تعمیم قضیه نقطه ثابت توابع ناهموار در فضاهای باناخ مرتب متناهی البعد به کمک ژاکوبین تعمیم یافته کلارک
محورهای موضوعی : آمار
راضیه زهری
1
(دانشجوی دکتری ریاضی / واحد علوم و تحقیقات، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران)
محمدرضا مردان بیگی
2
(استادیارتمام وقت، واحد علوم و تحقیقات، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران)
کلید واژه: Clarke generalized Jacobian, Ordered Banach spaces, fixed point,
چکیده مقاله :
فضاهای باناخ مرتب رده‌ی مهمی از فضاهای باناخ هستند که به طور گسترده‌ای در شاخه‌های مختلف ریاضیات نظری و کاربردی مورد مطالعه قرار گرفته‌اند. از طرفی نظریه‌ی نقطه ثابت یکی دیگر از نظریات حائز اهمیت در ریاضیات است. این قضیه و کاربردهای آن در فضاهای باناخ مرتب مورد توجه خیلی از محققین قرار گرفته است. لاکشمیکاندام قضایای نقطه ثابتی در فضای باناخ مرتب X برای خود‌نگاشت مشتقپذیر فرشه روی X ثابت کرد. مهاجر و بن احمد تعمیم‌هایی از قضایای نقطه ثابت لاکشمیکاندام ارائه دادند. آنها به وسیله قضایای نقطه ثابت لاکشمیکاندام به یک روش شبه نیوتنی رسیدند. اخیرا صورتی از قضیه لاکشمیکاندام برای خود‌نگاشت‌های ناهمواردر فضاهای باناخ مرتب متناهی‌البعد توسط مولفین ثابت شده است. همچنین کاربردی از نتایج به دست آمده در مسئله اصطکاک کلمب ارائه شده است. در این مقاله صورتی از نتایج مهاجر و بن احمد را برای خود‌نگاشت‌های ناهموار ارائه می‌دهیم. قضایای نقطه ثابت را برای نگاشت‌هایی که لیپ‌شیتز هستند ولی لزوما مشتقپذیر نیستند، ثابت می‌کنیم. ابزار اصلی ما ژاکوبین تعمیم یافته‌ی کلارک است.
Ordered Banach spaces are very significant class of vector spaces which are studied widely in theory and applications of mathematics. On the other hand, an important theory in mathematical analysis is fixed point theory. This theory and its applications in ordered Banach spaces have been considered by many researchers. Lakshmikantham have proved some fixed point theorems in ordered Banach space X for a Fréchet differentiable automorphism on X. Mouhadjer and Benahmad obtained some generalizations of Lakshmikantham’s fixed point theorems. They introduced a monoton Newton-like method, by using Lakshmikantham’s fixed point theorems. Recently, a non-smooth version of Lakshmikantham’s theorem in finite dimentional ordered Banach spaces.has been obtained by authores. Also an application of the obtained results in the Coulomb friction problem has been presented. In this paper, we present a non-smooth version of Mouhadjer and Benahmad’s results. We prove some fixed point theorems for Lipschitzian mappings on finite Banach spaces which are not necessary Fréchet differentiable. Our main tool is Clarke generalized Jacobian
[1] V. Acary, F. Cadoux, C. Lemaréchal and J. Malick, A formulation of the linear discrete coulomb friction problem via convex optimization, Zamm. J. Appl. Angew. Math and Mech., 91(2)(2011), 155-175.
[2] RP. Agarwal, N. Hussain and M-A. Taoudi, Fixed point theorems in ordered banach spaces and applications to nonlinear integral equations, Abstract Appl. Anal., 15(3)(2012), 15 pages.
[3] H. Amann, Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces. Society Industrial and Appl Math., 18(4)(1976), 620-709.
[4] H. Amann, Nonlinear operators in ordered Banach spaces and some applications to nonlinear boundary value problems. In: Nonlinear operators and the calculus of variations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg., (1976), pp. 1-55.
[5] H. Andrei and P. Radu, Nonnegative solutions of nonlinear integral equations in ordered Banach spaces. Fixed Point Theory., 5(1)(2004), 65-70.
