اصول جداسازی در توپولوژی ساختاری
محورهای موضوعی : آمارمحمدظاهر کاظمی بانه 1 * , سیدناصر حسینی 2
1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه کردستان، سنندج، ایران.
2 - گروه ریاضی محض، دانشکده ریاضی و کامپیوتر، دانشگاه شهید باهنر کرمان، کرمان
کلید واژه: اصول جداسازی, توپولوژی ساختاری, زیرشیئ باز, زیرشیئ بسته, ساختار توپولوژی.,
چکیده مقاله :
در مقاله [3] به وسیله حسینی-امینی مفهوم توپولوژی ساختاری ، پیوستگی ساختاری معرفی و ثابت شده است که این مفهوم به نوعی تعمیم رسته ای از توپولوژی استاندارد و توپولوژی‌های فازی در حالات مختلف است. در مقاله [5] ساختار توپولوژی و توپولوژی ساختاری به صورت یک چهارتایی از تبدلات طبیعی و یک زوج از تابگون‌ها از یک رسته به یک رسته‌ی کامل و از آن ,به وسیله حسینی-کاظمی بانه رسته‌ی فضاهای توپولوزیکی ساختاری $\stop$ تعریف شده است. همچنین مفاهیم توپولوژی القایی، توپولوژی هم‌القیی، توپولوژی گسسته و ناگسسته در این رسته توپولوژی ساختاری روی یک شیئ متناظر با همین مفاهیم در رسته‌ی فضاهای توپولوژی استاندارد معرفی و اثبات شده است. علاوه برآن بعضی ویژگی‌های کاتگوریکی همچون برابرساز، ضرب دوتایی، شیئ نهایی، حدمتناهی و نامتناهی و شرایط کافی برای وجود این مفاهیم رسته‌ای در این رسته مورد بحث و بررسی قرار گرفته است. در این مقاله مفاهیم زیرشیئ، تک نقطه‌ای، رسند و وست (متناظر با اشتراک و اجتماع) دو زیرشیئ، مفهوم باز و بسته بودن در یک توپولوژی ساختاری روی یک شیئ، اصول جداسازی T_1،T_0 و هاوسدورف بودن تعریف و بعضی نتایج و معادلهای آنها از جمله رابطه بین T0 و بسته‌بودن تک نقطه‌ای و رسند یک خانواده از زیرشیئ‌های باز شامل تک نقطه ای و رابطه بین هاوسدورفی و مجموعه‌ی بسته‌ی شامل تک نقطه‌ای مورد بحث و بررسی قرار می‌گیرد. در پایان این مقاله مجموعه‌ای از مثالها در رسته‌های متفاوت از جمله رسته‌ی فضاهای توپولوژیک استاندارد، فضاهای توپولوژیک فازی و رسته‌ی باریک کامل یک رده‌ی مرتب جزئی به عنوان نمونه از این مفاهیم تعمیم یافته آورده شده است.
The notion of structural topology is introduced in [3]. There it is shown that standard topology as well as several fuzzy topologies fall within this framework. The category STop of structural topological spaces is defined in [5], where it is shown that under certain conditions, the category has equalizers, terminal objects, binary products and (finite) limits. Here we define singleton subject, open and closed subobjects. So we introduce separation axioms as T0, T1 and Hausdorffness, relative to a given singleton function, for an object in Stop. We investigate some equivalents of Hausdorffness and we prove under certain conditions the T0 property is equivalent to closedness of singletons and every singleton is the meet of a class of open subobjects. At the end we give several examples as standard topological spaces category, fuzzy topological spaces category, small complete lattice in which binary meet distributes over arbitrary join as a complete category and we investigate separation axioms on the objects of those categories.
[1]. J. Adamek, H. Herrlich, G.E. Strecker, Abstract and Concrete Categories, Wiley, New York, 2004.
[2].G. Gratzer, General Lattice Theory, Academic Press Inc., 1978.
[3].S. N. Hosseini, R. Amimi, Structural Topology in a Category, Iranian Journal of Fuzzy Systems, Volume 18, Number 6, (2021), pp. 45-54.
[4].P. T. Johnstone, Topos Theory, Academic Press, London, New York, San Francisco, 1977.
[5].S. N. Hosseini, M.Z. Kazemi Baneh, Limits in the Category of Structural Topological Spaces, U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 86, Iss. 2, 2024, pp 55-70.
[6].S. MacLane, I. Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic, A First Introduction to Topos Theory, Springer-Verlag, New York, 1992.
[7].S. Vickers, Topology via Logic, Cambridge University Press, 1989.