بهینه‌سازی کنترل‌کننده PID در جهت کنترل بار-فرکانس در سیستم قدرت مجهز به توربین آبی و جبران‌کننده افتی گذرا با استفاده از الگوریتم هیبریدی PSO-NM

محورهای موضوعی : مهندسی برق قدرت

احمد باغبان ¹ , سید آرمان شیرمردی ² , مهیار عباسی ^{3 *}

1 - گروه مهندسی برق، موسسه آموزش عالی کارون، اهواز، ایران
2 - گروه مهندسی برق، موسسه آموزش عالی کارون، اهواز، ایران
3 - گروه مهندسی برق، دانشکده فنی و مهندسی ، دانشگاه اراک، اراک، ایران

تاریخ دریافت : 1403/08/21 تاریخ پذیرش : 1404/02/08 تاریخ انتشار : 1405/06/31

کلید واژه: کنترل بار-فرکانس, سیستم قدرت, کنترل‌کننده PID, پایداری سیگنال کوچک, توربین آبی.,

چکیده مقاله :

در این مقاله، یک الگوریتم جدید جهت کنترل بار یک توربین آبی متصل به شین بینهایت با جبران‌کننده افتی گذرا ارائه شده است. روش پیشنهادی در این مقاله از کنترل PID و الگوریتم ترکیبی ازدحام ذرات بهینه‌سازی بهره برده است. کنترل‌کننده PID در نظر گرفته شده، می‌تواند طیف وسیعی از تغییرات در پارامترهای سیستم را تحمل کرده و بدون اورشوت‌ها و نوسان‌های زیاد، سیستم را پایدار کند. کنترل‌کننده PID بهینه شده دارای اورشوت و زمان نشست کمتری نسبت به کنترل‌کننده PID غیر بهینه است. کنترل‌کننده PID همچنین ریپل و نوسانات توان خروجی را کاهش می‌دهد، که آن را به یک ابزار ارزشمند برای کنترل فرکانس و توان سیستم‌های توربین آبی تبدیل می‌کند در مجموع، نتایج نشان می‌دهد که کنترل‌کننده PID بهینه شده می‌تواند به طور موثری فرکانس و توان سیستم‌های توربین آبی را کنترل کند، اما در برخی موارد ممکن است نیاز به استفاده از روش‌های کنترلی پیشرفته‌تر باشد. شبکه تحت مطالعه در سیمولینک نرم افزار متلب مدلسازی شده است. نتایج حاصل از پیاده سازی سناریوهای مختلف، موید عملکرد صحیح الگوریتم پیشنهادی می‌باشد. کنترل‌کننده PID بهینه‌شده می‌تواند تغییرات گسترده‌تری در پارامترهای سیستم را تحمل کند. در حالی که کنترل‌کننده PID غیربهینه ممکن است در Tw=3 (ثابت‌زمانی توربین آبی) بدون اورشوت عمل کند، کنترل‌کننده بهینه تا Tw=5 بدون اورشوت سیستم را پایدار نگه می‌دارد.

چکیده انگلیسی:

This paper presents a novel algorithm for load control of a hydraulic turbine connected to an infinite bus with transient droop compensator. The proposed method utilizes PID control and a hybrid particle swarm optimization algorithm. The considered PID controller can tolerate a wide range of variations in system parameters and stabilize the system without significant overshoots and oscillations. The optimized PID controller has lower overshoot and settling time compared to the non-optimized PID controller. The PID controller also reduces ripple and fluctuations in output power, making it a valuable tool for frequency and power control of hydraulic turbine systems. Overall, the results show that the optimized PID controller can effectively control the frequency and power of hydraulic turbine systems, but in some cases, more advanced control methods may be required. The network under study is modeled in the Simulink environment of MATLAB software. The results obtained from the implementation of various scenarios confirm the correct performance of the proposed algorithm. The optimized PID controller can tolerate a wider range of variations in system parameters. While the non-optimized PID controller may operate without overshoot at Tw=3 (hydraulic turbine time constant), the optimized controller stabilizes the system without overshoot up to Tw=5.

منابع و مأخذ:

