مطالعۀ ترکیبیاتی همه گیری کووید-19 با استفاده از ساختارهای درختی
محورهای موضوعی : آمار
1 - گروه آمار، دانشکده علوم پایه، دانشگاه بین¬المللی امام خمینی، ایران
کلید واژه: واریانس, میانگین, ساختار درختی, همه گیری کووید-19, ترکیبیات تحلیلی,
چکیده مقاله :
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - هدف این مقاله، مدلبندی ترکیبیاتی نحوۀ شیوع همهگیری کووید-19 است. با استفاده از یک ساختار درختی که مطابق با هندسه کووید-19 است چندین کمیت مرتبط با شیوع این ویروس بررسی میشوند. برای کمیتهای مطرح شده، میانگین، واریانس، تابع مولد احتمال و توزیع حدی ارائه میشوند. به دلیل وابستگی متغیرهای تصادفی تحت بررسی، نرمال بودنِ مجانبی متغیرهای تصادفی از طریق قضیه شبهتوان هوانگ ثابت میشود - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - هدف این مقاله، مدلبندی ترکیبیاتی نحوۀ شیوع همهگیری کووید-19 است. با استفاده از یک ساختار درختی که مطابق با هندسه کووید-19 است چندین کمیت مرتبط با شیوع این ویروس بررسی میشوند. برای کمیتهای مطرح شده، میانگین، واریانس، تابع مولد احتمال و توزیع حدی ارائه میشوند. به دلیل وابستگی متغیرهای تصادفی تحت بررسی، نرمال بودنِ مجانبی متغیرهای تصادفی از طریق قضیه شبهتوان هوانگ ثابت میشود - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1. ر. كاظمي، مدل¬سازي رياضي همه¬گيري كوويد-19، رياضي و جامعه، 7، 1401، 19-1.
2. ر. كاظمي، و م.ق. وحيدي¬اصل، تحلیل همهگیری کووید-19 با استفاده از نظریۀ پرکولاسیون، انديشه آماري، 26، 1401، 65-53.
[3] M. Drmota, “Random Trees: An Interplay Between Combinatorics and Probability’’, Springer, Wien, New York, 2009.
[4] R. Kazemi, “On the multiplicative Zagreb indices of bucket recursive trees’’, Iranian Journal of Mathematical Chemistry, vol. 8. No. 1, pp. 37-45, 2017.
[5] R. Kazemi, “Analysis of a special tree structure’’, Int. J. Pure. App. Math., vol. 81, no. 6, pp. 813-820, 2012.
[6] R. Kazemi, “Depth in bucket recursive trees with variable capacities of buckets’’, Acta Math. Sinica, English Series, vol. 30. No. 2, pp. 305-310, 2014.
[7] S. Naderi, R. Kazemi, M.H. Behzadi, “Labels distance in bucket recursive trees with variable capacities of buckets’’, Acta Univ. Sapientiae, Mathematica, vol. 13, no. 2. pp. 413–426, 2011.
مطالعۀ ترکیبیاتی همهگیری کووید-19 با استفاده از ساختارهای درختی
تاريخ ارسال مقاله: تاريخ پذيرش مقاله:
چکيده
هدف این مقاله، مدلبندی ترکیبیاتی نحوۀ شیوع همهگیری کووید-19 است. با استفاده از یک ساختار درختی که مطابق با هندسه کووید-19 است چندین کمیت مرتبط با شیوع این ویروس بررسی میشوند. برای کمیتهای مطرحشده، میانگین، واریانس، تابع مولد احتمال و توزیع حدی ارائه میشوند. بهدلیل وابستگی متغیرهای تصادفی تحت بررسی، نرمالبودنِ مجانبی متغیرهای تصادفی از طریق قضيه شبهتوان هوانگ ثابت میشود.
واژه‌هاي کليدي: ساختار درختی، ترکیبیات تحلیلی، همهگیری کووید-19، میانگین، واریانس، توزیع حدی.
