رویکردی نوین در بکارگیری روش تحلیل هموتوپی

محورهای موضوعی : آنالیز عددی

مجتبی قنبری ¹

1 - گروه ریاضی، واحد علی آباد کتول، دانشگاه آزاد اسلامی، علی آباد کتول، ایران

تاریخ دریافت : 1400/03/24 تاریخ پذیرش : 1401/08/01 تاریخ انتشار : 1402/06/10

کلید واژه: Approximate solution, Homotopy analysis method, Series solution, Nonlinear initial value problem,

چکیده مقاله :

یکی از روش های بسیار مهم در حل مسائل خطی و غیرخطی، روش تحلیل هموتوپی است که توسط لیائو در سال 1992 مطرح گردید. هدف اصلی این مقاله، بهبود روش تحلیل هموتوپی است که این نوع بهبود یافته را روش تحلیل هموتوپی متوالی نامگذاری نموده ایم. جهت مقایسه ی نتایج به دست آمده توسط روش تحلیل هموتوپی و نوع متوالی آن، چندین مثال عددی ارائه شده است که نتایج نشان می دهند، حجم محاسبات در روش تحلیل هموتوپی متوالی نسبت به نوع معمولی آن کمتر است. همچنین، برخلاف روش تحلیل هموتوپی، جواب های عددی به دست آمده توسط روش تحلیل هموتوپی متوالی در یک محدوده ی نسبتاً وسیعی رضایتبخش هستند. بنابراین، با توجه به روش تحلیل هموتوپی متوالی، می توان انواع مختلف معادلات ریاضی خطی و غیرخطی و همچنین معادلاتی غیر خطی که در سایر رشته های علمی مانند فیزیک و مکانیک به وجود می آیند را به صورت عددی حل نمود.

چکیده انگلیسی:

One of the most important methods for solving linear and nonlinear problems is the homotopic analysis method, which was proposed by Liao in 1992. The main purpose of this paper is to present a modification of homotopy analysis method (HAM), which is called successive homotopy analysis method (SHAM). Several numerical examples are presented to present a comparison between the results obtained by homotopy analysis method and its successive type. The results show that the calculation volume in the successive homotopy analysis method is less that the homotopy analysis method. Also, unlike the homotopy analysis method, the numerical solutions obtained by the successive homotopy analysis method are satisfactory over a relatively wide range. So, by using the successive homotopy analysis method, various types of linear and nonlinear mathematical equations and also some nonlinear equations which are obtained in other scientific branches, for instance physics, mechanics and etc, can be solved numerically.

منابع و مأخذ:

 

[1] S. J. Liao, The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems. Ph.D. Thesis, Shanghai Jiao Tong University (1992)

 

[2] J. X. Li, Y. Yan, W. Q. Wang, Time-delay feedback control of a cantilever beam with concentrated mass based on the homotopy analysis method, Applied Mathematical Modelling 108:629-645(2022)

 

[3] P. Khaneh Masjedi,P. M. Weaver, Analytical solution for arbitrary large deflection of geometrically exact beams using the homotopy analysis method, Applied Mathematical Modelling 103: 516-542(2022)

 

[4] E. Botton, J.B. Greenberg, A. Arad, D. Katoshevski, V. Vaikuntanathan, M. Ibach, B. Weigand, An investigation of grouping of two falling dissimilar droplets using the homotopy analysis method, Applied Mathematical Modelling 104:486-498(2022)

 

[5] S. Abbasbandy, T. Hayat, On series solution for unsteady boundary layer equations in a special third grade fluid. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16:3140-3146(2011)

 

[6] S. Abbasbandy, E. Shivanian, Predictor homotopy analysis method and its application to some nonlinear problems. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16:2456-2468(2011)

 

[7] R. A. Van Gorder, K. Vajravelu, On the selection of auxiliary functions, operators, and convergence control parameters in the application of the Homotopy Analysis Method to nonlinear differential equations: A general approach. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 14:4078-4089(2009)

 

[8] Chuang Yu, Hui Wang, Dongfang Fang, Jianjun Ma, Xiaoqing Cai, Xiaoniu Yu, Semi-analytical solution to one-dimensional advective-dispersive-reactive transport equation using homotopy analysis method. Journal of Hydrology 565:422–428(2018)

 

[9] M.R. Shirkhani, H.A. Hoshyar, I. Rahimipetroudi, H.Akhavan, D.D.Ganji,  Unsteady time-dependent incompressible Newtonian fluid flow between two parallel plates by homotopy analysis method (HAM), homotopy perturbation method (HPM) and collocation method (CM). Propulsion and Power Research 7:247-256(2018)

 

[10] S. Hussain, A. Shah, S. Ayub, A. Ullah, An approximate analytical solution of the Allen-Cahn equation using homotopy perturbation method and homotopy analysis method. Heliyon 5(12):1-9(2019)

 

[11] P.A. Naik, J. Zu and M. Ghoreishi, Estimating the approximate analytical solution of HIV viral dynamic model by using homotopy analysis method. Chaos, Solitons and Fractals, 131:1-21(2020)

 