[6] M. Berzig and B. Samet, Positive fixed points for a class of nonlinear operatores and applications. Positivity., 17(2013), 235-255.
[7] S. Bonettini, I. Loris, F. Porta and M. Prato, Variable metric inexact line-search-based methods for nonsmooth optimization. Siam J. Optim., 26(2)(2016), 891-921.
[8] J. Blot and N. Hayek, Infinite-Horizon optimal control in the discrete-time framework. Springer-Verlag, New York., (2014).
[9] FH. Clarke, Optimization and nonsmooth analysis. Society for Industrial and Applied Mathematics., (1990).
[10] A. Dhara and J. Dutta, Optimality conditions in convex optimization: a finite-dimensional view. CRC Press., (2011).
[11] T. Gnana Bhaskar and V. Lakshmikantham, Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications. Nonlinear Anal. Theory, Methods & Appl., 65(2006), 1379-1393.
[12] D. Guo, YJ. Cho and J. Zhu, Partial ordering methods in nonlinear problems. Nova Science Publishers, New York., (2004).
[13] V. Jeyakumar and DT. Luc, Nonsmooth vector functions and continuous optimization. Springer, New York., (2008).
[14] V. Lakshmikantham, S. Carl and S. Heikkilä, Fixed point theorems in ordered Banach spaces via quasilinearization. Nonlinear Anal. Theory, Methods & Appl., 71(2009), 3448-3458.
[15] L. Mouhadjer and B. Benahmed, A Monotone Newton-like method for the computation of fixed points. In: Le Thi H, Pham Dinh T, Nguyen N, editors. Modelling, computation and optimization in Information systems and management sciences. Advances in intelligent systems and computing, vol 359. Springer, Cham., (2015), pp. 345-356.
[16] L. Mouhadjer and Benahmed, Fixed point theorem in ordered Banach spaces and applications to matrix equations. Positivity., 20(4)(2016), 981-998.
[17] JJ. Nieto and R. Rodríguez-López, Existence and uniqueness of fixed point in partially ordered sets and applications to
ordinary diferential equations. Acta Math. Sinica., 23(12)(2007), 2203–2212.
[18] W. Rudin, Functional Analysis. McGraw-Hill, Inc., (1991).
[19] VA. Vijesh and KH. Kumar, Wavelet based quasilinearization method for semi-linear parabolic initial boundary value problems. Appl Math and Comput., 266(2015), 1163-1176.
[20] C. Zhai, C. Yang and CM. Guo, Positive solutions of operator equations on ordered Banach spaces and applications. Comput & Math with Appl., 56(12)(2008), 3150-3156.
[21] P. Zhou, J. Du and Z. Lü, Topology optimization of freely vibrating continuum structures based on nonsmooth optimization. Struct. Multidiscip. Optim., 56(2017), 603-618. [22] R. Zohari and M. Mardanbeigi, Fixed points of non-smooth on finite dimensional ordered Banach spaces via Clarke generalized Jacobian. Int. J. Anal and Appl., 17(5)(2019), 850-863.
تعمیم قضیه نقطه ثابت توابع ناهموار در فضاهای باناخ مرتب متناهی البعد به کمک ژاکوبین تعمیم یافته کلارک
Abstract
In this paper, we present a non-smooth version of Mouhadjer and Benahmad’s results. We prove some fixed point theorems for Lipschitzian mappings which are not necessary Fréchet differentiable. In this way, our main tool is Clarke generalized Jacobian.
Keywords: Fixed point, Ordered Banach spaces, Clarke generalized Jacobian
چکیده
در این مقاله صورتی از نتایج مهاجر و بن احمد برای خود‌نگاشت‌های ناهموار ارائه شده است. همچنین قضایای نقطه ثابت برای نگاشت‌هایی که لیپ‌شیتز هستند ولی لزوما مشتقپذیر نیستند مورد بررسی قرارگرفته است. ژاکوبین تعمیم یافته‌ی کلارک ابزار اصلی ما جهت ارایه این قضایا بوده اند.
