توسعه و بهبود شاخص رتبه‌بندی در روش تاپسیس با دادههای فازی تصویری
محورهای موضوعی : مدیریت بازرگانی- بازرگانی
وحیده حجتی نجف آبادی
1
,
رضا مداحی
2
1 - دانشجوی کارشناسی ارشد گروه ریاضی، واحد نجف آباد، دانشگاه آزاد اسلامی، نجف آباد، ایران
2 - استادیار گروه ریاضی، واحد نجف آباد، دانشگاه آزاد اسلامی، نجف آباد، ایران
کلید واژه: تاپسیس, مجموعه فازی, مجموعه فازی شهودی, مجموعه فازی تصویری ,
چکیده مقاله :
از زمانی که در سال ۱۹۶۵، پروفسور لطفی عسگرزاده مجموعة فازی را به جهان معرفی نمود، نظریه‌های جدید زیادی در مورد عدم دقت و عدم قطعیت به وجود آمدند. برخی از این نظریه‌ها، به عنوان یک توسعة فرعی از نظریه مجموعه‌های فازی، مفهومی جدید به نام مجموعه فازی تصویری را مطرح کردند. از طرف دیگر، یکی از روش‌هایی که بسیار در تصمیم‌گیری‌های چندمعیاره مورد استفاده قرار می‌گیرد، روش تاپسیس نام دارد. در این مقاله، ابتدا روش تاپسیس در حضور دادههای فازی تصویری، توضیح داده شده و سپس با استفاده از این روش، با هدف بهبود عملکرد آن، شاخصی جدید برای رتبه‌بندی، توسعه داده می‌شود. در ادامه، با استفاده از نرم‌افزار اکسل، جهت توضیح روش ارائه شده در این مقاله، مثالی حل می‌گردد. همچنین، با حل مثالی با اعداد فازی که در تعریف اعداد فازی تصویری در این تحقیق ارائه شده است، تغییرات لازم با استفاده از نرم‌افزار اکسل انجام شده و فاصله تا حالت ایدئال و ضد ایدئال محاسبه می‌گردد. در نهایت، رتبه‌بندی جدیدی مشخص می‌شود.
- Atanasoff, K.T. (1986). Intuitive Fuzzy Sets Fuzzy Sets and Systems, 20, 87-96.
- Boran, S. G. (2009). A multi-criteria intuitionistic fuzzy group decision making for supplier selection with TOPSIS method. Expert Systems with Applications, 36(8), 11363-11368, https://doi.org/10.1016/j.eswa.2009.03.039.
- Gandotra, S. N. (2021). Use of (R,S)-Norm concept and TOPSIS approach under picture fuzzy environment for application in multi criteria decision making issues. Materials Today: Proceedings, 307, https://doi.org/10.10.16/j.matpr.2021.03.307.
- Hwang, K. Y. (1981). Methods for multiple attribute decision making. Mult. attrib. Decis. Mak., 58-191, https://doi.org/10.1007/978-3-642-48318-9_3.
- Jahanshahloo, F. H. (2006). Extension of the TOPSIS method for decision-making problems with fuzzy data. Applied Mathematics and Computation, 181(2), 1544-1551, https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.02.057.
- Joshi, R. (2020). A new decision making method using R-soft concept and VIKOR approach in fuzzy image environment. Expert System Appl., 147, https://doi.org/10.1016/j.eswa.2020.113228.
- Joshi, R., Kumar, S. (2016). (R-S)- norm information measure and a relation between coding and questionnaire theory, open Syst. Inf. Dyn., 23, https://doi.org/10.1142/S1230161216500153.
- Krinovich, B. C. (2014) Visualize fuzzy sets. J. Comput Science and Cybernetics, 409-416, https://doi.org/10.15625/1813-9663/30/4/5032.
- Krinovich, B.C. (2013). New image-concept fuzzy sets for computational intelligence problems. Departmental Technical Reports, 809, 1-6, https://scholarworks.utep.edu/cs_techrep/809.
- Luca, S. T. (1972). A definition of a nonprobabilistic entropy in the setting of fuzzy sets theory. Inf. Control, 301-312.
