Efficiency ranking of DMUS with fuzzy data

Subject Areas : Economic Development, Innovation, Technological Change, and Growth

Neda Bashak ¹ , Shokrollah Ziari ² , Mohammad Mehdi Movahedi ³ , Amir Gholam Abri ⁴ , Amirmehdi Miandaragh ⁵

1 - PhD. Student, Department of Industrial Management, South Tehran Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran, [e-mail]
2 - Department of Mathematics, South Tehran Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran, (Corresponding Author), [e-mail]
3 - Associate Professor, Department of Industrial Management, Firuzkuh Branch, Islamic Azad University, Firuzkuh, Iran, [e-mail]
4 - Associate Professor, Department of Mathematics, Firuzkuh Branch, Islamic Azad University, Firuzkuh, Iran, e- [e-mail]
5 - Assistant Professor, Department of Mathematics, Firuzkuh Branch, Islamic Azad University, Firuzkuh, Iran, [e-mail]

Received: 2024-08-22 Accepted : 2025-01-11 Published : 2025-01-26

Keywords: Data Envelopment Anlysis, Fuzzy TOPSIS technique, Fuzzy TOPSIS-DEA, Ranking of decision making units JEL Classification: C01, C44, C61,

Abstract :

The aim of this research is to present an integrated method of data envelopment analysis (DEA) and fuzzy TOPSIS technique based on similarity to the ideal solution for the complete ranking of decision making units in a fuzzy environment. In this method, DMUs are considered as alternatives, input variables as cost criteria (negative attributes) and output variables as benefit criteria (positive attributes); Because the efficiency of a DMU increases by increasing the values of the outputs and decreasing the values of the inputs. In addition, the presented method can be used to rank DMUs with unfavorable outputs. The efficiency and simplicity of this method have been investigated via examples and case study. Also, the obtained results have been compared with the results in related articles

References:

