بررسی عملکرد چند روش حوزه فرکانس و حوزه زمان در محاسبه پارامترهای دینامیکی یک سازه سه طبقه به کمک آنالیز مودال عملیاتی

محورهای موضوعی : یافته های نوین کاربردی و محاسباتی در سیستم های مکانیکی

محسن مهدوی عادلی ¹ , حسام مکوندی ^{2 *}

1 - گروه مهندسی مکانیک، واحد سوسنگرد، دانشگاه آزاد اسلامی، سوسنگرد، ایران
2 - گروه مهندسی مکانیک، واحد آبادان،دانشگاه آزاد اسلامی،آبادان، ایران

تاریخ دریافت : 1403/02/18 تاریخ پذیرش : 1403/03/26 تاریخ انتشار : 1403/03/30

کلید واژه: آنالیز مودال عملیاتی, روش تجزیه حوزه فرکانسی, روش تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی, روش زیر فضای تصادفی ,

چکیده مقاله :

در این پژوهش، یک روش کاربردی برای یافتن پارامترهای مودال در سازه ها مورد بررسی قرار گرفته است. در ابتدا دو روش در حوزه فرکانسی به نام روش های تجزیه حوزه فرکانسی و تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی و یک روش در حوزه زمان به نام روش زیر فضای تصادفی تعریف گردیده است. به منظور بررسی دقت این روش ها در شناسایی پارامترهای مودال سازه های واقعی، از یک سازه سه طبقه مدل¬سازی شده در نرم¬افزار انسیس استفاده شده است. این سازه توسط نرم افزار انسیس مدل سازی شده و صحت عملکرد مدل با مقایسه نتایج تحلیل مودال سازه با نتایج آزمایشات تجربی مورد تایید قرار گرفت. پاسخ شتاب بدست آمده از مدل ایجاد شده به عنوان ورودی به روش های آنالیز مودال محیطی داده شد و پاسخ های آن با نتایج واقعی مقایسه گردیدند. مشاهده گردید که هر سه روش به خوبی فرکانس ها، شکل مودها و ضرایب میرایی سازه را تخمین می زنند. همچنین مشخص گردید که استفاده از روش زیر فضای تصادفی راحت تر می باشد، اما روش های تجزیه حوزه فرکانسی و تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی زمان حل کمتری دارند. همچنین مشخص گردیدکه روش تجزیه حوزه فرکانسی نسبت به روش تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی خطای کمتری دارد، اما در عین حال ناتوان از محاسبه ضرایب میرایی می باشد.

چکیده انگلیسی:

In this research, a practical method for finding modal parameters in structures is investigated. At first, two methods in the frequency domain called FDD and EFDD frequency domain analysis methods and a time domain method called SSI are defined. In order to check the accuracy of these methods in identifying the modal parameters of real structures, a three-story structure modeled in Ansys software will be used. This structure was modeled by Ansys software and the correctness of the model performance was confirmed by comparing the results of modal analysis of the structure with the results of experimental tests. The acceleration response obtained from the created model is given as an input to environmental modal analysis methods, whose responses are compared with actual results. It was observed that all three methods could estimate the frequencies, mode shapes and damping coefficients of the structure with high accuracy. It is also observed that using the SSI method is easier, but the FDD and EFDD methods need less time to solve.

منابع و مأخذ:

[1] Bendtel, J. S., Piersol, G. L., “Engineering Application of Correlation and Spectral Analysis, ۲nd edition, John Wiley &- Sons,New York,USA(1993) .
[2] Brincker, R., Zhang, L., Andersen, P., “Modal identification from ambient responses using frequency domain decomposition”, ۲۸th International Modal Analysis Conference, San Antonio, TX, USA, 2000.
[3] Brincker, R., Ventura, C., Andersen, P., “Damping Estimation by Frequency Domain Decomposition”, 28th International Modal Analysis Conference, Kissimmee, USA, 2001.
[4] Allen, M. S., Sarcic, M.W, Chauhan, S., ‘‘Output-Only Modal Anlysis of Linear Time-Periodic System With Application to Wind Turbin Simulation Data’’, J. of Mechanical System and Signal Processing, Vol. 25, No. 1, 2011, pp. 1191-1174.
[5] Modak, S.V., Rawal, C., Kundra, T.k, ‘‘Harmonic Elimination Algorithm for Operational Modal Analysis of Aerospace Vehicles’’, ۲۸th International Modal Analysis Conference., Vol. 12, 2010, pp. 1421-1430.
[6] Goursat, M., Dohler, M., Mevel, L., "Crystal Clear SSI for Operational Modal Analysis of Aerospace Vehicles" ۲۸th International Modal Analysis Conference., Vol. 12, 2010, pp.1421-1430.
[7] F. Pimenta, D. Ribeiro, A. Román, F. Magalhães, Modal properties of floating wind turbines: Analytical study and operational modal analysis of an utility-scale wind turbine, Engineering Structures 301 (2024) 117367.
[8] M. Martino Rosso, A. Aloisio, J. Parol, G.C. Marano, G. Quaranta, Intelligent automatic operational modal analysis, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 201, 2023, 110669.
[9] I.A. Hernández-González, E. García-Macías, G. Costante, F. Ubertini, AI-driven blind source separation for fast operational modal analysis of structures, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 211, 2024, 111267.
[10] W. Liu, N. Yang , F. Bai, S. Law, D. Abruzzese, An improved automated framework for operational modal analysis with multi-stage clustering and modal quality evaluation, Mechanical Systems and Signal Processing, Vol. 212, 2024, 111235.

