نمایش ماتریس مثلثی حلقه های سری های هرویتس اریب

محورهای موضوعی : جبر

کمال پایکن ¹ , اباصلت بداغی ²

1 - دانشکده ریاضی، دانشگاه تفرش، صندوق پستی 79611-39518، تفرش، ایران
2 - گروه رياضي، واحد تهران غرب، دانشگاه آزاد اسلامي، تهران، ايران

تاریخ دریافت : 1400/06/06 تاریخ پذیرش : 1401/09/09 تاریخ انتشار : 1403/04/16

کلید واژه: PWP ring, Skew Hurwitz series ring, triangulating dimension,

چکیده مقاله :

فرض کنیم R یک حلقه شرکت پذیر، یکدار و α یک همریختی روی R باشد. در این مقاله، ثابت می کنیم که تحت شرایطی، بعد مثلثی حلقه سری های هرویتس اریب (HR,α) و حلقه R یکسان هستند. بعلاوه، ما کلاس توسیع حلقه های اول تکه ای ) به طور خلاصه، حلقه های (PWP را گسترش داده ایم. به ویژه، برای یک حلقه PWP یک کلاس بزرگی از حلقه سری های هرویتیس اریب تعیین می شود که دارای یک نمایش ماتریس مثلثی کامل تعمیم یافته است به طوری که حلقه های واقع روی قطر اصلی آن، حلقه های اول هستند. فرض کنیم R یک حلقه شرکت پذیر، یکدار و α یک همریختی روی R باشد. در این مقاله، ثابت می کنیم که تحت شرایطی، بعد مثلثی حلقه سری های هرویتس اریب (HR,α) و حلقه R یکسان هستند. بعلاوه، ما کلاس توسیع حلقه های اول تکه ای ) به طور خلاصه، حلقه های (PWP را گسترش داده ایم. به ویژه، برای یک حلقه PWP یک کلاس بزرگی از حلقه سری های هرویتیس اریب تعیین می شود که دارای یک نمایش ماتریس مثلثی کامل تعمیم یافته است به طوری که حلقه های واقع روی قطر اصلی آن، حلقه های اول هستند.

چکیده انگلیسی:

. A ring R is a Baer ring if the right annihilator of every nonempty subset of R is generated by an idempotent. Moreover, R is called quasi-Baer if the right annihilator of every right ideal of R is generated as a right ideal by an idempotent. The piecewise prime ring (simply, PWP ring) is a quasi-Baer ring with finite triangulating dimension. Birkenmeier and Park raised the open problems to enlarge the class of ring extensions of PWP rings which are also PWP rings and to enlarge the class of ring extensions of rings with finite triangulating dimension which also have finite triangulating dimension. In this paper, we enlarge the class of ring extensions of PWP rings. In particular, we investigate the problem when a skew Hurwitz series ring (HR,α) has the same triangulating dimension as the ring R, where R is a ring equipped with an endomorphism α. Furthermore, for a piecewise prime ring we determine a large class of the skew Hurwitz series ring which have a generalized triangular matrix representation for which the diagonal rings are prime.

منابع و مأخذ:

