بررسی وجود تبدیل زاک در ابرگروههای موضعاً فشرده
محورهای موضوعی : آمارسیدمحمد طباطبایی 1 , سهیلا جوکار 2
1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه قم، قم، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه،دانشگاه قم، قم، ایران
کلید واژه: dual hypergroup, Borel section mapping, Fourier transform, Fundamental domain,
چکیده مقاله :
فرض کنید K یک ابرگروه موضعاً فشرده است. در این مقاله ابتدا تعریف دامنه اساسی در ابرگروههای موضعاً فشرده را بیان و سپس با استفاده از آن، نگاشت بخش بورل را تعریف می کنیم. دامنۀ اساسی زیرمجموعه‌ای از K است که از هر همدسته، یک و تنها یک عضو را دربر دارد. نگاشت بخش بورل درواقع نگاشتی است که هر همدسته را به عضوی از آن که در دامنۀ اساسی است متناظر می‌کند. در نهایت به عنوان کاربردی از دامنه اساسی، نشان می‌دهیم که اگر K یک ابرگروه موضعاً فشرده و H یک زیرابرگروه جابه جایی K باشد، یک تبدیل طول‌پای Z از L^2 (K) به L^2 (H ̂,L^2 (H\K)) وجود دارد. این تبدیل را تبدیل زاک می نامیم و مورد مطالعه قرار می دهیم. برای این منظور از دوگان ابرگروه و به‌طور ویژه از قضیه پلانچرل استفاده می‌کنیم. تعریفی که در این مقاله از تبدیل زاک ارائه می‌شود در حقیقت تعمیمی از تبدیل زاک در گروه‌های موضعاً فشرده است.
Let K be a locally compact hypergroup. In this paper we initiate the concept of fundamental domain in locally compact hypergroups and then we introduce the Borel section mapping. In fact, a fundamental domain is a subset of a hypergroup K including a unique element from each cosets, and the Borel section mapping is a function which corresponds to any coset, the related unique element in the fundamental domain. Finally, as an application we show that if K is a locally compact hypergroup and H is one of its commutative subhypergroup, then there exists an isometric transform Z from L^2 (K) to L^2 (H ̂,L^2 (H\K)). For this, we apply the dual of hypergroups and specially we use the Plancherel Theorem. This transform is a version of the Zak transform on locally compact hypergroups which can be considered as an extension of the usual notion of Zak transform in the case of locally compact groups.
[1] W. R. Bloom, H. Heyer. Harmonic analysis of probability measures on hypergroups. De Gruyter. Berlin (1995)
[2] C. F. Dunkl. The measure algebra of a locally compact hypergroup. Trans. Amer. Math. Soc. 179: 331-348(1973)
[3] A. J. E. M. Janssen. The Zak transform: A signal transform for sampled time-continuous signals, Philips Journal of Research. 43:23-69(1998)
[4] R. I. Jewett. Spaces with an abstract convolution of measures. Advances in mathematics 18:1-101(1975)
[5] P. Hermann. Induced representations and hypergroup homomorphisms, Monatshefte fur Mathematik. 116:245-262(1993)
[6] J. W. Iverson. Frames genetated by actions of locally compact groups. Ph.D. thesis. Oregon University (2016)
[7] S. M. Tabatabaie, S. Jokar. Existence of the relatively compact fundamental domain for hypergroups, to appear in Thai Journal of Mathematics
[8] M. Voit. Properties of subhypergroups. Semigroup Forum. 56:373-391(1997)