روشی جدید مبتنی بر الگوریتم های تکاملی و عددی برای حل معادلات لین-اِمدن
محورهای موضوعی : آنالیز عددی
سید رضا میرشفائی
1
,
هاشم صابری نجفی
2
,
اسماعیل خالقی
3
*
,
امیرحسین رفاهی شیخانی
4
1 - گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران
2 - گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران
3 - گروه مهندسی مکانیک، دانشکده مکانیک، دانشگاه گیلان، رشت، ایران
4 - گروه ریاضی، واحد لاهیجان، دانشگاه آزاد اسلامی، لاهیجان، ایران
کلید واژه: Numerical methods, Stellar structure, Genetic programming, Lane-Emden differential equations,
چکیده مقاله :
با پیشرفت کامپیوترها و توسعه صنعت تولید پردازنده ها، امروزه از الگوریتم های تکاملی نظیر شبکه های عصبی، الگوریتم ژنتیک و برنامه سازی ژنتیکی در حوزه های مختلف مهندسی استفاده می گردد. اما در حوزه ریاضیات کمتر از چنین روش هایی برای حل مسایل خاصی نظیر معادلات دیفرانسیل استفاده شده است. ایده موجود در این مطالعه ارائه روشی جدید و نوآورانه در حوزه ریاضیات کاربردی و اخترفیزیک است که مطابق با آن، بتوان روش های ریاضی را با روش های ابتکاری که پیش تر اکثراً در مسایل کاربردی و مهندسی از آن بهره گرفته می شد، تلفیق نموده و از آن برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم غیرخطی لین-امدن که برآمده از فیزیک اجرام آسمانی و توصیف کننده ساختار ستاره ای و تئوری کره های گازی پلی تروپیک است، استفاده نمود. در این راستا یک روش ترکیبی جدید (GPNLE) مبتنی بر برنامه سازی ژنتیکی و روش عددی رونگه-کوتا برای تولید مدل های ریاضی با دقتی مطلوب از جواب معادلات لین- امدن معرفی شده است. صحت کارایی و انعطاف پذیری این روش ترکیبی بر اساس آزمایش های عددی انجام شده روی دسته هایی خاص و پرکاربرد از این نوع از معادلات مورد بررسی و قیاس با یک روش قدرتمند بر پایه چندجمله ای های چبیشف، قرار گرفته و نتایج مطلوبی برای نشان دادن اهداف مقاله حاصل شده است.
Evolutionary algorithms such as neural networks, genetic algorithms, and genetic programming are used in various engineering fields with the advancement of computers and the development of the processor manufacturing industry. But in mathematics, fewer than such methods have been used to solve special problems such as differential equations. This study aims to present a new and innovative method in applied mathematics and astrophysics, according to which mathematical methods can be combined with evolutionary processes, and it can be used to solve Lane-Emden nonlinear second-order differential equations. In this study, a novel GPNLE method based on an evolutionary algorithm (including genetic programming) and combining it with a numerical method (Runge-Kutta) is presented to generate mathematical models with appropriate accuracy from the solution of the second-order nonlinear Lane-Emden differential equations arising from astronomy. The present method's accuracy, efficiency, and flexibility based on numerical experiments performed on these equations have been analyzed and compared with a powerful method based on Chebyshev polynomials. The obtained result confirms the efficiency and validity of the presented method.
1.Powell, C.S., J. Homer Lane and the internal structure of the Sun. Journal for the History of Astronomy, 1988. 19(3): p. 183-199.
2.Maciel, W.J., Introduction to stellar structure. 2015: Springer.
3.Chandrasekhar, S. and S. Chandrasekhar, An introduction to the study of stellar structure. Vol. 2. 1957: Courier Corporation.
4.Duggan, R. and A. Goodman, Pointwise bounds for a nonlinear heat conduction model of the human head. Bulletin of mathematical biology, 1986. 48(2): p. 229-236.
5.Reger, K. and R. Van Gorder, Lane-Emden equations of second kind modelling thermal explosion in infinite cylinder and sphere. Applied Mathematics and Mechanics, 2013. 34(12): p. 1439-1452.
6.Wazwaz, A.-M., Solving the non-isothermal reaction-diffusion model equations in a spherical catalyst by the variational iteration method. Chemical Physics Letters, 2017. 679: p. 132-136.
7.Horedt, G., Exact solutions of the Lane-Emden equation in N-dimensional space. Astronomy and Astrophysics, 1986. 160: p. 148-156.
8.Ramos, J., Series approach to the Lane–Emden equation and comparison with the homotopy perturbation method. Chaos, Solitons & Fractals, 2008. 38(2): p. 400-408.
9.Bender, C.M., et al., A new perturbative approach to nonlinear problems. Journal of mathematical Physics, 1989. 30(7): p. 1447-1455.
10.He, J.-H., Homotopy perturbation method: a new nonlinear analytical technique. Applied Mathematics and computation, 2003. 135(1): p. 73-79.
11.Singh, M. and A.K. Verma, An effective computational technique for a class of Lane–Emden equations. Journal of Mathematical Chemistry, 2016. 54(1): p. 231-251.
12.Van Gorder, R.A. and K. Vajravelu, Analytic and numerical solutions to the Lane–Emden equation. Physics Letters A, 2008. 372(39): p. 6060-6065.
13.He, J.-H., Variational iteration method–a kind of non-linear analytical technique: some examples. International journal of non-linear mechanics, 1999. 34(4): p. 699-708.
14.Wazwaz, A.-M., A new algorithm for solving differential equations of Lane–Emden type. Applied mathematics and computation, 2001. 118(2-3): p. 287-310.
15.Aydinlik, S. and A. Kiris, A high-order numerical method for solving nonlinear Lane-Emden type equations arising in astrophysics. Astrophysics and Space Science, 2018. 363(12): p. 1-12.
16.Bildik, N. and S. Deniz, Comparative study between optimal homotopy asymptotic method and perturbation-iteration technique for different types of nonlinear equations. Iranian Journal of Science and Technology, Transactions A: Science, 2018. 42(2): p. 647-654.
17.Bhrawy, A.H. and A.S. Alofi, A Jacobi–Gauss collocation method for solving nonlinear Lane–Emden type equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012. 17(1): p. 62-70.
18.Yang, C. and J. Hou, A numerical method for Lane-Emden equations using hybrid functions and the collocation method. Journal of Applied Mathematics, 2012. 2012.