- Sadabadi, A. H.-V. (2022). An Improved Fuzzy TOPSIS Method With a New Ranking Index. World Scientific, 615-641, https://doi.org/10.1142/S0219622021500620.
- Son, (2016) Generalized Image Distance Measurement and Applications to Fuzzy Image Clustering ELSEVIER, 284-295, https://doi.org/10.1016/j.asoc.2016.05.009.
- Tzou, G. H. (1983). Fuzzy Multiple Objective Decision Making: Methods and Applications. Fuzzy Sets and Systems, 11.
- Wei, G. (2016). Peacture fuzzy cross-entropy for multiple attribute decision making problems. J. Bus. Econ. Manag, 15, 491-502, https://doi.org/10.3846/16111699.2016.1197147.
- Zadeh. (1965). Fuzzy sets. inf. control, 338-353, https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X.
سال دهم، شماره چهارم، زمستان 1403
توسعه و بهبود شاخص رتبه‌بندی در روش تاپسیس با دادههای فازی تصویری
وحیده حجتی نجفآبادی1، رضا مداحی2
چکیده:
از زمانی که در سال ۱۹۶۵، پروفسور لطفی عسگرزاده مجموعة فازی را به جهان معرفی نمود، نظریه‌های جدید زیادی در مورد عدم دقت و عدم قطعیت به وجود آمدند. برخی از این نظریه‌ها، به عنوان یک توسعة فرعی از نظریه مجموعه‌های فازی، مفهومی جدید به نام مجموعه فازی تصویری را مطرح کردند. از طرف دیگر، یکی از روش‌هایی که بسیار در تصمیم‌گیری‌های چندمعیاره مورد استفاده قرار می‌گیرد، روش تاپسیس نام دارد. در این مقاله، ابتدا روش تاپسیس در حضور دادههای فازی تصویری، توضیح داده شده و سپس با استفاده از این روش، با هدف بهبود عملکرد آن، شاخصی جدید برای رتبه‌بندی، توسعه داده می‌شود. در ادامه، با استفاده از نرم‌افزار اکسل، جهت توضیح روش ارائه شده در این مقاله، مثالی حل می‌گردد. همچنین، با حل مثالی با اعداد فازی که در تعریف اعداد فازی تصویری در این تحقیق ارائه شده است، تغییرات لازم با استفاده از نرم‌افزار اکسل انجام شده و فاصله تا حالت ایدئال و ضد ایدئال محاسبه می‌گردد. در نهایت، رتبه‌بندی جدیدی مشخص می‌شود.
واژه‌های کلیدی: تاپسیس، مجموعه فازی، مجموعه فازی شهودی، مجموعه فازی تصویری
1- مقدمه
مجموعه فازی3 (FS) (Zadeh, 1965) برای اولین بار در سال 1965 توسط پروفسور لطفی عسگرزاده، دانشمند ایرانی‌تبار و استاد دانشگاه ارائه شد. نظریه فازی، نظریه‌ای برای اقدام‌کردن در شرایط عدم قطعیت است. این نظریه، می‌تواند بسیاری از مفاهیم، متغیرها و سیستم‌هایی را که نامشخص و مبهم هستند، به شکل ریاضی درآورد و زمینه را برای استدلال، استنتاج، کنترل و تصمیم‌گیری در شرایطی که اطمینان وجود ندارد، فراهم آورد.
مفهوم مجموعه‌های فازی شهودی4 (IFS) برای اولین بار توسط کراسمیر آتاناسف5 در سال 1983 مطرح گردید. سپس او به بررسی مفهوم مجموعه‌های فازی دوگانه پرداخت و روش‌های مختلفی برای توصیف این نوع از مجموعه‌ها ارائه کرد. همچنین، کاربردهای این نوع از مجموعه‌های فازی در حوزه تصمیم‌گیری چند معیاره و تحلیل پوششی داده‌ها نیز به طور کامل مورد بررسی قرار گرفت. این مقاله، یکی از مقالات پایه‌ای در حوزه مجموعه‌های فازی دوگانه است و تأثیر بسیاری در پژوهش‌های بعدی، در این حوزه داشته است(Atanassov, 1986). مجموعه فازی شهودی، در واقع نوع خاصی از مجموعه فازی است که به کمک آن می‌توان مفهومی را که به صورت نامحدود و بدون نیاز به تعریف دقیق و شفاف است، به صورت فازی تعریف کرد. به عبارت دیگر، در تعریف IFS اطلاعات منفی هم آمده است (Kreinovich, 2013).