افتخاریان، سیده الهام، هاشمی، سید فرزاد، نعمتی، علی، مهرجو، راضیه و احدزاده نمین، مهناز (1402). توسعه مدل تحلیل پوششی داده¬های شبکه جهت ارزیابی کارایی فنی صنعت داروسازی. مدلسازی اقتصادی، 17(4): 136-115.
-‌ امیر غلام‌ابری (1403). شناسایی واحدهایی با بیشترین مقیاس بهوره¬وری در زنجیره تامین سبز با استفاده از تحلیل پوششی داده¬ها (DEA). مدلسازی اقتصادی، 18(66): 1-23.
- Andersen, P., & Petersen, N. C. (1993). A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis. Management Science, 39(10): 1261-1264.
- Bede, B. (2013). Mathematics of fuzzy sets and fuzzy logic. Springer-Verlag, Berlin, Hei- delberg.
-Bracke, S., Radetzky, M., Rosebrock, C. & Ulutas, B. (2019). Efficiency and effectivity of high precision grinding manufacturing processes: An approach based on combined DEA and cluster analyses Procedia CIRP, 79: 292-297. https://doi.org/10.1016/j.procir.2019.02.069.
- Charnes, A., Cooper, W.W., & Rhodes, E. (1978). Measuring the efficiency of decision making units. European Journal of Operational Research, 2(6): 429-444. https://doi.org/10.1016/0377-2217 (78) 90138-8.
- Charnes, A., Cooper, W. W., Lewin, A. Y., & Seiford, L. M. (1994). Data envelopment analysis: Theory, methodology, and applications, springer dordrecht. Springer Book Archive. https://doi. org/ 10. 1007/978-94-011-0637-5.
- Chen, C- T. (2000). Extensions of the TOPSIS for group decision-making under fuzzy environment. Fuzzy Sets and Systems, 114(1), 1-9.
- Chu, X., Fielding, G. J., & Lamar, B. W. (1992). Measuring transit performance using data envelopment analysis. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 26(3): 223-230.
- Ebrahimnejad, A., & Amani, N. (2021). Fuzzy data envelopment analysis in the presence of undesirable outputs with ideal points. Complex & Intelligent Systems, 7(3):1-22.
- Eftekharian, S. E., Hashemi, S. F., Nemati, A., Mehrjoo, R., & Ahadzadeh Namin, M. (2024). Development of network data envelopment analysis model to evaluate the technical efficiency of the pharmaceutical industry. Economic Modeling, 17(64): 115-136. ]in Persian.[
- Emrouznejad, A., & Yang, G-L. (2018). A survey and analysis of the first 40 years of scholarly literature in DEA: 1978–2016. Socio-Economic Planning Sciences, 61: 4-8. https://doi.org/ 10. 1016 /j. seps.2017.01.008.
- Emrouznejad, A., Tavana, M., & Hatami-Marbini, A. (2014). The state of the art in fuzzy data envelopment analysis. In Performance Measurement with Fuzzy Data Envelopment Analysis, published in Studies in Fuzziness and Soft Computing (309) 1-45, Springer-Verlag.
- Farrell, M. J. (1957). The measurement of productive efficiency. Journal of the Royal Statistical Society: Series A (General), 120(3): 253-281.
- Färe, R., Grosskopf, S., & Lovell, C. (1985). The measurement of efficiency of production. Kluwer Nijhoff, Boston.
- Färe, R., Grosskopf, S., & Lovell, C. (1983). The structure of technical efficiency. Scandinavian Journal of Economics, 85: 181- 190.
- Fiallos, D., Chavez, J., Mendoza, L., & Campana, J. (2017). Technologies in higher education: Public policies and social appropriation of their implementation. Revista Digital de Investigacion en Docencia Universitaria, 11(1): 193-2. Doi: http://dx.doi.org/10.19083/ridu.11.498
- Gasser, T., Crepin, L., Quilcaille, Y., Houghton, R. A., Ciais, P., & Obersteiner, M. (2020). Historical CO2 emissions from land use and land cover change and their uncertainty. Biogeosciences, 17(15): 4075-4101. DOI: 10.5194/bg-17-4075-2020
- Ghasemi, M.R., Ignatius, J., Lozano, S., Emrouznejad, A., & Hatami-Marbini, A. (2015). A fuzzy expected value approach under generalized data envelopment analysis. Knowledge-Based Systems, 89: 148–159.
- Gholam Abri, A. (2024). Identifying the most productive scale size in the green supply chain using data envelopment analysis. Economic Modeling, 18(66): 1-23. ]in Persian.[
- Guo, P., & Tanaka, H. (2001). Fuzzy DEA: A perceptual evaluation method. Fuzzy Sets and Systems, 119(1):149-160. DOI: 10.1016/S0165-0114(99)00106-2
- Hatami-Marbini, A., Tavana, M., & Ebrahimi, A. (2011). A fully fuzzified data envelopment analysis model. International Journal of Information and Decision Sciences, 3(3): 252-264.
- Hatami-Marbini A., Emrouznejad, A., & Tavana, M. (2011). A taxonomy and review of the fuzzy data envelopment analysis literature: Two decades in the making. European Journal of Operational Research, 214(3):457-472. DOI:10.1016/j.ejor.2011.02.001
- Hwang, CL., & Yoon, K. (1981). Methods for multiple attribute decision making. In: Multiple Attribute Decision Making. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol 186. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-48318-9_3
- Labijak-Kowalska, A., & Kadziński, M. (2021). Experimental comparison of results provided by ranking methods in data envelopment analysis. Expert Systems with Applications, 173. 114739. https:// doi. org /10.1016/j.eswa.2021.114739.
- Lertworasirikul, S., Fang, SC., Nuttle, H.L.W., & Joines, J.A. et al. (2003). Fuzzy BCC model for data envelopment analysis. Fuzzy Optimization and Decision Making, 2: 337–358. https://doi.org/ 10. 1023/B:FODM.0000003953.39947.b4.
- Matsumoto, Y., Ishimoto, Y., & Takizawa, Y. (2020). Examination of the effectiveness of Neuroscience -Informed Child Education (NICE) within Japanese School Settings. Children and Youth Services Review, 118(3):105405. DOI:10.1016/j.childyouth.2020.105405.
- Montazeri, F.Z. (2019). The survey of data envelopment analysis models in fuzzy stochastic environments. International Journal of Research in Industrial Engineering, 8(4): 366–383.
- Nazarko, J., & Šaparauskas, J. (2014). Application of DEA method in efficiency evaluation of public higher education institutions. Technological and Economic Development of Economy, 20(1): 25-44. DOI:10.3846/20294913.2014.837116.
- Pandey, V., Komal, K., & Dincer, H. (2023). A review on TOPSIS method and its extensions for different applications with recent development. Soft Computing, 27(23):1-29. DOI: 10.1007/s00500-023-09011-0.
Pastor, J.T., Aparicio, J., & Zofío, J.L. (2022). The enhanced Russell graph measure (ERG=SBM): economic inefficiency decompositions. International Series in Operations Research & Management Science, 315. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-030-84397-7_7
- Peykani P., Mohammadi E., Emrouznejad A., Pishvae M.S., Rostamy-Malkhalifeh M. (2019). Fuzzy data envelopment analysis: An adjustable approach. Expert Systems with Applications, 136:439-452. DOI:10.1016/j.eswa.2019.06.039.
- Puri, J., & Yadav, S.P. (2013). A concept of fuzzy input mix-efficiency in fuzzy DEA and its application in banking sector. Expert Systems with Applications, 40(5):1437–1450. DOI:10. 1016/ j. eswa. 2012. 08.047.
- Ruiz, J.L., Sirvent, I. (2017). Fuzzy cross-efficiency evaluation: A possibility approach. Fuzzy Optimization and Decision Making, Springer, 16(1): 111-126. DOI: 10.1007/s10700-016-9240-1.
- Saati, S.M., Memariani, A., & Jahanshahloo, G.R. (2002). Efficiency analysis and ranking of DMUs with fuzzy data. Fuzzy Optimization and Decision Making, 1(3), 255–267. https://doi.org /10 .1023/A: 1019648512614.
- Sengupta, J. K. (1992). A fuzzy systems approach in data envelopment analysis. Computers & mathematics with applications, 24(8-9): 259-266. https://doi.org/10.1016/0898-1221(92) 90203-T.
- Tavana, M., Khanjani, S., Hatami-Marbini A., Agrell P.J., & Paryab, K. (2013). Chance- constrained DEA models with random fuzzy inputs and outputs. Knowledge-Based Systems, 52: 32 – 52. DOI:10.1016/j.knosys.2013.05.014.
- Tavana, M., & Hatami-Marbini, A., Emrouznejad, A. (2011). A taxonomy and review of the fuzzy data envelopment analysis literature: Two decades in the making. European Journal of Operational Research, 214(3): 457-472.
- Tavana, M. (2003). Cross: A multicriteria group-decision-making model for evaluating and prioritizingadvanced-technology projects at NASA. Interfaces, 33(3): 40-56.
- Wang, Y. M., Luo, L. (2009). Fuzzy data envelopment analysis based upon fuzzy arithmetic with an application to performance assessment of manufacturing enterprises. Expert Systems with Applications, 36(3): 5205-5211. DOI:10.1016/j.eswa.2008.06.102.
- Wen, M., & Li, H. (2009(. Fuzzy data envelopment analysis (DEA): Model and ranking method. Journal of Computational and Applied Mathematics, 223(2): 872-878. https://doi.org/10. 1016/j. cam. 2008.03.003.
- Wen, M., You, C., & Kang, R. (2010). A new ranking method to fuzzy data envelopment analysis. Computers & Mathematics with Applications, 59(11): 3398–3404.
- Zerafat Angiz, L. M., Emrouznejad, A., & Mustafa, A. (2010). Fuzzy assessment of performance of a decision making units using DEA: A nonradial approach. Expert Systems with Applications, 37(7): 5153-5157. DOI:10.1016/j.eswa.2009.12.078.
- Zhou, W., & Xu, Z. (2020). An overview of the fuzzy data envelopment analysis research and its successful applications. International Journal of Fuzzy Systems, 22(4): 1037-1055. DOI: 10.1007/ s40815-020-00853-6.

Full-Text:



Economic Modeling sanad.iau.ir/journal/eco

 

Original Article

Efficiency ranking of DMUS with fuzzy data 

Neda Bashak¹, Shokrollah Ziari², Mohammad mehdi Movahedi+,
Amir Gholam Abri++, Mehdi Amir Miandaragh×

https://sanad.iau.ir/Journal/eco/Article/1196171

Abstract  This research introduces an integrated approach combining Data Envelopment Analysis (DEA) and the fuzzy Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS) for comprehensive ranking of decision-making units (DMUs) in a fuzzy environment. In this method, DMUs are treated as alternatives, with input variables as cost criteria (negative attributes) and output variables as benefit criteria (positive attributes). The efficiency of a DMU increases as output values rise and input values decrease. Importantly, this method accommodates DMUs with unfavorable outputs for ranking purposes. The effectiveness and simplicity of the proposed approach are demonstrated through examples and a case study, with results compared against relevant literature.