[1] Q. P. Ha and H. Trinh, “A variable structure-based controller with fuzzy tuning for load-frequency control,” International Journal of Power and Energy Systems, vol. 20, no. 3, 2000, Accessed: Mar. 27, 2025. [Online]. Available: https://researchonline.jcu.edu.au/12891/
[2] S. Pothiya, I. Ngamroo, S. Runggeratigul, and P. Tantaswadi, “Design of optimal fuzzy logic based PI controller using multiple tabu search algorithm for load frequency control,” Int J Control Autom Syst, vol. 4, no. 2, 2006, Accessed: Mar. 27, 2025. [Online]. Available: https://www.ijcas.org/journal/view.html?uid=368&vmd=Full
[3] S. Doolla and T. S. Bhatti, “Load frequency control of an isolated small-hydro power plant with reduced dump load,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 21, no. 4, 2006, doi: 10.1109/TPWRS.2006.881157.
[4] G. Shahgholian, S. Yazdekhasti, and P. Shafaghi, “Dynamic analysis and stability of the load frequency control in two area power system with steam turbine,” in 2009 International Conference on Computer and Electrical Engineering, ICCEE 2009, 2009. doi: 10.1109/ICCEE.2009.95.
[5] G. Shahgholian, P. Shafaghi, and H. Mahdavi-Nasab, “A comparative analysis and simulation of ALFC in single area power system for different turbines,” in ICECT 2010 - Proceedings of the 2010 2nd International Conference on Electronic Computer Technology, 2010. doi: 10.1109/ICECTECH.2010.5479992.
[6] W. Tan, “Unified tuning of PID load frequency controller for power systems via IMC,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 25, no. 1, 2010, doi: 10.1109/TPWRS.2009.2036463.
[7] K. Vrdoljak, N. Perić, and I. Petrović, “Sliding mode based load-frequency control in power systems,” Electric Power Systems Research, vol. 80, no. 5, 2010, doi: 10.1016/j.epsr.2009.10.026.
[8] M. Tushir and S. Srivastava, “Application of a hybrid controller in load frequency control of hydro-thermal power system,” in 2012 IEEE 5th Power India Conference, PICONF 2012, 2012. doi: 10.1109/PowerI.2012.6479477.
[9] A. Yazdizadeh, M. H. Ramezani, and E. Hamedrahmat, “Decentralized load frequency control using a new robust optimal MISO PID controller,” International Journal of Electrical Power and Energy Systems, vol. 35, no. 1, 2012, doi: 10.1016/j.ijepes.2011.09.007.
[10] K. P. S. Parmar, S. Majhi, and D. P. Kothari, “Load frequency control of a realistic power system with multi-source power generation,” International Journal of Electrical Power and Energy Systems, vol. 42, no. 1, 2012, doi: 10.1016/j.ijepes.2012.04.040.
[11] P. Bhatt, S. P. Ghoshal, and R. Roy, “Coordinated control of TCPS and SMES for frequency regulation of interconnected restructured power systems with dynamic participation from DFIG based wind farm,” Renew Energy, vol. 40, no. 1, 2012, doi: 10.1016/j.renene.2011.08.035.
[12] P. Bhatt, S. P. Ghoshal, and R. Roy, “Load frequency stabilization by coordinated control of thyristor controlled phase shifters and superconducting magnetic energy storage for three types of interconnected two-area power systems,” International Journal of Electrical Power and Energy Systems, vol. 32, no. 10, 2010, doi: 10.1016/j.ijepes.2010.06.009.
[13] Y. Mi, Y. Fu, C. Wang, and P. Wang, “Decentralized sliding mode load frequency control for multi-area power systems,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 28, no. 4, 2013, doi: 10.1109/TPWRS.2013.2277131.
[14] D. G. Padhan and S. Majhi, “A new control scheme for PID load frequency controller of single-area and multi-area power systems,” ISA Trans, vol. 52, no. 2, 2013, doi: 10.1016/j.isatra.2012.10.003.
[15] S. Sondhi and Y. V. Hote, “Fractional order PID controller for load frequency control,” Energy Convers Manag, vol. 85, 2014, doi: 10.1016/j.enconman.2014.05.091.
[16] M. Mahdavian, G. Shahgholian, M. Janghorbani, B. Soltani, and N. Wattanapongsakorn, “Load frequency control in power system with hydro turbine under various conditions,” in ECTI-CON 2015 - 2015 12th International Conference on Electrical Engineering/Electronics, Computer, Telecommunications and Information Technology, 2015. doi: 10.1109/ECTICon.2015.7206938.
[17] E. J. Oliveira, L. M. Honório, A. H. Anzai, L. W. Oliveira, and E. B. Costa, “Optimal transient droop compensator and PID tuning for load frequency control in hydro power systems,” International Journal of Electrical Power and Energy Systems, vol. 68, 2015, doi: 10.1016/j.ijepes.2014.12.071.
[18] M. Emadi, H. R. Massrur, E. Rokrok, and A. Samanfar, “A Comprehensive Framework for Optimal Stochastic Operating of Energy Hubs Integrated with Responsive Cooling, Thermal and Electrical Loads, and Ice Storage System by an Improved Self-Adaptive Slime Mold Optimization Algorithm,” Technovations of Electrical Engineering in Green Energy System, vol. 2, no. 1, pp. 77–95, 2023, doi: 10.30486/teeges.2022.1969195.1043.
[19] J. Zou, M. Pipattanasomporn, S. Rahman, and X. Lai, “A Frequency Regulation Framework for Hydro Plants to Mitigate Wind Penetration Challenges,” IEEE Trans Sustain Energy, vol. 7, no. 4, 2016, doi: 10.1109/TSTE.2016.2569560.
[20] S. V. Kamble and S. M. Akolkar, “Load frequency control of micro hydro power plant using fuzzy logic controller,” in IEEE International Conference on Power, Control, Signals and Instrumentation Engineering, ICPCSI 2017, 2018. doi: 10.1109/ICPCSI.2017.8392021.
[21] D. A. Pham, F. Nollet, N. Essounbouli, and A. Hamzaoui, “Voltage and Frequency Regulation for Wound Rotor Synchronous Generator in Micro Hydro Power Plants with Real-Time Implementation,” in Proceedings of 2017 International Renewable and Sustainable Energy Conference, IRSEC 2017, 2018. doi: 10.1109/IRSEC.2017.8477386.
[22] P. Khademi Astaneh and H. Sheikh Shahrokh Dehkordi, “Integrated Optimal Active and Reactive Power Planning in Smart Microgrids with Possibility of One-Hour Islanding,” Technovations of Electrical Engineering in Green Energy System, vol. 2, no. 2, pp. 36–50, 2023.
[23] S. Rozada, D. Apostolopoulou, and E. Alonso, “Deep multi-agent Reinforcement Learning for cost-efficient distributed load frequency control,” IET Energy Systems Integration, vol. 3, no. 3, 2021, doi: 10.1049/esi2.12030.
[24] F. Liang, W. Jiafu, and H. Bo, “Research on influence factors of primary frequency regulation contribution electric energy of hydropower unit,” in 2019 3rd IEEE Conference on Energy Internet and Energy System Integration: Ubiquitous Energy Network Connecting Everything, EI2 2019, 2019. doi: 10.1109/EI247390.2019.9061900.
[25] K. Nagode, I. Škrjanc, and B. Murovec, “Enhanced stability and failure avoidance of hydropower plant in contingent island operation by model predictive frequency control,” Energy Reports, vol. 8, 2022, doi: 10.1016/j.egyr.2022.07.040.
[26] D. A. Asoh, E. N. Mbinkar, and A. N. Moutlen, “Load Frequency Control of Small Hydropower Plants Using One-Input Fuzzy PI Controller with Linear and Non-Linear Plant Model,” Smart Grid and Renewable Energy, vol. 13, no. 01, 2022, doi: 10.4236/sgre.2022.131001.
[27] N. K. Jena, S. Sahoo, B. K. Sahu, J. Ranjan Nayak, and K. B. Mohanty, “Fuzzy adaptive selfish herd optimization based optimal sliding mode controller for frequency stability enhancement of a microgrid,” Engineering Science and Technology, an International Journal, vol. 33, 2022, doi: 10.1016/j.jestch.2021.10.003.
[28] R. Hasan, M. S. Masud, N. Haque, and M. R. Abdussami, “Frequency control of nuclear-renewable hybrid energy systems using optimal PID and FOPID controllers,” Heliyon, vol. 8, no. 11, 2022, doi: 10.1016/j.heliyon.2022.e11770.
[29] J. B. Ekanayake, N. Jenkins, and G. Strbac, “Frequency response from wind turbines,” Wind Engineering, vol. 32, no. 6, 2008, doi: 10.1260/030952408787548811.
[30] N. Kishor, S. P. Singh, and A. S. Raghuvanshi, “Dynamic simulations of hydro turbine and its state estimation based LQ control,” Energy Convers Manag, vol. 47, no. 18–19, 2006, doi: 10.1016/j.enconman.2006.03.020.
[31] S. S. Lee and J. K. Park, “Design of reduced-order observer-based variable structure power system stabiliser for unmeasurable state variables,” IEE Proceedings: Generation, Transmission and Distribution, vol. 145, no. 5, 1998, doi: 10.1049/ip-gtd:19982180.
[32] F. J. De Marco, N. Martins, and J. C. R. Ferraz, “An automatic method for power system stabilizers phase compensation design,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 28, no. 2, 2013, doi: 10.1109/TPWRS.2012.2209208.
[33] A. Arezooye Araghi, A. Ahmarinejad, M. Alizadeh, and M. Babaei, “Optimizing Energy and Ancillary Services Markets in Transmission and Distribution Networks Through a Two-Stage Optimal Framework Considering Flexible Loads, Electric Vehicles, and Storage Systems,” Technovations of Electrical Engineering in Green Energy System, vol. 2, no. 4, pp. 38–64, 2024, doi: 10.30486/teeges.2023.1986699.1074.

