(Dd)∩int(Dj)=∅ می­باشد.

                                        (2)

براي سيستم تکه‌ای شبه خطی از رابطه (1)، مسئله چارچوب تکه‌ای شبه خطی مقید در قالب رابطه (3) بیان مي­گردد [28].

                                                

                                                                                  (3)

                                                

كه  تابع هزينه، (l(.,.) تابع هزينه ‌مرحله‌اي، lT(.) تابع جريمه نهايي، UT متغير بهينه سازي كه به صورت توالي ورودي  تعريف شده، T<∞ افق پيش­بين و χf مجموعه هدف پاياني (انتهايي) در Rnx مي‌باشند. هنگامي كه مسئله سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد چندين حل دارد یا به عبارتی بهينه كننده، منحصر به فرد نيست   بيانگر يك تحقق از مجموعه بهينه كننده­هاي موجود و ممكن مي‌باشد. مسئله سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد به­طور تلويحي، مجموعه­اي از حالت­هاي شدني  و مجموعه ورودي­هاي شدني     را تعريف مي­نمايد. هدف از اين بخش دستيابي به يك بيان صريح با فرم بسته براي  وt=0,…,T-1 می­باشد. در ادامه يك محدوديت براي مسئله سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد درنظر گرفته مي‌شود[7و3].  مبدأ در فضاي حالت – ورودي گسترده، يك نقطه تعادل سيستم تکه‌ای شبه خطی با رابطه (1) است به اين معنا كه  و ؛ اين فرض خللي به كليت موضوع وارد نمي‌كند. يعني نتايج به­دست ‌آمده براي نقطه تعادل غير صفر نيز صادق خواهد بود. شايان توجه است كه قيدهاي حالت خطي(x(t)∈χ⊆Rnx) و محدوديت­هاي ورودي (u(t)∈U⊆Rnu) به فرم عمومي  به طور طبيعي در توصيف Dd شركت داشته‌اند. هدف از حل مسئله، یافتن بیان صریح یا فرم بسته برای مجموعه ،توابع  و  می باشد. سيستم چارچوب تکه‌ای شبه خطی (1) با تابع هزينه در رابطه (4) بر اساس نرم 1و∞ در نظر گرفته می شود.

                     

                                                                                                                               (4)  

كه  با p={1,∞} بيانگر نرم برداري استاندارد  1,∞است. حل صريح مسئله كنترل بهينه با رابطه (3) و مفروضات بیان شده، قانون كنترل فيدبك حالت چارچوب تکه‌ای شبه خطی متغير با زمان تعريف شده از حالت اولية x(0) روي ناحيه چندوجهي به‌فرم مي­باشد، كه  ، ناحيه چند وجهي از مجموعه حالت­هاي شدني x(0)،  است كه به­صورت  داده شده، مي باشد. در موردي كه سياست كنترل افق پيشرو يا يك مدل كنترل پيش بين براي حلقه بسته استفاده گردد، كنترل به صورت قانون فيدبك حالت متغير با زمان به فرم رابطه (5) و براي t≥0،  است[1].

                                                                                          (5)

مسئله سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد را براي تمامي زمان­هاي t، شدني مي­نامند اگر در زمان t عمل كنترل براي حالت اندازه‌گيري‌شده xt=:x(0) موجود باشد. طوري كه محدوديت­هاي ورودي و حالت روي افق پيش­بين مفروض T، برآورده گردد[29]. در ادامه فرض مي­گردد كه پارامترهاي T, Q, R, Pوχf طوري انتخاب ‌شوندكه رابطه (6) پايدار و براي تمامي زمان­ها، شدني باشد[11]. ‌تابع لياپانف چارچوب تکه‌ای شبه خطی چندوجهي به فرم   است كه i=1,…,Np و براي سيستم حلقه بسته x(t)∈χT موجود و ارائه شده است.

                                                                                       (6)

همچنين مسئله سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد موردنظر می­تواند برای هر انتخابی ازP , Q, R  مطرح و حل شود[7,3,31] با این­حال از نقطه نظر عملی برای پرهیز از عمل­های کنترلی اضافه در هدایت حالت­ها به نقطه تعادل، لازم است تا ماتریس­های R,Q تمام رتبه ستونی باشند[30]. در خط سير اين مقاله، تمركز بر كاهش پيچيدگي قانون كنترل فرم بسته  مي­باشد بدون آنكه خللي بر پايداري حلقه بسته و شدني بودن مسئله براي تمامي زمان­ها وارد گردد.

