معادلات اویلر-لاگرانژ و مکانیک هندسی بر گروه های لی با پتانسیل

محورهای موضوعی : آمار

علی سوری ^{1 *}

1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه بوعلی سینا همدان، ایران

تاریخ دریافت : 1396/09/03 تاریخ پذیرش : 1397/06/10 تاریخ انتشار : 1398/10/01

کلید واژه: Euler-Lagrange equations, Lagrangian, Camassa-Holm equations, Spray, Rigid body,

چکیده مقاله :

چکیده: فرض کنید G یک گروه لی، احتمالا با بعد نامتناهی، مدل شده بر فضای باناخ E باشد. د ر این مقاله ابتدا معادلات اویلر-لاگرانژ بر گروه لیG با متر پایای راست در حضور پتانسیل را معرفی می کنیم. معادلات اویلر-لاگرانژ تعمیم طبیعی معادلات ژئودزیک بر منیفلدها و گروه های لی هستند. در بخش دوم، هندسه سیستم مکانیکی حرکت یک جسم صلب با یک نقطه ثابت در میدان گرانش را مطالعه می کنیم. این سیستم مکانیکی را معمولا با نام فرفره متقارن می شناسند. سپس نشان می‌دهیم که معادلات استخراج شده توسط این نظریه با معادلات شناخته شده فرفره منطبق هستند. در پایان، به عنوان یک مثال از حالت بعد نامتناهی، به مطالعه معادلات کاماسا-هلم بر گروه بات-ویراسورو در حضور پتانسیل می پردازیم. گروه بات-ویراسورو به صورت حاصل ضرب گروه همه وابرسانی های دایره از کلاس سوبولف با خط حقیقی می باشد و منظور ما از یک پتانسیل برگروه لی G، یک تابع مشتق پذیر از G به خط حقیقی است.

چکیده انگلیسی:

Abstract. Let G be a Banach Lie group modeled on the Banach space, possibly infinite dimensional, E. In this paper first we introduce Euler-Lagrange equations on the Lie group G with potential and right invariant metric. Euler-Lagrange equations are natural extensions of the geodesic equations on manifolds and Lie groups. In the second part, we study the geometry of the mechanical system of a rigid body with a fixed point in the gravitational field. This Mechanical systems is usually know as symmetric heavy top. Then we show that the extracted equations by this theory coincide with the known equations of heavy top. Finally, as an infinite dimensional example, we study the Camassa-Holm equations on Bott-Virasoro group at the presence of potential. Bott-Virasoro group is the product of the group of diffeomorphisms of the circle of Sobolev class by the real line and by a potential on a Lie group G we mean a differentiable function from G to the real line R.