متن کامل:



	65
نشریه علمی - تخصصی یافته­های نوین کاربردی و محاسباتی در سیستم­های مکانیکی		سال سوم: شماره4، زمستان 1402  │

 

بررسی عملکرد چند روش حوزه فرکانس و حوزه زمان در محاسبه پارامترهای دینامیکی یک سازه سه طبقه به کمک آنالیز مودال عملیاتی

 

محسن مهدوی عادلی1، حسام مکوندی 2*

 

1. گروه مهندسي مکانیک، واحد سوسنگرد، دانشگاه آزاد اسلامي، سوسنگرد، ايران 

2. گروه مهندسي مکانیک، واحد آبادان، دانشگاه آزاد اسلامي، آبادان، ايران 

 

* نویسنده مسئول: [e-mail] 

تاریخ دریافت: 18/02/1403       تاریخ پذیرش: 26/03/1403

چکیده

در این پژوهش، یک روش کاربردی برای یافتن پارامترهای مودال در سازه­ها مورد بررسی قرار گرفته است. در ابتدا دو روش در حوزه­ فرکانسی به نام روش­های تجزیه حوزه فرکانسی¹و تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی²و یک روش در حوزه زمان به نام روش زیر ­فضای تصادفی³ تعریف گردیده است. به منظور بررسی دقت این روش­ها در شناسایی پارامترهای مودال سازه­های­ واقعی، از یک سازه سه طبقه مدل­سازی شده در نرم­افزار انسیس استفاده شده است. این سازه توسط نرم­افزار انسیس مدل­سازی شده و صحت عملکرد مدل با مقایسه نتایج تحلیل مودال سازه با نتایج آزمایشات تجربی مورد تایید قرار گرفت. پاسخ شتاب بدست آمده از مدل ایجاد شده به عنوان ورودی به روش­های آنالیز مودال محیطی داده شد و پاسخ­های آن با نتایج واقعی مقایسه گردیدند. مشاهده گردید که هر سه روش به خوبی فرکانس­ها، شکل مودها و ضرایب میرایی سازه را تخمین می­زنند. همچنین مشخص گردید که استفاده از روش زیر فضای تصادفی راحت­تر می­باشد، اما روش­های تجزیه حوزه فرکانسی و تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی زمان حل کمتری دارند. همچنین مشخص گردیدکه روش تجزیه حوزه فرکانسی نسبت به روش تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی خطای کمتری دارد، اما در عین حال ناتوان از محاسبه ضرایب میرایی می­باشد.

 

کلمات کلیدی: آنالیز مودال عملیاتی، روش تجزیه حوزه فرکانسی، روش تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی، روش زیر ­فضای تصادفی 

مقدمه

تحلیل دینامیکی یکی از مهم­ترین و پرکاربردترین ابزارهای مهندسی در طراحی، ساخت و نگهداری سازه­ها می­باشد، ولی معمولا برای سازه­های پیچیده جواب تحلیلی موجود نمی­باشد. همچنین مدل­های تقریبی عددی نظیر روش اجزا محدود، روش تفاضل محدود و کوادراتور دیفرانسیلی⁴ نیز با مشکلاتی مانند خطاهای حاصل از به­کارگیری فرضیات نامناسب، خطا در مدل کردن جزییات سازه­های پیچیده و عدم اطلاع صحیح از خواص مواد مواجه هستند. از این رو روش­های مبتنی بر آزمایش، ابزار مناسبی برای دستیابی به خواص دینامیکی سازه به شمار می­روند. یکی از این روش­ها که امروزه کاربرد بسیار زیادی در صنعت دارد، آنالیز مودال می­باشد. آنالیز مودال، فرایند تعیین خواص ذاتی دینامیکی یک سیستم در قالب فرکانس­های طبیعی، ضرایب میرایی و شکل مودها و بکارگیری آنها به منظور ایجاد مدل ریاضی از رفتار دینامیکی سیستم می­باشد. در دو دهه­ اخیر کاربردهای بی­شماری از آنالیز مودال در زمینه­های مهندسی، علمی و صنعتی گزارش شده است. همچنین، انتظار می­رود کاربردهای آنالیز مودال در سال­های آینده گسترش فزاینده­ای یابند.

روش­های آنالیز مودال کلاسیک بر اندازه­گیری ورودی/خروجی مبتنی بوده و با بکارگیری روش­های شناسایی مدل، نظیر انتخاب قله و کمترین مربعات و غیره به استخراج پارامترهای مودال می­پردازد. به طور کلی شناسایی پارامترهای مودال بر اساس داده­های اندازه­گیری شده ورودی و خروجی از راه توابع پاسخ فرکانسی⁵در حوزه فرکانس یا توابع پاسخ ضربه­ای⁶در حوزه­ زمان انجام می­شود. در سازه­ها پاسخ دینامیکی (خروجی­ها) به طور مستقیم از رکوردهای ثبت شده توسط حسگرهای نصب شده در نقاط مختلف سازه به دست می­آید. در حالی­که بدست آوردن مقدار ورودی یا تحریک در مورد سازه­های واقعی در شرایط بهره­برداری تا حدودی دشوار است. اگر چه با استفاده از تحریک­های اجباری مانند لرزاننده­های قوی و وزنه­های سقوط کننده می­توان رابطه­ای بین خروجی و ورودی اعمال شده پیدا کرد، اما پیچیدگی­های موجود در سازه­ها و کیفیت داده­های بدست آمده کاربرد این روش­ها را بسیار محدود می­کند. استفاده از روش­های آنالیز مودال کلاسیک معمولا با مشکلات اساسی همراه است. برای انجام آزمایش­های ارتعاشی روی سازه­های با مقیاس بزرگ و پیچیده، اتخاذ استراتژی خاص مورد نیاز است، چون استفاده از منابع تحریک مصنوعی مانند تکان­دهنده­ها اغلب غیر عملی و گران است. اغلب سازه­هایی که در محیط پیرامون ما قرار دارند، نظیر ساختمان­ها، پل­ها، هواپیما­ها، قطارها و غیره تحت بارهای محیطی نظیر باد، تردد عابر پیاده، تردد خودرو، امواج صوتی و اغتشاشات متعدد می­باشند. بنابراین ماهیت بارهای وارد شده به این سازه­ها دقیقا مشخص نیست و اندازه­گیری آن­ها نیز در اکثر مواقع غیر ممکن است. از طرفی برای تحریک سازه­های بزرگ در آزمایش مودال کلاسیک، نیروی زیادی باید بکار گرفته شود تا تمامی شکل مودهای سازه در محدوده­ فرکانسی مد نظر تحریک گردد، که بکارگیری چنین نیروی بزرگی ممکن است موجب خرابی سازه و بروز رفتار غیرخطی ­شود. همچنین در محیط واقعی وجود نویزهای متعدد، خطای زیادی را در آزمایش ایجاد می­کند.