كاهش پيچيدگي 

با توجه به ساختار و پارامترهاي سيستم اصلي ومسئله بهينه­سازي، يكي از اشكال­هاي اساسي قوانين كنترل بهينه با فرم بسته ، افزايش و رشد نمايي تعداد نواحي Np است. بنابراين براي اجراي واقعي حل فرم بسته، يافتن تقريبي مناسب از كنترل كننده يا كنترل كننده‌اي با پيچيدگيِ كاهش يافته، بسيار ضروري به نظرمي­رسد. بعضي از محققين موضوع كاهش پيچيدگي يا تقريب كنترل كننده را با بهبود مسئله سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد با بازيابي يك حل زير بهينه از آن يا با پس­پردازش كنترل كننده بهينه محاسبه‌شده را بيش از پيش مورد توجه قرار داده­اند. به عنوان نمونه هدف محققين درمراجع [11و7] محاسبه يك ارائه حداقلی چندوجهي از نواحي كنترل كننده اصلي به منظور كاهش پيچيدگي محاسباتي وفضاي ذخيره­سازي موردنياز مي­باشد؛ اگرچه در عمل، محاسبه محدود به تعداد كمي نواحي مي‌باشد. از اين­رو بسته به آن، زمان محاسبه به صورت نمايي افزايش مي‌يابد؛ طرح پيشنهادي ديگري درمراجع [22,29] ارائه شده است كه مسئله سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد اصلي براي سيستم­هاي خطي مقيد به منظوردستيابي به تقريبي براي تحليل ساده‌تر، با بكارگيري برنامه­ريزي چندپارامتري بهبود مي­يابد. اگرچه بسياري از طرح­هاي پيشنهادي دركاهش تعداد چندوجهي­ها، توجه وتمركز زيادي روي تضمين پايداري يا كاهش عملكرد نامي سيستم ندارند[14]. در ادامه ابتدا به معرفی الگوریتم بهینه سازی ازدحام ذرات پرداخته و سپس روشي بر اساس تلفيق الگوريتم بهینه سازی ازدحام ذرات و حل صريح به دست آمده از مسئله سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد برای کاهش پیچیدگی ارائه می گردد که نه تنها بر کاهش پیچیدگی و زمان حل مسئله مذکور تاثیرگذار است بلکه حتی می­توان به بهبود عملکرد نهایی سیستم و کاهش خطاهای حالت ماندگار سیستم نیز چشم داشت.

 الگوریتم بهینه­سازی ازدحام ذرات برای حل مسئله‌ تکه­ای شبه خطی

روش بهینه­سازی ازدحام ذرات يكي از روش‌های تكاملي است كه براي حل مسايل بهینه‌سازی بكاربرده می­شود وتاكنون قابليت آن براي استفاده درمسائل بهينه سازي باتوابع پيوسته به اثبات رسيده است[30]. دراين روش حركت به سوي نقطه بهینه تابع بر اساس اطلاعات بهترين نقطه به­دست آمده ازهر یک عوامل موجود درجمعيت اوليه و نيز بهترين نقطه پيدا شده توسط نقاط همسايه صورت می‌گیرد. باتوجه به شكل (1) اساس كارالگوريتم بهينه­سازي ازدحام ذرات را می‌توان چنين توضيح داد[11]:

 

شکل1: اساس کار الگوریتم تکاملی بهینه سازی ازدحام ذرات

VGbest: سرعت در جهت بهینه سراسری، VLbest: سرعت در جهت بهینه محلی، Vi+1: سرعت ذره در تکرار 1+iام، Vi: سرعت ذره در تکرار iام، Xi :موقعیت در تکرار iام، Xi+1 : موقعیت در تکرار i+1ام. ابتدا جمعیت اولیه به صورت تصادفی انتخاب می­گردد.