واژه های کلیدی: نقطه ثابت، فضای باناخ مرتب، ژاکوبین تعمیم یافته کلارک
فضاهای باناخ مرتب، رده‌ی مهمی از فضاهای باناخ هستند که به طور گسترده ای در شاخه های مختلف ریاضیات نظری و کاربردی مورد مطالعه قرار گرفته اند.معادلات انتگرالی غیرخطی [2] ، مسائل مقدار مرزی غیرخطی [4]، نظریه‌ی کنترل بهین [8]، معادلات عملگری [20] و غیره، نمونه ای از مطالعات کاربردی روی این فضاها هستند. از سوی دیگر نظریه‌ی نقطه ثابت یکی دیگر از نظریات حائز اهمیت در ریاضیات است. این نظریه و کاربرد آن در فضاهای باناخ مرتب نیز به طور قابل ملاحظه ای مورد توجه قرار گرفته است، مراجع [17,16,14,11,6,5,3,2]، و مراجع درون آنها را ملاحظه کنید.
اخیرا لاکشمیکاندام و همکاران [14]، قضایای نقطه ثابتی در فضاهای باناخ مرتب
برای نگاشت مشتقپذیر فرشه
ارائه داده و آن را برای حل معادلات دیفرانسیل با مقدار مرزی بکار بردند. ویجش و کومار [19]، و مهاجر و بن احمد [16]، تعمیم هایی برای قضایای نقطه ثابت لاکشمیکاندام به دست آوردند. مهاجر و بن احمد [15]، با استفاده از این قضیه یک روش شبه نیوتنی یکنوا برای محاسبه‌ی نقاط ثابت یک کلاس از عملگرهای غیر خطی در فضاهای باناخ مرتب پیدا کردند.
تعمیمی از قضیه نقطه ثابت لاکشمیکاندام برای خود‌نگاشت‌های ناهموار در فضاهای باناخ مرتب متناهی‌البعد توسط مولفین [22] ثابت شده و کاربردی از آن در مسئله اصطکاک کلمب ارائه شده است.
در این مقاله به معرفی قضایای نقطه ثابت برای توابع لیپ‌شیتز ناهموار روی فضاهای باناخ مرتب متناهی البعد می‌پردازیم. ابزار اصلی ما در این مطالعه ژاکوبین تعمیم یافته‌ی کلارک است [9]، که ابتدا توسط وی و برای یک نگاشت بین دو فضای برداری متناهی البعد معرفی شد.
ژاکوبین تعمیم یافته‌ی کلارک در فضاهای متناهی‌البعد قوانین حساب قوی‌ای دارد و در [22]، برای اولین بار قضیه نقطه ثابت برای توابع ناهموار به کمک ژاکوبین تعمیم یافته کلارک مطرح شد و اکنون در این مقاله تعمیمی برای قضیه نقطه ثابت توابع ناهموار ارائه میشود.
از اینکه هر فضای برداری متناهی‌البعد یک ایزومورفیسم و همئومورفیسم بروی
است، لذا ما در این مطالعه فقط روی نگاشتهای
که لزوما مشتقپذیر فرشه نیستند، متمرکز می‌شویم.
ادامه‌ی این مقاله به شرح زیر تدوین شده است.
در بخش دوم مقاله، مقدمات آورده میشود و در بخش سوم، یک تعرف جدید در ارتباط با ژاکوبین تعمیم یافته کلارک معرفی میشود و سپس نتایج اصلی ارائه میشود.
2. اصطلاحات، نمادگذاریها و مقدمات
نمادهای به کار برده شده در این مقاله برگرفته از منابع 9، 14، 15 و 16 میباشد.
برای یک مجموعه 
، 
نشان دهنده غلاف محدب است که مجموعه همه ترکیبات محدب اعضای میباشد. فرض کنید 
ناتهی باشد. می‌گوییم 
یک مخروط محدب بسته نقطه‌ای است هرگاه:
الف) یک مجموعه محدب بسته باشد،
ب) برای هر 
و هر اسکالر 
، 
،
ج) 
برای هر مخروط محدب داریم 
. در ارتباط با مخروط محدب بسته نقطه‌ای می‌توان رابطه مرتب زیر را روی 
تعریف کرد:
این رابطه بازتابی، پادمتقارن و متعدی است و اگر 
، آنگاه:
الف) برای هر 
، 
.