Received: 22/08/2024   Accepted: 11/01/2025   Keywords: Data Envelopment Anlysis, Fuzzy TOPSIS Technique, Fuzzy TOPSIS-DEA, Ranking of Decision Making Units   JEL Classification:  C01, C44, C61

 

 

 

 

 

 

 

1. Introduction

Data Envelopment Analysis (DEA) provides a nonparametric method to evaluate the relative efficiency of decision-making units (DMUs). It calculates the ratio of weighted outputs to weighted inputs to assess the efficiency of DMUs with multiple inputs and outputs. Practitioners widely use DEA and Multiple-Criteria Decision-Making (MCDM) tools in management, control, and decision-making processes. However, basic DEA models fail to discriminate among efficient DMUs, which creates the need to combine DEA with MCDM techniques, such as TOPSIS, for ranking purposes. Traditional DEA also struggles to handle imprecise or ambiguous input and output values, which often arise in real-world data. Researchers use fuzzy logic to integrate DEA and TOPSIS to address this issue. This approach manages uncertain data by representing it with fuzzy numbers, ensuring more reliable and valid decisions. Researchers have increasingly combined DEA and TOPSIS with fuzzy set theory to enhance decision-making in uncertain environments. They analyze various multi-criteria decision-making (MCDM) problems using the fuzzy TOPSIS method and develop extensions to solve real-life scenarios. This paper reviews these studies, emphasizing the effectiveness of the fuzzy TOPSIS method in addressing complex MCDM challenges.

 

2. Research method and data

This research aims to present an integrated Fuzzy DEA and fuzzy TOPSIS technique based on similarity to the ideal solution for the complete ranking of DMUs in a fuzzy environment.

 

3. Analysis and discussion

We demonstrate the effectiveness and capability of the proposed approach through two illustrative examples and a real-world application. The first example involves two fuzzy inputs and two fuzzy outputs, with the dataset presented in Table 3 using triangular fuzzy numbers. These data have also been referenced in prior studies. The ranking results, derived using the proposed method, appear in Table 5. The second example includes two fuzzy inputs, two desirable fuzzy outputs, and one undesirable fuzzy output. The dataset, detailed in Table 4, also employs triangular fuzzy numbers. Table 9 presents the ranking results based on the proposed method. To showcase the applicability of the model with real-world data, we analyze variables from nine branches of NIOC in Iran, spanning nine provinces. The dataset includes two input variables—number of staff (I1) and costs (I2) (comprising operational expenses, labor costs, maintenance, and other services)—and three output variables: gas extraction volume (O1), oil extraction volume (O2), and production quality (O3). Table 11 provides the input-output dataset, with company names anonymized for confidentiality. The ranking results, calculated using the proposed algorithm, are displayed in Table 12. 

 

 

 

 

The ranking outcomes in Table 12 reveal that Company 1 exhibits the most favorable situation, while Company 9 shows the least favorable circumstances among the companies.

 

4. Conclusion

This paper ranks all DMUs in a fuzzy environment by integrating fuzzy DEA and TOPSIS. The process treats each fuzzy input and output as an attribute and each DMU as an alternative. After normalizing the fuzzy decision matrix, the approach calculates the distance of each DMU from the best and worst solutions. Numerical experiments validate the proposed method and compare it with existing ranking techniques based on α-levels. The proposed method performs effectively for undesirable fuzzy output variables and offers several advantages over existing approaches. These include cost-efficient computation and independence of results from α-levels. Unlike most ranking methods in fuzzy DEA that rely on α-levels, the proposed approach provides a unique rank for all α-levels, addressing a significant limitation of traditional methods.

 

Funding

There is no funding support.

 

Declaration of Competing Interest

The author has no conflicts of interest to declare that are relevant to the content of this article.

 

Acknowledgments

We thank anonymous reviewers for their useful comments greatly contributing to improve ourwork.

.

 

 

 

---

[1] * PhD. Student, Department of Industrial Management, South Tehran Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran, [e-mail]

[2] **Associate Professor, Department of Mathematics, South Tehran Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran, (Corresponding Author), [e-mail]

+ Associate Professor, Department of Industrial Management, Firuzkuh Branch, Islamic Azad University, Firuzkuh, Iran, [e-mail]

++ Associate Professor, Department of Mathematics, Firuzkuh Branch, Islamic Azad University, Firuzkuh, Iran, [e-mail]

× Assistant Professor, Department of Mathematics, Firuzkuh Branch, Islamic Azad University, Firuzkuh, Iran, [e-mail]

How to Cite: Bashak, N., et al. (2025). Efficiency ranking of DMUS with fuzzy data. Economic Modeling. 18(67): 27-52.

پژوهشی                   

رتبه‌بندی کارآیی واحدهای تصمیم‌گیری با داده‌های فازی 

ندا بشاک¹، شکراله زیاری²*، محمدمهدی موحدی³، امیرغلام ابری⁴+، مهدی امیرمیاندرق⁵⁶

Table 12:  values; ranking results based on proposed method
DMUs				​	rank
Co1		0.6041	2.7719	0.8211	1
Co2		0.6391	2.7490	0.8114	2
Co3		1.5889	1.6400	0.5079	6
Co4		1.4709	1.7515	0.5435	5
Co5		1.6717	0.7024	0.4815	7
Co6		2.5477	0.6915	0.2135	8
Co7		2.6847	0.5703	0.1752	9
Co8		0.8710	2.3847	0.7325	3
Co9		1.4676	1.8539	0.5582	4

https://sanad.iau.ir/Journal/eco/Article/1196171

تاریخ دریافت: 01/06/1403 تاریخ پذیرش: 22/10/1403   واژگان کلیدی:  تحلیل پوششی داده­ها، تکنیک تاپسیس فازی، تاپسیس-DEA فازی، رتبه­بندی واحدهای تصمیم­گیری.   طبقه‌‌بندی JEL: C01, C44, C61

چکیده هدف این مقاله، ارائه روشی یکپارچه از روش تحلیل پوششی داده‌ها و تکنیک TOPSIS فازی براساس شباهت به راه‌حل ایدئال برای رتبه‌بندی کامل واحدهای تصمیم‌گیری در محیط فازی است. در این روش، DMUها به‌عنوان گزینه­ها، متغیرهای ورودی به‌عنوان معیارهای هزینه (ویژگی‌های منفی) و متغیرهای خروجی به‌عنوان معیارهای سود (ویژگی‌های مثبت) لحاظ می‌شوند؛ زیرا کارآیی یک DMU  با افزایش مقادیر خروجی‌ها و کاهش مقادیر ورودی‌ها افزایش می‌یابد. ضمنا روش ارائه شده می‌تواند برای رتبه‌بندی DMUها با خروجی‌های نامطلوب نیز استفاده شود. کارآیی و سادگی این روش از طریق مثال‌ها و مطالعه موردی بررسی شده است. همچنین نتایج به­دست آمده با نتایج در مقالات مرتبط مقایسه شده است.