   و

 (7)                                                                          

 

(8)                                                                                                            

XGbest : بهینه سراسری در تکرار iام، XLbest: بهینه محلی در تکرار iام،ω: ضریب اینرسی. در نهایت هر ذره به صورت Xi+1=Xi+Vi+1 اصلاح می­شود. مقادیرc1و  c2مقادیری تصادفی هستند. اکنون، بر اساس اهداف این مقاله و الگوریتم بهینه سازی ازدحام ذرات، تابع هدف تعریف‌شده برای این مسئله را می‌توان به صورت تعداد چند وجهی­ها و مشخصه خروجی در نظر گرفت که مشخصه‌ خروجی به صورت ویژگی­های کارکردی مانند زمان نشست، فراجهش و خطای حالت ماندگار تعیین می‌شود. ابتدا حل صريح مسئله سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد را که بر پایه روش کنترل پیش‌بین و بكارگيري برنامه­ريزي چندپارامتري به دست آمده، در نظر گرفته و به عنوان تابع هدف الگوریتم بهینه­سازی ازدحام ذرات فرض می­شود؛ آنگاه با تعريف تابع هدف جديد بر اساس تعداد چندوجهي­هاي قانون كنترل، پارامترهای اصلی سیستم طوری طراحی می­گردد تا اولا حل سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد به تعداد چندوجهي­هاي کمتر و طبیعتا پیچیدگی کمتر منتهی شود و همچنین بهبود عملکرد واقعی سیستم با کنترل متغیرهای فیزیکی سیستم و ضرایب کنترل کنندهPID حاصل شود؛ یعنی پس از بدست آوردن قانون كنترل بهينه صريح روش کنترل پیش‌بین و تعریف تابع هدف جديد به رابطه (9) با بكارگيري الگوريتم شماره 1 به كاهش پيچيدگي سيستم پرداخته می شود.

 

S.T(9)

الگوریتم 1: حل مسئله مبتنی بر الگوریتم بهینه­سازی ازدحام ذرات

۱- داده‌های مورد نیاز مانند موقعیت، سرعت، پارامترهای الگوریتم مانند تعداد جمعیت و تعداد تکرار در نظر گرفته می‌شوند.

۲- جمعیت اولیه به فرم رابطه (10) ایجاد می­گردد:

Xi=[P1  V1  P2  V2  KPi  KIi]

۳- مشخصه خروجی سیستم بر اساس پارامترهای اولیه اندازه‌گیری می‌شود سپس قانون کنترل به دست‌آمده توسط جعبه ابزار چند پارامتری⁶ اعمال می­گردد و تعداد مناطق چندوجهی محاسبه می‌شوند. در نهایت تابع هدف به صورت تعداد مناطق چندوجهی و زمان نشست، فراجهش و خطای حالت ماندگار تعریف می‌شود.

۴- بهترین راه حل از بین کل جمعیت تعیین و جمعیت بر اساس رابطه (9) به روزرسانی می‌شود.

۵- مراحل ۳ و ۴ به‌ صورت تکراری انجام می‌شوند. شرایط همگرایی بررسی می‌گردد و در نهایت بهترین راه حل در خروجی نشان داده می‌شود.

 خودرو روی شیب  سیستم تكه­اي شبه­ خطی

 

  شکل 2: خودرو روی شیب  چارچوب تکه‌ای شبه خطی [7]

همانطور که در شکل (2) نشان داده شده است، یک خودرو بدون اصطکاک را فرض گردیده که به صورت افقی روی تپه‌ای با شیب‌های مختلف حرکت می‌کند. هدف خودرو صعود به بالای یک تپه‌ی شیب‌دار و سپس حفظ موقعیت خود در بالا بدون سقوط از محیط تکه‌ای خطی است. دینامیک خودرو توسط قانون حرکت نیوتن به صورت رابطه (11) نوشته می‌شود.

   

                                                                                                                     (11)

که p نشان‌دهنده‌ موقعیت افقی ،v  سرعت جسم و g ثابت گرانش است. اگر x = [p, v]T ، جرم را m = 1 باشد، مدل     زمان-گسسته توسط سیستم تکه‌ای خطی محدود و ناپیوسته به صورت رابطه (12) ارائه می‌شود[7]:

              

                                    

نیروی F= mu، که روی خودرو عمل می‌کند توسط  |u(t)| ≤ 2و |u(t + 1) − u(t)| ≤ 40  محدود می­گردد و خودرو مانع از  بالا رفتن مستقیم از تپه‌ شیب‌دار در x1 ∈ [−2, − 0.5 ] می‌شود. عمل کنترل با  |u(t)| ≤ 2، |u(t + 1) − u(t)| ≤ 40  و x1 ∈ [−2, − 0.5 ] محدود می­گردد.