ب) برای هر اسکالر 
، 
،
برای 
که 
، بازه مرتب 
به صورت زیر تعریف میشود:
یک مخروط که به طور ویژه برای بسیاری از کاربردها مورد استفاده قرار می‌گیرد، مخروط استاندارد در فضاهای اقلیدسی متناهی البعد است:
تعریف 2.1 فرض کنید یک مخروط محدب بسته نقطه ای باشد.
1. را نرمال گوییم هرگاه یک ثابت مثبت 
وجود داشته باشد که
2. را منظم گوییم هرگاه هر دنباله صعودی (نزولی) و کراندار از بالا (پایین) همگرا باشد.
از اینکه هر فضای متناهی‌البعدی بازتابی است، لذا برای مخروط مرتب ، منظم بودن و نرمال بودن معادل هستند. [12]
تعریف 2.2 تابع 
را در 
مشتقپذیر فرشه گوییم هرگاه یک ماتریس 
مانند 
وجود داشته باشد که
در این حالت را مشتق فرشه 
در 
گوییم.
تعریف 2.3 تابع را در اکیدا مشتقپذیر گوییم هرگاه یک ماتریس مانند وجود داشته باشد که
در این حالت را مشتق اکید در گوییم.
توجه کنید که توابع مشتقپذیر اکید، مشتقپذیر فرشه هستند در حالی که عکس این موضوع در حالت کلی صادق نیست [13]
فرض کنید تابع برداری در نقطه لیپ‌شیتز موضعی باشد. یعنی، یک همسایگی 
از و یک ثابت مثبت 
وجود دارد که
در اینصورت، بنابر قضیه رادماچر [9]، تقریبا همه جا (با اندازه لبگ) روی مشتقپذیر است.
تعریف 2.4 [9,13] فرض کنید تابع برداری در نقطه مفروض مشتقپذیر لیپ‌شیتز باشد. در اینصورت ژاکوبین تعمیم‌یافته کلارک در را با 
نشان داده و بصورت
تعریف می‌کنیم که 
مجموعه نقاطی در است که در آنها مشتقپذیر است.
توجه داریم که 
یک مجموعه محدب، فشرده و ناتهی از فضای ماتریس‌های ، یعنی 
است.
3.نتایج اصلی
لاکشمیکاندام و همکاران در [14] یک نگاشت 
را درنظر گرفتند که 
یک فضای باناخ مرتب است. آنها روی بازه 
مطالعات خود را انجام دادند. یکی از فرضیات اساسی در [14] مشتقپذیر فرشه بودن 
روی است.
قضیه 3.1 [14] فرض کنید یک فضای باناخ مرتب با مخروط مرتب منظم 
است. فرض کنید در فرض‌های زیر صدق کند:
1) 
وجود دارند، بطوری که 
, 
, و 
.
2) برای هر
، مشتق فرشه 
وجود دارد و 
به ازای هر 
روی بازه صعودی است.
3) 
وجود دارد و به ازای هر 
عملگری مثبت و کراندار است. آنگاه به ازای هر 
، روابط:
, 
دنباله صعودی 
و دنباله نزولی 
که به نقاط ثابت همگرا هستند را تعریف می‌کنند. این نقاط ثابت برابرند، اگر
4) 
، نتیجه دهد
در [16] مهاجر و بن احمد تعمیمی برای قضیه ی 3.1 ارائه دادند.
قضیه 3.2 [16] فرض کنید یک فضای باناخ مرتب با مخروط مرتب منظم 
است. فرض کنید در فرض‌های زیر صدق کند:
1) 
وجود دارند، بطوری که
,
, و 
.
2) برای هر
، مشتق فرشه 
وجود دارد و 
به ازای هر 
روی بازه 
صعودی است.