1 مقدمه
در یک ردهبندی کلی، بیماریها را میتوان به دو دسته بیماریهای واگیردار و غیرواگیر تقسیم کرد. بیماریهای واگیردار بسته به پایین یا بالابودن احتمال واگیری ممکن است در سطحی محدود مانده و مهار شوند یا تبدیل به همهگیری شده و کل جامعه را درنوردند. بنابراین، تعیین آستانه گذر از ابتلای عدهای محدود به تعدادی نامتناهی، و درنتیجه بروز همهگیری مهم است؟ این آستانهها در حوزۀ مدلهای سرایتپذیری، همهگیری و انواع مدلهای احتمالی قرار دارند. برای مثال، مدل آوند پولیا و مدلهای پرکولاسیون و درختهای بازگشتی از نخستین مدلها برای بررسی سرایت بیماریها هستند 
. در سه سال گذشته، همهگیری کووید-19 با سرعتی باورنکردنی در سراسر جهان در حال گسترش بود. تاثیرات این ویروس در زندگی انسانها در چنین گسترۀ وسیع مرتبط با پروتئین اسپایک است که دارای قرارگاهی است که توسط آنزیمی به نام فیورین فعال میشود. تلاشها برای مبارزه با این همهگیری با قرنطینههای محلی شروع و با تولید واکسن موثرتر در حال پیگیری است. سویههای جدید این ویروس بسته به شدت میزان انتقال و درگیری ریهها، منجربه قرنطینههای متفاوت شده است. دانشمندان و دولتها هر لحظه در حال اقداماتی برای مهار کاملِ شیوع این ویروس هستند. برای این منظور، کارهای مدلسازی، پیشبینی و تحلیل شیوع ویروس روزبهروز افزایش بیشتری دارد. لذا، همواره فوریتی برای توصیف ریاضی مناسب شیوع کووید-19 با هدف مهار این بیماری و سایر ویروسها وجود دارد که با هدف حمایت از سازمانهای دولتی بهداشت در سراسر جهان برای به حداکثر رساندن تاثیرگذاری راهبردهای حمایت پزشکی ضروری است. در این مقاله، تحلیل ترکیبیاتی برای مدلسازی این ویروس هولناک براساس "نظريه گراف" و بهویژه "ساختارهای درختی" معرفی میشود 
2 معرفی مدل
تحرک و جابهجایی انسانها عامل اصلی انتشار ویروسها است. یعنی، اگر انسانها بهمحض اطلاع از آلودهشدن به ویروس جابهجایی نداشته و به اصطلاح خود را قرنطینه کنند، انتشار ویروس قطع شده و سریعتر به پایان بیماری نزدیک میشویم. امّا همانطور که میدانیم در بسیاری از کشورها، گروههای متعددی با قرنطینه و ایجاد محدودیتها در سطح جامعه مخالف هستند. در این حالت چه تدبیری باید اندیشیده شود؟
یک مدل ساده این است که فرض کنیم شخص با جابهجایی باعث انتشار ویروس شده و تنها یک نفر را آلوده میکند. برای مثال، فرض کنید شخصی به ویروس کووید-19 آلوده شده است (شمارۀ 1). اگر شخص جابهجا شود و در دو مکان متفاوت، باعث آلودگی دو شخص شود (شمارۀ 2 و 3). شمارهها نشاندهندۀ افراد آلوده به ویروس و خطوط بیانگر جابهجاییها هستند. حال، فرض کنید شخص شمارۀ 2، به سه مکان مختلف مراجعه کرده و در هر مکان یک نفر را آلوده کند (شخص شمارۀ 4 و 5 و 6). همچنین فرض کنید شخص شمارۀ 3 به دو مکان مراجعه کرده و یک نفر را در هر مکان آلوده کند (شخص شمارۀ 7 و 8). در این صورت، شکل 1 را میتوان در نظر گرفت. این ساختار بههمین صورت میتواند ادامه یابد.
مدل بالا بیش از اندازه آرمانی و ساده است. همانطور که در مقالات متعدد اشاره شده است هر سویه از ویروس کووید-19 بهطور میانگین، میتواند تعدادی مانند b≥0 شخص را در هر مکان که شخص آلوده به آن مراجعه میکند، آلوده کند. بدیهی است که این مدل منطقیتر و به اصطلاح به هندسه کووید-19 نزدیکتر است.