متن کامل:



 

Technovations of Electrical Engineering in Green Energy System

Research Article                                                                         (2026) 5(2):53-71

 

Optimization of PID Controller for Load-Frequency Control in Power System with Hydro-Turbine and Transient Drop Compensator
Using Hybrid PSO-NM Algorithm

 

Ahmad Baghban1, MSc, Seyed Arman Shirmardi1, Assistant Professor, Mahyar Abasi2,3, Assistant Professor

 

1Department of Electrical Engineering, Karoon Institute of Higher Education, Ahvaz, Iran

2Department of Electrical Engineering, Faculty of Engineering, Arak University, Arak, Iran

3Research Institute of Renewable Energy, Arak University, Arak, Iran

 

Abstract:

This paper presents a novel algorithm for load control of a hydraulic turbine connected to an infinite bus with transient droop compensator. The proposed method utilizes PID control and a hybrid particle swarm optimization algorithm. The considered PID controller can tolerate a wide range of variations in system parameters and stabilize the system without significant overshoots and oscillations. The optimized PID controller has lower overshoot and settling time compared to the non-optimized PID controller. The PID controller also reduces ripple and fluctuations in output power, making it a valuable tool for frequency and power control of hydraulic turbine systems. Overall, the results show that the optimized PID controller can effectively control the frequency and power of hydraulic turbine systems, but in some cases, more advanced control methods may be required. The network under study is modeled in the Simulink environment of MATLAB software. The results obtained from the implementation of various scenarios confirm the correct performance of the proposed algorithm. The optimized PID controller can tolerate a wider range of variations in system parameters. While the non-optimized PID controller may operate without overshoot at Tw=3 (hydraulic turbine time constant), the optimized controller stabilizes the system without overshoot up to Tw=5.

Keywords: Load-frequency control, Power system, PID controller, Small signal stability, Hydro-turbine.

 

2025 April 13 , Sunday

 

Received: 11 November 2024

Revised: 13 April 2025

Accepted: 28 April 2025

Corresponding Author: Dr. Mahyar Abasi, [e-mail]

DOI: https://doi.org/10.71691/teeges.2026.1190147

 

فناوری‏های نوین مهندسی برق در سیستم انرژی سبز

         ..مقاله پژوهشی...       

 

بهینه‌سازی کنترل‌کننده PID در جهت کنترل بار-فرکانس در سیستم قدرت مجهز به توربین آبی و جبران‌کننده افتی گذرا با استفاده از الگوریتم هیبریدی PSO-NM

احمد باغبان1، کارشناسی ارشد، سید آرمان شیرمردی1، استادیار، مهیار عباسی2و3، استادیار

1- گروه مهندسی برق، موسسه آموزش عالی کارون، اهواز، ایران

2- گروه مهندسی برق، دانشکده فنی و مهندسی ، دانشگاه اراک، اراک، ایران

3- پژوهشکده انرژی­های تجدید پذیر، دانشگاه اراک، اراک، ایران

 

چكيده: در این مقاله، یک الگوریتم جدید جهت کنترل بار یک توربین آبی متصل به شین بینهایت با جبران‌کننده افتی گذرا ارائه شده است. روش پیشنهادی در این مقاله از کنترل PID و الگوریتم ترکیبی ازدحام ذرات بهینه‌سازی بهره برده است. کنترل‌کننده PID در نظر گرفته شده، می‌تواند طیف وسیعی از تغییرات در پارامترهای سیستم را تحمل کرده و بدون اورشوت‌ها و نوسان‌های زیاد، سیستم را پایدار کند. کنترل‌کننده PID بهینه شده دارای اورشوت و زمان نشست کمتری نسبت به کنترل‌کننده PID غیر بهینه است. کنترل‌کننده PID همچنین ریپل و نوسانات توان خروجی را کاهش می‌دهد، که آن را به یک ابزار ارزشمند برای کنترل فرکانس و توان سیستم‌های توربین آبی تبدیل می‌کند در مجموع، نتایج نشان می‌دهد که کنترل‌کننده PID بهینه شده می‌تواند به طور موثری فرکانس و توان سیستم‌های توربین آبی را کنترل کند، اما در برخی موارد ممکن است نیاز به استفاده از روش‌های کنترلی پیشرفته‌تر باشد. شبکه تحت مطالعه در سیمولینک نرم افزار متلب مدلسازی شده است. نتایج حاصل از پیاده سازی سناریوهای مختلف، موید عملکرد صحیح الگوریتم پیشنهادی می‌باشد. کنترل‌کننده PID بهینه‌شده می‌تواند تغییرات گسترده‌تری در پارامترهای سیستم را تحمل کند. در حالی که کنترل‌کننده PID غیربهینه ممکن است در Tw=3 (ثابت‌زمانی توربین آبی) بدون اورشوت عمل کند، کنترل‌کننده بهینه تا Tw=5 بدون اورشوت سیستم را پایدار نگه می‌دارد.

 

 

واژه‌هاي كليدي: کنترل بار-فرکانس، سیستم قدرت، کنترل‌کننده PID، پایداری سیگنال کوچک، توربین آبی.