 

 

 

 

 

 

1.‌ مقدمه

تحلیل پوششی داده‌ها (DEA)⁷ زیرشاخه‌ای از پژوهش‌های عملیاتی⁸ و علم مدیریت و روشی ناپارامتریک⁹ است که به اندازه‌گیری «کارآیی نسبی»¹⁰ واحدهای تصمیم‌گیری (DMUs)¹¹ می‌پردازد (کوپر و همکارآن¹²، 2014 به نقل از لابیجاک-کووالسکا و کاژینسکی¹³، 2021). تحقیق در مورد برآورد مرز کارآیی در­نظریه تولید¹⁴ به اثر فارل¹⁵ (1957) برمی‌گردد. وی، کارآیی را نسبت خروجی و ورودی واحد درنظر می‌گیرد. این مدل توسط چارنز و همکارآن¹⁶ (1978) تعمیم یافته است. آنها در این اثر، سناریوی پیچیده‌تری شامل ورودی‌ها و خروجی‌های متعددی را درنظر گرفتند. به­طور خاص، این پژوهشِ تاثیرگذار به کارآیی اشاره دارد که به‌عنوان نسبت خروجی مجازی و ورودی مجازی¹⁷ بیان می‌شود؛ یعنی، به‌ترتیب، مجموع وزنی خروجی‌ها و ورودی‌ها. وضعیت کارآیی با استفاده از مدل برنامه‌ریزی خطی تعیین می‌شود که یک DMU مفروض را با تمام واحدهای دیگر در مجموعه‌ای مفروض، مقایسه می‌کند. چنین ارزیابی و اندازه‌گیری عملکرد بدون تعیین وزن قبلی و دانستن عملکرد تولید پیشین انجام می‌شود.

کاربردهای موفق DEA را می‌توان در زمینه‌های مختلفی یافت (امروزنژاد و یانگ،¹⁸ 2018)؛ مانند بانکداری تاناسولیس¹⁹ (1999)، حمل­ونقل (چو و همکارآن²⁰، 1992)، مراقبت‌های بهداشتی (فیالوس و همکارآن²¹، 2017)، کشاورزی (توما و همکارآن²²، 2015)، آموزش (نظرکو و ساپاروسکاس²³، 2014)، ساخت و تولید (برِیک و همکارآن²⁴، 2019)، مدیریت زیست­محیطی (ماتسوموتو و همکارآن²⁵، 2020) و بخش انرژی (گاسر و همکارآن²⁶، 2020). در واقع، DEA توانایی مدیریت روابط پیچیده بین ورودی‌ها و خروجی‌های کارآکترهای مختلف را دارد و در مورد واحدهای مختلف بیان می‌شود؛ درحالی ‌که مفروضات کارکردی را در مورد عوامل لحاظ شده و نیز فرایندهای اساسی و زیربنایی به‌کار نمی‌گیرد (چارنز و همکارآن، 1994).

مسئله­ای که در این مقاله مورد بحث قرار می­گیرد رتبه­بندی واحدهای تصمیم­گیری برای حالاتی است که برخی از داده­ها غیرقطعی یا فازی هستند. اهمیت رتبه­بندی واحد های تصمیم­گیری با داده­های فازی از این واقعیت ناشی می‌شود که نقش مهمی را در تصمیم­گیری فازی ایفا می­کند بنابراین به­نظر می­رسد که مسئله رتبه­بندی کامل واحدهای تصمیم‌گیری فازی اهمیت داردارد. همان­طور که می­دانیم مدل­های فازی تحلیل پوششی داده­ها نمرات کارآیی متمایزی را با توجه به سطح مختلف 𝛼 برای واحدهای تصمیم­گیری در حالت فازی ارائه می­دهند لذا در این راستا نیاز است که روشی برای رتبه­بندی واحدهای تصمیم­گیری در محیط فازی ارائه شودود که مستقل از مقادیر سطح 𝛼 باشد. از این­رو روشی که در این مقاله ارائه می­شود براساس تحلیل پوششی داده­های فازی و تکنیک TOPSIS فازی است

مقاله به‌صورت زیر ساختاربندی می‌شود: پس از مقدمه، در بخش دوم، ادبیات موضوع مرور می‌شود؛ در بخش سوم، روش پژوهش بیان می‌شود؛ بخش چهارم به یافته‌ها و نتایج اختصاص دارد و بخش پایانی مربوط به نتیجه‌گیری و پیشنهادهای سیاستی است.

 

2.‌ مروری بر ادبیات موضوع

تحلیل پوششی داده‌ها (DEA) چارنز و همکارآن (1978) معرفی کردند، روشی غیرپارامتری برای ارزیابی نسبی واحدهای تصمیم‌گیری (DMUs) با ورودی‌ها و خروجی‌های متعدد است. تحلیل پوششی داده­ها  نسبت خروجی‌های وزنی به ورودی‌های وزنی را در میان واحدهای تصمیم‌گیری محاسبه می‌کند. تحلیل پوششی داده‌ها و تصمیم‌گیری چندمعیاره (MCDM)²⁷ ابزارهای کاربردی در کنترل، مدیریت و تصمیم‌گیری‌ها هستند (وِن و لی²⁸، 2009).  

یکی از نقاط ضعف مدل‌های پایه­ای DEA این است که نمی‌تواند بین واحدهای کارآ تمایز قائل شود. یکی از کاربردهای ترکیب DEA و MCDM این است که در رتبه‌بندی²⁹ واحدهای تصمیم‌گیری می‌توان از آن بهره‌برداری کرد. همچنین، یکی از محدودیت‌های مدل‌های پایه­ای DEA، عدم به‌کارگیری مقادیر ورودی و خروجی³⁰ (کمّی‌سازی مقادیر دقیق برخی مسائل دنیای واقعی)است. هنگامی‌که در داده‌های دنیای واقعی ابهام یا بی‌دقتی ذاتی موجود داشته باشد. برای حل این مسئله، منطق فازی (همراه با بهره‌گیری از مفاهیمی چون «فازی و تصادفی»³¹) به‌کار می‌رود تا از طریق ترکیب DEA و TOPSIS به مدیریت داده‌های غیردقیق و مبهم³² بپردازد؛ بنابراین، داده‌های نامطمئن در DEA و TOPSIS می‌توانند با اعداد فازی مشخص شوند.