19.Aminikhah, H. and S. Kazemi, On the numerical solution of singular Lane–Emden type equations using cubic B-spline approximation. International Journal of Applied and Computational Mathematics, 2017. 3(2): p. 703-712.
20.Pandey, R.K. and N. Kumar, Solution of Lane–Emden type equations using Bernstein operational matrix of differentiation. New Astronomy, 2012. 17(3): p. 303-308.
21.Balaji, S., A new Bernoulli wavelet operational matrix of derivative method for the solution of nonlinear singular Lane–Emden type equations arising in astrophysics. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2016. 11(5).
22.Singh, R., H. Garg, and V. Guleria, Haar wavelet collocation method for Lane–Emden equations with Dirichlet, Neumann and Neumann–Robin boundary conditions. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2019. 346: p. 150-161.
23.Banzhaf, W., Artificial intelligence: Genetic programming. International encyclopedia of the social & behavioral sciences, 2nd edn. Elsevier, Oxford, 2015: p. 41-45.
24.Koza, J.R., Genetic Programming, On the Programming of Computers by Means of Natural Selection. A Bradford Book. MIT Press, 1992.
25.Al-Hayani, W., L. Alzubaidy, and A. Entesar, Solutions of Singular IVP’s of Lane-Emden type by Homotopy analysis method with Genetic Algorithm. Applied Mathematics & Information Sciences, 2017. 11(2): p. 407-416.
26.Iba, H., Inference of differential equation models by genetic programming. Information Sciences, 2008. 178(23): p. 4453-4468.
27.Lobão, W.J., D.M. Dias, and M.A.C. Pacheco. Genetic programming and automatic differentiation algorithms applied to the solution of ordinary and partial differential equations. in 2016 IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC). 2016. IEEE.
28.Chauhan, V. and P.K. Srivastava, Computational techniques based on Runge-Kutta method of various order and type for solving differential equations. International Journal of Mathematical, Engineering and Management Sciences, 2019. 4(2): p. 375.
29.Bukhari, A.H., et al., Design of intelligent computing networks for nonlinear chaotic fractional Rossler system. Chaos, Solitons & Fractals, 2022. 157: p. 111985.
30.D’Ambrosio, R. and C. Scalone, Two-step Runge-Kutta methods for stochastic differential equations. Applied Mathematics and Computation, 2021. 403: p. 125930.
31.Jackson, D. Promoting phenotypic diversity in genetic programming. in International Conference on Parallel Problem Solving from Nature. 2010. Springer.
32.Zhang, F., et al., Genetic Programming for Production Scheduling. 2021: Springer.
33.Iba, H., Swarm Intelligence and Deep Evolution: Evolutionary Approach to Artificial Intelligence. 2022: CRC Press.
34.Jamali, A., et al., Modelling and prediction of complex non-linear processes by using Pareto multi-objective genetic programming. International Journal of Systems Science, 2016. 47(7): p. 1675-1688.
35.Iba, H., Y. Hasegawa, and T.K. Paul, Applied genetic programming and machine learning. 2009: cRc Press.
36.Banzhaf, W., et al., Genetic Programming Theory and Practice XVIII. 2022: Springer.
37.Lavinas, Y., et al. Experimental analysis of the tournament size on genetic algorithms. in 2018 IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics (SMC). 2018. IEEE.
38.Searson, D.P., GPTIPS 2: an open-source software platform for symbolic data mining, in Handbook of genetic programming applications. 2015, Springer. p. 551-573.
39.Deb, K., et al., A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II. IEEE transactions on evolutionary computation, 2002. 6(2): p. 182-197.
40.Hichar, S., et al., Application of nonlinear Bratu's equation in two and three dimensions to electrostatics. Reports on mathematical physics, 2015. 76(3): p. 283-290.
41.Kilic, M., et al., 11–12 Gyr old white dwarfs 30 pc away. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters, 2012. 423(1): p. L132-L136.
دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir
سال دهم، شماره چهل و هفتم، فروردین و اردیبهشت 1403
|
روشي جديد مبتنی بر الگوريتمهاي تكاملي و عددي براي حل معادلات لين-اِمدن
سیدرضا میرشفائی1، هاشم صابری نجفی1، اسماعیل خالقی*12، امیرحسین رفاهی شیخانی1
(1) گروه رياضي، واحد لاهيجان، دانشگاه آزاد اسلامي، لاهیجان، ايران.
(2) گروه مهندسي مكانيك، دانشکده مکانیک، دانشگاه گيلان، رشت، ايران.
تاريخ ارسال مقاله: 07/06/1401 تاريخ پذيرش مقاله: 23/08/1401
چکيده
با پیشرفت کامپیوترها و توسعه صنعت تولید پردازندهها، امروزه از الگوریتم‌های تکاملی نظیر شبکه‌های عصبی، الگوریتم ژنتیک و برنامهسازی ژنتیکی در حوزههای مختلف مهندسی استفاده میگردد. اما در حوزه ریاضیات کمتر از چنین روشهایی برای حل مسایل خاصی نظیر معادلات دیفرانسیل استفاده شده است. ایده موجود در این مطالعه ارائه روشی جدید و نوآورانه در حوزه ریاضیات کاربردی و اخترفیزیک است که مطابق با آن، بتوان روشهای ریاضی را با روشهای ابتکاری که پیشتر اکثراً در مسایل کاربردی و مهندسی از آن بهره گرفته میشد، تلفیق نموده و از آن برای حل معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم غيرخطي لين-امدن كه برآمده از فيزيك اجرام آسماني و توصیف‌کننده ساختار ستارهاي و تئوري كرههاي گازي پليتروپيك است، استفاده نمود. در این راستا يك روش ترکیبی جدید (GPNLE) مبتنی بر برنامهسازی ژنتیکی و روش عددي رونگه-کوتا براي توليد مدلهاي رياضي با دقتي مطلوب از جواب معادلات لین- امدن معرفی شده است. صحت كارايي و انعطافپذيري این روش ترکیبی بر اساس آزمايشهاي عددي انجام‌شده روي دستههایی خاص و پرکاربرد از اين نوع معادلات مورد بررسي و قياس با یک روش قدرتمند بر پایه چندجملهای‌های چبیشف، قرار گرفته و نتايج مطلوبي برای نشان دادن اهداف مقاله حاصل شده است.
واژه‌هاي کليدي: برنامهسازی ژنتیکی، روشهاي عددي، معادلات دیفرانسیل، ساختار ستارهای.