 

 

 

تاریخ ارسال مقاله: ۲۱/0۸/140۳

تاریخ بازنگری مقاله: ۲4/0۱/140۴

تاریخ پذیرش مقاله: 0۸/0۲/140۴

نویسنده­ی مسئول: دکتر مهیار عباسی، [e-mail]

DOI: https://doi.org/10.71691/teeges.2026.1190147

 

 

1-       مقدمه

1-1-       بیان مسئله

در سال‌های اخیر، با توجه به افزایش نفوذ منابع انرژی تجدیدپذیر و اتصال آنها به شبکه، پایداری سیستم‌های قدرت به چالش کشیده شده است. یکی از مهمترین مسائل در این زمینه، کنترل فرکانس بار (LFC)¹  است. LFC یک کنترل‌کننده خودکار است که برای حفظ تعادل توان واقعی و صفر کردن خطاهای حالت پایدار در یک سیستم قدرت چند ناحیه‌ای استفاده می‌شود. در مراجع موجود، روش‌های مختلفی برای کنترل فرکانس بار در سیستم‌های قدرت پیشنهاد شده است.

با افزایش منابع انرژی تجدیدپذیر متناوب مانند باد و خورشید، نوسانات در تولید توان افزایش یافته و حفظ تعادل فرکانس دشوارتر می‌شود. این نوسانات می‌توانند منجر به ناپایداری سیستم و حتی خاموشی شوند. کنترل فرکانس بار (LFC) نقش حیاتی در حفظ پایداری سیستم قدرت در برابر این نوسانات دارد. LFC با تنظیم خروجی ژنراتورها، تعادل بین تولید و مصرف توان را حفظ می‌کند. این کنترل‌کننده با استفاده از الگوریتم‌های مختلف، تغییرات بار و تولید را تشخیص داده و به سرعت به آنها پاسخ می‌دهد.

روش‌های مختلفی برای طراحی کنترل‌کننده‌های LFC وجود دارد، از جمله روش‌های کلاسیک مانند کنترل PID و روش‌های پیشرفته‌تر مانند کنترل تطبیقی و کنترل مقاوم. انتخاب روش مناسب به عوامل مختلفی مانند پیچیدگی سیستم، نوع منابع انرژی تجدیدپذیر و الزامات عملکردی بستگی دارد. تحقیقات در زمینه LFC به منظور بهبود عملکرد و پایداری سیستم‌های قدرت در حضور منابع انرژی تجدیدپذیر ادامه دارد كه در بخش بعدي به برخي از مهم‌ترين آن‌ها خواهيم پرداخت.

1-2-       مرور پژوهش‌های پیشین

در مرجع [1]، روشی مبتنی بر ساختار متغیر برای حل مساله کنترل فرکانس-بار در سیستم‌های تولید برق قدرت ارائه شده است. این روش، ویژگی‌های هر دو ساختار متغیر و سیستم‌های فازی را برای دستیابی به عملکرد و استحکام بالا ترکیب می‌کند. در پژوهشی دیگر [2]، یک روش جدید برای بهینه‌سازی یک کنترلر فرکانس-بار تناسبی مبتنی بر منطق فازی (FLPI)² با استفاده از الگوریتم جستجوی تابو چندگانه مورد بررسی قرار گرفته است. این روش، توابع عضویت و قوانین کنترل را به صورت همزمان تنظیم می‌کند تا عملکرد و استحکام سیستم را بهبود بخشد. مرجع [3]، یک روش جدید برای کنترل فرکانس بار یک نیروگاه آبی کوچک مجزا ارائه کرده است. این روش، با کنترل توان ورودی نیروگاه آبی و استفاده از کنترل‌های روشن/خاموش، اندازه بار تخلیه را کاهش می‌دهد و هزینه تخلیه را به میزان قابل توجهی کمتر از شیرهای آب می‌کند. همچنین در پژوهشی دیگر، مدلسازی، تحلیل و شبیه‌سازی کنترل فرکانس-بار در دو سیستم قدرت و تغییرات پارامترها مورد بررسی قرار گرفته و همچنین معادلات حالت یک LFC در سیستم توان دو ناحیه‌ای برای توربین بخار ارائه شده است [4]. در مرجع [5]، نقش اساسی کنترل فرکانس-بار خودکار (ALFC)³ در کنترل توان و فرکانس واقعی مورد بحث قرار گرفته است. معادلات حالت سیستم برای توربین بخار (با گرمکن مجدد و بدون گرمکن مجدد) و توربین‌های آبی⁴ (با جبرانساز و بدون جبرانساز) ارائه شده است. در [6] نیز یک روش تنظیم PID ⁵ یکپارچه برای کنترل فرکانس-بار سیستم‌های قدرت مورد بحث قرار گرفته است. این روش، بر اساس روش طراحی مدل داخلی دو درجه آزادی (TDF)⁶ و روش تقریب PID است. مرجع [7] نیز یک روش طراحی کنترل‌کننده بار-فرکانس مد لغزشی گسسته برای سیستم قدرت ارائه کرده است. این کنترل‌کننده، برای هر دو سیستم قدرت با نیروگاه آبی و حرارتی طراحی شده است و با استفاده از بازخورد حالت کامل، تمام حالت‌های سیستم را اندازه گیری می‌کند. مطالعه [8]، یک روش حل برای کنترل فرکانس-بار یک سیستم برق آبی-حرارتی متصل به هم با استفاده از یک کنترل‌کننده ترکیبی فازی-PID ارائه کرده است که با ترکیب یک کنترل‌کننده فازی نوع PID با یک کنترل‌کننده PID متداول، عملکرد و استحکام کنترل‌کننده را افزایش می‌دهد.

در مرجع [9]، یک کنترل‌کننده بهینه غیرمتمرکز مبتنی بر مقادیر ویژه ماتریس مشخصه و روش لیاپانوف به عنوان یک روش مناسب برای مساله کنترل فرکانس-بار پیشنهاد شده است. همچنین در مطالعه دیگری، یک روش طراحی کنترل‌کننده فیدبک خروجی بهینه برای LFC یک سیستم قدرت واقعی پیشنهاد شده است که عملکرد کنترل‌کننده را بر روی سیستم قدرت چند منبعی نشان می‌دهد و تاثیر محدودیت‌های عملیاتی (GRC) بر پاسخ انحراف فرکانس را مورد بحث قرار می‌دهد [10]. مرجع [11]، مشارکت پویا DFIG ⁷برای کنترل فرکانس یک سیستم قدرت دو ناحیه‌ای متصلی به هم در بازار برق رقابتی تجدید ساختار یافته مورد بررسی قرار داده است. در این مقاله، یک تابع پشتیبانی کنترل فرکانس که متناسب با انحراف فرکانس پاسخ می‌دهد، پیشنهاد شده است تا انرژی جنبشی توربین بادی را برای بهبود پاسخ فرکانسی سیستم آزاد کند. همچنین در مطالعه ای دیگر ، کنترل تولید خودکار با سیستم برق آبی دو واحدی متصل به هم و دو سیستم دیگر به عنوان ترکیبی حرارتی و حرارتی مورد بررسی قرار گرفته است. در این مقاله، عملکرد گذرای تطبیقی دو حالت به صورت تغییر فاز کنترل شده با تریستور در مسیر با خط اتصال در هماهنگی با ذخیره انرژی ابررسانا (SMES)⁸ مورد بررسی قرار گرفته است [12]. در پژوهشی دیگر [13]، یک کنترل‌کننده فرکانس-بار برای سیستم‌های قدرت متصل به هم چند ناحیه‌ای با عدم قطعیت تطبیق طراحی شده است. این کنترل‌کننده، با استفاده از روش قانون دست یابی، نوسانات فرکانس را پس از تغییر بار و نقطه عملیات به صفر همگرا می‌کند.