فرض کنید شخص اولی که به ویروس آلوده شده است به سه مکان مراجعه کرده و بهترتیب در مکان اول، 2 نفر در مکان دوم، 3 نفر و در مکان سوم، 1 نفر را آلوده کند. درادامه، فرض کنید اشخاص شمارۀ 3، 4، 6 و 7 در قرنطینه ماندهاند امّا اشخاص شمارۀ 2 و 5 هر کدام بهترتیب 2 و 3 جابهجایی داشتهاند. اگر شخص شمارۀ 2 در یک مکان، 2 نفر و در مکان دیگری، 3 نفر و همچنین فرد شمارۀ 5، در یک مکان یک نفر و در هریک از 2 مکان دیگر 2 شخص را آلوده کند، آنگاه ساختار درختی ارائهشده در شکل 2 را میتوان در نظر گرفت. بههمین
شکل 1. نمایش درختی آلودهشدن به ویروس کووید-19 (مدل 1).
شکل 2. نمایش درختی آلودهشدن به ویروس کووید-19 (مدل 2).
صورت، این روندِ انتشار ویروس میتواند بهدلیل رعایت نکردن قرنطینه ادامه یابد.
3 احتمال ابتلای شخص جدید
بنابر آنچه در بخش 2 گفته شد میتوان نحوۀ انتشار ویروس را در حکم یک ساختار درختی در نظر گرفت که در آن اشخاص آلودهشده به ویروس در حکم رأسها و جابهجاییِ افراد آلوده در حکم یالها هستند. بنابراین، اولین مسئله‌ای که باید حل شود، تعیین احتمال ابتلای شخص جدید است. بهوضوح، احتمال ابتلای شخص nام به ویروس کووید-19 توسط یکی از 
شخص آلودهشدۀ قبلی در مدل اول برابر با 1⁄(n-1) است. در مدل دوم، هر رأسِ درخت شامل یک یا بیش از یک برچسب است. این گرههای جدید را c(v)–گره مینامیم که در آن c(v) ظرفیت یا همان تعداد برچسبهای موجود در رأس 
است. بهطور مشخص در این مدل، برای هر رأس ، 
. بهسادگی میتوان نتیجه گرفت که در مدل دوم، احتمال آلوده شدن شخص 
ام توسط یکی از شخص آلودهشده به ویروس برابر با 
است. بنابراین، اگر اشخاص قرنطینه را رعایت کنند، آنگاه 
کاهش یافته و لذا احتمال ابتلای افراد جدید کاهش مییابد.
تحلیل بالا نشان میدهد که مدل اول زیرمدلی از مدل دوم است زیرا احتمال ابتلای شخص جدید در آن حالت خاص احتمال ابتلای مدل دوم است (
).
4 فرمولبندی ریاضی
همانطور که در بررسی ساختارهای برچسبدار در رویکرد ترکیبیاتی مرسوم است، لازم است که ابتدا یک تابع وزنی برای ساختار در نظر گرفته شود 
. فرض کنید 
درجه خروجی یک 
–گره باشد. واضح است که اگر مرتبه درخت باشد، آنگاه
که در آن 
مجموعه رئوس ساختار درختی 
است. فرض میکنیم که برچسبگذاری در بین رأسهای با شرایط زیر صورت گیرد:
الف) برچسب 1 (شخص آلودهشدۀ اول) در رأس اول ذخیره شود.
ب) هر رأس شامل دقیقاً c(v) برچسب است.
پ) برچسبها درون هر رأس با ظرفیت 
بهصورت افزایشی مرتب شود.
ت) هر دنباله از برجسبها در طول هر مسیر آغاز شده از ریشه افزایشی باشد.