به منظور رفع این مشکلات، محققان در سال­های اخیر به ارایه روش­های نوین آنالیز مودال بر مبنای اندازه­گیری فقط پاسخ پرداخته­اند. این روش­ها، آنالیز مودال محیطی یا آنالیز مودال فقط پاسخ نامیده می­شوند. از آنالیز مودال محیطی در سازه­های مکانیکی بزرگ که امکان تحریک مصنوعی آنها میسر نبوده و سازه­های در حال بهره­برداری که امکان انتقال آنها به محیط آزمایشگاهی فراهم نیست، استفاده می­شود. در این روش­ها، سازه به صورت روش­های آنالیز مودال کلاسیک تحریک نمی­شود، بلکه توسط بارهای طبیعی تحریک می­شود. با توجه به این که در آزمایش ارتعاش محیطی تنها پاسخ اندازه­گیری می­شود و بار­گذاری سازه ناشناخته است، شناسایی پارامترهای مودال باید فقط بر اساس داده­های خروجی انجام شود. در نتیجه به روش­های ویژه­ای نیاز است که شناسایی را با استفاده از داده­هایی با دامنه بسیار کوچک و بدون داشتن اطلاعاتی از نیروی ورودی انجام دهد. در طی سال­های گذشته روش­های تجربی شناسایی پارامترهای مودال در مهندسی گسترش پیدا کرده است. از جمله می­توان به روش جستجوی قله با استفاده از چگالی­های طیفی توانی، روش آرما⁷ با استفاده از داده­های گسسته در حوزه زمان، روش تحریک طبیعی و همچنین روش شناسایی زیر فضای تصادفی و روش­های در حوزه فرکانس اشاره کرد. هدف از انجام این پژوهش یافتن پارامترهای مودال سیستم­های مکانیکی توسط روش آنالیز مودال محیطی می­باشد.

بندتل و همکاران]1[ با استفاده از داده­های ارتعاشی محیطی و بکار بردن روش شناسایی قله داده­های ارتعاشی را محاسبه کردند. در این روش نقاط حداکثر نسبی در نمودار توابع پاسخ فرکانسی را می­توان تخمین قابل قبولی در فرکانس­های طبیعی سازه در نظر گرفت. با توجه به آنکه در آزمایش ارتعاش محیطی نمی­توان توابع پاسخ فرکانسی را بطور مستقیم محاسبه کرد، از چگالی طیفی توانی بدست آمده از داده­های محیطی استفاده می­شود. در این روش فرکانس­های طبیعی سازه با استفاده از نمودار میانگین­گیری شده چگالی طیفی توانی به دست می­آید، که آنرا می­توان با تبدیل کردن داده­های اندازه­گیری شده از حوزه­ زمان به حوزه­ فرکانس و با استفاده از تبدیل گسسته فوریه بدست آورد.