[12] G. Zhang, Z. Wu, Homotopy analysis method for approximations of Duffing oscillator with dual frequency excitations. Chaos, Solitons and Fractals 127:342–353(2019)

 

[13] Y. Zhang, Y. Li, Nonlinear dynamic analysis of a double curvature honeycomb sandwich shell with simply supported boundaries by the homotopy analysis method. Composite Structures 221:1-12(2019)

[14] A. Jafarimoghaddam, On the Homotopy Analysis Method (HAM) and Homotopy Perturbation Method (HPM) for a nonlinearly stretching sheet flow of Eyring-Powell Fluids. Engineering Science and Technology, an International Journal 22:439-451(2019)

متن کامل:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال نهم، شماره چهل و یکم، فروردین و اردیبهشت 1402

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

 

رویکردی نوین در بکارگیری روش تحلیل هموتوپی

 

        

مجتبی قنبری¹

 

 

گروه رياضي، واحد علی آباد کتول، دانشگاه آزاد اسلامي، علی آباد کتول، ايران

 

 

 

تاريخ ارسال مقاله:         24/04/1400   تاريخ پذيرش مقاله: 01/08/1401

چکيده

یکی از روش­های بسیار مهم در حل مسائل خطی و غیرخطی، روش تحلیل هموتوپی است که توسط لیائو در سال 1992 مطرح گردید. هدف اصلی این مقاله، بهبود روش تحلیل هموتوپی است که این نوع بهبود یافته را روش تحلیل هموتوپی متوالی نامگذاری نموده­ایم. جهت مقایسه­ نتایج به دست آمده توسط روش تحلیل هموتوپی و نوع متوالی آن، چندین مثال عددی ارائه شده است که نتایج نشان می­دهند، حجم محاسبات در روش تحلیل هموتوپی متوالی نسبت به نوع معمولی آن کمتر است. همچنین، برخلاف روش تحلیل هموتوپی، جواب­های عددی به دست آمده توسط روش تحلیل هموتوپی متوالی در یک محدوده نسبتاً وسیعی رضایت­بخش هستند. بنابراین، با توجه به روش تحلیل هموتوپی متوالی، می­توان انواع مختلف معادلات ریاضی خطی و غیرخطی و همچنین معادلاتی غیرخطی که در سایر رشته ­های علمی مانند فیزیک و مکانیک به وجود می­آیند را به صورت عددی حل نمود.

 

 

 

 واژه‌هاي کليدي: سری جواب، روش تحلیل هموتوپی، مسائل مقدار اولیه ی غیرخطی، جواب تقریبی.

 

 

---

[1] . عهده­دار مکاتبات: Email: [e-mail]

1- مقدمه

یکی از روش­هایی که در چند سال گذشته کارهای پژوهشی بسیاری بر روی آن صورت گرفته است، روش تحلیل هموتوپی (HAM)¹ می­باشد. این روش که در سال 1992 توسط پروفسور لیائو مطرح گردید [1] به عنوان یکی از روش­های مؤثر در حل انواع مختلف معادلات غیرخطی شناخته می­شود [2، 3، 4، 5، 6 و7]. به عنوان نمونه، برخی از تازه­ترین کارهای پژوهشی صورت گرفته در مورد این روش را در ادامه معرفی می­نماییم.

در سال 2018، چوانگ یو و همکاران، از روش تحلیل هموتوپی برای حل نیمه تحلیلی نوع خاصی از معادله­ حمل و نقل استفاده نمودند [8]. همچنین در همان سال شیرخانی و همکاران، کاربردی از روش تحلیل هموتوپی و چند روش دیگر را در مبحث جریان سیال نیوتنی بین دو صفحه موازی ارائه دادند [9]. در سال 2019، حسین و همکاران، یک جواب تحلیلی تقریبی را برای معادله­ آلن-کان که معادله­ای است برای توصیف پدیده­های فیزیکی طبیعی، براساس روش تحلیلی هموتوپی ارائه دادند [10]. همچنین احمد نایک و همکاران، با استفاده از روش تحلیل هموتوپی، توانستند یک جواب تحلیلی تقریبی برای مدل دینامیکی ویروس HIV ارائه دهند [11]. ضمناً برای اطلاعات بیشتر در خصوص جدیدترین مقالات چاپ شده در رابطه با روش تحلیل هموتوپی، می­توان به منابع [12،13،14،15و16] مراجعه نمود.

هدف اصلی این مقاله آن است که روش تحلیل هموتوپی را به گونه­ای جدید روی مسائل مقدار اولیه اجرا کند، به طوری که نتایج عددی به دست آمده نسبت به اجرای معمولی روش تحلیل هموتوپی، در یک بازه­ بزرگتر، به­ جواب همگرا باشد.

در این مقاله این نوع بهبود از روش تحلیل هموتوپی

را روش تحلیل هموتوپی متوالی²  یا به صورت مختصر SHAM می­نامیم.

