عملگر توسیع رافر- سافریج روی کلاس نگاشت‌های قویاً و تقریباً فنرگون از نوع $بتا$ و مرتبه‌ی $آلفا$

محورهای موضوعی : آمار

سمیرا رهروی ¹ (گروه ریاضی، دانشکده علوم‌ پایه، دانشگاه بناب، بناب، ایران)
حسین پیری ² (گروه ریاضی، دانشکده علوم‌ پایه، دانشگاه بناب، بناب، ایران)

تاریخ دریافت : 1395/11/12 تاریخ پذیرش : 1398/11/17 تاریخ انتشار : 1399/04/11

کلید واژه: Strong and almost spirallike mappings, Roper-Suffridge extension operator, Reinhardt domain, Minkowski functional,

چکیده مقاله :

فرض کنیم فضای اقلیدسی متغییره مختلط با نرم اقلیدسی باشد. هم‌چنین فرض کنیم دامنه‌ی رین‌هارد بر باشد. تابعک مینکوفسکی رادامنه‌ی در نظر می‌گیریم. در این مقاله ابتدا نگاشت فنرگون از نوع و مرتبه را تعریف نموده و سپس کلاس توابع قویاً و تقریباً فنرگون از نوع و مرتبه‌ی را تعریف می‌کنیم. به کمک لم پیک- شوارتز نشان می‌دهیم که برخی از نگاشت‌های توسیعی رافر- سافریج، تحت شرایط خاصی، کلاس قویاً و تقریباً فنرگون از نوع و مرتبه‌ی را بر دامنه کامل رین‌هارد حفظ می‌کند. برای مقادیر خاصی از و در کلاس قویاً و تقریباً فنرگون از نوع و مرتبه‌ی ، کلاس نگاشت‌های تقریباً فنرگون از نوع ، کلاس قویاً و تقریباً فنرگون از مرتبه‌ی و کلاس قویاً ستارگون به‌دست می‌آیند. در نهایت، نشان می‌دهیم نگاشت‌های توسیعی رافر- سافریج، کلاس‌های قویاً فنرگون از نوع ، قویاً و تقریباً ستارگون از مرتبه‌ی و قویاً ستارگون را حفظ می‌کنند. نتایج بدست آمده در این مقاله بسیاری از نتایج مشهور را توسیع می‌دهند.

چکیده انگلیسی:

Let$mathbb{C}^n$ be the space of $n$ complex variables. Let$Omega_{n,p_2,ldots,p_n}$ be a complete Reinhardt on$mathbb{C}^n$. The Minkowski functional on complete Reinhardt$Omega_{n,p_2,ldots,p_n}$ is denoted by $rho(z)$. The concept ofspirallike mapping of type $beta$ and order $alpha$ is defined.So, the concept of the strong and almost spirallike mappings of type$beta$ and order $alpha$ is discussed in this paper. From theSchwarz-Pick lemma, under certain conditions, we obtain that thegeneralized Roper-Suffridge operators preserve strong and almostspirallikeness of type $beta$ and order $alpha$ on bounded andcomplete Reinhardt domains $Omega_{n,p_1,cdots,p_n}$. For specificvalues for $alpha$ and $beta$, we obtain the correspondingdefinitions of strong spirallike mappings of type $beta$, strongand almost starlike mappings of order $alpha$, strong starlikemappings. Therefore we obtain the generalized Roper-Suffridgeoperators preserve strong spirallikeness of type $beta$, strong andalmost starlikeness of order $alpha$, strong starlikeness on thecorresponding domains. In particular, our results reduce to manywell-known results.

منابع و مأخذ:

[1] Y. Cui, C. Wang and H. Liu, The invariance strong and almost starlik mapping of type  and order , Acta Math. Sci. Ser. B, 35(6)(2015), 1454-1466.

 

[2] S. X. Feng, T. S. Liu and G. B. Ren, The growth and covering theorems for several mappings on the unit ball in complex Banach spaces, Chin. Ann. Math., 28A(2)(2007), 215-230.

 

[3] S. X. Feng and T. S. Liu, Modified Roper-Suffridge operator for some holomorphic mappings, Front. Math. Chin., 6(3)(2011), 411-426.

 

[4] S. Gong and T. S. Liu, On the Roper-Suffridge extension operator, J. Anal. Math., 88(2002), 397-404.

 

[5] S. Gong and T. S. Liu, The generalized Roper-Suffridge extension operator, J. Math. Anal. Appl., 284(2)(2003), 425-434.

 

[6] I. Graham and G. Kohr,  Univalent mappings associated with the Roper-Suffridge extension operator, J. Anal. Math., 81(2000), 331-342.

 

[7] I. Graham and G. Kohr, Geometric function theory in one and higher dimensions, Marcel Dekker, New York, (2003).

 

[8] G. Kohr, Loewner chains and a modification of the Roper-Suffridge extension operator, Mathematica (Cluj),  48(1)(2006), 41-48.

 

[9] H. Li, S. Feng, Roper-Suffridge extension operator on a Reinhardt domain, Acta. Math. Sci., 34B (2014), No. 6, 1761-1774.

 

[10] T. S. Liu and S. Gong, The family of

starlike mappings. , Chin. Annal. Math. Ser. A., 23(3)(2002), 273-282.

 

[11] X. S. Liu and T. S. Liu, The generalized Roper-Suffridge extension operator on a Reinhardt domain and the unit ball in a complex Hilbert space, Chin. Annal. Math. Ser. A., 26(5)(2005), 721-730.

 

[12] T. S. Liu and G. B. Ren, The growth theorem for starlike mappings on bounded starlike circular domains, Chin. Annal. Math. Ser. B., 19(4)(1998), 401-408.

[13] J. R. Muir, A class of the Loewner chain preserving extention operators, Comput. Meth. func. Theo., 5(1)(2005), 237-251.

 

[14] C. Pommerenke, Univalent functions, Vandenhoek and Ruprecht,  Gttingen, Germmany, (1975).

 

[15] S. Rahrovi, A. Ebadian and S. Shams, G-Loewner chains and parabolic starlike mappings in several complex variables, General Math., 20(2-3)(2012). 59-73.

 

[16] S. Rahrovi, A. Ebadian and S. Shams, Applications of the Roper-Suffridge Extension Operator to the Spirallike mappings of type , Acta Uni. Apul., 37(2014), 171-183.

 

[17] S. Rahrovi, Parabolic starlike mappings on the unit ball , Sahand Commu. Math. Anal., 3(1)(2016), 63-70.

 

[18] S. Rahrovi and H. Piri, The generalized Roper-Suffridge extension operator on the Rienhardt domains , J. Math. System Sci. 6(2016) 383-394.

 

[19] K. A. Roper and T. J. Suffridge, Convex mappings on the unit ball , J. Anal. Math., 65(1995), 333-347.

[20] J. Wang, Modified Roper-Suffridge for some subclasses of starlike mappings on Reinhardt domains, Act. Math. Sci., 33(6)(2013), 1627-1638.

 

[21] J. Wang and C. Gao, A new Roper-Suffridge extension operator on a Reinhardt domain, Abst. Appl. Anal.,(2011), 1-14.

 

[22] J. F. Wang and T. S. Liu, A modified Roper-Suffridge extension operator for some holomorphic mappings, Chin. Annal. Math. Ser. A., 31(4)(2010), 487-496.