برینکر و همکاران]2و3[ یک روش غیر پارامتریک بنام روش تجزیه حوزه فرکانسی که شباهت بسیار زیادی به روش شناسایی مودهای مختلط و انتخاب قله می­باشد را معرفی نمودند. در این روش آنها ابتدا ماتریس چگالی طیف توانی پاسخ محاسبه شده را بدست آورده و سپس با استفاده از روش تجزیه مقادیر تکین⁸ مقادیر فرکانس­های طبیعی، ضرایب میرایی و شکل مودها را بدست آوردند. پایین بودن حساسیت این روش نسبت به نویز و عوامل خارجی از ویژگی­های این روش نسبت به روش­های دیگر می­باشد. آلن و همکاران]4[ روشی را ارایه کردند که می­توان از آن برای شناسایی پارامترهای مودال سیستم­های خطی و متناوب در زمان بهره برد که نیروی محرک آن غیر قابل اندازه­گیری، تصادفی و با پهنای باند وسیعی باشد. آنها برای بررسی روش پیشنهادی خود، آن را بر روی یک توربین باد پیاده­سازی نمودند. کمپالکا و همکاران[5] به منظور بررسی دقت الگوریتم­های شناسایی زیر فضا در تعیین آسیب و محل آن، داده­های به­دست آمده از مدل اجزاء محدود را با داده­های حاصل از مدل­سازی تجربی مقایسه نمودند. برای این­کار، با استفاده از یک ابزار مخصوص ترکی⁹ را در یک تیر یک سر گیر­دار ایجاد کردند. آن­ها نشان دادند که الگوریتم شناسایی زیر فضا با استفاده­ مستقیم از داده­ها قادر است وجود آسیب و محل آن­ها را با دقت خوبی پیش­بینی کند. دوهلر و همکاران]6[ به بررسی روش زیر ­فضای تصادفی در سازه­های بزرگ پرداختند. آنها بیان کردند که برای بدست آوردن پارامترهای مودال یک سازه­ بزرگ باید از تعداد زیادی سنسور برای ثبت سیگنال ارتعاشی استفاده نمود، که این کار مستلزم صرف هزینه­ بسیار زیادی می­باشد. بنابراین برای رفع این مشکل روش ترکیب کردن سنسورها توسط این محققین ابداع گشت. در این روش تعدادی از سنسورها بصورت مرجع در نظر گرفته می­شوند. مکان این سنسورها در طول آزمایش ثابت می­باشد. همچنین، بقیه­ سنسورها بصورت متحرک در نظر گرفته می­شوند که در حین آزمایش مکان آنها تغییر می­یابد. با بدست آوردن اطلاعات مربوط به این سنسورها و وارد کردن داده­ها در الگوریتم این روش، می­توان با تعداد محدودی از سنسورها پارامترهای مودال سازه­ بزرگ را یافت. پیمننتا و همکاران[7] یک رویکرد تحلیل و ساده را به منظور مدل­سازی حرکات فرکانس بسیار پایین یک سازه شناور، بر ویژگی‌های مودال مربوطه ارایه نمودند که در آن این اثرات به درستی مشخص گشته است. ایشان پس از شبیه­سازی­های عددی، از داده های تجربی یک توربین بادی شناور در مقیاس کامل را برای اولین بار به عنوان ورودی برای تحلیل مودال عملیاتی استفاده نمودند. ایشان موفق به ارایه راهکاری به منظور استفاده از این داده ها به منظور بررسی سلامت ساختاری این نوع سازه ها گشتند. مارتینو روسو و همکاران[8] یک الگوریتم جدید برای شناسایی مودال تنها خروجی خودکار سازه‌های خطی تحت ارتعاشات محیطی، یعنی آنالیز مودال عملیاتی خودکار معرفی نمودند. این الگوریتم از الگوریتم زیرفضای تصادفی مبتنی بر کوواریانس برای شناسایی تنها خروجی پارامترهای مدال بهره­برداری می­کند و گردش کار آن از دو فاز اصلی تشکیل شده است. در ابتدا، نمونه‌های شبه تصادفی از پارامترهای کنترلی برای این الگوریتم تولید می‌شوند. هنگامی که الگوریتم برای هر نمونه انجام شد، نمودارهای تثبیت مربوطه به منظور تهیه یک پایگاه داده برای آموزش هسته هوشمند آنالیز مودال عملیاتی خودکار پردازش می‌شوند. این یک تکنیک یادگیری ماشینی (یعنی یک الگوریتم جنگل تصادفی) است که پیش‌بینی می‌کند کدام ترکیب از پارامترهای کنترلی برای الگوریتم زیرفضای تصادفی مبتنی بر کوواریانس قادر به ارایه تخمین‌های مودال خوبی است. پس از آن، نمونه های شبه تصادفی جدیدی از پارامترهای کنترلی برای الگوریتم زیرفضای تصادفی مبتنی بر کوواریانس به طور مکرر تولید می­شوند تا زمانی که یک معیار همگرایی آماری به دست آید. اگر نمونه عمومی با هسته هوشمند روش آنالیز مودال عملیاتی خودکار به عنوان امکان­پذیر طبقه­بندی شود، الگوریتم زیرفضای تصادفی مبتنی بر کوواریانس انجام می شود. در نهایت، نتایج مودال پایدار از نمودارهای تثبیت استخراج شده و آمار مربوطه برای ارزیابی سطح عدم قطعیت به دلیل تغییرپذیری پارامترهای کنترل محاسبه می‌شود. روش پیشنهادی آنالیز مودال عملیاتی خودکار برای شناسایی ویژگی‌های مودال برج الحمرا فردوس، ساختمانی نمادین با ارتفاع 6/412 متر واقع در شهر کویت استفاده شده است. نتایج نهایی به خوبی با یک مطالعه تجربی قبلی مطابقت دارد، و همچنین امکان شناسایی دو حالت ارتعاشی جدید از سازه وجود داشت. هرناندز گونزالز و همکاران[9] در راستای اتوماسیون فرآیند پایش وضعیت سازه­ها، یک مدل جدید شبکه عصبی عمیق یادگیری چندوظیفه­ای را معرفی نمودند که برای شناسایی مودال منبع کور سریع و خودکار ساختارها طراحی شده است. در این روش با کپسوله‌سازی اصول شناسایی منبع کور مرتبه دوم در معماری شبکه، مدل پیشنهادی می‌تواند اجزای مودال با ارزش پیچیده را که در داده‌های شتاب پاسخ خام ورودی پنهان شده است استخراج کند. ایشان اثربخشی رویکرد ارایه شده را از طریق سه مطالعه موردی (یک سیستم تئوری میرا شده غیر متناسب، یک ساختار اسکلت فلزی آزمایشگاهی، و یک پل قوسی بتن مسلح واقعی) بررسی و تایید نمودند. نتایج بدست آمده قابلیت تکنیک پیشنهادی را برای انجام شناسایی مودال خودکار تقریبا لحظه‌ای با حداقل مداخله متخصص را نشان می‌دهد، که پتانسیل بالایی به عنوان یک تکنیک مقیاس‌پذیر برای نگهداری سلامت ساختاری سیستم‌های زیرساختی بزرگ دارد. لیو و همکاران[10]  یک روش بهبودیافته با خوشه­بندی چند مرحله­ای را برای اتوماسیون آنالیز مودال عملیاتی پیشنهاد نمودند. این روش چارچوب خوشه‌بندی پیشنهادی مزایایی نسبت به آنالیز مودال عملیاتی اتوماتیک سنتی با کاهش اتکا به تنظیمات آستانه در خوشه‌بندی سلسله مراتبی ارایه می‌دهد. شاخص ارزیابی مودال پیشنهادی می‌تواند برای حذف اثر سوگیری ذهنی به خوشه‌های ابعادی کوچک و برای ارزیابی اعتبار هر حالت نماینده شناسایی‌شده از خوشه استفاده گردد. ایشان با استفاده از روش ارایه شده و مجموعه داده‌های اندازه‌گیری شده عملکرد و اثربخشی این استراتژی اتوماسیون را بررسی و تایید نمودند.

در این مقاله از روش­های مختلف فرکانسی و زمانی برای یافتن پارامترهای مودال استفاده خواهد شد و مقایسه­ای بین این روش­ها صورت می­گیرد. همچنین، با بکار­گیری از فیلتر کالمن اثرات نویز را در یافتن پاسخ­های خروجی از سیستم کاهش خواهد یافت که باعث افزایش دقت در یافتن پارامترهای مودال می­گردد. 

  تئوری تحقیق

روش­های آنالیز مودال محیطی در حالت کلی به دو دسته حوزه زمان و حوزه فرکانس تقسیم می­شوند. در ادامه، ابتدا روش های موجود در حوزه­ی فرکانس و سپس روش­های موجود در حوزه­ی زمان معرفی می­شود.

 الگوریتم شناسایی تجزیه حوزه فرکانسی

روش تجزیه حوزه فرکانسی بر اساس روش برداشت قله در تحلیل مودال کلاسیک برای تحلیل مودال محیطی پیشنهاد شده است. در این روش پارامترهای مودال سازه از تابع چگالی طیف بدست آمده از پاسخ سازه به تحریک نویز سفید استخراج می­گردد. این روش برای سازه هایی با میرایی کم کارآیی دارد. در این روش رابطه بین [Gxx(w)]، ماتریس اسپکترال ورودی­های x(t) و [Gyy(w)]، ماتریس اسپکترال خروجی­های y(t)  به صورت رابطه (1) نوشته می­شود.

بالانویس­های T و x در رابطه (1) به ترتیب نشان­دهنده ترانهاده و مزدوج مختلط می­باشند. [H(w)] ماتریس تابع پاسخ فرکانسی می­باشد که به شکل کسر جزئی بر حسب قطب و مانده به شکل رابطه (2) نوشته می­شود.

(1)

(2)

R و l در رابطه (2) به ترتیب مانده و قطب می­باشد. از آنجا که ورودی به صورت تصادفی و با توزیع نویز سفید فرض شده، ماتریس اسپکترال ورودی به ماتریس ثابت مشابه رابطه (3) خواهد بود.