3) 
وجود دارد و به ازای هر 
عملگری مثبت و کراندار است. آنگاه به ازای هر ، روابط :
, 
که در آن
و
دنباله صعودی 
و دنباله نزولی که به نقاط ثابت در همگرا هستند را تعریف می‌کنند. این نقاط ثابت برابرند، اگر
4) 
، نتیجه دهد
ملاحظه میشود که مشتقپذیر فرشه بودن در این دو قضیه نقش اساسی دارد.
در [22] ما یک نسخه ای از قضیه لاکشمیکاندام را برای نگاشت ناهموار ارائه دادیم.
در این مقاله، نسخه ای از قضیه‌ی مهاجر و بن احمد را ارائه می دهیم که در آن نگاشت مورد نظر لیپ‌شیتز است و در نقطه ی آغازین مجموعه 
یعنی 
مشتقپذیر اکید است و نیازی به شرط مشتق‌پذیری در سایر نقاط خط مزبور نمی باشد. یادآوری می‌کنیم که:
تعریف 3.3 فرض کنیم لیپ‌شیتز موضعی روی و یک مخروط محدب منظم باشد. تابع مجموعه مقداری 
را روی نیمه صعودی گویند هر گاه به ازای هر
به طوری که 
,
که در آن 
ضرب ماتریس ها است.
لم 3.4 فرض کنیم لیپ‌شیتز موضعی روی و یک مخروط محدب منظم باشد. اگر تابع مجموعه مقداری روی نیمه صعودی باشد و به طوری که آنگاه:
اثبات: فرض کنیم 
و 
دلخواه باشد. از اینکه 
و 
داریم
بنابراین به ازای 
ای و 
،
از آنجا که به ازای هر 
، بنابراین 
و 
و لذا داریم 
در نتیجه 
و این لم را ثابت میکند.
در ادامه لمی ثابت می شود که نقش مهمی در این مقاله دارد.
لم 3.5 فرض کنیم لیپ‌شیتز و روی
نیمه صعودی باشد. در این صورت برای
داریم
اثبات: مطایق با قضیه مقدار میانگین [9]،
طرف راست رابطه فوق، غلاف محدب همه نقاط به صورت 
را نشان می دهد که در آن 
برای 
. فرض کنیم 
که 
. وجود دارد 
به طوری که 
برای 
و 
و
که 
. از آنجا که 
و 
، لم قبل نتیجه می دهد:
حال با در نظر گرفتن (2) و (3) و محدب بودن 
حکم ثابت می شود.
در اینجا به اثبات مهم ترین نتیجه‌ی این مقاله می‌پردازیم.
قضیه 3.6 فرض کنید با مخروط منظم مرتب شده است. فرض کنید که نگاشت در فرض‌های زیر صدق کند:
1) 
وجود دارد، به طوری که 
، روی تابع لیپ‌شیتز است، 
و 
2) تابع مجموعه مقدار 
روی نیمه صعودی است
3) 
در اکیدا مشتقپذیر است و 
به طوری که 
موجود و یک عملگر مثبت و کراندار است، یعنی 
آنگاه، برای ، روابط
,
با 
، یک دنباله صعودی 
و یک دنباله نزولی 
که به نقاط ثابت همگرا هستند را تعریف می‌کنند. این نقاط ثابت با هم برابرند اگر
4) برای 
، 
اثبات: با توجه به اینکه در مشتقپذیر اکید است. بنابراین 
یکتا است. به عبارتی (به [13] مراجعه کنید). تعریف می‌کنیم 
، بنابراین 
. که نتیجه می‌دهد 
. چون کراندار است، بنابراین، 
خوش تعریف است. نشان می‌دهیم 
. با استفاده از فرض (1)، داریم :
بنابراین 
. ازاینکه یک عملگر مثبت است در نتیجه
و لذا داریم 
. اکنون، با استفاده از فرض (1)
با توجه به لم 3.5
بنابراین به ازای یک ،
از (5) نتیجه میشود
بنابراین
و لذا
که نتیجه می‌دهد 
. به طریق مشابه می‌توان نشان داد که 
وجود دارد و 
.نشان می‌دهیم که 
.برای اثبات این مطلب، توجه داریم که:
بنابراین، با استناد به لم 3.5
و مشابه قبل، 
و درنتیجه
تا اینجا نشان دادیم که 
. ادعا می‌کنیم برای هر 
، 
.
