نتایجی در زمینه وجود جواب برای مسئله تعادل

محورهای موضوعی : آمار

فاطمه لعل دولت آباد ¹ (گروه ریاضی، مرکز آموزش عالی فنی و مهندسی بوئین زهرا، بوئین زهرا، قزوین، ایران)

تاریخ دریافت : 1399/09/16 تاریخ پذیرش : 1399/12/15 تاریخ انتشار : 1401/04/01

کلید واژه: Monotonicity, KKM principle, convexity, Equilibrium problem, Minimization problem,

چکیده مقاله :

چکیدهدر این مقاله، شرایط کافی برای وجود جوابِ مسئله تعادل را مطرح می‌کنیم. مسئله تعادل به صورت زیر بیان می‌شود:فرض کنید K یک زیرمجموعه ناتهی از فضای توپولوژی E وf:K*K-->R. در مسئله تعادل هدف پیدا کردن x که به ازای هر0< fاین مسئله بسیار کلی است، به این معنی که در حالت خاص به عنوان مثال شامل، مسئله تکامل، مسائل نقطه ثابت، مسائل مینی ماکس، مسئله تعادل نَش در بازیهای غیرمشارکتی و مسائل بهینه‌سازی می‌باشد. یعنی، این مسئله همه این مسائل را به شیوه‌ای ساده بیان می‌کند، و نتایج به دست آمده از هر یک از این مسائل را نیز می‌توان با تغییرات مناسب به مسائل تعادل توسیع داد. در این مقاله وجود جواب برای مسئله تعادل را -با شرایط جدید-بیان و اثبات می‌کنیم. در قضایایی که تاکنون برای مسائل تعادل اثبات شده، فرضیات تحدب و یکنوایی برای داده‌های مسئله در نظر گرفته شده است، ولی در این مقاله این فرضیات از داده‌های مسئله حذف شده است. نتایج ما بر اساس رابطه بین اصل KKM و مسائل تعادل است به این ترتیب که روش اصلی اثبات وجود جواب، از طریق ساخت یک خانواده خاص از زیرمجموعه‌های یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف است. سپس، مثال‌هایی بیان می‌کنیم که در فرضیات جدید صادق باشند و قضایای اثبات شده را برای آنها به کار می‌بندیم.

چکیده انگلیسی:

AbstractWe establish new sufficient conditions which guarantee existence of solutions of equilibriumProblems:Let K be a nonempty subset of a topological space E and f . The problem of interest, called equilibrium problem, is defined as follows:Find x such that f(x,y)>0 for all y: This problem is very general in the sense that it includes, as special cases, complementarityproblems, fixed point problems, minimax problems, Nash equilibrium problem in non-cooperative games, optimization problems and variational inequality problems, to name a few. As a matter of fact, this formulation unifies these problems in a convenient way, and many of the results obtained.Our results are without making any convexity and monotonicity assumptions on the underlying problem data. Our results are based upon the relation between the KKM principle and equilibrium problems through constructing a certain family of subsets of a given Hausdorff topological vector space. We also illustrate our developments and describe applications by adapting our existence results for non-convex minimization problems.

منابع و مأخذ:

[1] E. Blum, W. Oettli. From optimization and variational inequalities to quilibrium problems. The Mathematics Student 63: 123-145(1994).

 

[2] A.N. Iusem, W. Sosa. New existence results for equilibrium problems, Nonlinear Analysis. 52:

621-635 (2003).

 

[3] D. Kinderlehrer, G. Stampacchia. An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications. Academic Press, Dublin (1980).

 

[4] M. Nasri, W. Sosa. Generalized Nash games and equilibrium problems. Optimization 60: 1161-1170(2011).

 

[5] K. Fan. A minimax inequality and applications. In Inequality III (O. Shisha, editor). Academic Press, New York (1972).

 

[6] K. Fan. A generalization of Tychonoff's fixed point theorem, Mathematische Annalen. 142: 305-310

(1961).

 

[7] G. Allen. Variational inequalities, complementarity problems and duality theorems. Journal of Mathematical Analysis and Applications 58: 1-10(1977).

 

[8] M. Bianchi, R. Pini. Coercivity conditions for equilibrium problems. Journal of Optimization Theory and Applications 124:79-92 (2005).

 

[9] H. Brezis, L. Nirenberg, G. Stampacchia. A remark on Ky Fan's minimax principle. Bollettino della Unione Matematica Italiana 6: 293-300 (1972).

 

[10] A.N. Iusem, G. Kassay, W. Sosa. An existence result for equilibrium problems with some surjectivity consequences. Journal of Convex Analysis 16: 807-826 (2009).

 

[11] A.N. Iusem, G. Kassay, W. Sosa. On certain conditions for the existence of solutions of equilibrium problems. Mathematical Programming 116: 259-273(2009).

 

[12] W. Sosa. From Weierstrass to Ky Fan theorems and existence results on optimization and equilibrium problems. Pesquisa Operacional 33: 199-215 (2013).

 

[13] C. Yen. A minimax inequality and its application to variational inequalities. Pacifc Journal of Mathematics 97: 477-481 (1981).

 

[14] B. Knaster, C. Kuratowski, S. Mazurkiewicz. Ein Beweis des Fixpunktsatzes fr n-dimensionale

Simplexe. Fundamenta Mathematicae 14: 132-137 (1929).

 

[15] M. Castellani, M. Giuli. Re_nements on existence results for relaxed quasimonotone equilibrium problems. Journal of Global ptimization,DOI10.1007/s10898-012-0021-2.

 

[16] A.P. Farajzadeha, J. Zafarani. Equilibrium problems and variational inequalities in topological

vector spaces. Optimization 59: 485-499 (2010).

 

[17] I.V. Konnov, D.A. Dyabilkin. Nonmonotone equilibrium problems: coercivity conditions and weak regularization. Journal of Global Optimization 49: 575-587 (2011).

 

[18] S.S. Chang, Y. Zhang. Generalized KKM theorem and variational inequalities. Journal of Mathematical Analysis and Applications 159: 208-223 (1991).

 

 [19] G. Kassay, I. Kolumban. On the Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz and Ky Fan's theorem. ‘’Babes-Bolyai" University Preprint, Seminar on Mathematical Analysis 7: 87-100 (1990).

 

[20] S. Park. New generalizations of basic theorems in the KKM theory. Nonlinear Analysis, Theory,

Methods and Applications 74: 3000-3010 (2011).

 

 [21] K.K. Tan, J. Yu,  X. Z. Yuan. Some new minimax inequalities and applications to generalized games in H-spaces. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications 24: 1457-1470 (1995),