(3)

با جایگذاری روابط (2) و (3) در رابطه (1) و با فرض کوچکی میرایی سازه، با انجام عملیات ریاضی در همسایگی مود غیر تکراری k-ام می­توان نوشت:

در جائیکه ky شکل مود و dk ضریب مقیاس مربوط به مود k-ام هستند. در صورتیکه خروجی به صورت ترکیب خطی شکل مودهای سیستم و با ضرایب مختصات مودال q(t) نوشته شود:

(4)

می­توان ماتریس اسپکترال را به شکل رابطه (6) بدست آورد.

(5)

[Gqq(w)] در این رابطه ماتریس اسپکترال مختصات مودال است. روش حوزه حوزه فرکانسی بر اساس تجزیه مقادیر منفرد ماتریس طیف چگالی توان خروجی بنا نهاده شده است:

(6)

در جایی­که [S] ماتریس قطری مقادیر منفرد و [V] ماتریس متعامد یکه بردارهای منفرد می­باشد. با مقایسه رابطه (7) با روابط (4) و (6) مشاهده می­شود که در محدوده مود k-ام از ماتریس قطری [Gqq(w)] است. لذا S(w1)، اولین مقدار منفرد بدست آمده برای فرکانس w1، در محدوده مود k-ام، مقدار تابع طیف چگالی توان سیستم یک درجه آزادی متناظر با آن مود در فرکانس w1 است. پارامترهای مودال از طریق روش برداشت قله استخراج می­شود و V(w1)، اولین ستون [V] در فرکانس w1 نیز تخمینی از شکل مود k-ام است. در روش تجزیه حوزه فرکانسی چنانچه یک قله در مقادیر منفرد دیگر نیز تکرار شده باشد، آن قله ناشی از تحریک هارمونیک تشخیص داده می­شود و پارامترهای مودال برای آن از قله استخراج نمی­شود.

 الگوریتم شناسایی تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی

در روش تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی بخشی از تابع  در محدوده یک مود که در آن مقدار معیار تضمین مود بین اولین بردار منفرد در فرکانس­های مختلف با بردار منفرد متناظر با فرکانس قله مود مورد بررسی بالاتر از حد مشخصی باشد جدا شده و پس از صفر کردن بقیه مقادیر، ، تابع طیف چگالی توان یک درجه آزادی مود k-ام به دست می­آید. از طریق تبدیل عکس فوریه مجزا به حوزه زمان برده می شود و ، تابع همبستگی یک درجه ازادی آن مود، محاسبه می­شود. سپس فرکانس طبیعی و نسبت میرایی از طریق گذر از صفر و کاهش لگاریتمی تابع زمانی حاصل استخراج می­شود. شکل مود نیز به صورت جمع وزن­دار بردارهای منفرد حاصل از فرکانس­های مختلف محدوده انتخابی در نظر گرفته می­شود:

(7)

در این روش قله­هایی که ناشی از تحریک هارمونیک تشخیص داده شده باشند، قبل از انجام تبدیل عکس فوریه مجزا از طریق میان یابی خطی از تابع  حذف می­شوند و بردارهای منفرد متناظر با آن فرکانس­ها نیز در جمع معادله (8) وارد نمی­شوند.

 شناسایی زیر فضای تصادفی 

در حالی­که که روش­های قبلی در حوزه­ی فرکانس محسوب می­شدند، الگوریتم زیر فضای تصادفی روشی است که بطور مستقیم در حوزه­ زمان کار می­کند. در سال 1990 روش جدیدی در شناسایی سیستم­های فضای حالت بر اساس زیر بازه­ها گسترش پیدا کرد که بوسیله­ آن می­شود یک مدل عددی از فضای حالت را بر مبنای داده­های حاصل از اندازه­گیری­ خروجی یک سیستم دینامیکی پیچیده به دست آورد. از روش­های شناسایی زیر فضا می­توان در مواردی که سیگنال ورودی قطعی، تصادفی و یا ترکیبی از آنها باشد استفاده کرد. آنچه در ادامه خواهد آمد تئوری این روش­ها در شناسایی سیستم­هایی است که سیگنال ورودی آن­ها تصادفی باشد، درست مانند روش تجزیه حوزه فرکانسی، که ورودی­ها نیز نامعلوم بوده و فرض می­شود که از اغتشاش سفید تشکیل شده باشند. به طور خاص­تر فرض می­شود که اغتشاش سفید با توزیع گوسین و میانگین صفر باشد. برخی از خصوصیات اغتشاش سفید با توزیع گوسین در ادامه آمده است:

1- اغتشاش سفید توان یکسانی در تمام فرکانس­ها دارد. به این معنی که چگالی طیف توانی مربوط به ورودی برای تمام فرکانس­ها ثابت است. از این خاصیت در روش تجزیه حوزه فرکانسی نیز استفاده می­شود.

2- سفید به معنی ناهمبسته بودن در زمان است به عبارت دیگر اگر مقدار سیگنال اغتشاش در یک زمان خاص معلوم باشد، نمی­توان با این اطلاعات مقدار آن را در هر زمان دیگر پیش­بینی کرد. یکنواختی نمودار چگالی طیف توانی اثر مستقیم این خاصیت است.

3-گوسین بازگو کننده این حقیقت است که مقدار سیگنال در هر زمان مشخص، از تابع چگالی احتمال با توزیع نرمال پیروی می­کند که به عنوان توزیع گوسین نیز شناخته می­شود.