  نتایج و بحث

مسئله به فرم رابطه (12) با Q=diag([100,1]’)، R=5 و  p=1 حل می‌شود. حل سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد با قانون کنترل توسط جعبه ابزار چندپارامتری­ که در شکل (3) با 129 منطقه‌ چندوجهی نشان داده شده است انجام می­گردد. راه حل بسته بهینه روش كنترل افق پيشرو با 2083 منطقه فضای حالت چندوجهی، سپس حذف 1061 منطقه از 2083 منطقه در مرجع[7] ارائه شده است، که کاهش قابل توجه 50 درصدی را به همراه دارد. با این‌که امکان ساده‌سازی بیشتری وجود دارد، محاسبات پس از 16 ساعت خاتمه یافت. در این تحقیق با توجه به شکل (4) از تاثیر الگوریتم بهینه سازی ازدحام ذرات بر قانون کنترل با فیدبک برای کاهش تعداد مناطق چندوجهی آن با تنظیم پارامترهای سودمند سیستم با رویکرد اصلاح عملکرد با 25 منطقه‌ی چندوجهی استفاده شده است. با استفاده از الگوریتم بهینه­سازی ازدحام ذرات تعداد چندوجهی به حداقل می‌رسد و پیچیدگی مسئله‌ سیستم تكه­اي شبه­ خطی مقيد به آن بستگی دارد، با تنظیم جزئیات، طبق شکل (5) این وابستگی کاهش می‌یابد و عمل « بالا رفتن» از شیب انجام می‌شود. روش کنترل ایده‌آل برای حالت‌های شروع بین 2 تا 4 با سرعت اولیه صفر، خودرو را به سمت ۴ شیب سربالایی می‌برد تا سرعت کافی برای مدیریت ۲ شیب سرازیری را به دست‌آورد.

 

شکل 3: نواحی کنترل کننده روش کنترل پیش‌بین

 

 

شکل 4: نواحی کنترل کننده حاصل از جعبه ابزار چندپارامتری

 

شکل 5: متغیرهای حالت و خروجی خوردو روی شیب

بعد از اعمال الگوریتم بهینه­سازی ازدحام ذرات، پارامترهای بهینه سیستم برای رسیدن به هدف بیان شده و همچنین تعداد چند وجهی­ها به دست می­آید؛ از آنجا که برای رسیدن به هدف بیان شده، پارامترهای سیستم دستخوش تغییرات می گردد و تحت تأثیر این تغییرات عملکرد سیستم نامطلوب و باعث ایجاد خطای حالت ماندگار می­گردد از اینرو کنترل کننده PID طراحی که ضرایب آن بر اساس الگوریتم بهینه­سازی ازدحام ذرات و حداقل سازی خطای بین خروجی واقعی و خروجی مطلوب محاسبه می­شود.

نتیجه‌گیری

در اين تحقیق، دو هدف مورد بررسي قرار گرفت. ابتدا، مسئله كنترل بهينه سيستم چارچوب تکه‌ای شبه خطی مقيد (CFTOC) فرموله و حل صريح مسئله ‌با روش کنترل پیش‌بین و بكارگيري برنامه ريزي چند پارامتري به صورت قانون كنترل چارچوب تکه‌ای شبه خطی روي نواحي چندوجهي، بيان و سپس مشكلات مربوط به پيچيدگي حل و رشد نمايي آن به دلايلي نظير تعداد نواحي چندوجهي و افزايش افق پيش‌بين ارائه گرديد. آنگاه با تعريف تابع هدف جديد بر اساس كاهش چندوجهي­هاي قانون كنترل، با تلفيق الگوريتم بهینه­سازی ازدحام ذرات و حل صريح بدست آمده از روش کنترل پیش‌بین و تنظيم پارامترهاي سيستم چارچوب تکه‌ای شبه خطی به ‌كاهش پيچيدگي‌هاي سيستم اقدام شده است به طوري­كه تعداد چندوجهي‌هاي حاصل به حداقل‌رسيده و به همراه آن‌كارآيي سيستم بهبود يابد. سرانجام روش پيشنهادي بر روي خودرو بر روی شیب كه به فرم چارچوب تکه‌ای شبه خطی مدل شده پياده سازي گرديد و همچنين با طراحي و اجراي يك كنترل كننده PID خطاي حالت ماندگار بين خروجي واقعي و مطلوب به مقداري بسيار ناچيز ميل نمود. با مشاهده نتايج شبيه سازي ارائه شده، صحت ادعاها در خصوص كاهش چندوجهي‌ها به همراه بهبود حداکثر فراجهش، زمان نشست، خطاي حالت ماندگار و پايداري سيستم نمایان گردید.

