NEW TOPOLOGY ON M-METRIC SPACE

Subject Areas : Analyze

مهدی اسدی ¹ (Department of Mathematics, Zanjan Branch, Islamic Azad Yniversity, Zanjan, Iran)
Farshid Khojasteh ² (Department of Mathematics, Arak Branch, Islamic Azad University, Arak, Iran.)

Received: 2022-01-15 Accepted : 2022-12-05 Published : 2024-01-18

Keywords: m -متر, فضای M -متری, متر جزئی,

Abstract :

Main Part: In this article, we provide a new definition of M-metric space. By presenting the topology of this space, while examining some of its properties, we show that the limit of a sequence is not necessarily unique. In the following, by defining a new topology, we state that it is weaker than the previously defined topology. ----------------------------------------------------------- Detail: In1994 in [1] Matthews introduced the notion of a partial metric space and proved the contraction principle of Banach in this new framework. Next, many fixed-point theorems in partial metric spaces have been given by several mathematicians. In this paper, we extend the p-metric space to an M-metric space, and we shall show that our definition is a real generalization of the p-metric by presenting some examples. Keywords: M-metric space; Pritial metric space. Mathematics Subject Classification [2010]: 54H25, 47H10. References [1] S. Matthews, Partial metric topology. Ann. N.Y. Acad. Sci. 728, 183-197 (1994) [2] Mehdi Asadi, Erdal Karapınar and Peyman Salimi, New extension of p-metric spaces with some fixed-point results on M-metric spaces, Journal of Inequalities and Applications 2014, 2014:18

References:


[1] S. Matthews, Partial metric topology. Ann. N.Y. Acad. Sci. 728, 183-197 (1994)

[2] Mehdi Asadi, Erdal Karapınar and Peyman Salimi, New extension of p-metric spaces with some fixed-point results on M-metric spaces, Journal of Inequalities and Applications 2014, 2014:18

[3] لعل دولت آباد, فاطمه. قضایای نقطه انطباق و ثابتِ نگاشت‌های انقباضی به طور ضعیف تعمیم‌ یافته بر فضای شبه‌ مدولار. پژوهش های نوین در ریاضی، 1401 .doi:10.30495/jnrm.2022.59783.2068

[4] سعیدی, شهرام, باغنده, جعفر. توسیع چند قضیه ی نقطه ثابت مشترک به نگاشت های میانگینی غیرانبساطی. پژوهش های نوین در ریاضی، 7(29): 73-82، 1399

[5] حسینی فرهی, معصومه, حسنی, محمود, الهیاری, رضا. حلپذیری معادلات انتگرال-دیفرانسیل تابعی در فضای سوبولوف W^(k,∞) (R^n). پژوهش های نوین در ریاضی1400; 7(29): 147-160.

Full-Text:



   

                     

  

 

 

 یک توپولوژی جدید روی  فضای  - متری 

 

مهدی اسدی*¹ فرشید خجسته2

(1)       گروه ریاضی، واحد زنجان، دانشگاه آزاد اسلامی، زنجان، ایران

(2)       گروه ریاضی، واحد اراک، دانشگاه آزاد اسلامی، اراک، ایران

 

 

 در این مقاله، تعریف جدیدی برای فضای  - متری ارائه می‌کنیم. با ارائه توپولوژی این فضا، ضمن بررسی برخی از خواص آن، نشان می‌دهیم حد یک دنباله لزوما یکتا نیست. در ادامه با تعریف توپولوژی جدید بیان می‌کنیم که ضعیفتر از توپولوژی تعریف شده قبلی است.

 

 واژه‌های کلیدی: فضای  -متری،  -متر، متر جزئی 

 ‎رده‌بندی موضوعی:47H10‎  ، 54H25

 

 

---

[1] * عهده دار مکاتبات:

Email: [e-mail] 

 

1  مقدمه 

  در سال 1994 ماتیو در مقاله [1] نماد فضای متری جزئی را معرفی کرد و قضیه انقباضی نقطه ثابت باناخ را ثابت کرد. بعد از آن بسیاری از ریاضی‌دانان دنیا فضایای نقطه ثابت با ساختارهای مختلف معروف را برای متر جزئی ثابت کردند. در این راستا در این مقاله سعی داریم تعریف جدیدی برای فضای  - متری معرفی کنیم (که در سال 2014 توسط اسدی و همکارانش در [2] آورده شده) که گسترش یافته متر جزئی بوده و مثالی بیان می‌کنیم که لزوما این فضای جدید هاسدورف نیست. یک توپولوژی جدید روی این فضا تعریف می‌نماییم وضمن بررسي برخي از خواص آن نشان می‌دهیم این توپولوژي از توپولوژي تعریف شده قبلي ضعیفتر است.

 

تعریف 1.1  متر جزئی روی  تابع  است به‌طوری‌که :

    1.

 

     2.

      3.     

4.

  را فضای  -متری می‌نامند.

 نمادهای زیر در ادامه مقاله ضروری است:

 

 

 

 اکنون ویراست جدید یک فضای  - متری‌ را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:

تعریف 1.2 فرض کنید  یک مجموعه ناتهی باشد. تابع  یک  -متر نامیده می‌شود هرگاه  

    

1.

      2.

    3.

 

 در این‌صورت  را فضای  - متری می‌‌نامند.

 توجه داریم که شرط  در [2] از شرط  با فرض  و  بدست می آید. کافیست فقط توجه کنیم که 

 

 

مثال 1.3 فرض کنید  و 

 

 در این‌صورت  یک  -متر روی  است.

مثالهایی وجود دارند که  -متر هستند اما  متر نیستند.