[1] G. F. Birkenmeier, Idempotents and completely semiprime ideals, Comm. Algebra 11 (1983), 567-580.
[2] G. F. Birkenmeier, H. E. Heatherly, J. Y. Kim, and J. K. Park, Triangular matrix representations, J. Algebra 230 (2000), 558-595.
[3] G.F. Birkenmeier, J.Y. Kim and J.K. Park, Principally quasi-Baer rings, Comm. Algebra 29 (2) (2001), 639-660.
[4] G.F. Birkenmeier and J.K. Park, Triangular matrix representations of ring extensions, J. Algebra 265 (2003), 457-477.
[5] S. U. Chase, A generalization of triangular matrices. Nagoya Math. J. 18 (1961), 13–25.
[6] W. E. Clark, Twisted matrix units semigroup algebras, Duke Math. J. (1967), 417-424.
[7] M. Fliess, Sur divers produits de series fonnelles, Bull. Soc. Math. France, 102 (1974), 181-19l.
[8] R. Gordon, L.W. Small, Piecewise domains, J. Algebra, 23 (1972), 553-564.
[9] E. Hashemi and A. Moussavi, Polynomial extensions of quasi-Baer rings, Acta Math. Hungar. 107 (3) (2005), 207-224.
[10] I. Kaplansky, Rings of operators, Benjamin New York, (1965).
[11] W. F. Keigher, Adjunctions and commands in differential algebra, Pacific J. Math. 248 (1975), 99-112.
[12] W. F. Keigher, On the ring of Hurwitz series, Comm. Algebra 25 (6) (1997), 1845-1859.
[13] W. F. Keigher and F. L. Pritchard, Hurwitz series as formal functions, J. Pure Appl. Algebra 146 (2000), 291-304.
[14] J. Krempa, Some examples of reduced rings, Algebra Colloq. 3 (4) (1996), 289-300.
[15] Z. K. Liu, R. Zhao, A generalization of PP-rings and p.q.-Baer rings. Glasg. Math. J. 48 (2) (2006), 217–229.
[16] K. Paykan, Principally quasi-Baer skew Hurwitz series rings, Boll. Unione Mat. Ital. 10 (4) (2017), 607-616.
[17] K. Paykan, A study on skew Hurwitz series rings. Ric. mat. 66(2) (2017), 383–393.
[18] Pollingher, P., Zaks, A., On Baer and quasi-Baer rings. Duke Math. J. 37 (1970) ,127–138.
[19] L. W. Small, Semihereditary rings. Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), 656–658.
[20] E. T. Taft, Hurwitz invertibility of linearly recursive sequences, Congressum Numerantium, 73 (1990), 37-40

متن کامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال نهم، شماره چهل پنجم، آذر و دی  1402

شماره شاپا: X2588-588

 

 

 

 

نمایش ماتریس مثلثی حلقه­های سری­های هرویتس اریب

 

 

کمال پایکن 1، اباصلت بداغي*¹2

 

(1)  دانشکده ریاضی، دانشگاه تفرش، صندوق پستی 79611-39518، تفرش، ایران

 (2)  گروه رياضي، واحد تهران غرب، دانشگاه آزاد اسلامي، تهران، ايران 

 

 

تاريخ ارسال مقاله:         06/06/1400   تاريخ پذيرش مقاله: 09/09/1401

چکيده

فرض کنیم   یک حلقه شرکت­پذیر،  یکدار و  یک همریختی روی  باشد. در این مقاله ثابت می­کنیم که تحت شرایطی، بعد مثلثی حلقه سری­های هرویتس اریب   و حلقه   یکسان هستند. بعلاوه، ما کلاس توسیع حلقه­های اول تکه­ای ) به طور خلاصه، حلقه­های (PWP را گسترش داده­ایم. به ویژه، برای یک حلقه PWP یک کلاس بزرگی از حلقه سری­های هرویتیس اریب تعیین می­شود که دارای یک نمایش ماتریس مثلثی کامل تعمیم یافته است به طوری که حلقه­های واقع روی قطر اصلی آن، حلقه­های اول هستند.

 

واژه‌هاي کليدي: حلقه سری­های هرویتس اریب، نمایش ماتریس مثلثی کامل تعمیم یافته، حلقه ، بعد مثلثی.

 

1. مقدمه

یکی از مباحث مهم در نظریه حلقه­ها و بخصوص در جبر ناجابجایی مبحث پوچسازها می­باشد. در سال ١٩۴۶ ریکارت² در بررسی جبرها به این موضوع پی برد که اگر پوچساز راست هر عضو یک جبر توسط تصویری تولید شود، می­توان برخی از ویژگی­های مهم آن را مشخص نمود. متعاقب آن، در سال ١٩۵١ کاپلانسکی³ جبرهای  را  معرفی نمود. یک جبر یک جبری است که پوچساز راست هر زیر مجموعه ناتهی از آن توسط یک تصویر تولید می شود. 

کاپلانسکی در کتاب معروف حلقه­های عملگرها حلقه­های بئر را معرفی کرد و از حلقه­های بئر برای بررسی خواص جبرهای فون نیومن،   و حلقه­های منظم کامل استفاده نمود [10]. کلارک⁴ در [6]  حلقه­های شبه  بئر را معرفی کرد و با استفاده از آن مشخص کرد که تحت چه شرایطی جبرهای با بعد متناهی، یکدار روی میدان­های بسته جبری با نیم گروه جبر ماتریس­های تاب­دار یکریخت می­شوند.  در مورد حلفه­های ریکارت، از [5] یادآوری می­کنیم که ویژگی ریکارت راست و ریکارت چپ خاصیت متقارنی ندارند که چیس⁵ در [5] مثال­هایی برای اثبات نامتقارن بودن این مفهوم ارائه داد. همچنین، اسمال⁶ در منبع [19] ثابت کرد که یک حلقه ریکارت  راست،  بئر ) در نتیجه ریکارت( است اگر فاقد تعداد نامتناهی عناصر خودتوان دو به دو متعامد باشد.