 الگوریتم شناسایی زیر فضای تصادفی

مدل دینامیکی یک سازه را می­توان با مجموعه­ای از معادلات دیفرانسیل خطی درجه دوم با ضرایب ثابت بیان کرد:

(8)

(9)

در معادله­ (9) M، D و K به ترتیب ماتریس­های جرم، میرایی و سختی سازه هستند، بردار (t)y بردار تغییر مکان در کلیه درجات آزادی سازه و f(t)  بردار نیروهای ورودی سازه است. معادله­ (10) را به روش­های مختلف می­توان به صورت سیستمی از معادلات دیفرانسیل درجه اول بازنویسی کرد. یکی از روش­های معمول استفاده از فضای حالت است:

در رابطه­ (10) بردار حالت برابر است با  و ماتریس حالت  و ماتریس ضرایب تاثیر  سیستم کنترل بصورت رابطه­ (11) تعریف می­شوند:

(10)

 به همین ترتیب بردار خروجی مورد نظر  را می­توان بصورت ترکیب خطی از حالت­های سیستم بیان کرد:

(11)

در معادله­ (12)، C ماتریس ضرایب تاثیر خروجی واقعی (ارتباط دهنده­ فضای حالت و بردارهای خروجی سیستم است) و D ماتریس ضرایب تاثیر کنترل خروجی است. اگر ابعاد ماتریس ، و ابعاد بردار حالت ، باشد، تعداد  مود قابل مشاهده است. n را ابعاد فضای حالت گویند. هدف روش شناسایی سیستم، تخمین زدن ماتریس  و  است، چرا که از طریق آن­ها می­توان پارامترهای مودال را محاسبه کرد.

تفاوت بین حالت­های سیستم و خروجی­های اندازه­گیری شده، اغتشاشات مربوط به اندازه­گیری هستند که با  نمایش داده می­شوند. همچنین جمله­ مربوط به ورودی ، که متشکل از مقادیر تحریک قطعی و تصادفی است با یک بردار ورودی تصادفی خالص جایگزین می­گردد که به آن اغتشاش ناشی از پردازش گویند. هر دو اغتشاش ناشی از اندازه­گیری و پردازش از جنس بردارهای اغتشاش سفید گوسین و با میانگین صفر هستند.

(12)

اغتشاش سفید توان یکسانی در تمام فرکانس­ها دارد. به این معنی که چگالی طیف توانی مربوط به ورودی برای تمام فرکانس­ها ثابت است. رابطه­ (13) معادلات سیستم پیوسته را بیان می­کنند. از آنجا که داده­های اندازه­گیری به­ صورت گسسته در زمان هستند، معادلات سیستم نیز باید بصورت گسسته در رابطه (14) بیان شوند.

(13)

ماتریس سیستم مربوط به مدل گسسته  با ماتریس سیستم مربوط به مدل پیوسته  از طریق رابطه­ زیر به هم مرتبط هستند.

(14)

ایده­ روش­های شناسایی سیستم، تخمین حالت­های سیستم از داده­های اندازه­گیری شده و سپس تخمین ماتریس­های سیستم با استفاده روش رگرسیون خطی است.

(15)

علامت  روی حالت­های سیستم بیان می­کند که آنها تخمینی از حالت­های واقعی سیستم هستند.  و  باقی­مانده های رگرسیون هستند. این باقی­مانده­ها باید در طی تحلیل رگرسیون کمینه شوند. برای بدست آوردن پارامترهای مودال نیازی به استفاده از الگوريتم تبديل سريع فوريه¹⁰ برای انتقال سیگنال به حوزه فرکانس نبوده و از داده­های به دست آمده به طور مستقیم استفاده می­شود. به همین خاطر است که الگوریتم زیر ­فضای تصادفی روشی در حوزه­ زمان به حساب می­آید. عدم نیاز به انتقال داده­ها از حوزه­ زمان علاوه بر آنکه موجب حذف کامل خطای نشت در داده­ها شده، تغییرات ایجاد شده در ماتریس سختی (که در اثر استفاده از تابع پنجره بوجود می­آید) را نیز از بین می­برد. اما باید در نظر داشت که الگوریتم­های موجود در حوزه­ی زمان نیازمند حجم زیادی از داده­های اندازه­گیری بوده و لذا روش­های زمان­بر محسوب می­شوند.

نتایج

 مدلسازی اجزا محدود

اولین قدم برای تحلیل اجزای محدود، مدل­سازی سازه در محیط نرم افزار انسیس می­باشد. برای این منظور ابتدا اندازه­گیری ابعادی دقیق از سازه انجام شد و سپس مدل سازه در نرم­افزار ساخته شد. همچنین، برای مدل­سازی از المان سالید 186¹¹ استفاده شده است. شکل (1) مدل ساخته شده از سازه را در محیط این نرم­افزار را نشان می­دهد.  نکته­ مهم بعدی مدل­سازی تکیه­گاه­های سازه می­باشد. تیرهای عمودی از انتها به یک میله­ صلب جوش داده شده­اند. این میله­ صلب حرکت میله­های عمودی را در سه جهت x،y و z محدود کرده و اجازه دوران را نیز از سازه سلب می­کند. در نتیجه برای مدل­سازی تکیه­گاه تمامی این شرایط لحاظ می­گردد. همچنین، برای مدل­ سازه استینگر از یک فنر خطی در محل تحریک سازه استفاده می­شود. استینگر باعث ایجاد یک سختی اضافی به سیستم می­شود و این سختی باعث تغییر در فرکانس­های سازه می­گردد. در نتیجه، بهترین روش برای مدل کردن استینگر استفاده از فنر خطی می­باشد. برای مدل­سازی فنر خطی در نرم­افزار از المان کامبینشن14 ¹² استفاده گردید. این المان قابلیت مدل­سازی فنر و دمپر را در این نرم­افزار دارد. نمای کلی سازه شامل مدل فیزیکی، تکیه­گاه­ها و فنر خطی در شکل (2) نشان داده شده است.

(16)

شکل 1: مدل­سازی سازه در نرم­افزار

شکل 2: مدل­سازی کامل سازه

قبل از اینکه مدل سازه در نرم­افزار تحت بارگذاری قرار گیرد باید از صحت مدل­سازی اطمینان حاصل شود. برای این منظور فرکانس­های طبیعی سازه را از دو روش اجزا محدود و روش تجربی محاسبه و با یکدیگر مقایسه می­شوند. به­منظور بدست آوردن فرکانس­ها در روش اجزا محدود از آنالیز مودال استفاده می­گردد. این آنالیز قابلیت محاسبه­ پارامترهای مودال سیستم شامل، فرکانس­های طبیعی و شکل مودهای سیستم را دارد. فرکانس­های طبیعی بدست آمده از نرم­افزار در جدول (1) آمده است.

