زیرمشتقات جزئی مرتبه دوم توابع -تقریباً-منظم
محورهای موضوعی : آمار
سمیه نادی
1
(
دانشجوی دکتری، گروه ریاضی، دانشگاه صنعتی سهند، تبریز، ایران.
)
جواد وکیلی
2
(
استادیار، گروه ریاضی کاربردی، دانشگاه تبریز، تبریز، ایران.
)
کلید واژه: Prox-regular functions, Maximal monotone mapping, Partial second-order subdiffer, Coderivative, Variational analysis,
چکیده مقاله :
با اینکه توابع تقریباً-منظم در حالت کلی محدب نیستند، ولی خصوصیاتی را دارا هستند که انتظار می‌رود در توابع محدب و یا C2- پایینی یافت شود. کلاس توابع تقریباً-منظم، شامل توابع محدب، C2- پایینی، قویا متمایل و... است. این توابع در ابتدا روی فضاهای با بعد متناهی و با استفاده از زیرمشتق تقریبی تعریف شدند و سپس تعریف این توابع به روی فضاهای باناخ و هیلبرت گسترش داده شد. در این مقاله، توابع تقریباً-منظم پارامتری با استفاده از زیرمشتق حدی تعریف می‌‌شوند. همچنین به تعریف زیرمشقات جزئی مرتبه دوم توابع دو متغیره نسبت به متغییرهایشان با استفاده از هم‌مشتق نگاشت زیرمشتق مرتبه اول می‌پردازیم. سپس ارتباط بین یکنوایی ماکسیمال زیرمشتقات جزئی مرتبه اول این توابع با نیم‌معین مثبت بودن نگاشت هم‌مشتق زیرمشتق جزئی مرتبه اول بررسی می‌شود. سرانجام شرایط لازم و کافی برای محدب بودن توابع ∂-تقریباً-منظم برحسب نیم‌معین مثبت بودن نگاشت زیرمشتقات جزئی مرتبه دوم ارائه می‌دهیم.
Although prox-regular functions in general are nonconvex, they possess properties that one would expect to find in convex or lowerC2functions. The class of prox-regular functions covers all convex functions, lower C2functions and strongly amenable functions. At first, these functions have been identified in finite dimension using proximal subdifferential. Then, the definition of prox-regular functions have been developed in Banach and Hilbert spaces. In this paper, the parametric prox-regular functions are defined using limiting subdifferentials. Also, a partial second-order subdifferential is defined here for extended real valued functions of two variables corresponding to its variables through coderivatives of first-order partial subdifferential mappings. Then, relations between maximal monotonicity of the partial first-order subdifferentials of these functions and the positive-semidefiniteness of the coderivatives of partial first order subdifferential mapping are investigated. Finally, we present necessary and sufficient conditions for ∂ -prox-regular functions to be convex based on positive-semidefiniteness of the partial second-order subdifferentials mappings.