در سال ٢٠٠١ بیرکنمیر⁷ و همکارانش [3]، حلقه­های شبه بئر اصلی راست و چپ را معرفی کردند. مثال­هایی برای نامتقارن بودن چپ و راست مفهوم شبه بئر اصلی در [3] بیان شده است و علاوه بر آن مثال­های دیگری در [3]  ارایه شده که خانواده حلقه­های شبه بئر اصلی چپ، خانواده حلقه­های شبه بئر اصلی راست، خانواده حلقه­های ریکارت چپ (PP چپ) و خانواده ریکارت راست (PP راست) را متمایز می­سازد که هیچ کدام از این خانواده  حلقه­ها شامل دیگری نیست.

در [2] نشان داده شده است که حلقه R دارای یک نمایش ماتریس مثلثی تعمیم یافته است، هرگاه یک یکریختی حلقه­ای

 

وجود داشته باشد، به طوری که هر حلقه واقع روی قطر، ، حلقه­ای یکدار، یک مدول چپ، مدول راست برای    بوده که ماتریس­ها از قوانین جمع و ضرب معمولی تبعیت می­کنند. اگر هر  نیمه مرکزی کاهشی باشد، آن گاه R را دارای یک نمایش ماتریس مثلثی کامل تعمیم یافته می­گویند که دارای بعد مثلثی n است. بنابر  [2] و [3] یک حلقه را یک حلقه اول تکه­ای) به طور خلاصه، حلقه (PWP  می­نامند، هرگاه یک حلقه شبه بئر با بعد مثلثی متناهی باشد. در [3] نشان داده شده است که خانواده حلقه­های PWP  به طور سره شامل همه دامنه­های تکه­ای است که توسط گوردون⁸ و اسمال⁹  در [8]  معرفی شد. بنابراین حلقه­های  PWP  شامل همه حلقه­های موروثی راست می­باشند که نیمه ابتدایی یا نوتری راست هستند. هر حلقه PWP  دارای یک نمایش ماتریس مثلثی کامل تعمیم یافته است که هرحلقه  واقع روی قطر اصلی این ماتریس یک حلقه اول می­باشد. همچنین در [4] ، در میان بسیاری از نتایج روی حلقه­های PWP، سوال بازی مبنی بر گسترش خانواده توسیع­های دیگری از حلقه­هایی که حلقه PWP هستند و نیز گسترش خانواده توسیع حلقه­هایی که دارای بعد مثلثی متناهی هستند  مطرح شده­اند.

حلقه سری­های توانی کاربرد­های فراوانی در بیشتر مباحث ریاضی و به ویژه در جبرهای دیفرانسیلی دارد. در مقاله [11]  کیگر¹⁰ حلقه سری­های هرویتس را معرفی و خواص رسته­ای آن را بررسی کرد. در مقالات [12]   و [13]   کیگر نشان داد که حلقه سری­های هرویتس کاربرد­های فراوانی در جبر­های دیفرانسیلی و همچنین در مبحث نرمال­سازی ضعیف دارد. به علاوه، ضرب عناصر این حلقه همراه با یک ضرب دنباله­ای با استفاده از ضرایب دوجمله­ای توسط فلیس¹¹ در [7]  و توسط تفت¹² در [20]  مطالعه شد. در حالی که مطالعات فراوانی از این حلقه­ها روی یک حلقه جابجایی و یکدار انجام شده است، اما اطلاعات کمی درباره حلقه­های سری­های هرویتس روی حلقه­های ناجابجایی و شرکت­پذیر موجود است.

در این مقاله ثابت می­کنیم که تحت شرایطی، بعد مثلثی حلقه سری­های هرویتس اریب   و حلقه   یکسان  هستند. به ویژه، اگر    Rیک حلقه   PWP باشد، آن گاه حلقه   نیز یک حلقه خواهد بود. بنابراین حلقه    دارای یک نمایش ماتریس مثلثی کامل تعمیم یافته است به طوری که حلقه­های واقع روی قطر اصلی، حلقه­های اول هستند.