بخش قابل­توجهی از تحقیقات نیز به‌دنبال ترکیب هر دو روش DEA و TOPSIS با «نظریه مجموعه‌های فازی»³³ برای افزایش اعتبار انتخاب نهایی توسط تصمیم‌گیرندگان بوده است. روش‌های مختلف «تحلیل پوششی داده‌های فازی (FDEA)» برای داده‌های فازی را پژوهش‌گران ارائه کرده­اند. حاتمی‌ ماربینی و همکارآن³⁴  (2011) در پژوهش خود به بررسی و مرور کلی روش‌های (FDEA) پرداختند؛ براساس این پژوهش، روش‌های (FDEA) به‌دسته‌های زیر احصا می­شوند:

·       رویکرد تحمل‌پذیری³⁵ (سنگوپتا³⁶، 1992؛ تیریانتیس و گرود³⁷، 1998)؛

·       رویکرد مبتنی‌بر α-برش و رویکرد رتبه‌بندی فازی (گائو و تاناکا³⁸، 2001؛ ساعتی و همکارآن³⁹، 2002؛ توانا و همکارآن⁴⁰، 2003؛ حاتمی- ماربینی، توانا و ابراهیمی، 2011؛ امروزنژاد و همکارآن⁴¹، 2014؛ قاسمی و همکارآن⁴²، 2015)؛ 

·       رویکرد احتمالی⁴³ (لرت ووراسیریکول⁴⁴ و همکارآن، 2003؛ رویز و سیرونت⁴⁵، 2017)؛

·       رویکرد محاسباتی فازی⁴⁶ (وانگ و لو⁴⁷، 2009)؛

·       مجموعه‌های تصادفی فازی (توانا و همکارآن، 2013).

 

بیشتر روش‌های (FDEA) شامل فرمول‌های شعاعی⁴⁸، ورودی‌محور و مضربی هستند. همچنین، روش‌های غیرشعاعی‌ای وجود دارد که عمدتاً مبتنی‌بر اندازه‌گیری نمودار بهبودیافته راسل (ERG)⁴⁹ و اندازه‌گیری مبتنی‌بر کمبودها (SBM) و نیز برخی روش‌های افزایشی هستند که از فرم‌های مضربی و پوششی استفاده می‌کنند. در مرور اخیر، از مطالعات DEA فازی که در پژوهش ژو دبلیو، ژو زی⁵⁰ (2020) ارائه شده، برخی از روش‌های DEA فازی موجود در این حوزه امکان رتبه‌بندی واحدهای تصمیم‌گیری را فراهم می‌کنند.

ساعتی و همکارآن (2002) مدل مضربی ⁵¹CCR ورودی‌محور را در تحلیل پوششی داده‌ها (DEA) برای داده‌های فازی پیشنهاد دادند. آنها از مجموعه α-برش⁵² برای ارزیابی کارآیی واحدهای تصمیم‌گیری استفاده کردند و همچنین، فرم پوششی مدل CCR ورودی‌محور را برای رتبه‌بندی واحدهای تصمیم‌گیری با داده‌های فازی فرموله کردند. گائو و تاناکا (2001) اولین کسانی بودند که یک روش رتبه‌بندی را برای اندازه‌گیری کارآیی واحدهای تصمیم‌گیری در محیط فازی توسعه دادند. آنها یک مدل CCR فازی معرفی کردند که با استفاده از تعریف سطح امکان و قاعده مقایسه برای اعداد فازی، قیود فازی را به قیود قطعی تبدیل می‌کند. پندی و همکارآن⁵³ (2023) در پژوهش خود انواع مختلف مسائل تصمیم‌گیری چندمعیاره (MCDM) را با استفاده از روش TOPSIS فازی بررسی کردند. درواقع، تلاش شده، مطالعات مختلفی مرور شوند که در آنها از روش TOPSIS استفاده شده یا توسعه‌هایی از آن برای تحلیل مسائل MCDM در دنیای واقعی صورت گرفته است.

وِن و لی (2009) مدل‌های DEA فازی را برای رتبه‌بندی واحدهای تصمیم‌گیری براساس اعتبار به‌کار بردند. همچنین، ون و همکارآن⁵⁴ (2010) یک مدل CCR در DEA معرفی کردند تا واحدهای تصمیم‌گیری را با داده‌های فازی براساس درجه اعتبار رتبه‌بندی کنند. ظرافت­انگیز و همکارآن⁵⁵ (2010) مدل DEA ارائه شده توسط ساعتی و همکارآن (2002) را برای رتبه‌بندی واحدهای تصمیم‌گیری با داده­های فازی توسعه دادند.

 

3.‌ مروری بر برخی از مفاهیم و روش­ها

مروری بر DEA

تحلیل پوششی داده‌ها (DEA)  روشی برای ارزیابی کارآیی نسبی واحدهای تصمیم‌گیری (DMUs ) است که در آن، هر واحد تصمیم‌گیری چندین ورودی را برای تولید چندین خروجی به‌کار می‌گیرد. در DEA  فرض می‌شود که تعداد    واحد تصمیم‌گیری وجود دارد و برای هر واحد تصمیم‌گیری ، یک بردار ستونی از ورودی‌ها   لحاظ می‌شود تا یک بردار از خروجی‌ها​   تولید شود. در اینجا،  به‌صورت   و​   به‌صورت   تعریف می‌شود. همچنین، فرض بر این است که  و  برای هر . سطح کارآیی نسبی واحد تصمیم‌گیری ام یعنی، ​  توسط مسئله برنامه‌ریزی کسری غیرخطی (1) ارزیابی می‌شود:

(1)