اخیراً مجموعه فازی تعمیم‌یافته جدیدی به نام مجموعه فازی تصویری، توسط کانگ و کرینویچ6 پیشنهاد شده است(Kreinovich, 2014). کلمه «تصویر» در PFS به کلیت اشاره دارد؛ زیرا این مجموعه، پسوند مستقیم FS و IFS است .(Son, 2016) به عبارت دیگر،PFS اطلاعات خنثی و منفی را در تعریف خود ادغام می‌کند، به طوری که وقتی مقدار(های) یک (هر دو) از آن درجه‌ها برابر با صفر است، به مجموعه IFS (FS) برمی‌گردد. در مقایسه با IFS،PFS درجه تردید را به دو بخش تقسیم می‌کند: درجه امتناع و درجه خنثی .(Son, 2016) در ادامه مقاله، در قسمتهای تعریف 2 و مثال 1 بحث می‌شود.
روش فازی تاپسیس برای اولین بار توسط هربرت سایمنز7 در دهه 1960 معرفی شد. او این روش را برای انتخاب بهترین گزینه‌ها در برنامه‌ریزی فضایی استفاده کرد. سپس در دهه 1980، جرج ه. تزو8 و دیگران این روش را به شکل فازی توسعه داده و آن را به عنوان روشی برای تصمیم‌گیری چندمعیاره در شرایط عدم قطعیت معرفی کردند. جهانشاهلو9 و همکاران، روش تاپسیس را به مسائل تصمیم‌گیری با دادههای فازی گسترش دادند. در تحقیقات آنها، رتبه‌بندی هر جایگزین و وزن هر معیار اعداد فازی مثلثی بیان شده است (Jahanshahloo, 2006). از آن زمان به بعد، فازی تاپسیس، به عنوان یکی از مهمترین روش‌های تصمیم‌گیری چندمعیاره در شرایط فازی، شناخته شده است. در روش تاپسیس فازی، مزیت تاپسیس با قابلیت تئوری مجموعه‌های فازی برای مدیریت عدم دقت و عدم قطعیت ترکیب می‌شود، به طوری‌که تصمیم مناسب در یک محیط فازی به‌دست می‌آید (Tzou, 1983).
روش تاپسیس10 یک روش تحلیلی چندمعیاره است که برای انتخاب بهترین گزینه از میان فهرست گزینه‌ها، استفاده می‌شود. در این روش، ابتدا ماتریسی از فهرست گزینه‌ها و معیارهای مشخص شده برای ارزیابی آنها تهیه می‌شود. سپس با استفاده از این ماتریس، برای هر گزینه، فاصله آن با بهترین و بدترین گزینه‌ها به روش اقلیدوسی محاسبه می‌گردد. در نهایت، امتیاز تاپسیس برای هر گزینه، به شکل فاصله گرفته شده از بهترین گزینه تقسیم بر مجموع فاصله‌ها محاسبه می‌شود .(Hwang, 1981)
سرانجام، بوران11 و همکاران، روش تاپسیس را با مجموعه فازی شهودی ترکیب کردند تا بهترین گزینه را در یک محیط تصمیم‌گیری انتخاب کنند .(Boran, 2009) آنها با استفاده از اعداد فازی شهودی، امتیاز هر گزینه و وزن هر معیار را بیان کردند. سپس، عدد فازی شهودی نرمال شده را محاسبه نمودند و در نهایت رتبه‌بندی را برای آن اعمال کردند.