 

2-تعاريف و پيشنيازها

در این بخش تعاریف و نتایج ابتدایی که برگرفنه از مقالات دیگران و مورد استفاده در مقاله جاری است را ارایه می­دهیم.

تعریف 2-1 . حلقه R بئر ناميده می­شود هرگاه پوچساز راست هر زیر مجموعه ناتهی R ، به عنوان یک ایده­آل راست، توسط یک خودتوان تولید شود. همچنین، R را شبه بئر نامید هرگاه پوچساز راست هر ایده­آل  R ،  به عنوان یک ایده­آل راست، توسط یک عنصر خودتوان تولید شود [6] .

تعریف 2-2 . یک حلقه ریکارت راست نامیده می­شود هرگاه پوچساز راست هر عنصر آن، به عنوان یک ایده­آل راست، توسط یک عنصر خودتوان تولید شود. حلقه ریکارت راست را یک حلقه PP راست نیز می­نامند ( به طور معادل هر ایده­آل راست اصلی آن تصویری است). حلقه­های ریکارت چپ (  چپ) نیز به طور مشابه تعریف می­شوند.

اگر یک حلقه هم ریکارت چپ و هم ریکارت راست باشد حلقه ریکارت نامیده می­شود[5].

تعریف 2-3 . حلقه R شبه­بئر اصلی راست (چپ) است هرگاه پوچساز راست (چپ) هر ایده­آل اصلی آن، به عنوان یک ایده­آل راست (چپ)، توسط یک خودتوان تولید شود. حلقه شبه بئر اصلی چپ نیز به طور مشابه تعریف می­شود. به طور معادل یک حلقه شبه بئر اصلی راست است هرگاه خارج­قسمت آن حلقه به پوچساز راست هر ایده­آل اصلی راست آن، به عنوان یک مدول راست روی آن یک حلقه تصویری باشد [3]. همچنین حلقه یکدار R حلقه اول نامیده می شود هرگاه

 نتیجه دهد  یا

تعریف 2-4. [1] یک عنصر خودتوان e از یک حلقه R نیمه مرکزی چپ (راست) گفته می­شود هرگاه برای هر عنصر داشته باشیم    .(ex = exe) مجموعه همه عناصر خودتوان نیمه­مرکزی چپ(راست) یک حلقه با نماد   ( ) نمایش داده می­شود. همچنین مجموعه عناصر خودتوان مرکزی یک حلقه R را با نماد    نمایش می­دهند. توجه می­کنیم که  . یک حلقه  R را نیمه مرکزی کاهشی می­نامیم، هرگاه  . از آن جایی که e  نیمه مرکزی چپ است اگر و فقط اگر    نیمه مرکزی راست باشد، بنابراین تعریف نیمه مرکزی کاهشی متقارن راست-چپ است. بنابراین   R یک حلقه نیمه­مرکزی کاهشی است اگر و تنها اگر داشته باشیم .

در[4]  بیرکنمیر و پارک¹³ ثابت کردند که هرگاه R  یک حلقه PWP باشد، آن گاه حلقه­های زیر نیز PWP هستند.

1.       حلقه تکواره ای  که G یک تکواره است.

2.       حلقه­های  و  که X یک مجموعه از متغیر­های نه به طور ضروری جابجایی است.

3.       حلقه­های  و  که به ترتیب حلقه چندجمله ی­های لوران و حلقه سری­های لوران هستند.

4.       حلقه­های  و  که به ترتیب حلقه چندجمله ی­های اریب و حلقه سری­های اریب، که α یک خودریختی خاصی از R است.

5.       همچنین حلقه های   و که به ترتیب حلقه ماتریس­های بالامثلثی و حلقه ماتریس­ها روی R نیز یک حلقه PWP هستند.