1- مقدمه
نخستين تلاش براي گردآوري يك نظريه منسجم درباره ساختار ستارهاي، تئوري كرههاي گازي پليتروپيك بود كه در سال ۱۸۶۹ توسط جاناتان هومر لين معرفي و سپس توسط دانشمنداني نظير آگوست ريتر، رابرت امدن و هنري نوريس راسل توسعه يافت. يك سال بعد، لين شكل بي‌بُعد معادله پواسون كه توزيع چگالي تعادلي را در كره گازي همدماي پليتروپيك خود-گرانشي توصيف ميكند، مطرح نمود و امدن آن را براي تعريف پلي‌تروپها در تعادل هيدرواستاتيكي بهبود بخشيد [1]. هدف از مطالعه ساختار ستارگان، تعيين تغييرات دروني خواص فيزيكي اصلي آنها، مانند فشار، چگالي و دما به عنوان تابعي از چند پارامتر ورودي مانند جرم كل و تركيب شيميايي است. براي دستيابي به اين هدف، لازم است فرآيندهاي فيزيكي اصلي رخ داده در ستارگان را كه بر خواص فيزيكي آنها تأثير ميگذارند بشناسيم، معادلات دقيقي كه اين فرآيندها را توصيف ميكنند، بهدست آوريم و در نهايت اين معادلات را حل كنيم تا تغييرات مورد نظر در ويژگيهاي فيزيكي آنها تعيين شود. اين فرآيند داراي پيچيدگيهاي مختلفي است [2][2, 3]. با اين حال مدلهاي سادهتري وجود دارند كه تحليل ساختار ستارهاي و حل معادلات ناشي از آنها را با استفاده از روشهاي تحليلي، تقريبي و عددي امكان پذير ميكنند. يك دسته خاص از اين مدلها مدل ستارههاي پليتروپيك يا كرههاي گازي خود-گرانشياند كه توسط معادلات دیفرانسیل غيرخطي مرتبه دوم لين-امدن با شاخصهاي مختلف پليتروپيكی بيان مي شوند [3]. اين معادلات در حالت كلي بهصورت رابطه (1) تعريف ميشود که در آن اختیار حالتهای خاصی از
انواع مختلفی از این معادلات را نتیجه میدهد. بهعنوان مثال با اختیار
و اعمال شرایط اولیه
، حالت استاندارد معادله لین-امدن پدید میآید که به ازای
دارای جواب تحلیلی و دقیق است. اين معادله پديده‌هاي مختلفي را در شاخههايي از فيزيك، شيمي و حتي بيولوژي مدلبندي ميكند [4-6].
روشهاي تقريبي نيمهتحليلي فراواني نظير روش گسترش سري و روشهاي مبتني بر سري‌هاي تواني [7, 8]، روشهاي بر پايه آشفتگي [9] و آناليز هموتوپي [10-12]، روش تكرار تغييراتي [6, 13] و روشهاي مبتني بر تجزيه آدوميان [14] براي حل معادله (1) بهكار ميروند كه در اين ميان روشهاي مبتني بر آناليز هموتوپي از لحاظ دقت و كارايي جايگاه ويژهاي دارند [15, 16]. همچنين پژوهشگران حوزه عددي نيز علاوه‌بر روشهاي كلاسيك مرسوم حل عددي معادلات ديفرانسيل نظير رونگه-كوتای مرتبه 4
كه جفت داده هاي ورودي-خروجي
از جواب معادله توليد ميكنند، روشهاي متنوع ديگري همانند روشهاي مبتني بر هممكاني [17, 18]، روشهاي اسپلاين محور [19]، روشهاي بر پايه ماتريس عملياتي [20]، روشهاي بر پايه موجك‌ها [21, 22] و یکی از قدرتمندترین روشهای ارائه شده تا کنون، روشی مبتني بر چندجملهاي چبيشف [15] را معرفي و توسعه دادهاند. از سوي ديگر، در دهه اخير با پيشرفت و گسترش رايانهها بهعنوان ابزارهاي قدرتمند محاسباتي و توسعه هوش مصنوعي بهويژه الگوريتمهاي تكاملي، سعي شده است از اين پتانسيل براي حل مسايل در حوزه‌هاي مختلف علوم و مهندسي استفاده شود. فرآيند مدلسازي رياضي با الگوريتمهاي تكاملي شامل توليد مدل، تفسير نتايج عددي و توسعه و كنترل خودكار الگوريتمها توسط رايانهها است [23]. برنامهسازی ژنتيكي يكي از كارآمدترين ابزارهاي هوش مصنوعي از الگوريتمهاي تكاملي است كه روشي سيستماتيك براي حل خودكار مسايل است بهعبارت ديگر در حل يك مسئله، هدف مورد انتظار داراي اهميت است، نه اينكه چه كاري توسط رايانه بهصورت متوالي و تكراري انجام شود. برنامهسازی ژنتيكي حالت توسعه‌یافته از الگوريتم ژنتيك است كه تفاوت اصلي بين آنها در نحوة پردازش و نمايش خروجیها است. برنامهسازی ژنتيكي، قطعه برنامههاي رايانهاي ايجاد ميكند، درحالي كه الگوريتم ژنتيك يك رشته از اعداد را بهعنوان جواب نمايش ميدهد. اين شيوه به وسيله هالند مطرح شد و سرانجام كوزا آن را عملياتي كرد [24]. در برنامهسازی ژنتيكي يك جمعيت اوليه از برنامههاي رايانهاي و يا مجموعهاي تصادفي از راهحلهاي مسئله ايجاد ميشود، در ادامه جمعيت جديد طي نسلهاي مختلف، بهطور تصادفي و با اميد به بهتر شدن تطابق هر نسل با خصوصيات مسئله ايجاد مي‌گردد، همچنين ميتوان اذعان نمود كه برنامهسازی ژنتيكي در بهدست آوردن راهحلهاي نو و غيرمنتظره براي مسايل بسيار موفق است [23]. در مطالعات تجربي اخير از برنامهسازی ژنتيكي بهصورت مجزا و تركيب آن با روشهايي مانند تفاضلات اتوماتيك و همچنين از الگوريتم ژنتيك براي حل معادلات ديفرانسيل استفاده شده است [25-27]. با اين حال تركيب برنامهسازی ژنتيكي با يك روش عددي كه از پايه و پيشينه رياضي قوياي پشتيباني ميشود، گزارش نشده است. برنامهسازی ژنتيكي داراي مشخصههايي مانند آموزش پذيري، قدرت پردازش و استقلال نسبي از كاربر است كه خاصيت آموزش پذيري آن به دليل پيروي از اصول مبتني بر نظريه تكامل داروين كمتر مورد توجه قرار گرفته است. طبق اين اصول، در ايجاد جمعيت آغازين ارجحيت با پيروي از احتمالات و تصادفات است لذا نظم اوليه اولويت چنداني ندارد. اما خاصيت آموزش پذيري نقش مهمي در نظم بخشيدن به فضاي جستجوي اوليه دارد. بنابراين هدف اساسي اين مقاله معرفي يك روش تركيبي جديد
و پیادهسازی آن در محيط برنامهنويسي متلب، جهت تعيين پتانسيل الگوريتم تكاملي ساخته شده به وسيله تركيب برنامهسازی ژنتيكي و يك روش عددي آموزش دهنده براي بهدست آوردن يك مدل رياضي با تقريب قابل قبول از راهحلهاي تحليلي معادلات لين-امدن است. برخلاف جوابهاي صرفاً عددي كه بهصورت رشتهاي از اعداد حاصل ميشوند، اين مدل رياضي تولید شده از جواب، اهميت بسزايي در پيشبيني و توصيف جوانب مختلف پديده مدلسازي شده توسط آن معادله ديفرانسيل را دارد. در بخشهاي بعدي به ترتيب، ساختار روش، معيارهاي سنجش كارايي روش و برآورد خطا، آزمايشهاي عددي و نتيجهگيري بيان خواهد شد.