در این تحقیق، ابتدا روش تاپسیس با دادههای فازی تصویری، توضیح داده می‌شود. سپس شاخص رتبه‌بندی به منظور بهبود عملکرد، توسعه داده می‌شود؛ با ارایه مثال و تعریف بیان شده در (Son, 2016) و بیان روش R-S نرم در تصمیم‌گیری چندمعیاره12 (MCDM) در مسئله PFS (Gandotra, 2021) ماتریس 
با تعریف مجموعه فازی تصویری ساخته می‌شود و در ادامه، با طرح یک قضیه برای تبدیل یک فضای n بعدی به یک فضای دوبعدی و معرفی شاخص پیشنهادی(Sadabadi, 2022) ، قضیه را برای 
+ 
اثبات نموده و همچنین مثال ارائه شده در مقاله (Gandotra, 2021) به کمک نرم افزار اکسل، تحلیل و بررسی می‌گردد.
2-ادبیات تحقیق
2-1 تعاریف پایه
مجموعه فازی، بر اساس تابع عضویت تعریف می‌شود که تصویر مجموعه، در بازه بسته صفر و یک است. هریک از اعضا، درجه عضویت دارند. اگر درجه عضویت یک عنصر از مجموعه، برابر با صفر (یا یک) باشد، آن عضو، کاملاً از مجموعه خارج (در مجموعه قرار دارد) است. اگر به صورت جزئی، شامل مجموعه فازی باشد، آنگاه درجه عضویت آن بین صفر و یک خواهد بود. چون مجموعه فازی، فقط مقدارهای عضویت و عدم عضویت را نشان می‌دهد، تعریف تعمیم یافته‌ای وجود دارد که علاوه بر موارد ذکر شده، میزان عضویت خنثی را نیز می‌توان محاسبه نمود که در زیر، ارائه شده است.
تعریف 1:
A یک مجموعه فازی شهودی در یک مجموعه مرجع به صورت
A = {(x, 
(x) , 
(x))│ x
X }
که در آن (x)درجه عضویت هر عنصر و (x) درجه عدم عضویت هر عنصر، معرفی شده است که محدودیت‌ها را برآورده می‌کند Atanassov, 1986)).
(x) , (x) [0,1] , 
x 
X,
0
(x) + 
(x) 
1, x X.
ازآنجاکه مجموعه فازی شهودی، فقط مقدارهای عضویت و عدم عضویت و خنثی را نشان می‌دهد، تعریف جامع و کاملی مطرح گردیده که علاوه بر موارد ذکر شده، میزان عضویت امتناع را نیز می‌توان محاسبه نمود که در زیر، تعریف شده است.
تعریف 2:
یک مجموعه فازی تصویری در یک مجموعه غیر خالی X
A = {(x, (x) , 
(x) ,(x))│ xX }
که در آن (x) درجه مثبت هر عنصر x ∈ X،
درجه خنثی و (x) درجه منفی است که محدودیت‌ها را برآورده می‌کند(Atanassov, 1986)
(x) , (x) ,(x) [0,1] , x X,
0 (x) + (x) +(x) 1, x X.
درجه امتناع یک عنصر به صورت 
(x) = 1 - ( (x) +(x) + (x))، ∀x ∈ X محاسبه می‌شود. در حالت PFS اگر 0= (x) به مجموعه IFS برمی‌گردد و وقتی هر دو (x) =
= 0، PFS به مجموعه FS برمی‌گردد(Son, 2016) برخی از ویژگی‌های عملیات PFS، ترکیب محدب PFS و غیره، همراه با اثبات را می‌توان در Atanassov, 1986)) دید.
در ادامه، مثال 1 به منظور تفهیم دو تعریف مذکور، آورده می‌شود.