در این صورت، یک ردۀ از خانواده‌ای جدید از درخت‌ها را میتوان بهصورت زیر تعریف کرد: یک دنباله از اعداد نامنفی 
با 
و یک دنباله از اعداد نامنفی 
برای تعریف وزن 
از هر درخت مرتبشدۀ توسط
استفاده میشوند که در آن روی همه رأسهای تغییر میکند. طبیعی است که 
باید وابسته به و 
باشد. بنابراین، منطقی است که وزن برای هر گرۀ بهصورت
تعریف شود. فرض کنید 
بیانگر برچسب‌گذاری‌های افزایشی مختلف درخت با اعداد صحیح 
باشد که در آن 
بیانگر کاردینالیتی آن است. در این صورت، خانوادۀ شامل همه درختهای با وزن‌های کل آنها و مجموعه برچسب‌گذاری‌های است. برای یک دنباله درجه-وزن مفروض با یک تابع مولد درجه-وزن 
و یک دنباله سطل-وزن، تابع مولد نمایی
را تعریف میکنیم که در آن
وزن‌های کل است. بهسادگی میتوان نشان داد که 
در معادله دیفرانسیلی مرتبه اول همگنِ
,
صدق میکند که در آن 
درجه خروجی ریشه، 
مجموعه همه درختهای مرتبه 
و نماد 
بیانگر اندازۀ مجموعه است 
. همچنین، 
. چون احتمال ابتلای شخص جدید برابر با است، لذا نتیجه میشود که :
5 نتایج اصلی
فرض کنید 
تعداد افرادی باشد که بهطور مستقیم باعث بیمار شدن نفر ام شده‌اند. برای بررسی این متغیر نیازمند یک رویکرد تابع مولد دومتغیره هستیم. روابط روشنی برای تابع احتمال، امیدریاضی و واریانس این کمیت ارائه میشود. نشان می‌دهیم که وقتی 
توزیع حدی نرمال است. این نتایج با استفاده از معادلات دیفرانسیل جزئی برای توابع مولد گشتاور و حل آنها بهدست می‌آیند. در بخش بعدی، به بررسی متغیر
یعنی تعداد افرادی باشد که بهطور مستقیم باعث بیمار شدن نفر 
ام شده‌اند، میپردازیم. در این حالت نیز نتایج مشابه‌ای از طریق توابع مولد سه‌متغیره ثابت خواهد شد. در نهایت، نتایج به تعداد افراد آلودهشده بین دو شخص بیمار دلخواه که کمیتی کلیتر است، تعمیم داده میشود.
به‌عنوان اولین نتیجه نشان می‌دهیم که وزن کل 
به تعداد بیماران آلودهشده توسط بیمار اول و میانگین تعداد افراد آلودهشدۀ 
وابسته است.
لم 1. برای هر 
داریم:
.
(6)
برهان. با استفاده از تعریف وزن‌های 
و 
,،
چون . بنابراین،
و برهان کامل میشود.
قضيه 2. فرض کنید 
تعداد افرادی باشد که بهطور مستقیم باعث بیمار شدن نفر ام شده‌اند. تابع مولد دومتغیرۀ
را میتوان بهصورت
با شرط آغازین 
ارائه کرد.
برهان. با روش مشابه ارائه شده در 
، داریم:
که در آن شرط آغازین به این خاطر است که بیمار اول با برچسب 1 در ریشه درخت قرار دارد. تنها تفاوت این است که وزن‌های کل زیردرخت و گرۀ ریشه (بیمار اول) برابر با 
است. حل عمومی معادله بالا بهصورت
با تابع است. با ارزیابی در 
و به‌کارگیری شرط آغازین اشاره شده به این نتیجه می‌رسیم که 
با استفاده از رابطه
داریم:
بنابراین، رابطه روشنِ
برای تابع مولد 
بهدست میآید. با استفاده از لم 1،
بنابراین،
در قضيه زیر تابع احتمال متغیر تصادفی ارائه میشود. در این قضیه، 
بیانگر 
امین عدد استرلینگ مرتبه است 
.
قضيه 3. احتمال‌های 
از رابطه
بهدست می‌آیند.
برهان. فرض کنید 
بیانگر ضریب 
در سری 
باشد. چون 
با استخراج به‌عنوان ضریب تابع مولد دومتغیرۀ در قضيه 2 برهان کامل میشود.
از طریق یک تحلیل تکینی، بسط مجانبی تابع مولد احتمال را میتوان بهصورت
بهطور یکنواخت در یک همسایگی 
با مقدار دلخواه و کوچکِ 
ارائه کرد . بنابراین، تابع مولد احتمال به وابسته است. برای بهدست آوردن توزیع حدی نرمال از قضيه شبهتوان هوانگ در زیر استفاده میکنیم زیرا متغیرهای تصادفی برای هر وابسته هستند.
قضيه 4. 
فرض کنید 
یک دنباله از متغیرهای تصادفی نامنفی باشد. فرض کنید تابع مولد گشتاور دارای بسط مجانبیای بهصورت
باشد که در آن تابعِ 
برای 
, 
و 
یکنواخت است. همچنین،
الف) توابع 
و 
برای تحلیلی و مستقل از باشند، 
.
ب) وقتی 
آنگاه 
تحت این شرایط، توزیع 
بهطور مجانبی نرمال است:
که در آن 
تابع توزیع نرمال استاندارد است. به‌علاوه، میانگین و واریانس بهصورت
خواهند بود.