 مرجع [14]، یک ساختار کنترلی جدید با یک روش تنظیم برای طراحی کنترل‌کننده فرکانس-بار PID برای سیستم‌های قدرت ارائه کرده است. در این مقاله، کنترل‌کننده برای سیستم قدرت تک ناحیه‌ای طراحی شده است و سپس به حالت چند ناحیه‌ای تعمیم داده می‌شود. مرجع [15]، نشان می‌دهد که با افزایش تقاضای انرژی الکتریکی، نیاز زیادی به داشتن یک سیستم LFC کارآمد وجود دارد که می‌تواند عدم قطعیت پارامتر سیستم را کنترل کند. در این مقاله، کنترل فرکانس-بار نقش بسیار مهمی در تامین توان کیفیت در سیستم‌های قدرت ایزوله و متصل به هم دارد. مقاله [16]، پایداری سیگنال کوچک کنترل بار-فرکانس با توربین آبی توصیف شده است. در این مقاله، تاثیر تغییرات پارامتر بر رفتار دینامیکی سیستم قدرت بررسی شده است. در مطالعه‌ای دیگر [17]، یک روش بهینه برای تنظیم کنترل‌کننده تناسبی، انتگرالی و مشتق PID برای یک توربین هیدرولیکی کوپل شده با تصحیح افت گذرای متناظر ارائه شده است. همچنین پژوهشی دیگر، یک مدل ساده و در عین حال دقیق از تابع تبدیل یک واحد نیروگاهی برق آبی ارائه کرده است. در این مقاله، فرم یکپارچه ای از تابع تبدیل کل سیستم قدرت شامل تعداد نامحدودی واحدهای نیروگاهی برق آبی و حرارتی ارائه شده است [18]. مرجع نیز  [19]، یک طراحی کنترل مقاوم برای ژنراتورهای برق با قابلیت تفکیک پذیری بالا در سیستم‌های قدرت ارائه کرده است. در این مقاله، یک چارچوب طراحی کنترل مقاوم مبتنی بر ∞H برای ژنراتورهای آبی جهت کاهش انحرافات فرکانسی ایجاد شده است. در مرجع [20]، ذکر شده است که نیروگاه‌های برق آبی خرد معمولاً بر روی کوه‌ها ساخته می‌شوند تا برق مناطق روستایی را تامین کنند. در این مقاله، بررسی جامعی از کنترل فرکانس-بار در نیروگاه برق آبی کوچک انجام شده است. مطالعه [21]، پتانسیل بالای توان آبی خرد برای فرصت‌های خارج از شبکه در ویتنام را نشان می‌دهد. مرجع [22] نیز، یک روش مبتنی بر کنترل پیش بین مدل برای کنترل مقاوم فرکانس بار در یک ریزشبکه جزیره ای ارائه می‌دهد. در پژوهش [23]، طراحی یک کنترل‌کننده بهینه چند عاملی⁹ توزیع شده برای کنترل فرکانس-بار و اهداف بهینه جریان توان مورد بررسی قرار گرفته است. مرجع [23] نیز، نشان داده است که سهم اولیه تنظیم فرکانس انرژی الکتریکی (PFRCEE) یک شاخص مهم برای ارزیابی عملکرد واحدهای برق آبی است. در مرجع [24] نیز، اهداف افزایش پایداری نیروگاه‌های برق آبی در عملیات جزیره مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین در مطالعه‌ای دیگر ، یک روش هوشمند برای کنترل فرکانس-بار LFC نیروگاه‌های برق آبی کوچک (SHPs) ارائه شده است [26, 25]. مرجع [27] به بررسی کنترل فرکانس-بار در نیروگاه‌های برق‌آبی کوچک می‌پردازد و کنترل‌کننده‌ای مبتنی بر منطق فازی ارائه می‌دهد. مرجع [28] نیز، به بررسی کاربردهای کنترل‌کننده‌های تناسبی-انتگرالی-مشتق PID و مرتبه کسری PID، FOPID در سیستم‌های انرژی هیبریدی انرژی هسته ای-تجدیدپذیر پرداخته است.

1-3-       چالش‌ها و ضرورت تحقیق

با توجه به مراجع مرور شده، نواقص کلی مراجع به شرح زیر است:

تنوع محدود در نوع کنترل‌کننده‌ها: بسیاری از مراجع بر روی کنترل‌کننده‌های خاص مانند PID، فازی یا مد لغزشی تمرکز کرده‌اند و تنوع کافی در بررسی روش‌های کنترلی مختلف وجود ندارد.

عدم توجه کافی به منابع انرژی تجدیدپذیر: با وجود افزایش نفوذ منابع انرژی تجدیدپذیر، برخی از مراجع به طور کامل اثرات آنها را در کنترل فرکانس-بار در نظر نگرفته‌اند.

ساده‌سازی بیش از حد مدل‌ها: برخی از مراجع از مدل‌های ساده شده برای سیستم‌های قدرت استفاده کرده‌اند که ممکن است دقت نتایج را کاهش دهد.

عدم بررسی کافی اثرات تغییر پارامترها: تغییر پارامترهای سیستم می‌تواند تاثیر قابل توجهی بر عملکرد کنترل‌کننده داشته باشد، اما برخی از مراجع این موضوع را به طور کامل بررسی نکرده‌اند.

محدودیت در سیستم‌های مورد مطالعه: برخی از مقالات فقط به بررسی سیستم‌های تک ناحیه‌ای پرداخته اند و قابلیت تعمیم سیستم های چند ناحیه‌ای را بررسی نکرده‌اند.

1-4-       سهم تحقیقاتی و نوآوری‌ها

کمبود بررسی اثرات جبران‌کننده‌های افتی گذرا: در برخی مراجع اثرات جبران کننده های افتی گذرا به صورت کامل بررسی نشده است.

