بررسی جبرهای باناخ تصویری تقریبی
محورهای موضوعی : آمار
محمد حسین ستاری
1
(استادیار، گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه شهید مدنی آذربایجان، تبریز، ایران)
کلید واژه: amalgamated Banach algebra, second dual of Banach algebra, diagonal operator, Arens product,
چکیده مقاله :
مفهوم جبر های باناخ تصویری تقریبی توسط پورمحمود آقابابا [15]، آریستوف [2]، و ژانگ[19] معرفی شده که هریک از جنبه متفاوتی تقریب را مد نظر قرار داده‌اند. در این مقاله تعریف ارائه شده توسط پورمحمود آقابابا را مبنا قرار می‌دهیم که ضمن اینکه عمومی تر بوده و شرایط محدود کننده به مراتب کمتری دارد، دارای مثال‌های متنوع و جالب از رده‌های گوناگون جبرهای باناخ نیز می‌باشد. چندین ویژگی موروثی از این مفهوم را مورد بررسی قرار می‌دهیم، در حقیقت نشان می‌دهیم که تصویری تقریبی بودن دوگان دوم جبر باناخ تحت ضرب آرنز، تصویری تقریبی بودن خود را ایجاب می‌کند. در ادامه تصویری تقریبی بودن را روی جبرهای باناخ ادغامی که یک تعمیم مبتکرانه از جمع مستقیم جبرهای باناخ است و شامل یکدار شده، ضرب لائو، ضرب نیم مستقیم و توسیع مدولی جبرهای باناخ می‌شود، مطالعه می‌کنیم. ثابت می‌کنیم جمع‌وند اول در یک جبر باناخ ادغامی تصویری تقریبی، تصویری تقریبی است در صورتیکه برای دست یافتن به نتیجه مشابه روی جمع‌وند دوم مفروضات بیشتری نیاز خواهد بود.
The concept of approximately biprojective Banach algebras has been introduced by Pourmahmood-Aghababa [15], O. Ya. Aristov [2] and Y. Zhang [19] in different aspects of approximation. Here we follow the definition provided by Pourmahmood-Aghababa that is more general with an abundant amount of various interesting examples, and less restrictive conditions. In this paper, some hereditary properties of this notion are investigated. Indeed, we show that approximate biprojectivity of the second dual of a Banach algebra A (equipped with Arens product) implies approximate biprojectivity of A. This concept is also investigated on amalgamated Banach algebras that are genuine generalization of the direct sum of Banach algebras and includes the unitization, the Lau product, the semidirect product, and the module extension Banach algebras. We prove that the first summand in an approximately biprojective amalgamated Banach algebra is approximately biprojective, while for approximate biprojectivity of the second summand some additional hypothesis are necessary.
[1] R. Arens, The adjoint of a bilinear operation, Proc. American Math. Soc. 2 (1951), 839-848.
[2] O. Yu. Aristov, On approximation of flat Banach modules by free modules, Sbornik. Math. 196(11) (2005), 1553-1583.
[3] G. Dales, Banach Algebra and Automatic Continuity, Oxford University Press. (2001).
[4] H. G. Dales, R. J. Loy and Y. Zhang, Approximate amenability for Banach sequence algebras, Studia Math. 177 (2006), 81–96.
[5] M. D’Anna and M. Fontana, An amalgamated duplication of a ring along an ideal: the basic properties, J. Algebra Appl. 6(3) (2007), 443-459.
[6] T. Duncan and S. A. R. Hosseiniun, The second dual of a Banach algebra, Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sect. A, 84 (1979), 309-325.
[7] F. Ghahramani, R. Loy, Generalized notions of amenability, J. Funct. Anal. 208 (2004) 229–260.
[8] F. Ghahramani, R. Loy and G. Willis, Amenability and weak amenability of second conjugate Banach algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (5), 1489-1497.
[9] F. Ghahramani and Y. Zhang, Pseudo-amenable and pseudo-contractible banach algebras, Math Proc Cambridge Philos 142 (2007), 111-123.
[10] F. Gourdeau, Amenability of Banach algebras, Ph.D. thesis, University of Cambridge, 1989.
[11] R. J. Loy and G. A. Willis, The approximation property and nilpotent ideals in amenable Banach algebras, Bull. Austral. Math. Soc. 49 (1994), 341-346.
[12] M. S. Moslehian and A. Niknam, Biflatness and biprojectivity of second dual of Banach algebras, Southeast Asian Bull. Math. 27(1) (2003), 129-133.
[13] N. Ozawa, A note on non-amenability of for , Internat. J. Math. 15 (2004), 557–565.
[14] T. W. Palmer, Banach Algebras and the General Theory of *-Algebras, I. Cambridge University Press, 1994.
[15] H. Pourmahmood-Aghababa, Approxi-mately biprojective Banach algebras and nilpotent ideals, Bull. Aust. Math. Soc. 87 (2013), 158-173.
[16] H. Pourmahmood-Aghababa and M. H. Sattari, Approximate biprojectivity and biflatness of some algebras over certain semigroups, J. Iran. Math. Soc.1(2) (2020), 145-155.
[17] H. Pourmahmood-Aghababa, and N. Shirmohammadi, On amalgamated Banach algebras, Period. Math. Hung. 75(1) (2017), 1-13.
[18] V. Runde, Lectures on Amenability, in: Lect. Notes in Mathematics, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002.
[19] Y. Zhang, Nilpotent ideals in a class of Banach algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 127(11) (1999), 3237-3242.