 

2- روش تحلیل هموتوپی

برای معرفی این روش، معادله دیفرانسیل غیرخطی زیر را در نظر بگیرید

(1)                                  

 

که در آن  یک عملگر دیفرانسیل کلی که شامل قسمت­های خطی و غیر­خطی است، می­باشد. همچنین در معادله ی (1) تابع  یک تابع معلوم،  متغیر مستقل و  یک تابع مجهول می­باشد. در این قسمت، برای سادگی کار، از شرایط اولیه و مرزی که بر مسأله مورد بحث حاکم است، صرف نظر می­کنیم. با استفاده از مفهوم هموتوپی، لیائو معادله­ای به نام "معادله تغییر شکل مرتبه­ صفر ام³" به صورت

 

(2)                     

 

 معرفی نمود [1]. در معادله (2)، پارامتر  را "پارامتر نشانده⁴" می­نامند که عددی است بین صفر تا یک، یا به عبارتی دیگر . همچنین پارامتر ناصفر  را "پارامتر کنترل همگرایی" می­نامند و تابع ناصفر  یک تابع کمکی،  یک عملگر خطی کمکی،  یک حدس اولیه از تابع مجهول  و  تابعی مجهول می­باشد. نکته مهم در این روش آن است که آزادی عمل زیادی برای انتخاب پارامترها و توابع کمکی برای رسیدن به همگرایی، وجود دارد. واضح است هرگاه قرار دهیم ، آنگاه با استفاده از معادله (2) داریم  و نیز هرگاه ، آنگاه . بنابراین هرگاه پارامتر  از صفر به یک افزایش یابد، آنگاه ، از حدس اولیه  به جواب  تغییر می­یابد. همچنین، با محاسبه بسط مک لورن تابع  نسبت به پارامتر ، خواهیم داشت

(3)            

که در آن

(4)                  

 

هرگاه عملگر خطی ، حدس اولیه، پارامتر کنترل همگرایی  و تابع کمکی ، به طور مناسب انتخاب شوند، آنگاه سری(3)به ازای  همگرا خواهد بود. دراین­صورت خواهیم داشت

 

 

یعنی سری فوق، یک جواب برای معادله دیفرانسیل غیرخطی (1) خواهد بود [1]. حال برای تعیین روابطی جهت به دست آوردن ها، بردار  را به صورت زیر تعریف می­کنیم

 

 

در این صورت، هرگاه از معادله ی (2) نسبت به پارامتر ،  بار مشتق گرفته و بعد از آن قرار دهیم  و در نهایت بر  تقسیم نماییم، آنگاه معادله زیر که به معادله­ی تغییر شکل مرتبه ام معروف است، به دست خواهد آمد:

               

          (5)        

 

که در آن

 

و

  

 

بعد از محاسبه­ ها، می­توان جواب تقریبی مرتبه ام را با نماد  و به صورت زیر ارائه داد:

(6)                                

 

که در این صورت نتیجه خواهیم گرفت:

 

 

در سال 2003، لیائو قضیه ذیل را در خصوص سری جواب به دست آمده  ارائه داد [17].

 

قضيه 2-1: هرگاه سری به دست آمده  و همچنین سری   همگرا باشند، آنگاه سری ، جوابی برای معادله ی دیفرانسیل غیرخطی  است.

همچنین در سال 2009، ونگوردر و همکارانش، چندین شرط لازم و کافی برای همگرایی سری جواب  ارائه دادند [7]. نکته­ای که در اجرای این روش می­بایستی به آن توجه شود، تاثیر انتخاب مقدار پارامتر  روی همگرایی سری جواب  است. یک روش برای انتخاب مقدار مناسب ، رسم منحنی جواب تقریبی یا مشتقات آن بر اساس پارامتر ، به ازای نقطه یا نقاط ابتدایی است. براساس این منحنی که به -منحنی⁵ معروف است، ناحیه­ای که در آن منحنی تقریباً موازی محور افقی است، به عنوان ناحیه معتبر برای  شناخته می­شود. همچنین در سرتاسر این مقاله، براساس قضیه 1-6 مرجع [7] و بدون از دست دادن کلیت، قرار می­دهیم .

در ادامه، روش­تحلیل هموتوپی ­را بروی یک معادله دیفرانسیل معمولی به کار می­بریم و نتایج حاصل از آن را مورد بررسی قرار می­دهیم.

 

مثال 2-1: معادله­ دیفرانسیل­ مرتبه دوم غیرخطی  را با شرایط اولیه  و  و با تابع جواب  در نظر بگیرید. با استفاده از روش تحلیل هموتوپی می­توان دستور تکراری زیر را به دست آورد.

 

 

   

 

 

 

در دستور تکراری فوق تابع شروع را  در نظر می­گیریم. جهت به دست آوردن ناحیه مناسب ، برای همگرایی سری جواب، نمودار -منحنی را برای مشتق دوم تقریب ام تابع جواب، یعنی تابع  به ازای  در شکل 1 رسم نموده­ایم. براساس شکل

1، ناحیه مناسب  تقریباً برابر  است. برای مقایسه­ نتایج به دست آمده با جواب دقیق، نمودار تقریب مرتبه­ ام جواب یعنی  را به همراه نمودار جواب دقیق ­به ازای 

در شکل 2 رسم شده­اند. از روی شکل 2 مشخص است  که برای تقریب ام به ازای  نتایج بهتری به دست می­آید.