مثال 1. در یک مرکز انتخاباتی محلی، شورا 500 برگه رأی برای یک نامزد صادر می‌کند. نتایج رأی‌گیری به چهار گروه به همراه تعداد اوراق به نام‌های «رأی موافق» (300)، «ممتنع» (64)، «رأی مخالف» (115) و «امتناع از رأی گیری» (21) تقسیم شده است. گروه «ممتنع» به این معنی است که برگه رأی‌گیری، یک کاغذ سفید است که هر دو «موافق» و «مخالف» را برای نامزد رد می‌کند، اما همچنان رأی می‌دهد. گروه «امتناع از رای دادن» یا استفاده از اوراق رأی‌گیری نامعتبر یا رأی ندادن است. این مثال در واقعیت هم اتفاق افتاد و IFS نتوانست آن را توصیف کند زیرا، عضویت خنثی (گروه «ممتنع») وجود ندارد. از طرف دیگر دقت کنید که در این مثال می توان از PFS برای فازی‌سازی مثال فوق استفاده کرده و تمام حالت های ممکن را در نظر گرفت؛ به این صورت که: میزان عضویت در رای موافق را با (x) ، میزان عضویت در رای مخالف را با (x) ، میزان عضویت در رای ممتنع را با (x) و در نهایت، میزان عضویت در امتناع از رای دادن را با (x) نمایش داد. در قسمت بعد، روش تاپسیس فازی به طور اجمالی معرفی می‌گردد.
3 -روش تاپسیس برای مجموعه فازی تصویری
تصمیم‌گیری چند معیاره، مجموعه روش‌هایی برای اولویت‌بندی بین چندین گزینه در حضور معیارهای مختلف است. مرسوم‌ترین مثالی که برای این روش زده می‌شود، انتخاب بهترین خودرو از بین خودروهای موجود با در نظر گرفتن معیارهایی مانند: مصرف سوخت، قیمت، امنیت، زیبایی و ... است؛ که معمولا گزینه‌ها (در این مثال خودروها) در سطرهای یک ماتریس؛ معیارها (مصرف سوخت، قیمت و ...) در ستون‌های آن ماتریس و عملکرد هر گزینه در هر معیار در مولفه واقع در سطر آن گزینه و ستون آن معیار، نمایش داده می‌شود که به ماتریس مذکور، ماتریس تصمیم گفته می‌شود. واضح است زمانی ماتریس تصمیم قابل تشکیل است که عملکرد هر گزینه در هر معیار، موجود و قابل محاسبه کمی باشد. یکی از روش‌های تصمیم‌گیری چندگانه که برای اولویت‌بندی و رتبه‌بندی گزینه‌ها استفاده می‌شود، روش تاپسیس است. این روش، برای اولین بار در سال 1981 توسط هوانگ و یون13 (Hwang, 1981)ارائه شد. مبنای اصلی این روش، تعیین گزینه ایدئال (گزینه‌ای مجازی براساس دادههای مشاهده شده از گزینه‌های موجود، که بهترین عملکرد را در هر معیار داشته باشد)، تعیین گزینه ضد ایدئال (گزینه‌ای مجازی براساس دادههای مشاهده شده از گزینه‌های موجود که بدترین عملکرد را در هر معیار داشته باشد)، تعیین فاصله هر گزینه با گزینه‌های ایدئال و ضد ایدئال و در نهایت، ترکیب این دو فاصله به عنوان شاخص اصلی اولویت‌بندی گزینه‌ها است. برای مطالعه جزئیات این روش، به (Joshi, 2016) مراجعه شود. در روش تاپسیس معمولی، از یک ماتریس تصمیم استفاده می‌شود که شامل اعداد معمولی است و به تبع آن کلیه محاسبات، با استفاده از محاسبات عادی اعداد حقیقی صورت می‌گیرد.
در سال 1980 جورج ه. تزو و همکاران، روش تاپسیس را برای حالتی که اعداد ماتریس تصمیم، به صورت اعداد فازی باشند، توسعه دادند. از طرفی، اندیس نهایی در روش تاپسیس، دارای معایبی است که راه‌حل‌هایی برای بهبود آن توسط لای، لیو و هوانگ14 در سال 1994 ارائه شد. روش تاپسیس در حضور اعداد فازی تصویری، توسط چن15 در سال 2000 ارائه شد که همچنان اشکال موجود در اندیس نهایی روش تاپسیس که به منظور رتبه‌بندی استفاده می‌شود، همانند روش تاپسیس معمولی، را دارد. دراین پژوهش، مشکل مذکور در روش تاپسیس در حضور اعداد فازی تصویری حل می‌گردد. در ادامه، ابتدا روش تاپسیس در حضور مجموعه فازی تصویری با استفاده از تحقیق سومان و نیراج گاندوترا16 بیان می‌شود.