در مدل (1)، ​  زمانی کارآست که در حالت بهینه، مقدار تابع هدف در معادله (1) برابر با یک باشد. این مسئله برنامه­ریزی کسری می‌تواند به یک مسئله برنامه‌ریزی خطی تبدیل شود که در آن، مقدار بهینه تابع هدف، کارآیی نسبی ​  را تعیین می‌کند. مسئله برنامه‌ریزی خطی که به‌عنوان مدل CCR  نیز شناخته می‌شود، به‌صورت زیر بیان می‌شود: (2)         مدل (2) می‌تواند با استفاده از هر نرم­افزار برنامه‌ریزی خطی مانند گمز56 حل شود. جواب مدل (2) به تمام واحدهای تصمیم‌گیری کارآ مقداری برابر با یک اختصاص می‌دهد. مفهوم «ابرکارآیی»57 برای تمایز کامل بین تمام واحدهای تصمیم‌گیری کارآ در مواردی که چندین واحد کارآ وجود دارند، پیشنهاد شده است. اندرسن و پترسن58 (1993) یکی از مدل‌های ابرکارآیی را برای رتبه‌بندی واحدهای تصمیم‌گیری کارآ در تحلیل پوششی داده‌ها  معرفی کردند. این روش به یک واحد ابرکارآ اجازه می‌دهد که با حذف محدودیت  ام در مدل برنامه‌ریزی خطی (3) با فرم پوششی به امتیاز کارآیی بیشتر از یک دست یابد.  (3)           مروری بر روش TOPSIS59  TOPSIS (سرواژه یا آکرونیم عبارت اصطلاحی «روش‌های ترجیح براساس مشابهت به راه‌حل ایدئال») یکی از شناخته‌شده‌ترین و کاربرپسندترین تکنیک‌ها برای حل مسائل تصمیم‌گیری چندمعیاره (MCDM) است که هوانگ و یون60 (1981) آن را پیشنهاد دادند. در این روش، m گزینه به‌وسیله n شاخص ارزیابی می‌شود. منطق اصولی این مدل، راه‌حل ایدئال (مثبت) و راه‌حل ایدئال منفی را تعریف می‌کند؛ بنابراین، شامل انتخاب گزینه‌ای است که به راه‌حل ایدئال مثبت (PIS) نزدیک‌تر و از راه‌حل ایدئال منفی (NIS) دورتر است. راه‌حل ایدئال مثبت با انتخاب حداقل مقدار معیارهای هزینه و حداکثر مقدار معیارهای سود برای هر شاخص تعیین می‌شود؛ درحالی ‌که راه‌حل ایدئال منفی با انتخاب حداکثر مقدار معیارهای هزینه و حداقل مقدار معیارهای سود برای هر شاخص تعریف می‌شود. فرض کنید که m  گزینه با نماد  و n  معیار با نماد ​  وجود دارد و  مقدار گزینه ​  نسبت به معیار  است. ساختار ماتریس تصمیم61 می‌تواند به‌صورت زیر بیان شود؛ در ادامه، مراحل روش TOPSIS گزارش می‌شود:   ماتریس تصمیم‌گیری مرحله 1    تبدیل ماتریس تصمیم به ماتریس تصمیم نرمال‌شده. ماتریس تصمیم را به ماتریس نرمال‌شده   تبدیل می­کنیم که مقدار نرمال‌شده  با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود: Alternative Attribute                                                 مرحله 2   ایجاد ماتریس تصمیم نرمال‌شده وزن‌دار. ماتریس تصمیم نرمال‌شده وزن‌دار را با نماد نشان می‌دهیم، مقدار نرمال‌شده وزن‌دار به‌صورت زیر تعیین می‌شود و وزن معیار   با  مشخص می‌شود: (4)   بردار وزن‌ می‌تواند توسط تصمیم‌گیرنده یا با استفاده از روش‌های سیستماتیک تعیین شود. یکی از روش‌های سیستماتیک برای تعیین وزن معیار‌ها، روش اِنتروپی62 است. انتروپی یک مفهوم اصلی در علم فیزیک، علوم اجتماعی و نظریه اطلاعات است که میزان عدم‌اطمینان اطلاعات مورد انتظار یک سیگنال را نشان می‌دهد. در نظریه اطلاعات63، انتروپی معیاری برای توضیح میزان عدم‌اطمینان براساس توزیع احتمالی گسسته است؛ بنابراین، عدم‌اطمینان فراتر از یک توزیع فراوانی است. مرحله 3 تعیین راه‌حل‌های ایدئال مثبت و منفی. راه‌حل‌های ایدئال مثبت و منفی به‌ترتیب به‌صورت زیر مشخص می‌شوند: (5)   مرحله 4  محاسبه فاصله جواب‌های ایدئال مثبت و منفی از هر گزینه  برای  با استفاده از فرمول‌های زیر: (6)   (7)     مرحله 5   محاسبه میزان نزدیکی نسبی گزینه ​  به راه‌حل ایدئال به‌صورت زیر: (8)   (9)   مرحله 6     رتبه‌بندی گزینه­ها به‌ترتیب، نزولی مقادیر ​، گزینه‌ای که مقدار   آن حداکثر است، بهترین گزینه است.    نظریه مجموعه‌های فازی تعریف 1: یک عدد فازی تابعی است به‌صورت  که ویژگی‌های زیر را دارد: ·         نرمال64 است؛ به این معنا که عدد ​  وجود دارد که ؛ ·         یک مجموعه فازی محدب65 است؛  ·       ؛ ·         نیمه‌پیوسته بالا روی  است؛ ·       بستار پشتیبان ، یعنی  یک مجموعه فشرده است. مجموعه همه اعداد فازی باE  نشان داده می‌شود. برای مجموعه‌های یک عدد فازی بازه‌های بسته   و  را تشکیل می‌دهند. این بازه‌ها نشان‌دهنده نمایش  یک عدد فازی66 هستند که        و  به‌عنوان توابع  لحاظ می‌شوند؛ به‌طوری‌که   افزایشی و   کاهشی است. تعریف 2: یک عدد فازی  به‌عنوان یک عدد فازی مثلثی طبقه‌بندی می‌شود؛ هنگامی که تابع عضویت آن به‌صورت زیر تعریف شود: (10)   ‌های متناظر آن به‌صورت  مشخص می‌شوند. مجموعه همه اعداد فازی مثلثی به‌عنوان TFN  شناخته می‌شود. یک عدد فازی مثلثی  غیرمنفی طبقه‌بندی می‌شود اگر و تنها اگر   زیرمجموعه اعداد فازی مثلثی غیرمنفی به‌عنوان  شناخته می‌شود.   