از آنجا که و 
, کافی است ثابت کنیم 
و 
. ثابت می‌کنیم 
و نامساوی‌های دیگر به طور مشابه بدست می‌آید. با استفاده از لم 3.5 داریم:
از آنجا که 
و 
و با استفاده از لم .3.5 نتیجه میشود
بنابراین
درنتیجه
که ادعای ما را ثابت میکند.
اکنون یک دنباله صعودی و یک دنباله نزولی می‌یابیم، به طوری که :
چون یک مخروط منظم است، و همگرا هستند. فرض کنید که 
و 
. ثابت می‌کنیم
که نشان می‌دهد 
یک نقطه ثابت از است. داریم :
چون پیوسته است و اگر 
آنگاه ، لذا
و 
. بنابراین، ودرنتیجه 
. به طور مشابه می‌توان نشان داد که 
.
اگر (4) برقرار باشد و 
آنگاه
، که تناقض است. بنابراین، نقطه ثابت منحصر بفرد است.
قضیه زیر نشان می‌دهد که دنباله معرفی شده در قضیه 3.6، تحت شرایطی، بطور کوادراتیک همگرا است.
قضیه 3.7 فرض کنید با مخروط منظم مرتب شده است و نگاشت در فرضیات قضیه 3.6 صدق میکند و
اگر 
آنگاه، دنباله‌های 
و 
بطور کوادراتیک به یک نقطه ثابت یکسان همگرا می‌شوند.
اثبات: ابتدا توجه داریم که طبق قضیه 3.6، هر دو دنباله و به یک نقطه ثابت یکسان 
از همگرا می‌شوند. ثابت می‌کنیم این دنبالهها بطور کوادراتیک همگرا هستند. برای دنباله ,
بنابراین، برای یک 
و ,
بنابراین،
این نتیجه می‌دهد
چون یک عملگر مثبت است، داریم
که 
. مخروط منظم است و بنابراین نرمال میباشد، لذا یک ثابت مثبت 
وجود دارد که
برای دنباله ، می‌توان به نحو مشابهی، حکم را ثابت کرد.
4. نتیجهگیری و پیشنهادات
در قضایای اثبات شده در این مقاله، شرط مشتقپذیر بودن فرشه حذف و فقط شرط لیپ‌شیتز بودن ارائه شده است. قابل توجه است توابعی که مشتقپذیر فرشه هستند، لیپ‌شیتز موضعی نیز میباشند.
در قضایای لاکشمیکاندام و مهاجر و بن احمد، در ساختن دنبالهها در هر مرحله نیاز به استفاده مجدد از مشتق در نقطه قبلی است در حالی که در قضایای این مقاله پس از محاسبه مشتق در نقطه ابتدایی بازه نیاز به محاسبه زیردیفرانسیل جدید در هر مرحله نیستیم که این خود میتواند به سرعت همگرایی دنباله ساخته شده کمک کند.
قضایای ارائه شده در این مقاله برای توابعی که حتی پیوسته نیستند نیز به کار میرود و فقط کافی است روی یک خط در بازه ی مورد بررسی شرط لیپ‌شیتز بودن را داشته باشد.
در مسائلی مانند اصطکاک کلمب نمیتوان از نتایج لاکشمیکاندام و مهاجر و بن احمد استفاده کرد چون شرط مشتقپذیر بودن فرشه برقرار نیست در حالی که به کمک قضایای اثبات شده در این مقاله می توان مسائل اصطکاک کلمب را حل نمود.
در راستای نتایج حاصل از این مقاله پیشنهاد میشود که این نتایج را با سایر مشتقات تعمیم یافته مانند مشتقات مردخویچ و پینو تعمیم داده و با نتایج این مقاله مقایسه گردد. همچنین می توان به تعمیم این نتایج برای توابع مجموعه مقدار پرداخت.