 به منظور اندازه­­گیری فرکانس­های طبیعی، سازه با ضربه چکش¹³ تحریک می­شود. ارتعاش ایجاد شده توسط شتاب سنجی¹⁴ که در محل مناسبی از سازه نصب شده اندازه­گیری می­گردد. به منظور تبدیل ارتعاش اندازه­گیری شده از حوزه زمان به حوزه فرکانس، سیگنال خروجی از حسگر شتاب­سنج به دستگاه تحلیل­گر سیگنال¹⁵ منتقل می­شود. در این دستگاه، تبدیل فوریه سریع برروی پاسخ زمانی انجام شده و خروجی آن در حوزه­ی فرکانس را می­توان به کمک نرم­افزار پالس¹⁶ مشاهده نمود. سپس، پاسخ فرکانسی و مدل ساخته شده توسط این نرم­افزار وارد نرم­افزار MeScope شده و از روی نمودار فرکانسی می­توان فرکانس­های طبیعی، شکل مودها و ضرایب میرایی سازه را محاسبه نمود. فرکانس­های محاسبه شده توسط روش تجربی در جدول (1) آمده است. مدل سازه در این نرم­افزار در شکل (3) آمده است. نقاط برجسته در شکل (3) محل ضربه­های چکش برای اندازه­گیری پاسخ فرکانسی می­باشند.

 

شکل 3:  مدل سیستم در نرم افزار Mescope

شکل (4) پاسخ فرکانسی سازه می­باشد که توسط این نرم­افزار محاسبه شده است. با توجه به بیشینه بودن دامنه­ ارتعاش سیستم­ها در فرکانس­های طبیعی آن­ها، فرکانس­های متناظر با دامنه بیشینه، فرکانس­های طبیعی سازه خواهند بود.

 

شکل 4: پاسخ فرکانسی در نرم افزار Mescope

جدول 1: فرکانس­های اجزا محدود و تجربی بر حسب (rad/sec)

هفتم	ششم	پنجم	چهارم	سوم	دوم	اول	فرکانس
12/2544	25/2349	64/1529	71/1053	85/586	71/345	08/98	روش اجزا محدود
34/2597	36/2378	19/1540	12/1057	18/585	12/344	06/97	تجربی

خطای نسبی دارای مقدار قابل قبولی می­باشد. بیشترین خطا 31/2 درصد بوده که مربوط به فرکانس ششم می­باشد. شکل (5)، پنج شکل مود اول بدست آمده از سازه را با استفاده از روش اجزا محدود نشان می­دهد.

شکل مود سوم                     شکل مود پنجم

شکل مود دوم

شکل مود اول  شکل مود چهارم

شکل 5: پنج شکل مود اول سازه

بعد از حصول اطمینان از صحت مدل اجزا محدود، سازه­ مدل شده توسط نرم­افزار اجزا محدود تحریک می­گردد. همانگونه که در بخش قبل بیان گشت، سازه توسط لرزاننده تحریک می­شود. تحریک توسط لرزاننده شامل یک جابجایی تصادفی می­باشد که توسط استینگر به سازه منتقل می­گردد. بدین منظور برای مدل­سازی این تحریک در نرم­افزار از حل گذرا استفاده می شود. برای این منظور ورودی تصادفی با دامنه­ 5 میلی­متر به سازه از طرف فنر اعمال شده و بعد از 5000 بار نوسان پاسخ­های شتاب سازه قابل اندازه­گیری می­باشد. لازم به تذکر است که در این حل قید جابجایی فنر در جهت z آزاد شده است. شکل (6) دامنه­ جابجایی یکی از گره­های سازه را نشان می­دهد که حاکی از جابجایی تصادفی سازه نسبت به ورودی تصادفی می­باشد. سپس، پاسخ شتاب چند گره از سازه انتخاب شده و به عنوان ورودی به الگوریتم­های زیر ­فضای تصادفی و تجزیه حوزه فرکانسی و تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی داده می­شود تا بتوان پارامترهای مودال آنها محاسبه شوند.

محاسبه­ شتاب در تمام گره­های سازه یکی از ویژ­گی­های حل گذرای نرم­افزار انسیس می­باشد. در نتیجه هر گره ایجاد شده در سازه معرف یک شتاب­سنج می­باشد. با انتخاب چند گره از سیستم، کل سازه پیوسته تبدیل به یک سیستم چند درجه آزادی می­گردد. با انتقال دادن پاسخ شتاب این نقاط انتخابی به الگوریتم­های آنالیز مودال محیطی می­توان پارامترهای مودال سیستم را یافت. در حل این مسئله از پنج نقطه استفاده شده است. شکل (7) نمودار چگالی طیفی توانی پاسخ سازه می­باشد، که قله­های نمودار تابع چگالی طیفی پاسخ معادل فرکانس­های طبیعی سیستم می­باشد.

 

شکل 6: نمایش جابجایی یک گره تحت بارگذاری تصادفی

 

 

 

 

 

 

 

 

شکل 7:  نمودار تابع چگالی طیفی برای مدل اجزا محدود (توسط روش تجزیه حوزه فرکانسی)

 

 

 

مرتبه

 

 

 

 

 

 

 

 

فرکانس طبیعی  )rad/sec(

 

شکل 8: نمودار پایداری روش مرتبه- فرکانس مدل اجزا محدود (توسط روش زیرفضای تصادفی)

همچنین، پاسخ­های شتاب بدست آمده از نرم­افزار اجزا محدود وارد الگوریتم زیرفضای تصادفی گشته و دیاگرام پایداری آن رسم می­شود. این دیاگرام در شکل (8) نشان داده شده است. خطوط مستقیم بدست آمده در این شکل بیانگر فرکانس­های طبیعی سازه می باشند. پاسخ فرکانس­های طبیعی بدست آمده از روش فوق در جدول (2) به همراه فرکانس­های بدست آمده از روش های تجزیه حوزه فرکانسی و تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی بیان شده است.

جدول 2: فرکانس­های بدست آمده از سه روش بر حسب (Rad/Sec)

هفتم	ششم	پنجم	چهارم	سوم	دوم	اول	فرکانس
35/2531	47/2245	98/1590	46/1049	46/583	59/343	17/98	FDD
21/2523	22/2214	16/1603	31/1026	79/587	41/345	91/99	EFDD
79/2689	67/2297	27/1548	36/1052	43/584	45/343	92/98	SSI

 در شکل (9) مقدار خطای نسبی فرکانس­های حاصله از سه روش نسبت به فرکانس­های بدست آمده از روش اجزا محدود به نمایش داده شده است.