2- ساختار روش GPNLE
ساختار كلي روش
براي حل معادلات لين-امدن بدينصورت است كه ابتدا مجموعهاي از روابط رياضي متشكل از تركيب تصادفي عملگرهاي محاسباتي، توابع رياضي، پايانهها (شامل اعداد تصادفي و متغيرهاي طراحي) بهعنوان جمعيت اوليه توليد و بهوسيله دادههاي ورودي-خروجي بهدست آمده از يك روش عددي كلاسيك حل معادلات ديفرانسيل تحت آموزش قرار ميگيرند. هر عضو در جامعه با استفاده از يك معيار تناسب كه بر اساس نوع مسئله تعيين شده است، ارزيابي ميشود و بسته به ميزان تناسب آن با هدف يا اهداف موردنظر، شاخص تناسب به آن نسبت داده شده سپس جمعيت جديدي از مدلها با استفاده از عملگرهاي ژنتیکی پيوند، جهش و بازتولید ایجاد ميشود. مدلهاي بهتر براي تشكيل نسل بعد انتخاب شده و سرانجام توليد نسلها تا رسيدن به تعدادي مشخص و يا برآورده شدن هدف ادامه مييابد. اين روش دو الگوريتم موازي را دنبال ميكند: الگوريتم اول مسئول اجراي روش عددي 
و توليد جفت دادههاي سازگار با جواب تقريبي معادله در نقاط گسسته شده براي آموزش عناصر موجود در جمعيت اوليه است و دومي مسئوليت اجراي برنامهسازی ژنتيكي را برعهده دارد. روش عددي يك شيوه متداول، انعطاف پذير و قابل اطمینان است و در عمده کاربردهای مهندسی جهت تقریب جواب معادلات مختلف دیفرانسیل مورد استفاده قرار میگیرد [28]. مطالعات اخير نشان داده كه جفت دادههاي توليد شده توسط آن داراي دقت بالا براي انواع پيچيده از معادلات ديفرانسيل نظير معادلات با منشاء آشوبي، معادلات تأخيري، معادلات از مرتبه كسري، معادلات تصادفي و علی‌الخصوص معادلات غيرخطي است [29, 30]. بنابراين ميتواند جفت دادههاي ورودي-خروجي قابل اعتمادي از جواب معادله لين-امدن را نیز توليد كند. از طرف ديگر، برنامهسازی ژنتيكي با ساختار درختي شناخته ميشود، جايي كه هر درخت تركيبي از ريشهها، گرهها و شاخ و برگ‌ها است. اين گرهها، ريشهها و برگهاي درخت از ترکیب عملگرهاي محاسباتي بهعلاوه اعضای مجموعه توابع اصلي رياضي
و پايانههای
تشکیل میشوند. بهعنوان مثال اگر مجموعه پایانه‌ها 
و توابع
فرض شود، آنگاه يك رابطه رياضي مستخرج يا یک كروموزوم از تركيب اين دو مجموعه بهصورت شکل 1 است. در حالت كلي، اگر قرار باشد مدلهای (کروموزومهای) تصادفی برای جواب یک معادله دیفرانسیل تولید شود، مجموعه ترمينالها و توابع را ميتوان با مطالعه ساختار مدلسازي رياضي اولیه یا همان منشاء پیدایش یک معادله ديفرانسيل حدس زد. بهعلاوه، بررسي رفتار يا تحليل نمودار جفت دادههاي توليد شده توسط روشتصوير تقريبي تابع جواب را از منظر خطي بودن، مثلثاتي بودن، نمايي بودن و موارد مشابه، ارائه ميدهد. اين دو استراتژي كمك فراواني در انتخاب هوشمندانه اعضای دو مجموعه
برای تولید اعضای جمعیت اولیه و حفظ تنوع در آن ميكند.