برای یک زیرمجموعه ناتهی X  از یک حلقه R، پوچساز راست X روی حلقه R را با نماد   نمایش داده و به صورت زیر تعریف می­شود:

 

همچنین، مجموعه اعداد طبیعی، مجموعه اعداد صحیح و مجموعه اعداد مختلط را به ترتیب با ،    و  نشان می­دهیم. برای هر زیر­مجموعه ناتهی X  از حلقه R،  قرار می­دهیم

 

در سراسر این مقاله،   یک حلقه یکدار، شرکت­پذیر و نه لزوما جابجایی و  نیز یک همریختی است به طوری که . حلقه سری­های هرویتس¹⁴ اریب  روی یک حلقه R شامل توابع  می­باشد که عمل جمع در حلقه  به صورت مولفه­ای و عمل ضرب برای هر دو عنصر دلخواه  و هرعنصر   به صورت زیر تعریف می­شود:

 

که   ضریب دو جمله­ای (ترکیب از ) است. در حالتی که همریختی    همانی باشد، به جای  از نماد HR استفاده می کنیم. در واقع عناصر حلقه های سری­های هرویتس  همان سری­های توانی رسمی  است که تابع  به صورت  تعریف می­شود. به علاوه، ضرب در حلقه  همان ضرب معمولی برای حلقه­های سری­های توانی اریب است با این تفاوت که ضرایب دوجمله­ای در هر جمله همانند تعریف بالا ظاهر می­شود. برای هر   و  عناصر  به صورت زیر تعریف می­شود.:

 

 

واضح است که نگاشت  حلقه    را در حلقه  می­نشاند و  عضو واحد حلقه  است.

در مقاله­های [16] و [17] نشان داده شده است که هر حلقه   که شامل  است و   نیز یک همریختی -جبر از   باشد آنگاه حلقه­های  و   یکریخت هستند. برای جلوگیری از تکرار نتایج گذشته در حلقه­های سری­های توانی اریب  از این به بعد فرض می­کنیم که حلقه  ،  اعداد گویا را در بر ندارد.

تعریف 2-5. [14] فرض كنیمR  حلقهای دلخواه با یک درون­ریختی α باشد. درون ریختی  αاز حلقه   R را صلب می­نامند، هرگاه به ازای هر عنصر  در حلقه R  از  بتوان نتیجه گرفت   همچنین، حلقه   Rرا -αصلب نامند، هرگاه   αدرون­ریختی صلبی از آن باشد.

تعریف 2-6. [9] حلقه R را -αسازگار نامند، هرگاه به ازای هر aو b در R داشته باشیم 

اگر و تنها اگر

تعریف 2-7.   [15]ایده­آل I از یک حلقه R را -sیکال چپ نامند هرگاه براي هر عنصر   یک عنصر موجود باشد به طوری که داشته باشیم . همچنین حلقه R را یک حلقه APP راست نامیدند، هرگاه پوچساز راست هر ایده­آل راست اصلی آن یک ایده­آل -sیکال چپ باشد.

تعریف 2-8. [2] حلقه R  دارای یک مجموعه از خودتوان­های مثلثی چپ (راست) است هرگاه یک مجموعه    از خودتوان­های ناصفر موجود باشد به طوری که

 

1.         ( ).

2.       برای هر عدد ،

   ) که  .

از قسمت (3) تعریف بالا، می­توان نتیجه گرفت که یک مجموعه از خودتوان­های مثلثی چپ (به ترتیب راست) یک مجموعه از خودتوان­های دوبه دوبه دو عمود بر هم نیز هستند. یک مجموعه از خودتوان­های مثلثی را کامل  می­گویند هرگاه هر   یک عنصر خودتوان نیمه مرکزی کاهشی باشد.

بنابر   حلقه R یکریخت با یک حلقه ماتریسی بالا مثلثی تعمیم یافته می­باشد که حلقه­های روی قطر اصلی آن حلقه­های نیمه مرکزی کاهشی است، اگر و تنها اگر  Rدارای یک مجموعه از خودتوان­های مثلثی چپ کامل باشد. از  نتیجه می­شود که تعداد عناصر یک مجموعه کامل از خودتوان­های مثلثی چپ همواره منحصر به فرد است و این تعداد برابر تعداد عناصر یک مجموعه  کامل از خودتوان­های مثلثی راست است. با توجه به نکاتی که در بالا ذکر شد، ­گوییم حلقه R دارای بعد مثلثی n   است و با   T dim(R) = nنمایش می­دهیم، هرگاه حلقه   R دارای یک مجموعه کامل   nعضوی  از حودتوان­های مثلثی چپ باشد.

یادآوری می­کنیم R  حلقه نیمه مرکزی کاهشی است اگر و فقط اگر .T dim(R) =1   همچنین اگر    دارای هیچ مجموعه کامل از خودتوان­های مثلثی چپ نباشد، آنگاه گوییم  دارای بعد مثلثی بینهایت است و با    نمایش می­دهیم.

