نظریه ساختاری فراگروه

محورهای موضوعی : جبر

منیره علی آبادی ¹ , غلامرضا مقدسی ^{2 *} , پروانه ذولفقاری ³

1 - گروه ریاضی و علوم کامپیوتر، دانشگاه حکیم سبزواری، سبزوار، ايران
2 - گروه ریاضی و علوم کامپیوتر، دانشگاه حکیم سبزواری، سبزوار، ايران
3 - گروه آموزش ریاضی، دانشگاه فرهنگیان، صندوق پستی 14665889 تهران، ایران

تاریخ دریافت : 1402/03/03 تاریخ پذیرش : 1402/09/28 تاریخ انتشار : 1404/03/21

کلید واژه: فراگروه دوری, فراگروه نرمال, فراگروه حل پذیر, رسته فراگروه ها, لم زاسن هاوس,

چکیده مقاله :

در این مقاله، به بررسی فراگروه ها، که ساختار آن بر اساس خواص تراگرد از زیر گروهی از یک گروه است، پرداخته می‌شود. در ابتدا مفاهیم مقدماتی فراگروه توضیح داده می‌شود و سپس با توجه به اهمیت رسته، برخی از خواص آن از جمله کامل و هم کامل بودن و برخی خواص مورفیسم ها از جمله درون بری و هم درون بری بررسی و نشان داده می‌شود که در این رسته هر بروریختی منظم است و هم چنین فانکتور بین دو رسته گروه ها و فراگروه ها تعریف می‌شود و در ادامه ساختار بعضی از خواص آن از جمله هم چگال بودن و هم ارزی و یکریختی برای این فانکتور بررسی می‌شود. در ادامه فراگروه های تولید شده و دوری معرفی و با توجه به اهمیت فراگروه های دوری ثابت می‌ شود فراگروه های دوری در خاصیت واریته صدق نمی‌کنند و هم چنین صحت قضایای سیلو و کوشی برای فراگروه ها بررسی می‌شود. علاوه بر این نرمال ساز و مزدوج یک عنصر فراگروه معرفی و شرایط حل پذیری فراگروه ها نیز بررسی می‌گردد و قضایای ژردان- هولدر و شریر و لم زاسن هاوس برای فراگروه ها اثبات می‌شود.

چکیده انگلیسی:

In this article, the study of ultra-groups, whose structure is based on the transversal properties of subgroup of a group is investigated. Firstly, introductory concepts are explained. Subsequently, the importance of the category, some of its properties, such as completeness, and cocompleteness, retraction and coretraction of morphism are examined and shown that in this category, every epimorphism is regular. Additionally, a functor between two category of groups and category of ultra-groups is defined, and the structure of properties like iso-dense, equivalence, and isomorphism for this functor are analyzed. Furthermore, the concept of generated and cyclic ultra-groups is intrduced. Given the significance of cyclic ultra-groups, it is proven that cyclic ultra-groups are not a variety and the validity of the Cauchy and Sylow theorems is examined. Moreover, the normalizer as well as conjugate of an element in ultra-groups are introduced, and the solvability conditions of the ultra-groups are investigated. Finally, the theorems of Jordan-HŐlder, Schreier and Zassenhaus lemma are proved for ultra-groups.

منابع و مأخذ:

[1] Dalalyan, S.H. (2008).On hypergroups, prenormal subgroups and the simplest groups. Conf. dedicated to 90th-anniversary of M.M. Jrbashyan, Yerevan,12-14. (Russian)
[2] Moghaddasi, Gh. Tolue, B. and Zolfaghari, P. (2016). On the Structure of the Ultra-groups Over a Finite Group, U.P.B. Sei. Bull., Series A. Vol.78, no. 2, 173- 184
[3] Tolue, B., Moghaddasi, Gh. and Zolfaghari, P. (2017). On the category of Ultra- group, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, Vol.46(3), 2, 437-447
[4] Elis, S.Y, Ummahan, E.A. and Sahika, K. (2022). The theory of Ultra- groups and Gap application, Ikonian journal of mathematics, 4(2), 1-11
[5] Hungerford, T. W. (2003). Algebra, Springer, New York
[6] William, C., Sara, j. (2020). On the Number of Cyclic Subgroups of a Group, Communications in lgebra, Vol.48. 3834-3837
[7] Moghaddasi, Gh. Zolfaghari, P. (2016). The Quotient Ultragroup, Italian Journal Of Pure And Applied Mathematics.no. 36, 211-218
[8] Adamek, J. H., Herrlich, and Strecker, G. (1990). Abstract and Concrete Categories, John Willy and sons, New York
[9]. مقدسی، غ .، ذوالفقاری، پ. و طلوع حقیقی، ب. تابستان (1396) .گروه‌ها و فراگروه‌ها. مجله پژوهش‌های نوین در ریاضی، شماره دهم
[10] Burris, S. and Sankappanavar, H. P. (1981). A course in Universal Algebra, Springer-Verlag Graduate Texts in Mathematics