اين رويه با انتخاب يك پايه اوليه شروع ميشود و اضافه‌كردن يا تغيير عناصر پايه تكرار شده و تا رسيدن به نتيجه مطلوب ادامه مييابد. پس از تعيين مجموعه پايه، ايجاد جمعيت اوليه دردستور کار قرار میگیرد که برای ایجاد آن از ترکیبی از روشهای رشد و کامل بهنام روش 
استفاده میشود. اين كار با تعيين محدوديتهايي موجب ميشود تا اين اطمينان حاصل گردد كه درختان ايجاد شده اندازه (عمق) و شكلهاي متفاوتي داشته باشند یا بهعبارت دیگر تنوع ساختاری جمعیت حفظ شود [31]. بنا به نظر کوزا، بهعنوان یک اصل کلی، اندازه جمعیت را باید تا حد امکان بزرگ گرفت تا جایی که سیستم کامپیوتری بتواند بهخوبی و در مدتزمان معقول از عهده اجرای آن برآید که این تعداد می‌تواند از حداقل 500 به بالا باگام 500، متغیر باشد [24, 32, 33]. عمق درختان در نسل آغازین نیز بین 2 الی 6 پیشنهاد شده است [33, 34]. اكنون نوبت دادههاي ورودي-خروجي است كه به ايفاي نقش خود در آموزش دادن جمعيت اوليه بپردازد و ساختار جمعیتی در نسلهای آتی را به سمت سازگاری با خود میل دهد. برای این امر ابتدا معادله (1) بهصورت زیر بازنویسی میشود:
نخست با درنظرگرفتن عدد صحیح و مثبت
مقدار طول گام گسستهسازی توسط رابطه 
تعیین شده و خروجی بهصورت یک آرایه 
ذخیره میگردد. از جفت داده ایجاد شده، تعداد
جفت داده با شرط
، بهطور تصادفی انتخاب شده و برای آموزش مدلها در برنامهسازی ژنتیکی مورد استفاده قرار میگیرد. همچنین تعداد 
داده نیز برای آزمایش مدل نهایی مستخرج از ذخیره شده تا میزان تطابق این مدل با دادههایی از که در فرآیند آموزش جمعیت در طول نسلهای متوالی شرکت نداشتهاند، مشخص شود. روابط رياضي ايجاد شده در جمعيت اوليه كه باجفت دادههاي مشخص شده سازگاري بيشتري دارند، بهوسيله تابع برازش که میانگین مربعات خطا را به ازای هرعضو جمعیت میسنجد، تناسب سنجي و كدگذاري شده كه اين كار موجب ايجاد نظم نسبي در جمعيت اوليه ميشود. جمعیت کدگذاری‌شده بهوسیله یک روش مرسوم انتخاب به نام تورنومنت، بهطور تصادفی انتخاب میگردند تا فرآیندهای تکاملی و ژنتیکی نظیر پیوند، جهش و بازتولید روی آنها صورت پذیرد. تورنومنت تعيين ميكند كه كدام واحد جمعیتی بر ديگري برتري دارد بدون اينكه مشخص كند چه مقدار [35, 36]. از اين رو، شانس انتخاب شدن براي كل جمعيت بهطور خودكار و مؤثر ثابت ميماند. يكي از مزاياي قابل توجه تورنومنت اين است كه واحدهاي داراي رفتار نامناسب در نسلهاي اوليه، بلافاصله حذف نميشوند زيرا ممكن است ويژگي هاي مناسبي را در نسلهاي آتي از خود نشان دهند كه اين الگو از طبيعت مشتق شده است [36, 37]. در گام بعدی عملگرهاي پيوند، جهش و بازتولید بر جمعیت منتخب اعمال میشوند. پركاربردترين شكل پيوند، پيوند زيردرختي است [33, 34]. با فرض دو والد، عملگر پيوند زيردرختي بهطور تصادفي غيريكنواخت و بهگونهاي مستقل، يك نقطه پيوند (گره) را در هر يك از والدين انتخاب ميكند. سپس با جايگزين كردن يك كپي از زيردرختي كه از نقطه پيوند درخت اول حاصل شده با كپي زير درخت ديگري كه از نقطه پيوند درخت دوم به وجود آمده، درخت فرزند متولد ميشود. كپي‌ها براي حفظ درختان اصلي و حفظ تنوع در نسلهاي بعدي بهكار ميروند. چنانچه اين عمل چندين بار انجام شود، ميتواند منجر به ايجاد چندين فرزند گردد. كوزا با رويكرد انتخاب غيريكنواخت روشي را معرفي كرد كه با احتمال۹۰ درصد گرههاي حاوي تابع و در ۱۰ درصد باقيمانده گرههاي حاوي پايانهها يا همان برگ‌ها را بهعنوان نقطه پيوند انتخاب ميكند كه موجب مي شود سهم توابع در روابط رياضي توليد شده افزايش يابد. متداولترين نوع جهش كه در برنامه‌ريزي ژنتيكي بهكار گرفته ميشود، جهش زيردرختي است. در اين روش يك گره در درخت موردنظر به عنوان نقطه جهش انتخاب ميشود و زير درخت حاصل شده با يك زير درخت كه بهطور تصادفي از مجموعه جمعيت انتخاب شده جايگزين مي‌گردد. اين عمليات توسط پارامتري كنترل ميشود كه حداكثر اندازه درخت فرعي تازه متولد شده را تعيين ميكند. عملگر بازتولید نیز یک کپی از واحدهایی در جمعیت که برازش بهتری نسبت به بقیه اعضا دارند را وارد نسل بعد میکند. این عمل موجب میشود تا نخبگان جمعیت در طول نسلها حفظ شوند. سهم هر یک از این عملگرها به ترتیب 85 درصد برای پیوند، 10 درصد برای جهش و 5 درصد برای بازتولید پیشنهاد شده است [32, 38]. موارد مذكور تا هنگامي كه شرايط خاتمه (رسيدن به تعداد مشخصي از نسلها) برقرار شود و يا اهداف محقق گردد، ادامه مييابد [24, 26, 27, 32-35]. پس از اتمام عملیات ژنتیکی و تکرار این روند در نسلهای متوالی، در نسل آخر مجموعهای تکامل یافته از اعضا (مدلهای ریاضی) از جواب معادله دیفرانسیل در دسترس قرار دارد. در این مرحله چون هدف یافتن تنها یک جواب از بین کل جمعیت نسل آخر برای معادله دیفرانسیل است، از ساختار داخلی یک روش بهینهسازی براساس الگوریتم ژنتیک، با نام الگوریتم ژنتیک چند هدفه با مرتبسازی نامغلوب
[39] استفاده شده است. برای این الگوریتم دو تابع هدف یکی کمینه تعداد کل گرههای (نودهای) مدلهای ریاضی موجود در نسل آخر و دیگری میزان کمینه برازش آنها نسبت به دادههای آموزش درنظر گرفته شده است. مدلی که نسبت به این دو تابع هدف بهینه باشد بهعنوان جواب معادله دیفرانسیل تحت عنوان 
وارد مرحله تحلیل خطا میشود. الگوريتم روش پيشنهادي در شكل 2 آمده است.
شکل 2، الگوریتم
3- معيارهاي خطا
در این بخش سه معیار 
جهت تحليل خطا درنظر گرفته شده است. تابع خطای 
با جایگذاری
و مشتقاتش در معادله (2) بهدست میآید. در نتیجه خطای کلی مدل طبق رابطه (3) خواهد بود:
معیار 
بیانگر میزان دقت مدل مستخرج در ارضای شرایط اولیه معادله (2) است که توسط رابطه (4) محاسبه میشود.