 بنابر اگر R دارای    ACCروی ایده­آل­ها باشد،  آنگاه خواهیم داشت

 

 

 

 

3-نمایش ماتریس مثلثی حلقه­های سری­های هرویتس اریب

در این بخش ثابت می­کنیم اگر   حلقه  راست،  -سازگار و به عنوان یک مدول بی­تاب باشد، آن گاه بعد مثلثی حلقه سری­های هرویتس اریب   و حلقه  یکسان است. به ویژه، اگر    Rیک حلقه  PWP باشد، در این صورت حلقه    نیز حلقه خواهد بود. بنابراین حلقه   دارای یک نمایش ماتریس مثلثی کامل تعمیم یافته است، به طوری که حلقه­های واقع روی قطر، حلقه­های اول هستند.

لم­های زیر ابزارهای اصلی برای رسیدن به اهداف ما در این بخش ­می­باشند.

لم3-1. 
فرض کنیم α یک همریختی از حلقه R باشد. آن گاه:

الف) اگر α سازگار باشد آن گاه α تکریختی است.

ب) α سازگار است اگر و تنها اگر به ازای هر  a  و  b  در   R داشته باشیم

 .

ج) شرایط زیر معادل هستند:

1.       α  صلب است.

2.       α  سازگار و R حلقه کاهشی است.

3.       به ازای هر a در R،    نتیجه می­دهد .

 

لم زیر در اثبات گزاره 3-4 استفاده می­شود.

لم 3-2.   فرض کنیم  حلقه  راست است به طوری که به عنوان یک - مدول بی­تاب می­باشد. همچنین فرض کنیم  حلقه -سازگار است. آن گاه به ازای هر  ، اگر  در این صورت برای هر  خواهیم داشت:

 

لم 3-3.  

فرض کنیم  یک حلقه دلخواه باشد. در این صورت شرایط زیر معادل هستند:

1.        دارای یک مجموعه کامل از خودتوان­های مثلثی چپ است؛

2.       مجموعه  یک مجموعه متناهی است؛

3.        دارای یک مجموعه کامل از خودتوان­های مثلثی راست است.

به علاوه، اگر   و  یک مجموعه کامل از خودتوان­های مثلثی چپ باشد، آن گاه . همچنین برای      که   یک زیرمجموعه دلخواه است.

 

چون خودتوان­های نیمه مرکزی از اجزای حیاتی برای نمایش ماتریس مثلثی تعمیم یافته هستند، در گزاره زیر رابطه بین خودتوان­های نیمه مرکزی حلقه سری­های هرویتس اریب  و حلقه  را بررسی می­کنیم. این نتیجه در ادامه این مقاله مورد استفاده قرار می­گیرد.

     

گزاره 3-4. فرض کنیم  یک حلقه  راست و به عنوان یک مدول بی­تاب باشد. همچنین فرض کنیم  یک حلقه -سازگار است.

اگر   عنصر خودتوان نیمه مرکزی چپ حلقه   باشد آنگاه   عنصر خودتوان نیمه مرکزی چپ حلقه  است. و به ویژه

.  

برهان. چون   یک عنصر خودتوان نیمه مرکزی چپ حلقه  است، لذا خواهیم داشت

 

 بنابراین بنابر لم 3-2 داریم:

 

در نتیجه برای هر  خواهیم داشت  و همچنین برای هر عدد   داریم

 

 

روابط اخیر نشان می­دهند که

   و لذا داریم .  

در نتیجه  ■

فرض کنیم B   یک مجموعه از عناصر خودتوان مثلثی چپ R  و Γ  یک توسیع از حلقه R  باشد. بنابر[4] ،  Γیک -B مثلثی مربوط به R گفته می­شود، هرگاه   و ، آن گاه عنصر    موجود باشد، به طوری که  . همچنین توسیع Γ را یک -B مثلثی سازگار با  حلقه R گویند، هرگاه B  یک  مجموعه از  عناصر خودتوان مثلثی چپ توسیع Γ  نیز باشد. اگر Γ  یک -Bمثلثی مربوط به حلقه R  (-Bمثلثی سازگار با (R برای هر مجموعه   B از خودتوان­های مثلثی چپ    R باشد، آن گاه گویند Γ   مثلثی مربوط به حلقه R (مثلثی سازگار به R ) است. همچنین بنابر [4]  یک عنصر   را یک عنصر خودتوان مثلثی چپ حلقه R  گویند، هرگاه b  عنصری از مجموعه 

عناصر خودتوان مثلثی چپ    Rباشد.

