تعمیم‌هایی از نامساوی‌های نوع چبیشف با ضرب هادامارد در فضاهای L^p شامل توابع عملگر مقدار

محورهای موضوعی : آمار

رودین تیموریان ¹ , امیرقاسم غضنفری ²

1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه لرستان، خرم‌ آباد، ایران
2 - گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه لرستان، خرم آباد، ایران

تاریخ دریافت : 1398/06/20 تاریخ پذیرش : 1398/10/19 تاریخ انتشار : 1399/12/01

کلید واژه: Schwarz inequality, Hadamard product, Chebyshev inequality, operator inequality,

چکیده مقاله :

فرض کنید (B(H یک*C- جبر متشکل از تمامی عملگرهای خطی و کراندار روی فضای هیلبرت مختلط H همراه با نرم عملگری باشد که دارای یک پایه متعامد یکه است. همچنین فرض کنید A یک *- زیر جبر باناخ از (B(H و Ω یک فضای هاسدرف فشرده همراه با اندازه رادونμ و [α:Ω→[0,1 یک تابع انتگرال‌پذیر باشد. در این صورت ابتدا فضاهای L^P شامل تمام توابع عملگر مقدارِ انتگرال‌پذیر از Ω به A که نسبت به یک L^p-نرم تعریف شده روی انها دارای نرم متناهی هستند را معرفی می‌کنیم.سپس نشان می دهیم که اگر p و q مزدوج نمایی باشند، برای هر دو عضو واقع در فضای L^P و L^q که دارای خاصیت همنوایی تقریبی برای ضرب هادامارد باشند، یک نامساوی نوع چبیشف عملگری جدید شامل ضرب هادامارد برای این اعضا برقرار خواهد بود. همچنین با استفاده از بعضی خواص تابعک خطی مثبت tr یک نیم- ضرب‌ داخلی برای توابع انتگرال‌پذیر مربعی از عملگرهای واقع در L^2 معرفی و با استفاده از آن نامساوی نوع شوارتس و چبیشف شامل ضرب هادامارد را ثابت خواهیم نمود.

چکیده انگلیسی:

Let B(H) denotes the C*-algebra of all bounded linear operators on a complex Hilbert space H together with the operator norm. Suppose A is a Banach *- subalgebra of B(H) , Ω a compact Hausdorff space equipped with a Radon measure μ and α:Ω→[0,1] is an integrable function. We first introduce the space L^p consists of all operator-valued functions from Ω to A which have finite norm related to a L^p-norm. Next, it is proved that if p and q are conjugate exponents, for every two elements belongs to L^p and L^q with almost synchronous property for the Hadamard product, then we will have a new operator Chebyshev type inequality involving the Hadamard product.Also using some properties of positive linear functional "tr", we introduce a semi-inner product for square integrable functions of operators in L^2. Using the obtained results, we prove the Schwarz and Chebyshev type inequalities dealing with the Hadamard product.

منابع و مأخذ:

[1]   T. Furuta, J. Mićić Hot, J. J. Pečarić and Y. Seo, Mond-J. Pečarić Method in Operator Inequalities. Inequalities for Bounded Selfadjoint Operators on a Hilbert Space, Element, Zagreb, 2005.

[2]   G.P.H. Styan, Hadamard product and multivariate statistical analysis, Linear Algebra Appl. 6 (1973), 217-240.

[3]   P.L. Chebyshev,O približennyh vyraženijah odnih integralov čerez drugie, in: Soobŝćenija i protokoly zasedanĭ Matemmati-českogo občestva pri Imperatorskom Har’kovskom Universitete, No. 2, 1882, pp. 93-98; Polnoe sobranie sočinenĭ P.L. Chebyshev, MoskvaLeningrad, 1948, pp. 128-131.

[4]   G. Grüss, Über das Maximum des absoluten Betrages von , Math. Z. 39 (1934), 215-226.

[5]   S. S. Dragomir, Operators inequalities of the Jensen, Čebyŝev and Grüss type, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, New York, 2012. MR2866026.

[6]   M.S. Moslehian and R. Rajić, Grüss inequality for n-positive linear maps, Linear Algebra Appl. 433 (2010), 1555-1560.

[7]   S. Barza, L.-E. Persson and J. Soria, Sharp weighted multidimensional integral inequalities of Chebyshev type, J. Math. Anal. Appl. 236(2) (1999) 243-253.

[8]   M. W. Alomari, Pompeiu –Čebyŝev type inequalities for selfadjoint operators in Hilbert spaces, Adv. Oper. Theory 3 (2018), no 3, 459-472. MR3795049.

[9]   R. Drnovšck, A. Peperko, Inequalitieson the spectral radius and the operator norm of Hadamard products of positive operators on sequence, Banach J. Math. Anal. 10(2016), no. 4, 800-814. Mr3548627.

[10]    M.S. Moslehian and M.  Bakharad, Chebyshev type inequality for Hilbert space operators, J. Math. Anal. Appl. 420 (2014), 737-749.

[11]    J. Diestel and JR. J. J. Uhl, Vector measures, with a foreword by B. J. Pettis, Mathematical Surveys, No. 15, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1977.

[12]    J. Mikusiński, The Bochner Integral, Birkhauser Verlag Basel, 1978.

[13]    F. Bahrami, A. Bayati Eshkaftaki and S. M. Manjegani, Operator-valued Bochner integrable functions and Jensen's inequality, Georgian Math. J.20, (2013), 625-640.

[14]    X. Li and W. Wu, Operator Jensen's inequality on C*-algebras, Acta Mathematica Sinica, English Series Jan. 30(1) (2014), 35-50.

[15]    J. G. Murphy, C*-algebras and operator theory, Academic Press, Boston, 1990.