از طرفی همانطور که از شکل 2 نتیجه می­شود، بعد از انجام محاسبات بسیار و به دست آوردن تقریب مرتبه ام، در بهترین حالت، از  الی  توانستیم نتایج خوبی کسب نماییم. بدیهی است هر گاه بخواهیم در بازه بزرگتری  نتایج مناسبی به دست آوریم، می­بایستی تعداد تکرار را افزایش داده که این امر مستلزم صرف زمان بسیاری است. بنابراین در این مثال، همگرایی روش تحلیل هموتوپی بسیار کند است. برای درک بهتر مطالب ذکر شده، خطای نسبی تقریب مرتبه ام، به ازای هاو های مختلف در جدول 1 ارائه شده است. واضح است که حصول چنین نتایجی مستلزم انجام محاسبات طولانی و صرف زمان بسیار است. طبق جدول 1 و در بهترین حالت که همان حالت  است، خطای نسبی به دست آمده تا اندکی بیش از  عدد کوچکی است. اما به ازای های بزرگتر، خطای نسبی به سرعت افزایش می­یابد. این وضع، به ازای مابقی ها شرایط بدتری به­خود می­گیرد. لذا­ برای این­ مثال بسیار­ ساده، سرعت همگرایی روش تحلیل هموتوپی بسیار کند است.

 

 

---

[1]  Homotopy Analysis method

[2]  Succesive homotopy analysis method

[3]  Zero-order deformation equation

[4]  Embedding parameter

[5]  -curve

 

شکل 1: نمودار -منحنی حاصل از تقریب ام، برای مثال 2-1.

 

شکل 2: مقایسه جواب تقریبی مرتبه ام با جواب دقیق و به ازای  های مختلف، برای مثال 2-1.

 

جدول 1: خطای نسبی جواب تقریبی مرتبه­ ام به دست آمده با استفاده از روش تحلیل هموتوپی برای مقادیر مختلف ، برای مثال 2-1.

 

 

3- روش پیشنهادی

معادله­ی دیفرانسیل غیرخطی (1) را در نظر بگیرید و فرض کنید که  به ­عنوان جواب شروع مسأله باشد که از روی شرایط اولیه و یا مرزی حاکم بر مسأله به دست می­آید. با توجه به مطالب بیان شده در قسمت قبل، هرگاه روش تحلیل هموتوپی را روی این معادله اجرا کنیم و تقریب ام را به دست آوریم، آنگاه این تقریب به صورت معادله (6) است که در آن مؤلفه­های ، به ازای ، از روی معادله­ (5) به دست می­آیند. بنابراین برای به دست آوردن تقریب ام می­بایستی  بار از معادله­ (5) استفاده نموده تا مؤلفه­های ، ، ...،  به دست آید. در این صورت همان طور که در مثال 2-1 ملاحضه شد، ممکن است خطای نسبی جواب­های به دست آمده تنها به ازای بازه کوچکی از ، اعداد نزدیک به صفر، باشند.

حال در این قسمت می­خواهیم روش تحلیل هموتوپی را به گونه­ای دیگر روی معادله­ (1) اجرا نماییم، به طوری که با همان  بار استفاده از معادله­ (5)، بتوان جواب­هایی به دست آورد که در بازه بزرگتری از ، خطای نسبی کمتری نسبت

به اجرای معمولی این روش داشته باشد.

برای توصیف این نحوه اجرای جدید، ابتدا فرض کنید که بخواهیم معادله دیفرانسیل (1) را در بازه ی ، حل نماییم. همچنین فرض کنید که ، عددی باشد که بر عدد  بخش پذیر باشد، که در این صورت قرار می­دهیم:

 

 

به طور مثال، در ساده­ترین حالت ممکن، می­توان قرار داد  و . حال بازه ی  را به  قسمت مساوی به طول گام  تقسیم می­کنیم و نقاط ، ، …،  را به صورت زیر به دست می­آوریم.

 

 

حال مسأله (1) را در بازه  به روش تحلیل هموتوپی و با جواب شروعی که از روی شرایط اولیه و یا مرزی به دست آید، حل می­کنیم و جواب تقریبی مرتبه  ام را به دست می­آوریم. این جواب را به دلیل آن که مربوط به اولین زیر بازه است با نماد زیر نشان می­دهیم:

 

 

که در آن  همان جواب شروع است و ، به ازای ، از روی معادله (5) به دست می­آیند. واضح است که در این مرحله، بار از معادله (5)جهت به دست آوردن مؤلفه های جواب استفاده می­شود.

در مرحله بعدی اجرا، معادله (1) را در بازه  به روش تحلیل هموتوپی حل می­کنیم و در این بازه هم، جواب تقریبی مرتبه ام را به دست می­آوریم. نکته مهم در این بخش آن است که برای انتخاب جواب شروع در این مرحله، از مقادیر تابع  و مشتقات آن در نقطه­  استفاده می­کنیم. جواب به دست آمده در این مرحله که مربوط به­زیربازه­ دوم است را با نماد

 نشان می­دهیم.

روند فوق را در بقیه زیر بازه­های ادامه می­دهیم و جواب­های  را که به ترتیب مربوط به زیر بازه­های سوم، چهارم الی ام است را به دست می­آوریم.