حال، بنابر قضيه شبهتوان هوانگ، برای متغیر تصادفی ،
و
که نتیجه قضيه شبهتوان هوانگ برای 
است.
حال، نتایج قبلی روی 
به متغیر تصادفی
، تعداد افرادی باشد که بهطور مستقیم باعث بیمار شدن نفر ام شده‌اند، توسیع داده میشود. درادامه، متغیر 
که تعداد آفراد آلوده به ویروس بین اشخاص و است، مطالعه میشود. درنهایت، همه نتایج به متغیر تصادفی 
که تعداد افراد آلوده به ویروس بین اشخاص 
و است، توسیع داده میشوند که کمیتی کلیتر است. یادآور میشود که منظور از شخص در حقیقت –گره شامل برچسب (شخص) است. برای بهدست آوردن معادله دیفرانسیلی مرتبط با تابع مولد سه‌متغیرۀ متناظر با متغیر تصادفی ، رویکرد ترکیبیاتی زیر را در نظر می‌گیریم. به درختهای سه رنگی که در آن رنگ‌آمیزی به‌شرح زیر است، توجه میکنیم: –گره حاوی برچسب (شخص) به رنگ سفید، تمام –گرههای دارای برچسبهای کوچکتر از همه برچسبهای موجود در –گره سفید به رنگ سیاه و تمام –گرههای دارای برچسبهای بزرگتر از برچسب –گره سفید به رنگ قرمز رنگ‌آمیزی میشوند. واضح است که به عمق (سطح) –گرۀ سفید علاقه‌مند هستیم. فرض کنید که درجه خروجی 
–گره 
است و –گره سفید در درخت گرۀ ریشه نیست (در صورتی که –گره سفید ریشه درخت باشد با شرایط اولیه مطابقت دارد، امّا کمتر در عمل ظاهر میشود). پس –گره سفید در یکی از زیردرخت قرار دارد. فرض میکنیم که در زیردرخت اول است. پس از برچسبگذاری مجدد، هر زیردرخت 
یک ساختار درختی با ظرفیت‌های متفاوت –گرهها است. زیردرخت اول مجدداً یک درخت سه رنگی با یک –گره سفید، 
شکل 3. درخت سهرنگي شكل 2.
سیاه و 
قرمز است درحالیکه بقيه 
زیردرخت فقط دارای دو رنگ هستند (شكل 3 را ببينيد). برای توصیف سره این تحلیل ترکیبیاتی از توابع مولدی که در هر دو متغیر 
و 
نمایی هستند استفاده میکنیم که در آن ، –گرههای سیاه و ، –گرههای قرمز را علامتگذاری میکند (براي اطلاع از چگونگي نوشتن معادلات ديفرانسيلي در روركرد تركيبياتي به 
مراجعه كنيد). یعنی، برای دنبالهای بهصورت 
از
و برای دنبالهای بهصورت 
از
استفاده میکنیم که در آن عمق –گرۀ سفید را علامتگذاری میکند. حال، قرار می‌دهیم 
و
بنابراین، درخت دورنگی و درخت سهرنگی منجر به عامل
خواهند شد که در آن
یادآوری میکنیم که وزن‌های کل زیردرخت برابر با 
است. عمق –گرۀ سفید در درخت یک واحد بیشتر از عمق –گرۀ سفید در زیردرخت است. این موضوع منجر به یک عامل خواهد شد. به‌علاوه، یک عامل در نظر گرفته میشود زیرا –گرۀ سفید میتواند در یکی از زیردرخت‌های اول، دوم و.... ام باشد. ازطرفی، ریشه دارای درجه خروجی است که منجر به یک عامل 
خواهد شد. درنتیجه، با مجموع‌یابی روی ، معادله آخر منجر به
خواهد شد . چون گرۀ ریشه با برچسب یک به رنگ سیاه است،
این معادله دارای حل عمومی
با یک تابع 
است. با ارزیابی در و استفاده از شرط آغازین معرفی شده، نتیجه میشود که
.
بنابراین،
در لم زیر نشان داده میشود که توزیع به بستگی ندارد.
لم 5. احتمال‌های 
توسط رابطه
داده میشوند. همچنین،
برهان. داریم که
همچنین،
درنتیجه، برهان قسمت میانگین و واریانس کامل میشود زیرا
تابع مولد احتمال 
برابر با
است. لذا، تابع مولد احتمال و بنابراین توزیع 
به 
وابسته نیست.