 

شکل 9:  خطای نسبی سه روش با روش اجزا محدود

همانطور که از جدول فوق مشخص است، میزان خطای نسبی قابل قبول می­باشد. بیشترین میزان خطا 9/6 درصد می­باشد. همچنین، کمترین مقدار خطا از بین روش­ها، مربوط به روش زیر فضای تصادفی است.

یکی دیگر از پارامترهای مودال سیستم، شکل مود می­باشد. شکل مود در واقع جابجایی نقاط سازه نسبت به یکدیگر در فرکانس­های طبیعی می­باشد. در ادامه سه شکل مود اول بدست آمده از روش زیر فضای تصادفی و تجزیه حوزه فرکانسی رسم شده است. همانطور که در فصل قبل بیان گشت، روش تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی قادر به محاسبه­ شکل مود نمی­باشد. برای رسم این نمودارها ضرایب نسبت به بزرگترین عدد در شکل مود نرمال شده­اند. همانطور که از شکل (10) مشخص است نمودارهای بدست آمده از دو روش دارای تطابق قابل قبولی هستند. همچنین، با مقایسه شکل (10) با شکل (5) واضح است که نمودارهای بدست آمده از روش­های آنالیز مودال محیطی به شکل مودهای نرم افزار نزدیک می­باشند.

 

شکل مود سوم	شکل مود دوم	شکل مود اول

شکل 10:  سه شکل مود اول بدست آمده با روش­های زیر فضای تصادفی(خط­ ممتد) و روش تجزیه حوزه فرکانسی(خط­چین)

نتیجه­گیری

در این پژوهش، از دو روش موجود در تحلیل مودال محیطی در حوزه­ فرکانسی ­به­ نام تجزیه حوزه فرکانسی و تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی و همچنین یک روش در حوزه­ زمان به ­نام شناسایی زیر فضای تصادفی برای تخمین پارامترهای مودال یک سیستم استفاده گردید. به منظور بررسی دقت این روش­ها در شناسایی پارامترهای مودال سازه­های واقعی­تر، از یک سازه سه طبقه برای مدل­سازی استفاده گردید. این سازه سه طبقه توسط نرم­افزار اجزا محدود مدل­سازی گردید و پاسخ بدست آمده از آن نیز به عنوان ورودی به روش­های آنالیز مودال محیطی داده شد که پاسخ­های بدست آمده از آن نیز دارای دقت مناسبی بودند. مشاهده گردید که استفاده از روش زیر فضای تصادفی نسبت به دو روش تجزیه حوزه فرکانسی و تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی راحت­تر می­باشد و با یک بار اجرای آن می­توان پارامترهای مودال سیستم را بدست آورد. در حالی­که زمان حل روش­های تجزیه حوزه فرکانسی و تجزیه پیشرفته حوزه فرکانسی نسبت به روش زیر فضای تصادفی کمتر بوده و این مهم­ترین ویژ­گی روش­های فرکانسی نسبت به روش­های حوزه زمان می­باشد. همچنین مشاهده شد که فرکانس­های محاسبه شده توسط روش زیر فضای تصادفی نسبت به دو روش اجزا محدود و روش تجربی نسبت به مقدار واقعی دارای خطای کمتری می­باشند.

مراجع

[1]   Bendat, J. S., Piersol, A. G. (1980). Engineering applications of correlation and spectral analysis. New York.

 [2] Brincker, R., Zhang, L., Andersen, P. (2000). Modal identification from ambient responses using frequency domain decomposition. In IMAC 18: Proceedings of the International Modal Analysis Conference (IMAC), San Antonio, Texas, USA, February 7-10, 2000, pp. 625-630.

 [3] Brincker, R., Ventura, C. E., Andersen, P. (2001). Damping estimation by frequency domain decomposition. In Proceedings of IMAC 19: A conference on structural dynamics: Februar 5-8, 2001, Hyatt Orlando, Kissimmee, Florida, 2001, pp. 698-703. Society for Experimental Mechanics.

 [4]  Allen, M. S., Sracic, M. W., Chauhan, S., Hansen, M. H. (2011). Output-only modal analysis of linear time-periodic systems with application to wind turbine simulation data. Mechanical Systems and Signal Processing, 25(4), pp 1174-1191.

[5]  Modak, S. V., Rawal, C., Kundra, T. K. (2010). Harmonics elimination algorithm for operational modal analysis using random decrement technique. Mechanical Systems and Signal Processing, 24(4), pp 922-944.

 [6] Goursat, M., Döhler, M., Mevel, L., Andersen, P. (2011, May). Crystal clear SSI for operational modal analysis of aerospace vehicles. In Structural Dynamics, Volume 3: Proceedings of the 28th IMAC, A Conference on Structural Dynamics, 2010 (pp. 1421-1430). New York, NY: Springer New York.

[7]  Pimenta, F., Ribeiro, D., Román, A., Magalhães, F. (2024). Modal properties of floating wind turbines: Analytical study and operational modal analysis of an utility-scale wind turbine. Engineering Structures, 301, p 117367.

[8]  Rosso, M. M., Aloisio, A., Parol, J., Marano, G. C., Quaranta, G. (2023). Intelligent automatic operational modal analysis. Mechanical Systems and Signal Processing, 201, p 110669.

 [9] Hernández-González, I. A., García-Macías, E., Costante, G., Ubertini, F. (2024). AI-driven blind source separation for fast operational modal analysis of structures. Mechanical Systems and Signal Processing, 211, p 111267.

[10] Liu, W., Yang, N., Bai, F., Law, S. S., Abruzzese, D. (2024). An improved automated framework for operational modal analysis with multi-stage clustering and modal quality evaluation. Mechanical Systems and Signal Processing, 212, p 111235.

 

 

---

[1]  Frequency Domain Decomposition) FDD (

[2]  Enhanced Frequency Domain Decomposition (EFDD)

[3]  Stochastic Subspace Identification (SSI)

[4]  Differential Quadrature Method (DQM) 

[5]  Frequency Response Function (FRF)

[6]  Impact Response Function (IRF)

[7]  ARAMA Method

[8]  Singular Value Decomposition (SVD)

[9]  Open Crack

[10]  Fast FourierTransform (FFT)

[11]  Solid 186

[12]  Combination 14

[13]  Hammer (Global Test Type AU02)

[14]  Accelerometer (DJB Type)

[15]  Signal Analyzer (B&K Type 3032A)

[16]  Pulse

---