همان طور که واضح است، در این نوع نحوه اجرا، روش تحلیل هموتوپی را به صورت متوالی روی تمام زیر بازه­ها اجرا می­کنیم و از نتیجه به دست آمده در هر زیر بازه برای انتخاب جواب شروع در زیربازه بعدی استفاده می­نماییم. بدین جهت در این مقاله، این نوع نحوه اجرای روش تحلیل هموتوپی، با نام "روش تحلیل هموتوپی متوالی" نامگذاری شده است.

نکاتی در خصوص این نوع بهبود از روش تحلیل هموتوپی وجود دارد که در ادامه به آنها اشاره می­کنیم:

1) برای به دست آوردن جواب در هر زیر بازه، بار از معادله (5) استفاده می­شود. بنابراین در مجموع، برای به دست آوردن جواب در کل بازه ، در مجموع  بار از معادله (5) استفاده می­کنیم که برابر همان تعداد بار استفاده­ای است که برای به دست آوردن جواب تقریبی مرتبه ام بوسیله روش تحلیل هموتوپی معمولی انجام شده است. بنابراین، می­توان یک مقایسه منصفانه ایی بین این دو روش انجام داد.

2) جواب تقریبی که براساس روش تحلیل هموتوپی متوالی به دست می­آید، در واقع، فرم یک تابع چندضابطه­ای به صورت زیر را دارد:

 

 

که در آن ، عدد دلخواهی است که بر ، بخش پذیر می­باشد و  و همچنین  به ازای هر .

3) همان طور که پیش­تر بیان شد، هرگاه بخواهیم با استفاده از روش تحلیل هموتوپی معمولی، جواب تقریبی مرتبه ام   را برای معادله (1) بیابیم، ابتدا می­بایستی با استفاده از معادله (5)، ها را به ازای  به دست آوریم. در این قسمت، عموماً با افزایش ، از  به ، ضابطه  در هر مرحله نسبت به مرحله قبل طولانی­تر می­شود، که این امر، به ازای های بزرگ، موجب افزایش حجم محاسبات و در نتیجه صرف زمان زیادی برای اجرای روش و به دست آوردن جواب تقریبی مرتبه ام است.

در حالی که هرگاه بخواهیم  را با استفاده از روش تحلیل هموتوپی متوالی به دست آوریم می­بایستی  را به ازای  و  که تعداد کل آنها برابر  است، را تعیین کنیم. در این روش به دلیل آنکه در هر زیر بازه، روش را به طور مستقل اجرا می­کنیم و فقط از جواب به دست آمده در هر زیربازه برای انتخاب جواب شروع در زیربازه بعدی استفاده می­کنیم، لذا افزایش حجم محاسبات در یک زیربازه ارتباطی با افزایش آن در زیربازه بعدی ندارد. به همین دلیل در این حالت، با ازای هر ، با افزایش ، از  به ، حجم محاسبات افزایش می­یابد و سپس با تغییر  به ، حجم محاسبات به حالت اولیه و شروع برگشته و دوباره با افزایش ، از  به ، سیر صعودی می­گیرد. این روند آنقدر ادامه دارد تا به زیربازه آخر برسد.

بنابراین با توجه به آنکه ، افزایش حجم محاسبات در این روش نسبت به روش معمولی آن، کنترل شده است. به این معنی که حل یک مسأله با حجم محاسبات بالا را به حل چند مسأله با حجم محاسبات نسبتاً کمتر، تبدیل می­کند.

4) برای بهتر نشان دادن مزیت­های روش تحلیل هموتوپی متوالی نسبت به نوع معمولی آن، می­بایستی بازه­ای که مسأله موردنظر روی آن حل می­شود، و همچنین مرتبه جواب تقریبی، نسبتاً بزرگ انتخاب شود. در این صورت خواهیم دید که اگرچه ممکن است در نقاط نزدیک به ابتدای بازه، روش تحلیل هموتوپی معمولی جواب­های بهتری نسبت به روش تحلیل هموتوپی متوالی دهد، امّا هر چه به انتهای بازه نزدیک­تر شویم، این موضوع به صورت شدیدتری حالت عکس پیدا می­کند.

در بخش بعدی مقاله، جهت بررسی نکات فوق­الذکر، معادلات دیفرانسیل ارائه شده در مثال 2-1 را این بار به وسیله روش تحلیل هموتوپی متوالی حل کرده و سپس جواب­های به دست آمده را با جواب دقیق ارائه شده در مثال 2-1  مقایسه می­کنیم.