مراجع:
[1] V. Acary, F. Cadoux, C. Lemaréchal and J. Malick, A formulation of the linear discrete coulomb friction problem via convex optimization, Zamm. J. Appl. Angew. Math and Mech., 91(2)(2011), 155-175.
[2] RP. Agarwal, N. Hussain and M-A. Taoudi, Fixed point theorems in ordered banach spaces and applications to nonlinear integral equations, Abstract Appl. Anal., 15(3)(2012), 15 pages.
[3] H. Amann, Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces. Society Industrial and Appl Math., 18(4)(1976), 620-709.
[4] H. Amann, Nonlinear operators in ordered Banach spaces and some applications to nonlinear boundary value problems. In: Nonlinear operators and the calculus of variations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg., (1976), pp. 1-55.
[5] H. Andrei and P. Radu, Nonnegative solutions of nonlinear integral equations in ordered Banach spaces. Fixed Point Theory., 5(1)(2004), 65-70.
[6] M. Berzig and B. Samet, Positive fixed points for a class of nonlinear operatores and applications. Positivity., 17(2013), 235-255.
[7] S. Bonettini, I. Loris, F. Porta and M. Prato, Variable metric inexact line-search-based methods for nonsmooth optimization. Siam J. Optim., 26(2)(2016), 891-921.
[8] J. Blot and N. Hayek, Infinite-Horizon optimal control in the discrete-time framework. Springer-Verlag, New York., (2014).
[9] FH. Clarke, Optimization and nonsmooth analysis. Society for Industrial and Applied Mathematics., (1990).
[10] A. Dhara and J. Dutta, Optimality conditions in convex optimization: a finite-dimensional view. CRC Press., (2011).
[11] T. Gnana Bhaskar and V. Lakshmikantham, Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications. Nonlinear Anal. Theory, Methods & Appl., 65(2006), 1379-1393.
[12] D. Guo, YJ. Cho and J. Zhu, Partial ordering methods in nonlinear problems. Nova Science Publishers, New York., (2004).
[13] V. Jeyakumar and DT. Luc, Nonsmooth vector functions and continuous optimization. Springer, New York., (2008).
[14] V. Lakshmikantham, S. Carl and S. Heikkilä, Fixed point theorems in ordered Banach spaces via quasilinearization. Nonlinear Anal. Theory, Methods & Appl., 71(2009), 3448-3458.
[15] L. Mouhadjer and B. Benahmed, A Monotone Newton-like method for the computation of fixed points. In: Le Thi H, Pham Dinh T, Nguyen N, editors. Modelling, computation and optimization in Information systems and management sciences. Advances in intelligent systems and computing, vol 359. Springer, Cham., (2015), pp. 345-356.
[16] L. Mouhadjer and Benahmed, Fixed point theorem in ordered Banach spaces and applications to matrix equations. Positivity., 20(4)(2016), 981-998.
[17] JJ. Nieto and R. Rodríguez-López, Existence and uniqueness of fixed point in partially ordered sets and applications to ordinary diferential equations. Acta Math. Sinica., 23(12)(2007), 2203–2212.
[18] W. Rudin, Functional Analysis. McGraw-Hill, Inc., (1991).
[19] VA. Vijesh and KH. Kumar, Wavelet based quasilinearization method for semi-linear parabolic initial boundary value problems. Appl Math and Comput., 266(2015), 1163-1176.
[20] C. Zhai, C. Yang and CM. Guo, Positive solutions of operator equations on ordered Banach spaces and applications. Comput & Math with Appl., 56(12)(2008), 3150-3156.
[21] P. Zhou, J. Du and Z. Lü, Topology optimization of freely vibrating continuum structures based on nonsmooth optimization. Struct. Multidiscip. Optim., 56(2017), 603-618.
[22] R. Zohari and M. Mardanbeigi, Fixed points of non-smooth on finite dimensional ordered Banach spaces via Clarke generalized Jacobian. Int. J. Anal and Appl., 17(5)(2019), 850-863.