 

لم 3-5.  فرض کنیم  یک حلقه  راست است و به عنوان یک مدول بی­تاب باشد. اگر یک حلقه  -سازگار باشد  آن گاه  مثلثی مربوط به حلقه R است. 

برهان. فرض کنیم B   یک مجموعه دلخواه از عناصر خودتوان مثلثی چپ R باشد. همچنین فرض کنیم  و بعلاوه داشته باشیم:

 

چون  یک حلقه -سازگار است، داریم . بنابراین خواهیم داشت:

 

چون  یک حلقه  راست است، بنابر گزاره

   حلقه  نیز یک حلقه  راست می­باشد. اکنون از گزاره 3-4 نتیجه می­شود که  موجود است که

این نشان می­دهد که  مثلثی مربوط به حلقه R است.

لم 3-6. فرض کنیم  یک حلقه  راست است. اگر یک حلقه  -سازگار باشد  آنگاه  مثلثی سازگار با حلقه R  است.

برهان. فرض کنیم    یک مجموعه دلخواه از عناصر خودتوان مثلثی چپ حلقه R باشد. ثابت می­کنیم که مجموعه   نیز یک مجموعه از عناصر خودتوان مثلثی چپ حلقه   است. به آسانی می­توان نشان داد که برای هر عنصر خودتوان   عنصر  نیز یک عنصر خودتوان حلقه   است. همچنین چون   بنابراین . چون  یک حلقه  -سازگار است می­توان بررسی نمود که عنصر خودتوان  یک عنصر خودتوان نیمه مرکزی حلقه  است. حال چون برای هر ،   که در آن  و در لذا  

از طرف دیگر،  یک حلقه  -سازگار است، بنابر این برای هر  داریم

 .

به علاوه داریم،

 

بنابراین برای هر عنصر دلخواه  خواهیم داشت:

 

لذا برای هر  نتیجه می­گیریم

این نشان می­دهد که برای هر  عنصر   خودتوان نیمه مرکزی حلقه  است که این برهان را کامل می کند.

لم 3-7.  فرض کنیم Γ یک توسیع حلقه R باشد. اگر  Γ یک مثلثی مربوط به R  و مثلثی سازگار با    R باشد، آنگاه بعد مثلثی Γ  و R  یکسان هستند.

 

اکنون بررسی می­کنیم چه زمانی بعد مثلثی حلقه   و حلقه سری­های هرویتس اریب  یکسان هستند.

قضیه 3-8. فرض کنیم  یک حلقه  راست و به عنوان یک مدول بی­تاب باشد. اگر یک حلقه  -سازگار باشد آن گاه:

 

برهان.  با استفاده از لم­های 3-5، 3-6 و نیز 3-7 نتیجه مطلوب حاصل می­شود.

نتیجه 3-9. فرض کنیم  یک حلقه  راست و به عنوان یک مدول بی­تاب باشد، آن گاه

نتیجه 3-10. فرض کنیم  یک حلقه  و به عنوان یک مدول بی­تاب است. اگر یک حلقه  -سازگار باشد، آن گاه حلقه  نیز اول می­باشد.

برهان. بنا بر  می­دانیم که حلقه R اول است اگر و تنها اگر یک حلقه شبه بئر و نیمه مرکزی کاهشی باشد. اکنون نتیجه به آسانی از قضیه 3-8 حاصل می­شود.

در قضیه زیر محکی فراهم می­شود برای این که حلقه سری­های هرویتس  یک حلقه PWP گردد.

قضیه 3-11. فرض کنیم  یک حلقه شبه بئر، یک مجموعه کامل از خودتوان­های مثلثی چپ   و  یک همریختی روی   باشد. اگر  یک حلقه -سازگار و به عنوان یک مدول بی­تاب باشد، آن گاه  یک حلقه شبه بئر است به طوری که  Bیک نمایش کامل ماتریس مثلثی تعمیم یافته برای حلقه   تعیین می­کند که هر حلقه روی قطر اصلی،،  اول است.

برهان. با استفاده از لم 5.3،  و  نتیجه دلخواه به آسانی حاصل می­شود. 

نتیجه 3-12. فرض کنیم  یک حلقه PWP و به عنوان یک مدول بی­تاب است. اگر یک حلقه -سازگار باشد آن گاه حلقه نیز PWP می­باشد.