مراجع

[1] Sharifi, E., Damaren, C.J., (2020), A Numerical Approach to Hybrid  Nonlinear Optimal Control, International Journal of Control, pp 3349-3362, 2020, https://doi.org/10.1080/00207179.2020.1763471.

[2] Borrelli, F.,  Baotić, M., Bemporad, A., Morari, M., (2005), Constrained Optimal Control of Discrete-Time Linear Hybrid Systems, Automatica 41(10), pp 1709-1721, https://doi.org/10.1016/j.automatica.2005.04.017.

[3] Christophersen,  F.J., (2007), Optimal control of constrained piecewise affine systems, Heidelberg: Springer, pp 43-91, https://doi.org/10.1007/978-3-540-72701-9.

[4] Nunez, A., ‏Saez, D., ‏Cortés, C. E., (2012), Hybrid Predictive Control, Hybrid Predictive Control for Dynamic Transport Problems, pp 21-42, https://doi.org/10.1007/978-1-4471-4351-2.

[5] Sontag, E., (1981), Nonlinear regulation: The piecewise linear approach, IEEE Transactions on Automatic Control 26, pp 346-358, https://doi.org/10.1109/TAC.1981.1102596.

[6] Orlowski, P., (2018), Optimal PWA approximation for a nonlinear car on the hill system and properties of the hybrid MPC constrained time-optimal controller,  23rd International Conference on Methods & Models in Automation & Robotics,https://doi.org/10.1109/MMAR.2018.8486004.

[7] Christophersen, F.J., Zeilinger, M. N., Jones, C. N. ,Morari, M.,  (2007), Controller complexity reduction for piecewise affine systems through safe region elimination, 46th IEEE Conference on Decision and Control, https://doi.org/10.1109/CDC.2007.4434694.

[8] Zhong, Z., Guan, M., Liu, X., Zheng, H., (2017), Piecewise affine modeling and explicit model predictive control for non-inverting buck-boost DC-DC converter, Acta Technica 62, pp 109–122.

[9] Leon, J., Palacios, C., Salgado, C., Perez, E., Garcia, E., (2021), Particle Swarm Optimization, Genetic Algorithm and Grey Wolf Optimizer Algorithms Performance Comparative for a DC-DC Boost Converter PID Controller, Advances in Science, Technology and Engineering Systems Journal 6, pp 619-625, https://doi.org/10.25046/aj060167.

[10] Saidi, E., Hammi, Y., Douik, A., (2020), Modeling and Explicit Model-Predictive Control of a Two-Tank System by PWA Approach, Systems, Automation, and Control, Berlin, Boston: De Gruyter, pp 123-138, https://doi.org/10.1515/9783110591729-007.

[11] Kia-Kojouri, A., MashayekhiFard, J., (2022), An efficient application of particle swarm optimization in model predictive control of constrained two-tank system, International Journal of Electrical and Computer Engineering.12(4) :pp 3540-3550, http://doi.org/10.11591 /ijece.v12i4 . 

[12] Horowitz, R., Varaiya, P., (2000), Control design of an automated highway system, Proceedings of the IEEE 88(7), pp 913-925, http://doi.org/10.1109/5.871301.

[13] Baric, M., Grieder, P., Baotic, M., Morari, M., (2007), An efficient algorithm for optimal control of PWA systems with polyhedral performance indices, Automatica 44, pp 296-301, https://doi.org/10.1016/j.automatica.2007.05.005.

[14] Bemporad, A., Filippi, C., (2003), Suboptimal explicit receding horizon control via approximate multi-parametric quadratic programming, Journal of optimization theory and applications 117,          pp 9-38, https://doi.org/10.1023/A:1023696221899.

[15] Dua, V., Pistikopoulos, E.N., (2000), An algorithm for the solution of multi-parametric mixed integer linear programming problems, Annals of operations research 99, pp 123-139, https://doi.org/10.1023/A:1019241000636.