در این مقاله، روش‌های مختلف کنترل بار-فرکانس در سیستم‌های قدرت مورد بررسی قرار گرفته است. مشخص شد که هر روش دارای مزایا و معایبی است، بنابراین کنترل‌کننده PID به عنوان یک راه حل پیشنهادی معرفی شده است. کنترل‌کننده PID با اضافه کردن یک صفر در مبدأ تابع انتقال، بدون توجه به مقادیر پارامترهای آن، خطای دائمی فرکانس را به صفر نزدیک می‌کند. این مقاله همچنین به بررسی پایداری سیگنال کوچک در سیستم کنترل بار-فرکانس با توربین آبی می پردازد و نشان می‌دهد که چگونه تغییر پارامترهایی مانند ثابت اینرسی، زمان شروع آب و ثابت تنظیم سرعت بر رفتار دینامیکی سیستم تأثیر می گذارد. علاوه بر این، استفاده از جبران‌کننده افتی گذرا در پاسخ توربین آبی با آنالیز مقادیر ویژه و شبیه‌سازی رفتار دینامیکی سیستم قدرت مورد بحث قرار گرفته است. در نهایت، کنترل‌کننده PID برای کنترل بار-فرکانس نیروگاه برق آبی طراحی شده و تأثیر تغییر بهره‌های کنترل‌کننده بر سیستم مورد بررسی قرار می گیرد.

1-5-       بخش‌بندی مقاله

در ادامه در بخش 2 به مدلسازی نیروگاه برق‌آبی و روش فرا ابتکاری مورد استفاده پرداخته می‌شود، در بخش 3 به شبیه‌سازی و تحلیل نتایج و در بخش 4 نتیجه‌گیری کلی مقاله بیان می‌شود.

2-       مدلسازی نیروگاه برق آبی

در یک سیستم قدرت، حفظ فرکانس پایدار برای عملکرد صحیح و کارآمد ضروری است. فرکانس باید در محدوده قابل قبولی حفظ شود تا از تلاش کل ظرفیت تولید برای متعادل کردن بار کلی جلوگیری شود. با این حال، تغییرات پویا در تولید و تقاضا ممکن است منجر به عدم تعادل موقت بین کل تولید و تقاضا شود، که انحراف فرکانس را ایجاد می‌کند. اگر انحراف فرکانس از آستانه خاصی عبور کند، می‌تواند بر عملکرد، قابلیت اطمینان¹⁰، کارایی و امنیت سیستم قدرت تأثیر بگذارد. کنترل فرکانس ثانویه، مرحله دوم بازیابی فرکانس در یک سیستم قدرت است که از ظرفیت ذخیره چرخشی و غیرچرخشی برای متعادل کردن بار و فرکانس سیستم استفاده می‌کند. اهداف اصلی کنترل فرکانس عبارتند از: صفر کردن انحراف فرکانس، حداقل کردن بالا زدگی و زمان نشست انحرافات فرکانس و توان خطوط بین ناحیه‌ای، و حفظ تعادل بین توان تولیدی و مصرفی. ابزارهای حفظ فرکانس شامل واحدها و نیروگاه‌های ذخیره‌ای، کاهش ولتاژ، حذف بار و کنترل‌کننده‌های فرکانس است. هدف از کنترل فرکانس، حفظ سنکرونیسم ژنراتورها و تعادل توان در سیستم است، و انحراف فرکانس سیستم نباید از 1% مقدار نامی آن بیشتر شود. در شکل (1) مراحل مختلف کنترل فرکانس آورده شده است [29].

2-1-       مدل دینامیکی توربین

به طور خلاصه یک طرح ساده نیروگاه آبی در شکل (2) نشان‌داده شده ‌است. آب مخزن وارد تونل شده و قبل از رسیدن به ورودی توربین آبی از درون پنستاک جریان می‌یابد. سپس به درون محفظه لغزش جریان می‌یابد که به طور یکنواخت آن را در اطراف تیغه‌های دونده توزیع می‌کند. دونده روی یک شفت مشترک با ژنراتور الکتریکی سوار می‌شود. جریان آب به داخل توربین با استفاده از دریچه تنظیم می‌شود که توسط یک سرومیکانیسم هیدرولیکی روغن که توسط کنترلر کنترل می‌شود باز و بسته می‌شود. کنترلر هر زمان که یک عدم تطابق بین گشتاور توسعه‌یافته و تقاضای الکتریکی روی مولد وجود دارد، عمل می‌کند [30]. برای یک تغییر کوچک حول یک نقطه عملیاتی، معادله خطی شده توربین با استفاده از تقریب سری تیلور را می‌توان به شکل رابطه (1) نشان داد [30]:

 

جدول (1): واژه نامه

شرح	متغیر	شرح	متغیر
جریان برحسب فرکانس مختلط	Zp	تغییر موقعیت دریچه	Δq
هد افزایشی	Te	تغییرات توان مکانیکی	Δpm
تلفات اصطکاک هیدرولیکی	F	تغییر ارتفاع	Δh
تغییرات موقعیت پره راهنما	ΔG	تغییرات زاویه	Δz
ثابت زمانی توربین آبی	Tw	تغییرات سرعت آب	Δw
زمان طولانی بازنشانی میراکننده مکانیکی	TR	ارتفاع	h
تغییرات میزان باز شدگی دریچه آب	ΔXG	مقادیر ثابت نرمالیزه شده	T1-T7
تغییرات خروجی گاورنر آبی بدون جبران‌کننده	ΔPG	شیب موقتی افتی	RT
زمان شروع مکانیکی	TM	ثابت‌های توربین	aij
پارامترهاي سیستم و نقطه کار ماشین	K1-K6	تغییرات طول پنستاک	ΔH
ضریب گاورنر	KG	تغییرات دبی	ΔQ
تغییرات مرجع بار	ΔPR	خروجی گاورنر آبی بدون جبران‌کننده	PG
نسبت تغییرات فرکانس به تغییرات توان مبنا	HPR(s)	تغییرات بار	ΔPD
تابعی از بهره‌ها و ثابت زمانی‌های سیستم	KC	تغییرات بار مصرفی	HFD(s)
ضریب کنترلر انتگرالی	KI	ضریب کنترلر تناسبی	KP
تغییرات سرعت رتور	∆ωr	ضریب کنترلر مشتق گیر	KD
ممان اینرسی ماشین سنکرون	JM	تغییرات زاویه روتور	∆δ
توابع انتقال جرم چرخان و بار	GM(s)	تابع انتقال توربین	GT(s)
تابع انتقال گاورنر	GG(s)	تابع انتقال جبران کننده	GC(s)
ثابت زمانی گذرای مدار باز	Ṫdo	ولتاژ تحریک دیده شده از آرمیچر	EF
زاویه گشتاور	δ	گشتاور مکانیکی	PM
سرعت رتور	ωr	سرعت زاویه ای مبنا	ωb

 

 

شکل (1): نمودار مراتب کنترل فرکانس بر حسب زمان

 

شکل (2): مدل دینامیکی توربین آبی.