4-روش شناسی
در نظر بگیرید گروهی کارشناس جمع شده‌اند تا در مورد 
، 
و 
و جایگزینی با معیارهای دقیق، راهنمایی کنند. بنابراین، برای محاسبه هر کدام از موارد خواسته شده، کافی است متناسب با تعریف هر کدام و با توجه به مجموعه مرجع، قابل اندازه‌گیری باشد. به عنوان مثال: در صورت عدم اطمینان، یک مقدار مشخص ارائه دهند: . 
(i; j)در صورت اطمینان از 
و برای محاسبه مقدار عضویت خنثی از 
استفاده می‌کنند. اگر تعداد مجموعه مرجع را Z در نظر بگیریم، آنگاه ، و را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد (Luca, 1972):
(1-4) 
= , 
= , 
=
مرحله اول: ساخت ماتریس تصمیم فازی تصویری17 (PFDM)
مرحله اولیه رویکرد تاپسیس، مربوط به ساخت ماتریس تصمیم است؛ بنابراین، مسئله تصمیم‌گیری چندمعیاره با استفاده از اعداد فازی تصویری را می‌توان با ماتریس تصمیم فازی تصویری [PFM]m×n نشان داد. (Luca, 1972) برای , 
,…... 
(4-2) 
=
مرحله دوم: محاسبه وزن برای معیارهای از پیش تعریف شده
محاسبه وزن در این مرحله، با استفاده از اطلاعات ارائه شده در (Gandotra, 2021) انجام شده است.
J=1,2,…,n)) 
= 
] 
-
= 
به شرطی که 0 R,S 
یا R1 و 
؛ یا S 1 و 
باشد.
مرحله سوم: تشکیل ایدئال مثبت و ایدئال منفی
با توجه به PFSها و روش تاپسیس، گزینه ایدئال مثبت18 PIS (
) و گزینه ایدئال منفی19 NIS (
) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم (Luca, 1972):
(4-3) ؛ (
, ..... , 
, 
) =
(4-4) ، (
, ..... , 
, 
) =
برای اینکه گزینه ایدئال مثبت و گزینه ایدئال منفی با تعریف مجموعه اعداد فازی تصویری مطابقت داشته باشد، لازم است در صورتی که مجموع درجه عضویت مثبت، خنثی و منفی بیشتر از یک شود، باید هر درجه عضویت، به مجموع درجات عضویت گفته شده، تقسیم شود؛ بنابراین تعریف 2 تعمیم داده شده و نیاز است تعریف 
و 
اصلاح شود:
تعریف 3 :
و همچنین تعریف می‌شود:
(4-5) . n , ... , 2 , 1 = j ؛ 
- 
- 
- 1 = 
؛ 
- 
- 
- 1 = 
مرحله سوم: محاسبه فاصله از PIS () و NIS ()
محاسبه فاصله از گزینه ایدئال مثبت و گزینه ایدئال منفی، به شرح زیر انجام می‌شود]4[ :
(6-4) ) 
+
+
+
) 
=) , 
L(
(7-4) ) 
+ 
+
+
) =) , L(
مرحله چهارم: محاسبه شاخص نهایی رتبه‌بندی
برای مشخص‌شدن مقدار شاخص نهایی رتبه‌بندی، نیاز به 
داریم تا در رابطه زیر قرار دهیم:
= 
, i= 1,2,…,n
مرحله پنجم: رتبه‌بندی
با توجه به شاخص نهایی رتبه‌بندی، ترتیب رتبه‌بندی همه گزینه‌ها، مشخص می‌شود. همان‌طور که خواهیم دید، در بیشتر موارد، تاپسیس فازی، مجموع فواصل PIS و NIS برای همه گزینه‌ها تقریباً یکسان است. ازاین‌جهت، تاپسیس فازی فقط فاصله تا NIS را در ترتیب رتبه‌بندی گزینه‌ها استفاده می‌کند و فاصله تا PIS را به طور هم‌زمان در نظر نمی‌گیرد. در ادامه، این اشکال از نظر ریاضی بیان می‌شود. مجموع فواصل از PIS و NIS برای هر جایگزین، تقریباً برابر با تعداد اصلی مجموعه معیارها یعنی n است. اگرچه شاخص شباهت در مرحله 4 به‌خوبی کار می‌کند، اما فاصله تا PIS را در نظر نمی‌گیرد. در ادامه، نشان خواهیم داد که مجموع فواصل PIS و NIS برای هر جایگزین، تقریباً برابر 
است.