همچنین تعداد جفت داده ورودی-خروجی تولید شده توسط که برای آزمایش مدل ذخیره شده بود، در رابطه (5) قرار میگیرد تا میزان سازگاری مدل مستخرج با این دادهها تعیین شود.
که در آن 
به ترتیب خروجی مدل مستخرج و روش رونگه-کوتا به ازای داده
است. واضح است که هرگاه سه معیار به اندازه کافی کوچک باشند، آنگاه یک تقریب مناسب برای جواب معادله دیفرانسیل (2) خواهد بود.
4- آزمايشهاي عددي
در این بخش روش برای انواع معادلات لین-امدن بهکار میرود. برخی از آنها دارای جواب تحلیلی (دقیق) و برخي نيز تا كنون توسط روشهاي نيمهتحليلي و تقريبي مختلفي حل شدهاند. براي هرمعادله که دارای جوابی غیردقیق است، از یک روش نيمهتحليلي موجود و معتبر به نام
[15] جهت مقايسه با مدلهاي توليدشده از جواب معادله توسط روش استفاده شده است. همچنين نمودارهاي مربوط به تابع جواب، تابع خطا، و نمودار تعداد گره بهينه توام با كمترين مقدار تناسب ارايه ميشود. تنظيمات اوليه برای هر آزمایش در جدول 1 ارائه شده است این تنظیمات شامل مواردی چون تعداد اعضای جمعیت اولیه (برای تمامی آزمایش‌ها 1500 درنظر گرفته شده است)، الگوی ساخت جمعیت اولیه (مطابق بخش 2، روش RHH است)، حداکثر تعداد نسلها ( 50 نسل برای تمامی آزمایش‌ها درنظر گرفته شده است)، تعداد دادههای رونگه-کوتا (حسب طول گام گسستهسازی و حوزه تعریف هر مسئله، تعداد آن متغیر است)، معیار تناسب (میانگین مربعات خطا برای تمامی آزمایش‌ها درنظر گرفته شده است)، حداکثر عمق درختان (4 درنظر گرفته شده است)، پایه اولیه یا مجموعه توابع و همچنین محدوده پایانه‌ها (برای تمامی آزمایش‌ها فاصله 
درنظر گرفته شده است) هستند. در انتهای جدول 1 نیز مقادير معيارهاي خطا براي هر آزمايش و ميزان خطاي كلي روش حاضر و روش مقايسه‌گر درج شده است.
4-1- آزمايش اول: معادلات استاندارد سه گانه لين-امدن
اين معادله به ازاي سه مقدار مختلف
به فرم زير تعريف مي شود:
جواب دقیق معادله (6) برای مقادیر مشخصی از بهصورت زیر است:
اين معادله تغييرات دمايي يك ابر گازي كروي را تحت جاذبه متقابل مولكول‌هاي آن، طبق قوانين ترموديناميك توصيف ميكند [3]. روش برای هر سه مقدار مشخص از، به جواب دقیق همگرا شده است. در هر یک از شکلهای 3، 4 و 5 بهترتیب میزان تطابق مدل مستخرج از روشبا جواب دقیق و دادههای، نمودار تابع خطا و همینطور خروجی بهینهسازی دو هدفه برای استخراج مدل بهینه در حالتهای مختلفی از نشان داده شده است. همانطور که در رابطه (7) مشهود است، در حالت
، مجموعه توابع پایه جواب دقیق، متشكل از مجموعه اعداد ثابت، توابع راديكالي، چندجملهايهای درجه دوم و همچنین تعدادي عملگر محاسباتي است. برای محک مجدد، این مجموعه در بخش تنظیمات روشبهصورت
محدود شده است تا مدلی جدید بر اساس مجموعه محدود شده
برای جواب معادله (6) در حالتتولید کند. که در آن
چهار عمل اصلی
است. مدل مستخرج از روش و جواب تقریبی حاصل از روش بهترتیب در روابط (8) و (9) نشان داده شده است:
4-2- آزمايش دوم: معادله كرههاي گازي همدما
معادله (10) ابتدا براي مطالعه توزيع دما در يك كره گازي همدما و تحت انبساط در كيهان مورد استفاده قرار گرفت. بعدها كاربردهاي ديگري از اين معادله نظير نظريه احتراق حرارتي، مدلسازي فرآيندهاي واكنش گرمايي، انتقال حرارت راديواكتيويته، نانوتكنولوژي، نظريه واكنش‌هاي شيميايي، مدلسازي مواد غير قابل تغيير شكل با چگالي ثابت در طول دوره اشتعال براي ساخت الياف نانو، الكترواستاتيك و فيزيك پلاسما نيز در مطالعات مختلف ذكر شده است [40].
روشهاي گوناگوني براي حل اين معادله بهویژه تعيين يك سري تواني از جواب معادله با دقتي مناسب ارايه شده است [8, 14] اما روشدر مقایسه با آنها عملکرد بهتری داشته است. جواب تقریبی حاصل از روشهای و بهترتیب در روابط (11) و (12) آمده است. نمودارهای مربوط به این معادله در شکل6 نشان داده شده است.
4-3- آزمايش سوم: معادله كوتولههاي سفيد:
اين معادله جهت توصيف پتانسيل گرانشي ستارگان كوتوله سفيد درحال مرگ، طبق رابطه (13) معرفي میشود. دو ستاره كوتوله سفيد كه قديميترين و نزديكترين ستاره شناخته شده به انسان به حساب ميآيند، ۱۱ تا ۱۲ميليارد سال عمر دارند و تنها ۱۰۰سال نوري از زمين فاصله دارند. كوتوله سفيد ميتواند به اجاق گازی داغ تشبيه شود كه پس از خاموش شدن، این اجاق گاز به مرور زمان به‌آرامي خنك ميشود. با اندازه‌گيري ميزان خنك بودن اجاق گاز، ميتوان پيشبيني كرد كه چه‌مدت خاموش بوده است [3, 41].
برای این معادله جواب ارایه شده توسط روشهای و و نمودارهای مربوطه به ترتیب در روابط (14) و (15) و شکل7 نشان داده شده است.
4-4- آزمايش چهارم: معادله سينوسي لين-امدن
این معادله توسط رابطه (16) تعریف میشود:
برای این معادله جواب ارایه شده توسط روشهای و و نمودارهای مربوطه به ترتیب در روابط (17) و (18) و شکل8 نشان داده شده است.
