روش شبه طیفی لژاندر برای حل معادلات دیفرانسیل تاخیری از نوع پانتوگراف چندگانه
محورهای موضوعی : آنالیز عددیمحمد هادی نوری اسکندری 1 , مصطفی محمودی 2 , جواد وحیدی 3 , مهدی قوتمند 4
1 - دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه صنعتی شاهرود، شاهرود، ایران
2 - دانشکده علوم ریاضی ، دانشگاه صنعتی شاهرود، شاهرود، ایران
3 - دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه علم وصنعت ایران، تهران،ایران
4 - دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه صنعتی شاهرود، شاهرود، ایران
کلید واژه: Convergence analysis, Multy Pantograph delay differential equations, Pseudospectral Legendre method,
چکیده مقاله :
معادلات دیفرانسیل تاخیری کاربردهای وسیعی در علوم و مهندسی به خود اختصاص داده است. هنگامی که این معادلاتغیرخطی باشند، معمولا نمی توان جواب دقیق را محاسبه کرد. بنابراین یافتن یک جواب عددی با دقت بالا برای این معادلاتضروری است. در این مقاله یک روش عددی بر مبنای چندجمله ای های لژاندر انتقال یافته برای حل معادلات دیفرانسیلتأخیری از نوع پانتوگراف چندگانه ارائه می دهیم. در این روش از نقاط هم محلی لژاندر-گوس-لوباتو برای گسسته سازی مساله استفاده کرده و مساله را به یک مساله برنامه ریزی غیرخطی تبدیل می کنیم. از حل این مساله برنامه ریزی غیرخطی یک جواب تقریبی برای معادله دیفرانسیل اصلی بدست می آوریم. شدنی بودن مساله برنامه ریزی غیرخطی و همگرایی جواب تقریبی بدست آمده به جواب دقیق را بررسی می نماییم. بعلاوه با حل چندین مثال عددی و مقایسه روش با برخی از روش های موجود ، کارایی و قابلیت روش پیشنهادی را نشان می دهیم.
Delay differential equations have a wide range of applications in science and engineering. When these equations are nonlinear and complex the exact solution can usually not be calculated. So finding a numerical solution with high precision for these equations is essential. In this paper we present a numerical method based on the transferred Legendre polynomials to solve multiple pantograph delay differential equations. In this method we use the Legendre-Gauss-Lobato collocation points to discretize the problem and turn the problem into a nonlinear programming problem. From solving this nonlinear programming problem we get an approximate solution for the the main multiple pantograph delay differential equation. We analyse the feasibility of the nonlinear programming problem and the convergence of the obtained approximate solution to the exact solution. In addition by solving several numerical examples and comparing the method with other methodsWe show the efficiency and the capability of the proposed method.
[1] A. Belloura ,M. Bousselsal, Numerical solution of delay integro-differential equations by using Taylor collocation method, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 37(10), 1491-1506 (2014).
[2] A. H. Bhrawy, L. M.Assas, M.
A.Alghamdi, Fast spectral collocation method for solving nonlinear time-delayed Burgers-type equations with positive power terms, Abstract and Applied Analysis, 12 pages (2013).
[3] C. Canuto, M. Y. Hussaini, A.
Quarteroni, T. A. Zang, spectral method in Fluid Dynamics, Springer, New York (1988).
[4] S. Davaeifar, J. Rashidinia, Solution of a system of delay differential equations of multi pantograph type, Journal of Taibah University for science 11,1141-1157(2017).
[5] M.Dehghan ,F. Shakeri, The use of the decomposition procedure of Adomian for solving a delay differential equation arising in electrodynamics, Physica Scripta, 78(6), 11 pages (2008).
[6] H. M. EL-Hawary, K. A. EL-Shami,
Numerical solution of Volterra delay integro-differential equations via spling/
spectral methods, International Journal of Differential Equations and Applications, 12(3), 149-157 (2013).
[7] X. Feng, An analytic study on the multi-pantograph delay equations with variable coefficients, Bull. Math. Soc.
Sci. Math. Roumanie Tome, 56(104) No. 2, 205-215 ,(2013).
[8] G. Freud, Orthogonal Polynomials,
Pergamom Press, Elmsford (1971).
[9] O.R. Isika,Z.Guneyb and M.Sezera,
Bernstein series solutions of pantograph equations using polynomial interpolation,
Journal of Difference Equations and Applications, 18(3), 357-374 (2012).
[10] H. Jafari, M.Mahmoudi, M. H. Noori Skandari, A new numerical method to solve pantograph delay differential equations with convergence analysis ,Advances in Difference Equations,
2021(1):129,1-12 (2021).
[11] K. Jiang, Q.Huang ,Xi. Xu,
Discontinuous Galerkin Methods for Multi-Pantograph Delay Differential Equations, Advances in Applied Mathematics and Mechanics, 12(1), 189-211 (2020).
[12] D.Li and M.Z.Liu, Runge–Kutta methods for the multi-pantograph delay equation, Applied Mathematics and Computation, 163, 383–395 (2005).
[13] Xu. Lu, M. Cui, Analytic solutions to a class of nonlinear infinite delay differential equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications,
343(2), 724-732 (2008).
[14] M.Mahmoudi, M.Ghovatmand, M.H.
Noori Skandari, A New Convergent Pseudospectral Method for Delay Differential Equations, Iranian journal of science and technology, Transactions A: science 44 (6):1-9 (2020).
[15] M. Mahmoudi, M. Ghovatmand,
M. H. Noori Skandari, A novel numerical method and its convergence for nonlinear delay Voltrra integro-differential equations, Mathematical Methods in the Applied Sciences 43(5), 2357-2368 (2019).
[16] M. Sadeghi Hafshejani, S. Karimi Vanani and J. Sedighi Hafshejani,
Numerical Solution of Delay Differential Using Legendre Wavelet Method, World Applied Sciences Journal, 13, 27-33 (2011).
[17] S. Sedaghat,Y. Ordokhani, M.
Dehghan, Numerical solution of the delay differential equations of pantograph type via chebyshev polynomials,
Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17(12), 4815-4830 (2012).
[18] M. Sezer, S. yalçinbasb, N. ¸Sahin,
Approximate solution of multi-pantograph equation with variable Coefficients, Journal of Computational and Applied Mathematics, 214, 406-416 (2008).
[19] F. Shaker ,M. Dhegihan , Solution of delay differential equations via a homotopy perturbation method,
mathematical and computer modelling,
48, 486-498 (2008).
[20] YX. Wei,YP. Chen ,Legendre spectral collocation methods for pantograph Volterra delay integro-differential equations ,Journal of Scientific Computing, 53(3), 672-688 (2012).
[21] Y.Yang, E.Tohidi, Numerical solution of multi-Pantograph delay boundary value problems via an efficient approach with the convergence analysis, Computational and Applied Mathematics, 38, 127 (2019).
[22] S. Yuzbasi, M. Sezer, Shifted Legendre approximation with the residual correction to solve pantograph-delay type differential equations, Appl. Math.
Model. 39(21), 6529-6542 (2015).
[23] S.Yuzbasi, M.Sezer, An exponential approximation for solutions of generalized pantograph-delay differential equations, Applied Mathematical Modelling, 37(22), 9160-9173 (2013).
[24] S. Yuzbasi, An efficient algorithm for solving multi-pantograph equation systems, Computers and Mathematics with Applications 64, 589-603 (2012).
[25] Z.H. Yu, Variational iteration method for solving the multi-pantograph delay equation, Physics Letters A 372, 6475–6479 (2008).