[16] Kvasnica, M., Grieder, P., Baotic, M., Morari, M., (2004), Multi-parametric toolbox (MPT), Springer, Berlin, Heidelberg, pp 448-462, https://doi.org/10.1007/978-3-540-24743-2_30.

[17] Kvasnica, M., (2008), Efficient Software Tools for Control and Analysis of Hybrid Systems, Phd Thesis, Slovak University of Technology in Bratislava, https://doi.org/10.3929/ethz-a-005645117.

[18] Mayne, D.Q., Rakovic, S., (2003), Model predictive control of constrained piecewise affine discrete‐time systems, International Journal of Robust and Nonlinear Control 13, pp 261-279, https://doi.org/10.1002/rnc.817.

[19] Tan, Y., Cao, Q., Li, L., Hu, T., Su, M., (2021), A chance-constrained stochastic model predictive control problem with disturbance feedback, Journal of Industrial & Management Optimization 17, pp 67-79, https://doi.org/10.3934/jimo.2019099.  

[20] Petsagkourakis, P., Heath, W., Theodoropoulos, C., (2020), Stability Analysis                             of Piecewise Affine Systems with Multi-model Model Predictive Control, Automatica 111,  https://doi.org/10.1016/j.automatica.2019.108539. 

[21] Bemporad, A., Morari, M., Dua, V., Pistikopoulos, E.N., (2002), The explicit linear quadratic regulator for constrained systems, Automatica 38, pp 3-20, https://doi.org/10.1016/S0005-1098(01)00174-1.

[22] Geyer, T., Torrisi, F.D., Morari, M., (2004), Optimal complexity reduction of piecewise affine models based on hyperplane arrangements, Proceedings of the 2004 American Control Conference, pp 1190-1195, https://doi.org/10.23919/ACC.2004.1386734.

[23] Thomas, J., (2011), Complexity reduction of Robust Model Predictive Controller for uncertain Piecewise Affine Systems, Proceedings of the 2011 American Control Conference, pp 857-862, https://doi.org/10.1109/ACC.2011.5991337.

[24] Grieder, P., Kvasnica, M., Baotic, M., Morari, M., (2004), Low complexity control of piecewise affine systems with stability guarantee, Proceedings of the 2004 American Control Conference,         pp 1196-1201, https://doi.org/10.23919/ACC.2004.1386735.

[25] Heemels, W., De Schutter, B., Bemporad, A., (2001), Equivalence of hybrid dynamical models, Automatica 37, pp 1085-1091, https://doi.org/10.1016/S0005-1098(01)00059-0.

[26] Kennedy, J., Eberhart, R., (1995), Particle swarm optimization, Proceedings of International Conference on Neural Networks, pp 1942-1948, https://doi.org/10.1109/ICNN.1995.488968. 

[27] Kunalkumar, B., Gupta, R.A., Gupta, N., (2018), Optimized Design Parameters for the Bidirectional Isolated Boost DC-DC Converter Using Particle Swarm Optimization, Soft Computing for Problem Solving Advances in Intelligent Systems and Computing 817, Springer, Singapore, pp  531-543, https://doi.org/10.1007/978-981-13-1595-4_43. 

[28] Lee, D., (2017), Predictive Control of Uncertain Systems based on Motion Prediction, Phd Thesis, University of California, Berkeley.

[29] Geyer, T., Torrisi, E.D., Morari, M., (2003), Efficient Mode Enumeration of Compositional Hybrid Systems, Hybrid Systems: Computation and Control, Springer, Berlin, Heidelberg, pp 216-232, https://doi.org/10.1007/3-540-36580-X_18.

[30] Maruta, I., Sugie, T., Kim, T., (2011), Identification of multiple mode                                                          models via Distributed Particle Swarm Optimization, IFAC Proceedings 44, pp 7743-7748, https://doi.org/10.3182/20110828-6-IT-1002.02438 

[31] Nikolakopoulos, G., Roussos, N.J., Alexis, K., (2010), A constrained finite time optimal controller for the diving and steering problem of an autonomous underwater vehicle, Proceedings of the 7th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, pp 260-267, https://doi.org/10.5220/0002948202600267.

 

 

---

[1]  Piece Wise affine)PWA(

[2]  Automated highway systems)AHS (

[3]  Receding Horizon Control)RHC(

[4]  Model Predictive Control )MPC(

[5]  Particle Swarm Optimization)PSO(

[6]  Multi-parametric toolbox (MPT)

 

 

 

 

---