K - نگاشت تکانی و عمل گروه خارج قسمتی روی فضای کاهش یافته

محورهای موضوعی : هندسه

محمد دارا ¹ , اکبر دهقان نژاد ^{2 *}

1 - گروه رياضي محض (هندسه)، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه علم و صنعت، تهران، ايران.
2 - گروه رياضي محض (هندسه)، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه علم و صنعت، تهران، ايران.

تاریخ دریافت : 1401/02/22 تاریخ پذیرش : 1401/09/14 تاریخ انتشار : 1403/07/04

کلید واژه: Hamiltonian Systems&lrm, &lrm, Symplectic Geometry&lrm, Moment Maps&lrm, , &lrm, Reduction&lrm,

چکیده مقاله :

کمیت‌های پایستار، اشیایی هستند که برای خرد کردن بُعد فضای دستگاه‌های دینامیکی مورد استفاده قرار می‌گرفتند. به این روش که با استفاده از تقارن‌های موجود در یک دستگاه راه‌ حل‌های اصلی آن را در یک فضا با بُعد کمتر مورد بررسی قرار می‌دهند، فروکاست گفته می‌شود. نگاشت تکانی یک بیان ریاضی از مفهوم ناورداهای مرتبط با تقارن‌های یک دستگاه همیلتونی و یک ابزار اساسی برای مطالعه نظریه فروکاست روی خمینه‌های همتافته به شمار می‌آید. در این نظریه، با داشتن یک عمل گروه لی روی یک ‎$G$-‎خمینه‌ی همیلتونی و با در نظر گرفتن یک سطح تراز از نگاشت تکانی و یک عمل آزاد و سره از زیرگروه پایاگر روی آن، یک خمینه‌ی خارج‌قسمتی جدید معرفی می‌کند. در نظر گرفتن ملاحضات توپولوژیکی نگاشت تکانی و تعمیم فضای هم‌دامنه‌ی آن منجر به تعریف ‎$k$-‎نگاشت تکانی می‌شود که خواستگاه آن را می‌توان در مطالعه ‎$k$-‎تانسورهای همورد ناوردا روی ‎$G$-‎خمینه‌ها یافت. در این مقاله ثابت می‌کنیم اگر ‎$N$‎ یک زیرگروه نرمال گروه لی ‎$G$‎ و ‎$M_{\nu}$‎ خمینه کاهش‌یافته توسط ‎$k$-‎نگاشت تکانی ‎$\mu$‎ در مقدار منظم ‎$\nu$‎ باشد، آنگاه این خمینه به همراه عمل خارج قسمتی ‎$G_{\nu}/N_{\nu}$‎ دارای یک ‎$k$-‎نگاشت تکانی است.

چکیده انگلیسی:

‎In Hamiltonian systems‎, ‎symmetries on the phase space are important‎. ‎The symmetry of the Hamiltonian system is describable by the action of a Lie group on the phase space which leads to conservation laws on the system‎. ‎The conserved quantities have been used by the founders of classical mechanics to eliminate degrees of freedom in the particular systems under investigation‎. ‎These procedures are called reduction theory‎. ‎The moment map is a mathematical expression of the concept of the conservation associated with the symmetries of a Hamiltonian system and is a fundamental tool for the study of symplectic reduction‎. ‎In this theory‎, ‎given the Hamiltonian action‎, ‎the quotient of a level set of the moment map by the freely and properly action of an isotropy subgroup to form a new symplectic manifold‎. ‎By considering the topological properties of the moment map and generalization of the codomain of these maps we are led to the definition of the $k$-moment maps‎. ‎These maps originated in the study of invariant $k$-covariant tensor on a $G$-manifold $M$‎. ‎In this paper; we prove that if $G$ has a closed normal subgroup $N$‎, ‎and $M_{\nu}$ is reduced space by $k$-moment map $\mu$ in regular value $\nu$‎, ‎then $M_{\nu}$ with quotient group action $G_{\nu}/N_{\nu}$ has a $k$-moment map‎.

منابع و مأخذ:

[1] Arnol’d, Vladimir Igorevich. Mathematical methods of classical mechanics, vol. 60. Springer Science & Business Media, 2013.

[2] Greiner, Walter. Classical mechanics: systems of particles and Hamiltonian dynamics. Springer Science & Business Media, 2009.

[3] Abraham, Ralph, Marsden, Jerrold E, and Marsden, Jerrold E. Foundations of mechanics, vol. 36. Benjamin/ Cummings Publishing Company Reading, Massachusetts, 1978.

[4] Audin, Michèle, Da Silva, Ana Cannas, and Lerman, Eugene. Symplectic geometry of integrable Hamiltonian systems. Birkhäuser, 2012.

[5] Ortega, Juan-Pablo and Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction, vol. 222. Springer Science & Business Media, 2013.

[6] Marsden, Jerrold E and Ratiu, Tudor S. Introduction to mechanics and symmetry: a basic exposition of classical mechanical systems, vol. 17. Springer Science & Business Media, 2013.

[7] Hofer, Helmut and Zehnder, Eduard. Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics. Birkhäuser, 2012.

[8] Dwivedi, Shubham, Herman, Jonathan, Jeffrey, Lisa C, and Van den Hurk, Theo. Hamiltonian Group Actions and Equivariant Cohomology. Springer, 2019.

[9] Ma, Xiaonan and Zhang, Weiping. Geometric quantization for proper moment maps. Comptes Rendus Mathematique, 347(7-8):389–394, 2009.

[10] Kostant, B. Orbits, symplectic structures and representation theory proc. in USJapan Seminar in Differential Geometry (Kyoto, 1965)”, Nippon Hyoronsha, Tokyo, p. 71, 1966.

[11] Souriau, JM. Structure des systèmes dynamiques, dunod, paris, 1970. MR, 41:4866, 1970.

[12] Dara, M and Dehghan Nezhad, A. On the -ary moment map. International Journal of Industrial Mathematics, 13(1):53– 61, 2021.

[13] Meyer, Kenneth R. Symmetries and integrals in mechanics. in Dynamical systems, pp. 259–272. Elsevier, 1973.

[14] Marsden, Jerrold and Weinstein, Alan. Reduction of symplectic manifolds with symmetry. Reports on mathematical physics, 5(1):121–130, 1974.

[15] Marsden, Jerrold E, Misiolek, Gerard, Ortega, Juan-Pablo, Perlmutter, Matthew, and Ratiu, Tudor S. Hamiltonian reduction by stages. Springer, 2007.

[16] De Nicola, Antonio and Esposito, Chiara. Reduction of pre-hamiltonian actions. Journal of Geometry and Physics, 115:178–190, 2017.

[17] Karshon, Yael. Moment maps and noncompact cobordisms. Journal of Differential Geometry, 49(1):183–201, 1998.

[18] Guillemin, Victor, Ohsawa, TL, Karshon, Yael, and Ginzburg, Viktor L. Moment maps, cobordisms, and Hamiltonian group actions. no. 98. American Mathematical Soc., 2002.

[19] Guillemin, Victor W and Sternberg, Shlomo. Supersymmetry and equivariant de Rham theory. Springer Science & Business Media, 2013.

[20] Tu, Loring W. Introductory Lectures on Equivariant Cohomology. Princeton University Press, 2020.