جدول 1: تنظیمات روش ، نتايج و معيارهاي خطا براي آزمايشهاي عددي
نوع معادله | استاندارد (M=0) | استاندارد (M=1) | استاندارد (M=5) | کره گازی همدما | کوتوله سفید | فرم سینوسی |
تعداد جمعیت اولیه |
|
|
|
|
|
|
الگوی ساخت جمعیت اولیه | RHH | RHH | RHH | RHH | RHH | RHH |
حداکثر تعداد نسلها |
|
|
|
|
|
|
تعداد دادههای رونگه-کوتا |
|
|
|
|
|
|
الگوی انتخاب | تورنومنت | تورنومنت | تورنومنت | تورنومنت | تورنومنت | تورنومنت |
معیار تناسب | میانگین مربعات خطا | میانگین مربعات خطا | میانگین مربعات خطا | میانگین مربعات خطا | میانگین مربعات خطا | میانگین مربعات خطا |
حداکثر عمق درختان |
|
|
|
|
|
|
پایه اولیه (توابع) |
|
|
|
|
|
|
محدوده ترمینالها |
|
|
|
|
|
|
معیار توقف | حداکثر تعداد نسلها | حداکثر تعداد نسلها | حداکثر تعداد نسلها | حداکثر تعداد نسلها | حداکثر تعداد نسلها | حداکثر تعداد نسلها |
تعداد گره در حالت بهینه |
|
|
|
|
|
|
میانگین زمان اجرا (ثانیه) |
|
|
|
|
|
|
معیار |
|
|
|
|
|
|
معیار |
|
|
|
|
|
|
معیار |
|
|
|
|
|
|
معیار |
|
|
|
|
|
|
5- نتيجه گيري
در اين مطالعه براي تبيين پتانسيل موجود در الگوريتمهاي تكاملي جهت حل معادلات ديفرانسيل پرکاربرد لين-امدن، از برنامهسازی ژنتيكي و تركيب آن با روش عددي، در قالب یک روش جدید بهنام GPNLE استفاده شده است. برای ارزیابی عملکرد روش حاضر در برآوردهسازی دقت مطلوب برای هر یک از آزمايشهای عددی، يك روش جدید و قدرتمند برپايه چندجملهايهاي چبيشف () جهت مقايسه به‌كارگيري شده است و نتایج بهدست آمده با پارامترهای انتخابی جدول 1 و شکلهای 3 الی 8 صحت عملکرد بهتر روش GPNLE را نسبت به روش موجود، تأیید میکند که در ادامه تشریح خواهد شد. بررسيهای انجام شده در این مطالعه نشان دادهاند كه استفاده از دادههايیک ایده مؤثر بوده است. زیرا نقش مهمي را در آموزش جمعيت اوليه (جهت صرفه جويي زماني و محاسباتي در كاوش فضاي جستجو و جهتگیری آن به سمت تولید مدلهای سازگار با معادله) و حدس اوليه در خصوص تعيين عناصر مجموعه توابع، عملگرها و ترمینالها دارند. این امر باعث شده با توجه به اینکه GPNLE برآمده از برنامهسازی ژنتیکی بوده و یک روش مبتنی بر احتمالات است، اما در تعداد محدودی از اجراها (حداکثر 11 مرتبه) به نتایج موردنظر دست یابد. نظر به آزمايشهاي عددي صورت‌گرفته در بخش 4، بهکارگیری GPNLE منجر به توليد مدلهاي رياضي با دقت بالا از جواب انواع گوناگوني از معادلات لین-امدن شده است. این موضوع در شکلهای 3 (a) الی 8 (a) کاملاً مشهود است. در این اَشکال، میزان تطابق مؤثر مدل بهدست آمده از روش GPNLE با دادههای و جواب حاصل از روش نشان شده است. همچنین شکلهای 3 (b) الی 8 (b) نیز بر این موضوع دلالت دارد که وقتی مدلهای تولیدشده توسط روش GPNLE و مشتقاتش در معادلات دیفرانسیل نظیر با هر آزمایش عددی قرار میگیرد، خطای کمتری نسبت به جواب‌های نظیر بهدست آمده توسط برمی‌گرداند. میزان انحراف تابعمربوط به روشهای GPNLE و از تابع صفر، این ادعا را اثبات میکند که مقادیر عددی این انحرافات در هر آزمایش توسط شاخص‌های
و 
در جدول 1 مقایسه شدهاند. بهعلاوه در شکلهای3 (c) الی 8 (c)، نقاط سبز رنگ، متناظر با اعضایی از جمعیت نسل آخر هستند که در جبهه پارتو قرار دارند. این اعضا نسبت به دو هدفِ کمینه تعداد گرههای تشکیل دهنده مدل متناظر (پیچیدگی ساختاری) و کمینه مقدار برازش مدل نسبت به دادههای آموزش بهینه‌اند که از بین اعضای جبهه پارتو عضوی که کمترین مقدار برازش را به‌خود اختصاص میدهد (نقطه با حاشیه قرمز) بهعنوان مدل مستخرج انتخاب شده است. لذا نظر به رفتار تابعو نیز مقادیر و مندرج در جدول 1، استراتژی استفاده از بهینهسازی دوهدفه نیز ثمربخش بوده است. GPNLE حتي نسبت به تغيير مجموعه پايه جواب انعطاف پذير است (حالت m=5 در آزمايش عددي اول را ببينيد). محدودیت اساسی حاکم بر GPNLE این است که برای حصول نتایج دقیق‌تر و افزایش تنوع ساختاری در جمعیت اولیه با ازدیاد تعداد اعضای جمعیت و تعداد نسلها که دو پارامتر اساسی برنامهسازی ژنتیکی هستند، هزینه محاسباتی به شدت افزایش می‌یابد که این امر می‌تواند با استفاده از سیستم پردازش موازی متلب و بهکارگیری سخت افزار مورد نیاز آن مرتفع شود. GPNLE همچنین قابلیت توسعه برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی از مرتبه کسری، معادلات تصادفی و معادلات جزئی را دارد.
فهرست منابع
1.Powell, C.S., J. Homer Lane and the internal structure of the Sun. Journal for the History of Astronomy, 1988. 19(3): p. 183-199.
2.Maciel, W.J., Introduction to stellar structure. 2015: Springer.
3.Chandrasekhar, S. and S. Chandrasekhar, An introduction to the study of stellar structure. Vol. 2. 1957: Courier Corporation.
4.Duggan, R. and A. Goodman, Pointwise bounds for a nonlinear heat conduction model of the human head. Bulletin of mathematical biology, 1986. 48(2): p. 229-236.