در ادامه، قضیه مطرح شده در مقاله هادی20 و همکاران(Sadabadi, 2022) که به این صورت است (
+ 
) n + n را برای + اثبات می‌کنیم.
قضیه: فرض کنید 
= و 
= باشد، در این صورت
+
اثبات:
= 
+ 
= +
+( 
+ 
+ 
+ 
) 
=( 
+ 
+ 
+ 
)
( + + .... + + )
طبق نامساوی مثلث داریم:
+ 
بنابراین:
( 
+ 
+ 
+ 
)
( 
)
( 
)
و طبق تعریف می‌توان گفت:
1 = 
می‌دانیم: 1= ؛ پس می‌توان نتیجه گرفت: =
در ادامه اثبات برای کران بالا + (برای معیار مثبت)
+ + + Max
1 = S.t.
1 0
1 
0
1 
0
1 
0
= } ) + ) (
+ ) )+ (
(
} Max
= + ) 
+ (
Max + 
= + ) 
+ 1 ( Max + 
= + ) + 1 (
Max + 
= Max + ) ( Max - ) ( Max2 -
= ) ( Max - Max + 
= } -{ Max +
1 0 : S.t
( Max - )2 = ) ( Max2 - 2 
If
2 If
از آنجا که اعداد بسیار کوچکی هستند، با توجه به تعریف 1 می‌توان گفت ( Max - ) بسیار کوچک خواهد شد. در نهایت 
( Max - ) در نظر می‌گیریم. بنابراین نتیجه می‌گیریم:
( Max - )2
و در ادامه:
{ + + + } Max
1 = S.t.
1 0
1 0
1 0
1 0
می‌دانیم 
= 
است. بنابراین:
= } ) + ) (
+ ) )+ (
(
} Max
= Max + {) + 
+ -(-} Max + + + 
می‌دانیم max {-f} = -min {f} ؛ بنابراین:
= Max + { + + -} Min - + +
= Max + - -
) ( Max - 
If
) ( Max ) ( Max + - If
- = Max- = ( - ) Max + = ( ) Min-
این روند اثبات، برای معیار منفی نیز قابل‌اثبات است. در پایان می‌توان نتیجه گرفت:
+
5-شاخص پیشنهادی
ازآنجاکه در(Sadabadi, 2022) داریم 
+
و طبق قضیه ارایه شده در این تحقیق می‌توان به جای n از استفاده کرد. بنابراین داریم: 
+
شکل 1 : نمودار مساحت ناحیه‌ها
پس به طور کلی، برای هر 
روی خط + ؛ سه ناحیه وجود دارد (Sadabadi, 2022) و مساحت ناحیه‌ها به صورت زیر تغییر خواهد کرد:
(1-5) ( = 
+ ) 
= 
= 
(2-5) ( = + ) 
= 
= 
و به این صورت ارزش‌گذاری می‌شود.
(3-5) ) 
+ 
( = 
شاخص
که 
معرف کمترین مقدار از بین ها است و 
معرف بیشترین مقدار از بین ها است.
برای درک بهتر و تحلیل مراحل روش‌شناسی، در ادامه، مثال مقاله(Gandotra, 2021)
مجدد با تعریف 3 به کمک نرم‌افزار اکسل حل می‌شود.