این مقاله را با یک مثال به پایان می­رسانیم.

مثال 3-13. فرض کنیم  یک دامنه و به عنوان یک مدول بی­تاب می­باشد و  نیز یک تکریختی روی    است. قرار می­دهیم:

 

با استفاذه از [18, Proposition 9]  نتیجه می­شود که حلقه  شبه بئر است. قرار می­دهیم  و  به آسانی می­توان بررسی کرد که مجموعه خودتوان­های  یک مجموعه کامل از خودتوان­های مثلثی چپ R و نیز حلقه  ،  -سازگار است که  یک درون­ریختی با ضابطه  می­باشد. بنابراین قضیه 3-11  نتیجه می­دهد که  B یک نمایش کامل ماتریس مثلثی تعمیم  یافته برای حلقه    تعیین می­کند که هر حلقه روی قطر اصلی،،  اول است. 

 

تشکر و قدردانی:

 

 نویسندگان مقاله، از داوران محترم، که نظرات و پیشنهاداتشان بر کیفیت مقاله افزود، کمال تشکر و قدردانی را دارد.

 

 

 

 

 

 

 

فهرست منابع

[1] G. F. Birkenmeier, Idempotents and completely semiprime ideals, Comm. Algebra 11 (1983), 567-580.

 [2] G. F. Birkenmeier, H. E. Heatherly, J. Y. Kim, and J. K. Park, Triangular matrix representations, J. Algebra 230 (2000), 558-595.

[3] G.F. Birkenmeier, J.Y. Kim and J.K. Park, Principally quasi-Baer rings, Comm. Algebra 29 (2) (2001), 639-660.

[4] G.F. Birkenmeier and J.K. Park, Triangular matrix representations of ring extensions, J. Algebra 265 (2003), 457-477.

 [5] S. U. Chase, A generalization of triangular matrices. Nagoya Math. J. 18 (1961), 13–25.

 [6] W. E. Clark, Twisted matrix units semigroup algebras, Duke Math. J. (1967), 417-424.

 [7] M. Fliess, Sur divers produits de series fonnelles, Bull. Soc. Math. France, 102 (1974), 181-19l.

 [8] R. Gordon, L.W. Small, Piecewise domains, J. Algebra, 23 (1972), 553-564.

 [9] E. Hashemi and A. Moussavi, Polynomial extensions of quasi-Baer rings, Acta Math. Hungar. 107 (3) (2005), 207-224.

 [10] I. Kaplansky, Rings of operators, Benjamin New York, (1965).

 [11] W. F. Keigher, Adjunctions and commands in differential algebra, Pacific J. Math. 248 (1975), 99-112.

 [12] W. F. Keigher, On the ring of Hurwitz series, Comm. Algebra 25 (6) (1997), 1845-1859.

 [13] W. F. Keigher and F. L. Pritchard, Hurwitz series as formal functions, J. Pure Appl. Algebra 146 (2000), 291-304.

 [14] J. Krempa, Some examples of reduced rings, Algebra Colloq. 3 (4) (1996), 289-300.

 [15] Z. K. Liu, R. Zhao, A generalization of PP-rings and p.q.-Baer rings. Glasg. Math. J. 48 (2) (2006), 217–229.

[16] K. Paykan, Principally quasi-Baer skew Hurwitz series rings, Boll. Unione Mat. Ital. 10 (4) (2017), 607-616.

 

[17] K. Paykan, A study on skew Hurwitz series rings. Ric. mat. 66(2) (2017), 383–393.

[18] Pollingher, P., Zaks, A., On Baer and quasi-Baer rings. Duke Math. J. 37 (1970) ,127–138.

[19] L. W. Small, Semihereditary rings. Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), 656–658.

[20] E. T. Taft, Hurwitz invertibility of linearly recursive sequences, Congressum Numerantium, 73 (1990), 37-40.

 

---

[1] . عهده­دار مکاتبات:                                                                             [e-mail]   Email:

[2] 1 Rickart

 

[3] 2 Kaplansky 

[4] 3 Clark

 

[5] 4 Chase

 

[6] 5 Small

 

[7] 6 Birkenmeier

 

[8] 7 Gorden

 

[9] 8 Small

 

[10] 9 Keigher

 

[11] 10 Fliess

 

[12] 11 Taft

 

[13] 12 Park

 

[14] 13 Hurwitz

 

---