برای 
،
وقتی 
و
که مجدداً نتیجه قضيه شبهتوان هوانگ برای در تابع مولد احتمال است. با قراردادن در واقع میانگین و واریانسِ دقیقِ بهدست میآید.
حال، به مطالعه متغیر تصادفی میپردازیم. برای این منظور، فرض کنید:
مجدداً یک توصیف ترکیبیاتی شاملِ شمارش درختهای با ظرفیت متفاوت –گرههای چهاررنگی را در نظر می‌گیریم. چون بحث مشابه با بخش قبلی است تنها روی تفاوت‌ها متمرکز میشویم. شی‌های ترکیبیاتی مورد نظر درختهای چهاررنگی ممکن با مرتبه بزرگتر یا مساوی 2 هستند که به‌شکل زیر رنگ‌آمیزی میشوند. –گرۀ شامل بزرگترین برچسب یعنی برچسب با رنگ سبز مشخص میشود. در بین –گرههای باقیمانده دقیقاً یک –گره با رنگ قرمز مشخص میشود که –گرۀ شامل برچسب است. همه –گرههای با برچسبهای کوچکتر از –گرۀ قرمز با رنگ سیاه و همه –گرههای دیگر شامل برچسبهای بزرگتر از –گرۀ قرمز با رنگ سفید رنگ‌آمیزی میشوند. علاقه‌مند به تعیین فاصله بین –گرۀ قرمز و –گرۀ سبز هستیم. مشابه با استدلال بخش قبلی ،
که شرط آغازین آن بهصورت
است که در آن 
–گرههای سیاه، ، –گرههای سفید را علامتگذاری میکند و فاصله بین –گرههای قرمز و سبز را نشان میدهد.
قضيه 6. احتمال‌های 
توسط رابطه
برای 
داده میشوند.
برهان. داریم که
ازطرفی،
که در آن 
. بنابراین،
و برهان کامل میشود.
قضيه 7. برای ،
برهان. واضح است که،
و بنابراین،
حال، برهان بنابر قضيه 6 برهان کامل میشود.
قضيه 8. وقتی برای دنباله‌های 
،
برهان. فرض کنید و
تابع مولد احتمال باشد. بنابراین،
فرض کنید
و
,
و همچنین
تابع مولد گشتاور 
باشد. در این صورت،
حال، ناحيه را به دو قسمت تقسیم میکنیم. بزرگ با 
، کوچک با 
با محاسباتی شبیه به 
برهان کامل میشود.
بنابر آنچه تا کنون ارائه و ثابت شد میتوان برای متغیر تصادفی نتیجه زیر را ارائه کرد.
نتیجه 9. برای 
،
اگر
و
,
آنگاه برای دنباله‌های دلخواه 
6 نتیجهگیری
با استفاده از یک ساختار درختی که مطابق با هندسه کووید-19 بود چندین کمیت مرتبط با شیوع این ویروس بررسی شدند. برای کمیتهای مطرحشده، میانگین، واریانس، تابع مولد احتمال و توزیع حدی ارائه شد. بهدلیل وابستگی متغیرهای تصادفی تحت بررسی، اثبات نرمالبودنِ مجانبی متغیرهای تصادفی از طریق قضيه شبهتوان هوانگ صورت گرفت.
References
1. ر. كاظمي، مدلسازي رياضي همهگيري كوويد-19، نشريه رياضي و جامعه، 1401، http://dx.doi.org/10.22108/msci.2022.132935.1497
2. ر. كاظمي، و م.ق. وحيدياصل، تحلیل همهگیری کووید-19 با استفاده از نظریۀ پرکولاسیون، مجله انديشه آماري، 26، 1401، 65-53 .
[3] M. Drmota, Random Trees, An Interplay Between Combinatorics and Probability, Springer, Wien, New York, 2009.
[4] P. Flajolet and R. Sedgewick, Analytic Combinatorics, Cambridge University Press, Cambridge, 2008.
[5] M. Kuba and A. Panholzer, Combinatorial approach to the analysis of bucket recursive trees, Theor. Comput. Sci, 411 (2010) 34-36, 3253-3273.
[6] A. Panholzer, H. Prodinger, The level of nodes in increasing trees revisited. Random Structures and Algorithms, 31 (2007) 203-226.