مثال 1.4 فرض کنید  و قرار دهید:

        

        

        

        

        

        

 -متری که  -متر نیست.

 

مثال 1.5 فرض کنید  یک  -متر باشد در این‌صورت 

        

یک متر معمولی نیست. کافیست فرض کنیم  و 

 

 

 در این‌صورت 

        

 

اما .

 

مثال 1.6  فرض کنید  یک فضای متری و  یک نگاشتی صعودی یا اکیدا صعودی یک به یک باشد به‌طوری‌که   و 

        

در این‌صورت  یک -متر است.

 

مثال 1.7  برای فضای متری  با فرض  دراین‌صورت  یک  -متر است چرا که کافیست بنا به مثال قبل فرض کنیم 

 

مثال 1.8 فرض کنید  یک  -متر یاشد در اینصورت  و  متر معمولی هستند:

    

1.

   

2.

وقتیکه  و  اگر .

 

تبصره 1.9  برای هر  داریم:

    1.

    2.

به عبارتی 

        

 

 

 

لم 1.10 ([2]) هر  یک  -متر هست.

 

2   توپولوژی فضای  - متری 

 نشان می‌دهیم که هر -متر  روی  یک  برای توپولوژی  را تولید می‌کند. مجموعه 

 

که در آن 

 

برای نشان دادن توپولوژی  که یک  هست، برای  اگر فرض کنید  آنگاه .

برای تشکیل یک پایه به  فرض کنید برای همه  و 

 

 

ادعا می‌کنیم 

 

فرض کنید 

 

 

 

 

 

بنا به خاصیت  داریم 

        

در نتیجه 

 

 

تعریف 2.1 فرض کنید  یک فضای  -متری باشد:

 دنباله  در فضای  همگرا به  اگر و تنها اگر 

                (1)

 

 

لم 2.2 ([2])  فرض کنید در فضای  -متری  

. در این‌صورت برای همه  داریم:

 

 

 

لم 2.3 ([2])  فرض کنید  و  در فضای . در این‌صورت . بعلاوه اگر , آن‌گاه .

 

3  نتایج اصلی

 

قضیه 3.1 توپولوژی  هاسدورف نیست.

 

اثبات. فرض کنید   به‌طوری‌که 

 

با 

 

 

و هم‌چنین 

 

بدون خلل به کلیت فرض می‌کنیم که  طوری باشد که . اکنون نشان می‌دهیم اشتراک دو همسایه زیر ناتهی است:

 

 

برای اثبات  داریم:

        

 

 

 

 و برای  داریم:

        

 

 

 

 

 بدین ترتیب برای  همسایگی  از  و  از  داشتیم: .

 

مثال 3.2 فرض کنید  و قرار دهید:

 

 

 

 

 -متری که  -متر نیست. فرض کنید 

        

نشان می‌دهیم در فضای -متری  و همین‌طور .

 

 

 

بنا به لم 2.3 توجه داریم که 

 

 

        

        

 

 

مثال 3.3 با  فرض کنید: 

 

 باشد در این‌صورت این یک  -متر است. حال دنباله در متر   اگر  آن‌گاه در  -متر .

 

 

 

 

4   توپولوژی جدید  فضای  - متری 

حال یک توپولوژی ضعیفتر از توپولوژی اخیر به نام  تعریف می‌کنیم که توسط گوی‌های باز به‌صورت زیر تولید می‌شود:

 

که در آن 

 

نشان میدهیم توپولوژی  یک  هست. برای  اگر فرض کنید  آنگاه .

برای تشکیل یک پایه به  فرض کنید  و ثابت باشد. برای هر  و 

 

 

ادعا می‌کنیم 

 

فرض کنید 

 

 

 

 

 

بنا خاصیت زیر داریم 

 

ویا 

 

و بنا به خاصیت  و اینکه  

 

در نتیجه 

 

 

قضیه 4.1 توپولوژی  ضعیفتر از توپولوژی  است.

 

اثبات. فرض کنید  باشد لذا 

 

پس 

 

در نتیجه 

 

یعنی .

نتیجه گیری

در این مقاله نشان دادیم که توپولوژی  ضعیفتر از توپولوژی  است. منابعی دیگری برای مطالعه کاربردها در نظریه نقطه ثابت و فضاهای متری دیگری را می‌توانید در منابع [3و4] و [5] مشاهده نمایید.

 

فهرست منابع

 [1] S. Matthews, Partial metric topology. Ann. N.Y. Acad. Sci. 728, 183-197 (1994)

[2] Mehdi Asadi, Erdal Karapınar and Peyman Salimi, New extension of -metric spaces with some fixed-point results on -metric spaces, Journal of Inequalities and Applications 2014, 2014:18 

[3] لعل دولت آباد, فاطمه. قضایای نقطه انطباق و ثابتِ نگاشت‌های انقباضی به طور ضعیف تعمیم‌یافته بر فضای شبه‌مدولار. پژوهش های نوین در ریاضی, 1401 .doi:10.30495/jnrm.2022.59783.2068

[4] سعیدی, شهرام, باغنده, جعفر. توسیع چند قضیه ی نقطه ثابت مشترک به نگاشت های میانگینی غیرانبساطی. پژوهش های نوین در ریاضی 1399; 7(29): 73-82.

[5] حسینی فرهی, معصومه, حسنی, محمود, الهیاری, رضا. حلپذیری معادلات انتگرال-دیفرانسیل تابعی در فضای سوبولوف W^(k,∞) (R^n). پژوهش های نوین در ریاضی1400; 7(29): 147-160.

---