 

4- مثال­های عددی

مثال 4-1: معادله دیفرانسیل غیرخطی ارائه شده در مثال 2-1، یعنی

 

 

را با شرایط اولیه ی  و  در نظر بگیرید. فرض کنید که می­خواهیم جواب را در بازه  بیابیم. با توجه به اینکه در مثال 2-1 براساس روش تحلیل هموتوپی معمولی، خطای نسبی جواب تقریبی مرتبه ام را به دست آورده­ایم، لذا برای داشتن یک مقایسه منصفانه، در این مثال بازه  را به  قسمت مساوی تقسیم نموده و در هر زیربازه تنها یک بار از دستور بازگشتی معادله (5) استفاده می­کنیم. بنابراین در این مثال نیز مشابه مثال 2-1، در مجموع  مرتبه از معادله (5) استفاده می­شود. برای حل معادله، همان طور که بیان شد، ابتدا بازه  را به  قسمت مساوی تقسیم می­کنیم و نقاط ، ، ...،  را به دست می­آوریم. حال در زیربازه اول داریم:

 

 

 

که در آن

 

 

حال جواب تقریبی مرتبه اول در زیر بازه اول به صورت زیر به دست می­آید:

 

 

به صورت مشابه، در زیر بازه دوم داریم:

 

 

 

که در آن

 

 

این یعنی آن که جواب شروع در زیربازه بعدی از روی جواب به دست آمده در زیر بازه قبلی به دست می­آید. بنابراین همانطور که واضح است زمان اجرای برنامه در زیربازه­ها تفاوت چندانی با هم ندارند. حال جواب تقریبی مرتبه اول را در زیربازه دوم به صورت زیر به دست می­آوریم:

 

 

این امر به صورت متوالی در زیربازه­های سوم تا ام ادامه می­یابد. یعنی در زیر بازه  ام داریم:

 

 

 

که در آن  و در نهایت جواب تقریبی مرتبه اول در بازه  ام به صورت زیر به دست می­آید:

 

لذا جواب تقریبی مرتبه ام معادله دیفرانسیل ارائه شده در مثال 4-1 به فرم یک تابع چندضابطه­ای به صورت زیر می­باشد.

 

 

خطای نسبی جواب به دست آمده فوق به ازای

 

 

و برای بعضی از ها، در جدول 2 ارائه شده است. همچنین در شکل 3، جواب دقیق و جواب تقریبی به دست آمده به وسیله مقادیر مختلفی از  رسم شده است. همان طور که از فرآیند اجرای روش و نیز مقایسه جدول 2 و شکل 3 با جدول 1 و شکل 2 مشخص است، در یک مدت زمان کمتر، با استفاده از روش تحلیل هموتوپی متوالی نتایج مناسب­تری نسبت به نوع معمولی آن، به جز نقاط ابتدایی بازه به دست می­آوریم.

 

جدول 2: خطای نسبی جواب به دست آمده به وسیله­ SHAM به ازای ،، و  و برای مقادیر مختلف  و برخی مقادیر ، مربوط به مثال 4-1.

			t
3.726e-30	1.201e-72	1.469e-18	0.5
6.794e-16	6.260e-36	1.169e-17	1
3.250e-02	2.966e-17	6.520e-16	1.4
8.107e+01	2.929e-13	2.028e-15	1.5
8.468e+14	7.355e+01	1.712e-11	1.9
4.382e+17	1.509e+05	2.427e-10	2.
1.275e+21	2.541e+08	2.905e-09	2.1
4.477e+23	3.592e+11	5.459e-09	2.2
6.987e+32	4.168e+20	9.680e-03	2.5
8.320e+35	3.378e+23	6.792e-01	2.6
3.417e+38	2.435e+26	5.423e+01	2.7
1.035e+47	4.711e+34	3.634e+07	3
1.106e+93	2.419e+80	7.227e+49	5
3.333e+126	3.451e+113	1.489e+83	7
4.913e+162	4.644e+149	5.404e+119	10

 

 

 

شکل 3: مقایسه جواب تقریبی مرتبه ام به دست آمده بوسیله ی روش تحلیل هموتوپی متوال (SHAM) با جواب دقیق در بازه ی ، به ازای  های مختلف، مربوط به مثال 4-1.

 

 

در ادامه، روش تحلیل هموتوپی معمولی (HAM) و نوع­ متوالی ­آن(SHAM) را­ برای ­دو­ معادله­ دیفرانسیل غیرخطی دیگر نیز مورد مقایسه قرار می­دهیم.

 

مثال 4-2: معادله دیفرانسیل غیرخطی

 

را با شرط اولیه  در نظر بگیرید. جواب دقیق معادله فوق به صورت  می­باشد.

فرض کنید که می­خواهیم جواب را در بازه  بیابیم. ابتدا مسأله­ فوق را به روش تحلیل هموتوپی (HAM) حل می­کنیم. براساس این روش، ابتدا با استفاده از نمودار -منحنی، یک ناحیه مناسب برای پارامتر  جهت همگرایی سری جواب، به دست می آوریم. بدین منظور، نمودار -منحنی را برای مشتق اول تقریب ام تابع جواب، یعنی تابع  به ازای  در شکل 4 رسم نموده­ایم. براساس شکل 4، نتیجه می­گیریم که هرگاه تقریباً  آنگاه سری جواب به دست آمده توسط این روش به جواب مسأله همگرا خواهد بود. همچنین نمودار تقریب ام جواب یعنی  به همراه نمودار جواب دقیق به ازای  و مقدار ، در شکل 5 رسم شده است. از روی شکل 5 واضح است که برای تقریب ام، تنها در اوایل بازه نتایج رضایت­بخشی به دست می­آید. ضمناً ذکر این نکته ضروری است که به دست آوردن همین تقریب ام ، به دلیل سنگین بودن محاسبات، مستلزم صرف زمان بسیار زیادی است. حال با حل مسأله ارائه شده در مثال 4-2 به روش تحلیل هموتوپی متوالی (SHAM)، نتایج به دست آمده به ازای مقادیر مختلفی از (تعداد تقسیمات) و (تعداد تکرار در هر زیربازه)، با جواب دقیق در شکل 6 رسم شده است. نکته قابل توجه در این قسمت آن است که هر چند در روش تحلیل هموتوپی متوالی به نسبت روش تحلیل هموتوپی معمولی از معادله (5) استفاده بیشتری شده است، امّا به دلیل حجم پایین محاسبات در نوع متوالی، زمان صرف شده برای رسیدن به جواب بسیار کمتر از نوع معمولی آن بوده است. همان طور که از مقایسه شکل­های 5 و 6 واضح است، با استفاده از نوع متوالی روش تحلیل هموتوپی، نتایج بسیار بهتری نسبت به نوع معمولی روش تحلیل هموتوپی به دست می­آوریم.