 

در جدول (1)، فهرست علائم شرح داده شده است.

aij (i=1,2;j=1,2,3) ثابت‌های توربین مشتقات جزئی جریان و گشتاور با توجه به سر، پره راهنما و سرعت توربین هستند. ضرایب aij به بار توربین بستگی دارد و ممکن است از ویژگی‌های توربین در یک نقطه عملیاتی ارزیابی شود. مقادیر آنها برای تغییر در نزدیکی نقطه عملیاتی نامی توربین ثابت می ماند. این مقادیر باید به دقت اندازه‌گیری شوند یا از تست‌های مدل توربین گرفته شوند.

پنستاک را می‌توان به صورت یک خط انتقال هیدرولیکی که توسط مدار باز در توربین و یک مدار اتصال کوتاه در مخزن به پایان می‌رسد، نشان داد. در اینجا در این پژوهش اثر تونل و مخزن موجی برای بحث در نظر گرفته نشده است. تابع انتقال پنستاک مربوط به هد افزایشی و جریان برحسب فرکانس مختلط را می‌توان به صورت رابطه (2) نوشت [30]:

(1)

این رابطه تنها به طول پنستاک بستگی دارد و مستقل از ویژگی‌های توربین است.

یک معادله تابع تبدیل غیرمنطقی (3) از توربین-پنستاک با اثر ستون آب الاستیک، که از معادلات (1) و (2) مشتق شده است، نسبت گشتاور افزایشی را به تغییرات موقعیت پره راهنما به صورت رابطه (3) مرتبط می‌کند [30]:

(2)

با فرض مدل ایده‌آل و نادیده گرفتن تلفات اصطکاک هیدرولیکی، معادله (3) را می‌توان به‌صورت (4) خلاصه نمود [30]:

(3)

معادله (3) یک مدل پارامتری توزیع‌شده توربین را نشان می‌دهد. با فرض  یک تابع انتقال مرتبه اول خطی شده از معادله (4) را می‌توان به‌ صورت رابطه (5) بیان کرد [30]:

(4)

که در آن Tw ثابت زمانی توربین آبی با بار تغییر می‌کند و در بار کامل بین 5/0 تا 5 ثانیه است و با سرعت آب در حالت ماندگار و طول کانال رابطه مستقیم و با ارتفاع آب در محل دریچه در حالت ماندگار و شتاب ناشی از نیروی کشش زمین رابطه معکوس دارد. تابع تبدیل توربین یک صفر در سمت راست و یک قطب در سمت چپ محور موهومی دارد و توربین یک سیستم ناکمینه فاز است. به علت وجود صفر در سمت راست محور موهومی، پاسخ فرکانسی سیستم تأخیر فاز بیشتری دارد و کنترل این نوع سامانه‌ها مشکل است [3].

2-2-       مدل دینامیکی جبران‌کننده

زمانی که دریچه آب براي جبران افزایش بار باز میشود، در ابتدا با کاهش فشار توربین، تغییر اولیه کوتاه مدتی در توربین به وجود می‌آید که خلاف جهت تغییر موقعیت دریچه است. ولی با شتاب گرفتن آب و افزایش سرعت آن در لوله هدایت آب، فشار آب افزایش می‌یابد و باعث افزایش توان تولیدي ژنراتور و نهایتاً توازن توان اکتیو می‌گردد. بنابراین گاورنرهاي توربین آبی باید داراي افت گذراي زیادي باشند و براي عملکرد مطلوب و پایدار کنترل سرعت، گاورنر واحد برق آبی نیاز به جبران ساز گذراي افتی دارد. در گاورنر نیروگاه برق آبی براي مقابله با اثرات اینرسی آب در مسیر شیبدار پنستاك در حالت گذرا علاوه بر حلقۀ مشخصۀ افتی دائم یک حلقه دروپ موقت وجود دارد که با اثر غیر کمینه فازی مقابله می‌کند. دروپ موقت شامل یک بهره همراه با مشتق گیر ثابت زمانی است. تابع انتقال جبران‌کننده افتی گذرا عبارت است از معادله (6) [11]:

(5)

که در (6)  ΔPGتغییرات خروجی گاورنر آبی بدون جبران‌کننده و ΔXG تغییرات میزان باز شدگی دریچه آب است. TR زمان طولانی بازنشانی میراکننده مکانیکی است و مقدار آن بین 5/2 الی 25 تغییر پیدا می‌کند. پارامتر α نسبت شیب موقتی افتی (RT) به شیب دائمی افتی (Rp) است و هر دو به زمان عبور آب بستگی دارند. محدوده تغییرات آن‌ها به ترتیب 1-2/0 و 06/0-03/0 است مقدار بهینه TR و RT با استفاده از روابط (7) و (8) تعیین می‌شوند [11].

(6)

که در آن TM زمان شروع مکانیکی بوده و محدوده تغییر آن بین 6 تا 12 است.

2-3-       معادلاتت سیستم حلقه باز

شکل (3) بلوك دیاگرام خطی یک سیستم قدرت تک ماشینه متصل به شین بی نهایت شامل تنظیم‌کننده ولتاژ، توربین، گاورنر و ماشین سنکرون را براي مطالعه پایداري سیگنال کوچک نشان می‌دهد.