مثال 2. فرض کنید نمونه‌ای از انتخابات ایالتی در هند که می‌خواهند وزیر ارشد خود را انتخاب کنند که مشکلات آنها را درک کرده و آنها را به روش بهتری حل کند. اجازه دهید از چهار حزب مختلف:
1) حزب بهارتیا جاناتا (BJP) 2) حزب کنگره 3) حزب Aam Aadmi (AAP)
4) حزب کمونیست هند 4 نامزد به عنوان چهار گزینه جایگزین در نظر بگیریم (
, 
, 
, 
) که در آن شهروندان این ایالت، می‌خواهند وزیر ارشد خود را انتخاب کنند. یک نظرسنجی، توسط کانالی رسانه‌ای از 1000 نفر از ساکنان، انجام شد. 4 ویژگی به عنوان معیار در نظر می‌گیریم: 1- توانایی برقراری ارتباط با تشکیلات 2- توانایی در برابر فساد 3- اعتبار خوب 4- درک صحیح از مسایل داخلی (
, 
, , )
روش تعیین ، و به شرح زیر است:
اگر انتخاب تصادفی، به عنوان حجم نمونه از بین 1000 نفر در نظر گرفته شود که در آن 690 نفر بر اساس معیار به نفع کامل حزب هستند؛ 90 نفر دچار سردرگمی هستند و 20 نفر مخالف با حزب هستند.
پس بر اساس معیار و 1000 = Z و = و = و = برابر است با:
02/0 = 
= و 09/0 = 
= و 69/0 = 
=
بنابراین، می‌توان سایر ورودی‌های ماتریس را نیز پیدا کرد .(Gandotra, 2021)
جدول 1 : ماتریس تصمیم
|
|
|
|
| ||
0.70,0.12,0.04 | 0.07,0.79,0.03 | 0.52,0.24,0.16 | 0.69,0.09,0.02 |
| ||
0.73,0.10,0.14 | 0.63,0.14,0.08 | 0.04,0.72,0.13 | 0.34,0.54,0.11 |
| ||
0.53,0.11,0.23 | 0.58,0.26,0.05 | 0.03,0.75,0.10 | 0.62,0.16,0.04 |
| ||
0.65,0.06,0.08 | 0.13,0.74,0.07 | 0.05,0.77,0.06 | 0.55,0.08,0.21 |
|
|
|
|
|
| ||
0.73,0.06,0.04 | 0.63,0.14,0.03 | 0.52,0.24,0.26 | 0.69,0.08,0.02 |
| ||
0.53,0.12,0.23 | 0.07,0.79,0.08 | 0.03,0.77,0.16 | 0.34,0.54,0.21 |
|
|
|
|
|
| ||
0.411274 | 0.268269 | 0.317790 | 0.233375 | ) | ||
0.203034 | 0.252630 | 0.237754 | 0.332262 | ) |
|
|
|
|
| ||
1.416 | 3.375 | 2.372 | 4.397 |
| ||
4 | 2 | 3 | 1 | Ranking |
بهترین گزینه |
رتبه‌بندی | نتایج روش پیشنهادی | بهترین گزینه |
رتبه‌بندی |
نتایج موجود | روش‌های موجود |
| 1
3
2
4 | 0.5989 = 0.4821 = 0.4959 = 0.3239 = |
| 1
2
4
3 | 0.4872 = 0.4611 = 0.3011 = 0.3128 =
|
|
| 1
3
2
4 | 0.5989 = 0.4821 = 0.4959 = 0.3239 = |
| 1
3
2
4 | 0.5041 = 0.3492 = 0.3941 = 0.3291 =
|
|
| 1
3
2
4 | 0.5989 = 0.4821 = 0.4959 = 0.3239 = |
| 1
3
4
2 | 0.4532 = 0.3814 = 0.2621 = 0.4121 =
|
|
| 1
3
2
4 | 0.5989 = 0.4821 = 0.4959 = 0.3239 = |
| 1
3
2
4 | 0.3321 = 0.2593 = 0.2667 = 0.1759 = | Suman
|