مثال 4-3: مسأله مقدار اولیه غیرخطی زیر را در نظر بگیرید:

 

 

جواب دقیق مسأله فوق به صورت می­باشد. براساس روش تحلیل هموتوپی (HAM)، ابتدا با استفاده از نمودار -منحنی، یک ناحیه مناسب برای پارامتر  جهت همگرایی سری جواب، به دست می­آوریم. بدین منظور، نمودار -منحنی را برای مشتق دوم تقریب ام تابع جواب، یعنی تابع  به ازای  در شکل 7 رسم نموده­ایم. براساس شکل 7، نتیجه می­گیریم که هرگاه تقریباً

 

 

آنگاه سری جواب به دست آمده توسط این روش به جواب مسأله همگرا خواهد بود. همچنین نمودار تقریب ام جواب یعنی  به همراه نمودار جواب دقیق، به ازای  و مقدار ، در شکل 8 رسم شده است. از روی شکل 8 واضح است که به ازای تقریب ام، به جز در اوایل بازه، در مابقی بازه نتایج خوبی به دست نمی­آید.

 حال با حل مسأله ارائه شده در مثال 4-3 به روش تحلیل هموتوپی متوالی (SHAM)، نتایج به دست آمده به ازای مقادیر مختلفی از (تعداد تقسیمات) و (تعداد تکرار در هر زیربازه)، با جواب دقیق در شکل 9 رسم شده است. همان طور که از مقایسه شکل­های 8 و 9 واضح است، با استفاده از نوع متوالی روش تحلیل هموتوپی، نتایج بسیار بهتری نسبت به نوع معمولی روش تحلیل هموتوپی به دست می­آوریم.

 

 

شکل 4: نمودار -منحنی حاصل از تقریب ام، برای مثال 4-2.

 

 

 

شکل 5: مقایسه جواب تقریبی مرتبه ام با جواب دقیق، به ازای ، برای مثال 4-2.

 

 

 

شکل 6: مقایسه نتایج به دست آمده بوسیله روش تحلیل هموتوپی متوالی (SHAM) با جواب دقیق، به ازای ،  و  و مقادیر مختلفی از  و ، مربوط به مثال 4-2.

 

شکل 7: نمودار -منحنی حاصل از تقریب ام، برای مثال 4-3.

 

 

شکل 8: مقایسه جواب تقریبی مرتبه ام  به وسیله روش تحلیل هموتوپی معمولی (HAM) باجواب دقیق، به ازای ، برای مثال 4-3

 

 

شکل 9: مقایسه نتایج به دست آمده بوسیله روش تحلیل هموتوپی متوالی (SHAM) با جواب دقیق، به ازای ،  و  و مقادیر مختلفی از  و ، مربوط به مثال 4-3.

 

 

5- نتيجه­گيري

در اين مقاله بهبودی از روش معروف تحلیل هموتوپی (HAM)، که با عنوان "روش تحلیل هموتوپی متوالی (SHAM)" نامگذاری شده است، مطرح شده است. برای مقایسه بهتر میان روش­های HAM و SHAM، مثال­های عددی مختلفی ارائه شده­اند. نتایج عددی نشان داده­اند که با استفاده از روش SHAM جواب­های عددی به دست آمده، در یک بازه بزرگتری نسبت به روش HAM، رضایت بخشی لازم را دارند. همچنین براساس مثال­های ارائه شده، واضح است که حجم محاسبات انجام شده در روش SHAM به مراتب کمتر از روش HAM  است.

در این مقاله، همواره جواب­های تقریبی با جواب دقیق مسأله مورد مقایسه قرار می­گرفت تا درستی و دقت جواب­های تقریبی مورد سنجش قرار گیرد. حال اگر برای یک مسأله جواب دقیق در دسترس نباشد آن­گاه برای سنجش درستی جواب­های تقریبی به دست آمده می­توان از دو راه زیر استفاده نمود:

اول آنکه می­توان در هر تکرار با جایگذاری جواب تقریبی در خود مسأله، تابع باقی­مانده را به دست آوریم. هرگاه با افزایش تعداد تکرار، قدر مطلق مقادیر تابع باقی­مانده در بازه مورد بحث مسأله، به عدد صفر نزدیک شود این امر نشان دهنده آن است که روش روی معادله همگراست و لذا جواب­های تقریبی به دست آمده مناسب هستند.