تعریف 3 (به نقل از بدِ67، 2013): لحاظ دو عدد فازی مثلثی  از TFN،  از TFN  و مقیاس‌پذیر ، عملیات حسابی به‌طور معمول، به‌صورت زیر تعریف می‌شود: (11)   (12)         تعریف 4 (به نقل از چن68، 2000): لحاظ دو عدد فازی مثلثی  و   از فاصله بین آنها با فرمول زیر تعریف می‌شود: (13)   باید توجه داشت که در حالت خاص دو عدد فازی مثلثی غیرنفی ​، ضرب آنها به‌صورت  است. در بخش  TOPSIS  فازی این تحقیق، فرض می‌شود که مقادیر ورودی و خروجی  هستند.   مروری بر روش  DEA  فازی در ادامه، مدل‌های اولیه و دوگان CCR  فازی معرفی می‌شود. فرض کنید که   واحد تصمیم‌گیری (DMUs) وجود دارد که هر   دارای ورودی‌های فازی به‌صورت  و خروجی‌های فازی به‌صورت  است؛ علاوه‌بر این، تمام عناصر بردار ورودی و بردار خروجی هر  اعداد فازی مثلثی غیرمنفی هستند. مدل‌ اولیه CCR  فازی در نسخه‌ ورودی‌محور به‌صورت مدل‌ (14) نمایش داده می‌شوند: (14)         دوگان مدل    فازی بالا در حالت ورودی‌محور به‌صورت زیر نوشته می‌شود: (15)         با اضافه کردن محدودیت   به مجموعه محدودیت‌های مدل (14)، مدل BCC  فازی به‌دست می‌آید و با اضافه کردن متغیر اضافی ​  به تابع هدف و طرف چپ مخدودیت دوم مجموعه محدودیت‌های مدل دوگان (15)، مدل دوگان BCC  فازی به‌دست می‌آید. ساعتی و همکارآن (2002) مدل CRS  فازی را به‌عنوان یک مسئله برنامه‌ریزی امکانی پیشنهاد دادند و آن را با استفاده از رویکرد مبتنی‌بر   به یک مسئله برنامه‌ریزی فاصله‌ای تبدیل کردند. مسئله برنامه‌ریزی فاصله‌ای حاصل می‌تواند به‌عنوان یک مدل برنامه‌ریزی خطی دقیق برای یک سطح   خاص با برخی از جایگزینی‌های متغیر حل شود. مدل زیر که توسط ساعتی و همکارآن (2002) پیشنهاد شده است، برای حالت خاصی که ورودی‌ها و خروجی‌ها اعداد فازی مثلثی هستند، ارائه شده است: (16)               مروری بر روش TOPSIS فازی در بسیاری از مواقع، تعیین دقیق رتبه‌بندی عملکرد یک گزینه برای معیارهای مورد نظر برای تصمیم‌گیرنده دشوار است. مزیت استفاده از رویکرد فازی این است که اهمیت نسبی معیارها با استفاده از اعداد فازی، به‌جای اعداد دقیق، تعیین می‌شود. چِن (2000) در پژوهش خود، روش TOPSIS را به‌گونه‌ای گسترش داد که شامل اعداد فازی شود؛ نکته مهم این است که روش وی به‌‌خصوص برای تصمیم‌گیری گروهی در شرایط عدم‌اطمینان مناسب است. در روش TOPSIS فازی، مقادیر ویژگی‌ها به‌عنوان اعداد فازی نمایش داده می‌شوند. فرآیندTOPSIS  فازی شامل مراحل زیر است: مرحله 1: تخصیص رتبه به معیارها و گزینه‌ها فرض کنید K  گروه تصمیم‌گیری وجود دارد. هر تصمیم‌گیرنده k  یک رتبه‌بندی فازی  به گزینه ​ نسبت به معیار​  اختصاص می‌دهد و اهمیت معیار   یک وزن فازی  داده می‌شود. هر دو رتبه‌بندی کیفی و وزن‌های اهمیت به‌صورت متغیرهای زبانی بیان می‌شوند که به اعداد فازی مثلثی تبدیل می‌شوند، همان‌طور که در جداول (1 و 2) نشان داده شده است. این متغیرهای زبانی توسط تصمیم‌گیرندگان برای وزن‌دهی معیارها استفاده می‌شوند.   جدول 1. اصطلاحات زبانی برای رتبه‌بندی گزینه‌ها اصطلاح زبانی عدد فازی مثلثی خیلی خوب  (VG) (10، 10، 9) خوب  (G) (10، 9، 7) متوسط خوب  (MG) (9، 7، 5) متوسط (F)  (7، 5، 3) ضعیف متوسط  (MP) (5، 3، 1) ضعیف  (P) (3، 1، 0) خیلی ضعیف  (VP) (1، 0، 0) منبع: چن، 2000.   جدول 2. اصطلاحات زبانی برای وزن هر معیار اصطلاح زبانی عدد فازی مثلثی خیلی بالا  (VH)  (1، 1، 9/0) بالا  (H)  (1، 9/0، 7/0) متوسط بالا  (MH)  (9/0، 7/0، 5/0) متوسط  (M)  (7/0، 5/0، 3/0) متوسط پایین  (ML)  (5/0، 3/0، 1/0) پایین  (L)  (3/0، 1/0، 0) خیلی پایین  (VL)  (1/0، 0، 0) منبع: چن، 2000.   مرحله 2: محاسبه نرخ فازی گزینه‌ها و اهمیت فازی وزن‌ معیارها نرخ فازی گزینه‌ها و اهمیت فازی وزن‌ معیارها با استفاده از روابط (16 و 17) محاسبه می‌شوند: مرحله 3: محاسبه ماتریس تصمیم فازی نرمال‌شده ماتریس تصمیم فازی نرمال‌شده به‌صورت  محاسبه می‌شود که در آن: (17)   (18)   یا (19)     مرحله 4: ساخت ماتریس تصمیم فازی نرمال‌شده وزن‌دار ماتریس تصمیم فازی نرمال‌شده وزن‌دار به‌صورت  نمایش داده می­شود که در آن  است. مرحله 5: تعریف راه‌حل ایده­آل مثبت فازی FPIS و راه‌حل ایده­آل منفی فازی FNIS          راه‌حل‌های ایده­آل مثبت و منفی فازی به‌صورت زیر تعریف می‌شوند: (20)     که در آن:    و   مرحله 6: تعیین فاصله هر گزینه   با FPIS   و  FNIS فاصله هر گزینه ​  از FPIS  و FNIS  با استفاده از روابط (23 و 24) تعیین می‌شود: (21)   (22)   مرحله 7: محاسبه ضریب نزدیکی   برای هر گزینه ضریب نزدیکی ​  برای هر گزینه ​  به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: (23)   (24)   مرحله 8: رتبه‌بندی گزینه‌ها گزینه­ها براساس مقادیر ضریب نزدیکی به گزینه ایده­آل به‌ترتیب نزولی مرتب می­شوند.   4.