 

شکل (3): بلوك دیاگرام خطی یک سیستم قدرت تک ماشینه متصل به شین بی نهایت

 

شکل (4): نمودار بلوکی یک واحد تولید با توربین آبی با کنترل‌کننده PID ¹¹

ثابت‌های  K1 الی K6 به پارامترهاي سیستم و نقطه کار ماشین سنکرون وابسته هستند. پارامتر‌های K1  و K2 از گشتاور الکتریکی تولید شده ژنراتور، پارامتر‌های K3 و K4 از معادله ولتاژ تحریک و پارامترهای K5 و K6  از معادله ولتاژ ترمینال ژنراتور تعیین می‌شوند [31]. توابع انتقال جرم چرخان و بار، گاورنر، جبران‌کننده و توربین به ترتیب  GM(s)، GG(s) ، GC(s) ،GT(s) هستند. Ṫdo ثابت زمانی گذرای مدار باز، EF ولتاژ تحریک دیده شده از آرمیچر، δ زاویه گشتاور، PM گشتاور مکانیکی، ωr سرعت رتور و ωb سرعت زاویه ای مبنا هستند. تابع انتقال حلقه الکتریکی نسبت تغییرات گشتاور الکتریکی در اثر ولتاژ گذرای محور عرضی (Éq) به تغییرات سیگنال ولتاژ مرجع یا سیگنال خروجی کنترل‌کننده تکمیلی را نشان می‌دهد [32]. با در نظر گرفتن مدل مرتبه سوم برای ماشین سنکرون و سیستم تحریک مرتبه اول نوع IEEE-DCI با بهره KA و ثابت زمانی TA ، معادلات خطی شده عبارتند از روابط (9) الی (12) [4]:

(7)
(8)

که در آن JM ممان اینرسی ماشین سنکرون و KD ضریب اصطکاک یا ضریب گشتاور میرا کننده هستند.

شکل 4 نمودار بلوکی یک واحد تولید با توربین آبی با کنترل‌کننده PID را نشان می‌دهد که در آن گاورنر دارای جبرانساز گذرای افتی است و ΔPD تغییرات بار و ΔPR تغییرات مرجع بار است. سیستم قدرت بدون جبران‌کننده، مرتبه سوم و سیستم قدرت با جبران‌کننده مرتبه چهارم هستند. با انتخاب متغیرهای حالت به صورت X1=Δf ، X2=ΔPM ، X3=ΔXG ، X4=ΔPG ، و دو ورودی U1=ΔPD و U2=ΔPR معادله دیفرانسیل متغیرهای حالت عبارت اند از روابط (13) الی (16):

(9)
(10)
(11)
(12)

که در آن KG و TG به ترتیب بهره و ثابت زمانی گاورنر هستند. سیستم حلقه باز مجهز به جبران‌کننده دارای چهار مقدار ویژه است و معادله مشخصه سیستم را می‌توان بصورت رابطه (17) در نظر گرفت[5]:

(13)
(14)
(15)
(16)

که در آن ضرایب چند جمله‌ای P0 - P3 به پارامترهای سیستم وابسته هستند و به صورت روابط (18) تا (21) بیان می‌شوند:

(17)

ضرایب P0 و P3 همیشه مثبت و ضرایب P1 و P2 می‌توانند منفی باشند. شرط لازم برای پایداری، مثبت بودن ضریب P1 و P2 است. با توجه به محدوده تغییرات TW ، ضریب P1 همیشه مثبت خواهد بود.

با توجه به بلوك دیاگرام مستقل واحد تولید با توربین آبی بدون کنترل‌کننده، تغییرات فرکانس بر اساس دو ورودي عبارت است از رابطه (22): 

(18)
(19)
(20)
(21)

که در آن HPR(s) و HFD(s) به ترتیب نسبت تغییرات فرکانس به تغییرات توان مبنا و تغییرات بار مصرفی است. تابع انتقال تغییرات فرکانس نسبت به تغییرات مرجع بار برای طراحی سیستم کنترل اهمیت دارد و برابر است با رابطه (23):

(22)

  که در آن ثابت KC تابعی از بهره‌ها و ثابت زمانی‌های سیستم است و برابر است با رابطه (24):

(23)

تابع انتقال مدار باز سیستم دارای دو صفر در  و  است. تابع انتقال تغییرات فرکانس نسب به تغییرات توان مرجع عبارت است از رابطه (35):

(24)

اگر تغییرات بار به صورت پله ای در ننظر گرفته شود، مقدار حالت دائمی تغییرات فرکانس مستقل از ثابت‌های زمانی TW و TG است و برابر است با رابطه (26):

(25)

تابع انتقال تغییرات فرکانس نسبت به تغییرات بار در سیستم حلقه بسته برابر است با رابطه (27):

(26)

که در آن GP(s) تابع انتقال کنترل‌کننده سه ترمی متناسب-  انتگرال گیر- مشتق گیر (PID) است. کنترل‌کننده PID یک صفر در مبدأ به تابع انتقال اضافه می‌کند. بنابراین بدون توجه به مقادیر پارامترهاي کنترل‌کننده PID خطاي دائمی فرکانس با اضافه شدن کنترل‌کننده به صفر میل می‌کند. با اضافه شدن کنترل‌کننده PID مقادیر ویژه حلقه بسته از رابطۀ (28) تعیین می‌شوند:

(27)

بنابراین معادله مشخصه حلقه بسته سیستم عبارت است از رابطه (29):

(28)

(29)

++ که در آن بهره متناسب، انتگرال گیر و مشتق گیر کنترل‌کننده PID به ترتیب KP ، KI ، KD است. بنابراین شرط لازم پایداري سیستم حلقه بسته با صرفنظر از بهره متناسب کنترل‌کننده عبارت است از رابطه (30): اگر بهره مشتق گیر کنترل‌کننده برابر صفر باشد، شرط لازم پایداري سیستم قدرت عبارت است از رابطه (31): (30)     2-4-       وزن دهی پارامترهای پاسخ خروجی به کمک الگوریتم هایبرید PSO-NM در الگوریتم PSO هر راه حل تنها یک پرنده در فضای جستجو است و عضو نامیده می‌شود. تمام پرندگان یک مقدار شایستگی دارند و با تابع شایستگی بهینه شده ارزیابی می‌شوند. علاوه براین، هر پرنده i ، یک موقعیت در فضای D بعدی مسئله دارد که در تکرار tام با یک بردار بصورت رابطه زیر نمایش داده می‌شود.  همچنین اين پرنده سرعتي دارد که پروازش را هدايت می‌کند و در تکرار tام با بردار رابطه (32) و (33) نشان داده می‌شود. (31)     و اين پرنده نیز در هر تکرار يک حافظه از بهترين موقعیت قبلي خودش را دارد که با بردارP در رابطه (34) تا (36) نشان داده می‌شود. [1]  Load Frequency Control [2]   Fuzzy Logic Proportional – Integral [3]   Automatic Load Frequency Control [4]  Hydro Turbine [5]  Proportional – Integral – Derivative [6]  Two Degree Free [7]   Doubly Feed Induction Generator [8]  Superconducting Magnetic Energy Storage [9]   Multi-agent Controller [10]   Reliability [11]  Proportional-Integral-Derivative (32)   (33)

---