دوم آنکه برای تخمین مقدار تابع جواب در یک نقطه خاص مانند ، می­بایستی با افزایش تکرار، قدر مطلق تفاضل مقادیر به دست آمده در  برای دو تقریب متوالی به سمت صفر میل کند. در صورت تحقق چنین شرطی نتیجه می­گیریم که جواب­های تقریبی به دست آمده مناسب می­باشند و به جواب دقیق همگرا هستند.

لازم به ذکر است که رویکرد ارائه شده در این مقاله قابل تعمیم به سایر روش­های نیمه-تحلیلی همانند روش تجزیه آدومیان (ADM)، روش اختلال (آشفتگی) هموتوپی (HPM)، روش تکرار تغییراتی (VIM) و ... مشابه می­باشد. بنابراین تمامی معادلاتی که با استفاده از این روش­ها قابل حل می­باشند و این روش­ها روی آنها همگرا هستند، مانند انواع معادلات دیفرانسیل کسری و غیرکسری، انواع معادلات انتگرال کسری و غیرکسری و ... را می­توان با این رویکرد نیز حل نمود که این خود می­تواند موضوع کارهای پژوهشی آینده باشد.

 

فهرست منابع

[1] S. J. Liao, The proposed homotopy analysis technique for the solution of nonlinear problems. Ph.D. Thesis, Shanghai Jiao Tong University (1992)

 

[2] J. X. Li, Y. Yan, W. Q. Wang, Time-delay feedback control of a cantilever beam with concentrated mass based on the homotopy analysis method, Applied Mathematical Modelling 108:629-645(2022)

 

[3] P. Khaneh Masjedi,P. M. Weaver, Analytical solution for arbitrary large deflection of geometrically exact beams using the homotopy analysis method, Applied Mathematical Modelling 103: 516-542(2022)

 

[4] E. Botton, J.B. Greenberg, A. Arad, D. Katoshevski, V. Vaikuntanathan, M. Ibach, B. Weigand, An investigation of grouping of two falling dissimilar droplets using the homotopy analysis method, Applied Mathematical Modelling 104:486-498(2022)

 

[5] S. Abbasbandy, T. Hayat, On series solution for unsteady boundary layer equations in a special third grade fluid. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16:3140-3146(2011)

 

[6] S. Abbasbandy, E. Shivanian, Predictor homotopy analysis method and its application to some nonlinear problems. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 16:2456-2468(2011)

 

[7] R. A. Van Gorder, K. Vajravelu, On the selection of auxiliary functions, operators, and convergence control parameters in the application of the Homotopy Analysis Method to nonlinear differential equations: A general approach. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 14:4078-4089(2009)

[8] Chuang Yu, Hui Wang, Dongfang Fang, Jianjun Ma, Xiaoqing Cai, Xiaoniu Yu, Semi-analytical solution to one-dimensional advective-dispersive-reactive transport equation using homotopy analysis method. Journal of Hydrology 565:422–428(2018)

 

[9] M.R. Shirkhani, H.A. Hoshyar, I. Rahimipetroudi, H.Akhavan, D.D.Ganji, Unsteady time-dependent incompressible Newtonian fluid flow between two parallel plates by homotopy analysis method (HAM), homotopy perturbation method (HPM) and collocation method (CM). Propulsion and Power Research 7:247-256(2018)

 

[10] S. Hussain, A. Shah, S. Ayub, A. Ullah, An approximate analytical solution of the Allen-Cahn equation using homotopy perturbation method and homotopy analysis method. Heliyon 5(12):1-9(2019)

 

[11] P.A. Naik, J. Zu and M. Ghoreishi, Estimating the approximate analytical solution of HIV viral dynamic model by using homotopy analysis method. Chaos, Solitons and Fractals, 131:1-21(2020)

 

[12] G. Zhang, Z. Wu, Homotopy analysis method for approximations of Duffing oscillator with dual frequency excitations. Chaos, Solitons and Fractals 127:342–353(2019)

 

[13] Y. Zhang, Y. Li, Nonlinear dynamic analysis of a double curvature honeycomb sandwich shell with simply supported boundaries by the homotopy analysis method. Composite Structures 221:1-12(2019).

 

[14] A. Jafarimoghaddam, On the Homotopy Analysis Method (HAM) and Homotopy Perturbation Method (HPM) for a nonlinearly stretching sheet flow of Eyring-Powell Fluids. Engineering Science and Technology, an International Journal 22:439-451(2019)

 

[15] Z. Odibat, On the optimal selection of the linear operator and the initial approximation in the application of the homotopy analysis method to nonlinear fractional differential equations. Applied Numerical Mathematics 137:203–212(2019)

 

[16] J. Rana, S. Liao, On time independent Schrödinger equations in quantum mechanics by the homotopy analysis method. Theoretical & Applied Mechanics Letters 9:376-381(2019)

 

[17] S.J. Liao, Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton (2003)

 

 

 

 

 

---