‌  روش رتبه‌بندی براساس  DEA-TOPSIS فازی در این بخش، روش پیشنهادی با استفاده از الگوریتمی برای رتبه‌بندی تمامی واحدهای تصمیم‌گیری (DMUs) در محیط فازی توضیح داده شده است. این روش برمبنای ترکیب روش‌های  DEA  فازی و  TOPSIS فازی است که آن را روش DEA-TOPSIS فازی می­نامیم. روش DEA-TOPSIS  فازی می‌تواند برای رتبه‌بندی DMUها با خروجی‌های نامطلوب نیز استفاده شود. این روش DEA-TOPSIS  فازی شامل هفت مرحله به­شرح زیر است: مرحله اول: تعیین گزینه­ها و معیارها در این مرحله، DMUها به‌عنوان گزینه­ها و متغیرهای ورودی به‌عنوان معیارهای هزینه (ویژگی‌های منفی) و متغیرهای خروجی به‌عنوان معیارهای سود (ویژگی‌های مثبت) لحاظ می‌شوند؛ زیرا کارآیی یک DMU  با افزایش مقادیر برای خروجی‌ها و کاهش مقادیر برای ورودی‌ها افزایش می‌یابد؛ مرحله دوم: ساختن ماتریس تصمیم‌‌گیری ماتریسی براساس داده‌های ورودی و خروجی تمامی واحدهای تصمیم‌گیری  (DMUs)  ایجاد می‌کنیم. در این مرحله، ماتریس تصمیم ساخته می‌شود. هر DMU به‌عنوان یک گزینه محسوب می­گردد که به هر ردیف این ماتریس مرتبط است و هر ویژگی یک ورودی یا خروجی است که به هر ستون این ماتریس مربوط می‌شود؛ بنابراین، ماتریس تصمیم دارای    ردیف و   ستون است؛ مرحله سوم: نرمال‌سازی ماتریس تصمیم‌گیری ماتریس تصمیم را با استفاده از فرمول‌های زیر نرمال‌سازی69 کنید: (25)   یا (26) معیار منفعت است (برای خروجی‌های مطلوب)   27    [1] * دانشجوی دکتری،گروه مدیریت صنعتی، واحد فیروزکوه، دانشگاه آزاد اسلامی، فیروزکوه، ایران،                    [e-mail] [2] ** دانشیار، گروه ریاضی، واحد تهران جنوب، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران (نویسنده مسئول)،                                     [e-mail] [3] + دانشیار، گروه مدیریت صنعتی، واحد فیروزکوه، دانشگاه آزاد اسلامی، فیروزکوه، ایران،                                  [e-mail] [4] ++ دانشیار، گروه ریاضی، واحد فیروزکوه، دانشگاه آزاد اسلامی، فیروزکوه، ایران،                                  [e-mail] [5] ´  استادیار، گروه ریاضی، واحد فیروزکوه، دانشگاه آزاد اسلامی، فیروزکوه، ایران،                                                      [e-mail] [6]   [7]  Data Envelopment Analysis (DEA) [8]  Operational Research [9]  Non-Parametric Method [10]  Relative Efficiency [11]  Decision Making Units (DMUs) [12]  Cooper et al. [13]  Labijak-Kowalska & Kadziński [14]  Production Theory [15]  Farrell [16]  Charnes et al. [17]  The virtual output and the virtual input [18]  Emrouznejad and Yang [19]  Thanassoulis [20]  Chu et al. [21]  Fiallos et al. [22]  Toma et al. [23]  Nazarko & Šaparauskas [24]  Bracke et al. [25]  Matsumoto et al. [26]  Gasser et al. [27]  Multi-Criteria Decision-Making (MCDM) [28]  Wen & Li          [29]  Ranking [30]  Inputs and Outputs [31]  The Notions of Fuzziness and Randomness برای بررسی داده‌های نادقیق، مفاهیم فازی و تصادفی در DEA معرفی شدند. مجموعه‌های فازی را می‌توان برای نمایش اطلاعات مبهم یا نادقیق استفاده کرد (Montazeri, 2019: 367). [32]  Ambiguous or Imprecise Information [33]  Fuzzy Sets Theory [34]  Hatami-Marbini et al. [35]  Tolerance Approach [36]  Sengupta [37]  Triantis & Girod [38]  Guo & Tanaka [39]  Saati et al. [40]  Tavana et al. [41]  Emrouznejad et al. [42]  Ghasemi et al.   [43]  Possibility Approach [44]  Lertworasirikul [45]  Ruiz & Sirvent [46]  Fuzzy Arithmetic Approach [47]  Wang & Luo [48]  Radial Approaches [49]  An Enhanced DEA Russell Graph Efficiency Measure (ERG=SBM) اندازه‌گیری نمودار بهبودیافته راسل (پاستور [Pastor] و همکاران، 2022) به‌عنوان یک معیار کارآیی جهانی جدید برای غلبه بر مشکلات محاسباتی اندازه‌گیری کارآیی فنی نمودار راسل طراحی شده است (فار [Färe] و همکاران، 1985). از لحاظ تاریخی، فارل [Farrell] (1957) اولین معیار کارآیی فنی را به‌کار گرفت؛ درحالی‌که فار و لاول [Färe and Lovell] (1978) پس از پیشنهاد برخی ویژگی‌های مطلوبی که یک معیار کارآیی فنی ایدئال باید برخوردار باشد، معیار ورودی راسل را برای کارآیی فنی پیشنهاد کردند. [50]  Zhou, W. and Xu, Z. [51]  Fuzzy CCR Model [52]  α-Level [53]  Pandey et al. [54]  Wen et al. [55]  Zerafat Angiz et al. [56]  GAMS   [57]  Super- Efficiency [58]  Andersen and Petersen (Anderson Peterson Method for Measuring Super Efficiency) [59]  Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution (TOPSIS) [60]  Hwang and Yoon [61]  Decision Matrix [62]  روش انتروپی (Entropy) یکی از روش‌های تصمیم‌گیری چندمعیاره برای محاسبه وزن معیارهاست. مفهوم انتروپی اطلاعات توسط کلود شانون (Claude Shannon) در مقاله‌ای در سال 1948 با عنوان «نظریه ریاضی ارتباطات» (A Mathematical Theory of Communication) معرفی شد و به انتروپی شانون نیز گفته می‌شود. [63]  Information Theory [64]  Normal [65]  Convex [66]  Fuzzy Number [67]  Bede [68]  Chen   [69]  Normalize