5.Reger, K. and R. Van Gorder, Lane-Emden equations of second kind modelling thermal explosion in infinite cylinder and sphere. Applied Mathematics and Mechanics, 2013. 34(12): p. 1439-1452.
6.Wazwaz, A.-M., Solving the non-isothermal reaction-diffusion model equations in a spherical catalyst by the variational iteration method. Chemical Physics Letters, 2017. 679: p. 132-136.
7.Horedt, G., Exact solutions of the Lane-Emden equation in N-dimensional space. Astronomy and Astrophysics, 1986. 160: p. 148-156.
8.Ramos, J., Series approach to the Lane–Emden equation and comparison with the homotopy perturbation method. Chaos, Solitons & Fractals, 2008. 38(2): p. 400-408.
9.Bender, C.M., et al., A new perturbative approach to nonlinear problems. Journal of mathematical Physics, 1989. 30(7): p. 1447-1455.
10.He, J.-H., Homotopy perturbation method: a new nonlinear analytical technique. Applied Mathematics and computation, 2003. 135(1): p. 73-79.
11.Singh, M. and A.K. Verma, An effective computational technique for a class of Lane–Emden equations. Journal of Mathematical Chemistry, 2016. 54(1): p. 231-251.
12.Van Gorder, R.A. and K. Vajravelu, Analytic and numerical solutions to the Lane–Emden equation. Physics Letters A, 2008. 372(39): p. 6060-6065.
13.He, J.-H., Variational iteration method–a kind of non-linear analytical technique: some examples. International journal of non-linear mechanics, 1999. 34(4): p. 699-708.
14.Wazwaz, A.-M., A new algorithm for solving differential equations of Lane–Emden type. Applied mathematics and computation, 2001. 118(2-3): p. 287-310.
15.Aydinlik, S. and A. Kiris, A high-order numerical method for solving nonlinear Lane-Emden type equations arising in astrophysics. Astrophysics and Space Science, 2018. 363(12): p. 1-12.
16.Bildik, N. and S. Deniz, Comparative study between optimal homotopy asymptotic method and perturbation-iteration technique for different types of nonlinear equations. Iranian Journal of Science and Technology, Transactions A: Science, 2018. 42(2): p. 647-654.
17.Bhrawy, A.H. and A.S. Alofi, A Jacobi–Gauss collocation method for solving nonlinear Lane–Emden type equations. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012. 17(1): p. 62-70.
18.Yang, C. and J. Hou, A numerical method for Lane-Emden equations using hybrid functions and the collocation method. Journal of Applied Mathematics, 2012. 2012.
19.Aminikhah, H. and S. Kazemi, On the numerical solution of singular Lane–Emden type equations using cubic B-spline approximation. International Journal of Applied and Computational Mathematics, 2017. 3(2): p. 703-712.
20.Pandey, R.K. and N. Kumar, Solution of Lane–Emden type equations using Bernstein operational matrix of differentiation. New Astronomy, 2012. 17(3): p. 303-308.
21.Balaji, S., A new Bernoulli wavelet operational matrix of derivative method for the solution of nonlinear singular Lane–Emden type equations arising in astrophysics. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2016. 11(5).
22.Singh, R., H. Garg, and V. Guleria, Haar wavelet collocation method for Lane–Emden equations with Dirichlet, Neumann and Neumann–Robin boundary conditions. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2019. 346: p. 150-161.
23.Banzhaf, W., Artificial intelligence: Genetic programming. International encyclopedia of the social & behavioral sciences, 2nd edn. Elsevier, Oxford, 2015: p. 41-45.
24.Koza, J.R., Genetic Programming, On the Programming of Computers by Means of Natural Selection. A Bradford Book. MIT Press, 1992.
25.Al-Hayani, W., L. Alzubaidy, and A. Entesar, Solutions of Singular IVP’s of Lane-Emden type by Homotopy analysis method with Genetic Algorithm. Applied Mathematics & Information Sciences, 2017. 11(2): p. 407-416.
26.Iba, H., Inference of differential equation models by genetic programming. Information Sciences, 2008. 178(23): p. 4453-4468.
27.Lobão, W.J., D.M. Dias, and M.A.C. Pacheco. Genetic programming and automatic differentiation algorithms applied to the solution of ordinary and partial differential equations. in 2016 IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC). 2016. IEEE.
28.Chauhan, V. and P.K. Srivastava, Computational techniques based on Runge-Kutta method of various order and type for solving differential equations. International Journal of Mathematical, Engineering and Management Sciences, 2019. 4(2): p. 375.
29.Bukhari, A.H., et al., Design of intelligent computing networks for nonlinear chaotic fractional Rossler system. Chaos, Solitons & Fractals, 2022. 157: p. 111985.
30.D’Ambrosio, R. and C. Scalone, Two-step Runge-Kutta methods for stochastic differential equations. Applied Mathematics and Computation, 2021. 403: p. 125930.
31.Jackson, D. Promoting phenotypic diversity in genetic programming. in International Conference on Parallel Problem Solving from Nature. 2010. Springer.
32.Zhang, F., et al., Genetic Programming for Production Scheduling. 2021: Springer.
33.Iba, H., Swarm Intelligence and Deep Evolution: Evolutionary Approach to Artificial Intelligence. 2022: CRC Press.
34.Jamali, A., et al., Modelling and prediction of complex non-linear processes by using Pareto multi-objective genetic programming. International Journal of Systems Science, 2016. 47(7): p. 1675-1688.
35.Iba, H., Y. Hasegawa, and T.K. Paul, Applied genetic programming and machine learning. 2009: cRc Press.
36.Banzhaf, W., et al., Genetic Programming Theory and Practice XVIII. 2022: Springer.
37.Lavinas, Y., et al. Experimental analysis of the tournament size on genetic algorithms. in 2018 IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics (SMC). 2018. IEEE.
38.Searson, D.P., GPTIPS 2: an open-source software platform for symbolic data mining, in Handbook of genetic programming applications. 2015, Springer. p. 551-573.
39.Deb, K., et al., A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II. IEEE transactions on evolutionary computation, 2002. 6(2): p. 182-197.
40.Hichar, S., et al., Application of nonlinear Bratu's equation in two and three dimensions to electrostatics. Reports on mathematical physics, 2015. 76(3): p. 283-290.
41.Kilic, M., et al., 11–12 Gyr old white dwarfs 30 pc away. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society: Letters, 2012. 423(1): p. L132-L136.
[1] . *. عهدهدار مکاتبات: khaleghi@guilan.ac.irEmail: