Optimal Design of Circular Concrete Water Tanks by MCMC Subset Simulation Method

Subject Areas : Analysis, design and construction of water structures

Mohammad Aghaee ¹ , Yasin Aghaee-Shalmani ²

1 - , Department of Civil Engineering, Azad University of Najaf-Abad, Isfahan, Iran
2 - Assistant Prof of Hydraulic Structures, Department of Mechanical and Civil Engineering, Khomeinishahr Branch, Islamic Azad University, Isfahan, Iran.

Received: 2023-06-25 Accepted : 2023-10-09 Published : 2023-10-14

Keywords: Reliability, optimization, probabilistic constraints, RBDO, MCMC,

Abstract :

Today, one of the favorite subjects of structural engineering researchers is the methods based on the optimization of structures called RBDO, or the optimization based on the reliability of structures. In this field, optimization problems are designed and optimized according to probabilistic constraints. In the current research, the problem of optimizing the circular water tank has been optimally designed. The target function in this research is the cost of building a reinforced concrete tank, and its possible limitations include resistance and serviceability limitations such as the ratio of demand to capacity, the amount of crack width, and deformations of the structure. Designing resistance and serviceability criteria is Regulation 123 of the country's management and planning organization. Finally, to show the efficiency and proper performance of the MCMC simulation and optimization method used in this research to solve the problem of tank design, a water tank with a volume of 113 m³ has been investigated. Also, the modeling of this reservoir has been done in SAP2000 software and computer programming by MCMC method in MATLAB software.

References:

مقررات ملی ایران، مبحث نهم. ۱۳۹۲. طرح و اجراي ساختمانهاي بتن آرمه. ايران. وزارت راه و شهرسازي. دفتر امور مقررات ملّي ساختمان
Ahmadi, G. Optimization of construction of concrete water ground tanks by reducing the compressive strength of concrete and increasing the tensile
strength of steel. 4th National Conference of Concrete. Tehran, Iran. (In Persian). Chiti, H., Khatibinia, M., Akbarpoor, A., & Naseri, H. (2015). Optimal design of weighted dams based on reliability 2nd International & 6th National Conference on Earthquake and Structure, Kerman, Iran. (In Persian)
Dilip, D. M., & Sivakumar Babu, G. L. (2013). Methodology for pavement design reliability and back analysis using Markov chain Monte Carlo simulation. Journal of Transportation Engineering, 139(1), 65-74.
Havaei, G. R., & Kia, S. (2015). Optimization of Reinforced Concrete Reservoir with Circumferential Stiffeners Strips by Particle Swarm Algorithm. Structural Engineering and Construction, 2(2), 28-42, (In Persian).

Hastings, W.K. (1970). Monte Carlo Sampling Methods Using Markov Chains and Their Applications. Biometrika. 57 (1): 97–109. Jahanshahi, M., Fakhimi, B., Fakhimi, A. (2016). Application of New Optimization Methods in Concrete Structures. 4th International Congress on Civil Architecture and Urban Development, Tehran, Iran. (In Persian).
Jensen, H., Jerez, D., & Beer, M. (2021). A general two-phase Markov chain Monte Carlo approach for constrained design optimization: Application to stochastic structural optimization. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 373, 113487.
Khanmohammadi, M., Hejazi, F., & Hataminia, H. (2014). Investigating the Fundamentals of Design of Concrete Water Storage Tanks in Regulations EN
1998-4:2006(E), NZS 3106-2009, ACI 350.3-06, Publication 123, 8th National Congress on Civil Engineering, Babol, Iran, (In Persian). Kia, S. and Ghasemi, M.R., (2012). Durability-Based optimization of reinforced concrete reservoirs using artificial bee colony algorithm Global Journal of Researches in Engineering 12, 9-18.
Li, H. S., & Au, S. K. (2010). Design optimization using subset simulation algorithm. Structural Safety, 32(6), 384-392.
Li, H. S., & Cao, Z. J. (2016). Matlab codes of Subset Simulation for reliability analysis and structural optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization, 54, 391-410.
Li, H. S., & Ma, Y. Z. (2015). Discrete optimum design for truss structures by subset simulation algorithm. Journal of Aerospace Engineering, 28(4),
04014091. Lopez, R. H., & Beck, A. T. (2012). Reliability-based design optimization strategies based on FORM: a review. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 34, 506-514.
Mirsharifi, A., & Baba, H. (Safety of structures based on reliability theory. No-Avar publication, 2017. Nowak, A. S., & Collins, K. R. (2012). Reliability of structures. CRC press.
Proppe. C., (2017). Markov chain Monte Carlo simulation methods for structural reliability analysis. Procedia Engineering, 199 1122-1127.
Regulation No. 123, (1992). Rules and criteria for the design and calculation of underground water reservoirs, First revision, Iran Management and Planning Organization.
Wankhede, S., Salunke, P. J., & Gore, N. G. (2015). Cost optimization of elevated circular water storage tank. The International Journal of Engineering and Science, 4(2015).
Xiao, S., & Nowak, W. (2022). Reliability sensitivity analysis based on a two-stage Markov chain Monte Carlo simulation. Aerospace Science and Technology, 130, 107938.

Full-Text:



Technical Strategies in Water Systems https://sanad.iau.ir/journal/tsws ISSN (Online): 2981-1449 Autumn 2023: Vol 1, Issue 2, 114-129 https://doi.org/10.30486/TSWS.2023.783293

 

Research Article

 

 

Optimal design of circular concrete water tanks by MCMC subset simulation method

 

 

Mohammad Aghaee1, Yasin Aghaee-Shalmani 2*

 

 

1 MsC. in Civil Engineering, Department of Civil Engineering, Azad University of Najaf-Abad, Isfahan, Iran.

2 Assistant Prof of Hydraulic Structures, Department of Mechanical and Civil Engineering, Khomeinishahr Branch, Islamic Azad University, Isfahan, Iran.

*Corresponding Author email: [e-mail]

© The Author)s( 2023

 

 

 

Received: 25 June 2023

Accepted: 07 Oct 2023

Published: 14 Oct 2023

 

Abstract

Today, one of the favorite subjects among structural engineering researchers is methods based on the optimization of structures, often referred to as RBDO (Reliability-Based Design Optimization). In this field, optimization problems are formulated and solved while considering probabilistic constraints. In the present research, we have undertaken the task of optimizing a circular water tank. The objective function in this study is the cost associated with constructing a reinforced concrete tank, and potential constraints include factors related to strength and serviceability, such as the demand-to-capacity ratio, crack width, and structural deformations. The criteria for designing strength and serviceability adhere to Regulation 123 of the country's management and planning organization. To demonstrate the effectiveness and efficiency of the MCMC (Markov Chain Monte Carlo) simulation and optimization method employed in this research for tank design, we have investigated a water tank with a volume of 113 m³. Additionally, we have modeled this reservoir using SAP2000 software and implemented computer programming using the MCMC method in MATLAB software.

 

Keywords: Reliability, Optimization, Probabilistic constraints, RBDO, MCMC

 

مقاله پژوهشی

 

طراحی بهینه مخازن آب بتنی دایروی به روش شبیه­سازی زیرمجموعه­­ای MCMC

 

محمد آقایی۱، یاسین آقایی شلمانی*۲

 

۱. کارشناسی ارشد مهندسی عمران سازه، دانشکده مهندسی عمران، دانشگاه آزاد اسلامی واحد نجف آباد، اصفهان، ایران.

۲. استادیار سازه­های هیدرولیکی، گروه عمران، دانشکده مهندسی مکانیک و عمران، واحد خمینی شهر، دانشگاه آزاد اسلامی، خمینی شهر، اصفهان، ایران

* ایمیل نویسنده مسئول: [e-mail]

© The Author)s( 2023

 

چاپ: 22/07/1402

پذیرش: 15/07/1402

دریافت: 04/04/1402

 

چکیده

امروزه یکی از موضوعات موردعلاقه پژوهشگران حوزه مهندسی سازه، روش­های مبتنی بر بهینه­سازی سازه­ها با نام RBDO یا همان بهینه­سازی بر پایه قابلیت­اعتماد سازه­ها است. در این حوزه، مسائل بهینه­سازی با توجه به قیود احتمالاتی، طراحی و بهینه می­گردند. در پژوهش حاضر مسئله بهینه­سازی مخزن دایروی آب، مورد طراحی بهینه قرار­گرفته است. تابع هدف در این پژوهش، هزینه ساخت مخزن بتن­آرمه بوده و قیود احتمالاتی آن شامل قیود مقاومتی و خدمت­پذیری نظیر نسبت تقاضا به ظرفیت، میزان عرض­ترک و تغییرشکل­های سازه می­باشد که آیین­نامه مورد استفاده نیز برای بارگذاری، طراحی ضوابط مقاومتی و خدمت­پذیری، آیین­نامه ­123 سازمان مدیریت و برنامه­ریزی کشور می­باشد. در­نهایت برای نشان­دادن کارآیی و عملکرد مناسب روش شبیه­سازی و بهینه­سازی  MCMCکه در این پژوهش، برای حل مسئله طراحی مخزن به‌کار رفته است به بررسی یک مخزن آب با حجم m³113 پرداخته­ شده است. همچنین مدل­سازی این مخزن در نرم­افزارSAP2000 و برنامه­نویسی کامپیوتری به روش MCMC در نرم­افزار MATLAB صورت ­گرفته است.

 

کلمات کلیدی: قابلیت­اعتماد، بهینه‌سازی، قیود احتمالاتی، RBDO، MCMC   

1- مقدمه

از پرکاربرد­ترین مخازن بتنی و یکی از سازه­های مهم حیاتی بشر، مخازن ذخیره­ی آب است که با توجه به رشد فزاینده جمعیت و توسعه جمعیت روستاها و شهرها، به‌منظور حفظ مایع درون آن در شرایط بحرانی و اقتصادی واضح و آشکار است. بنابراین استفاده از روش­های نوین در طراحی و احداث مخازن، اهمیت بسزایی دارد. چنانچه طراحی مخازن بتنی، به‌درستی انجام نشده باشد، یا ایمنی و دوام آن به خطر افتد، با صرف هزینه‌های اضافی باعث اتلاف منابع مالی می‌شود. با توجه به ملاحظات پدافند غیرعامل و فنی، مخازن دایروی به علت نداشتن گوشه‌های تیز در شکل هندسی نسبت به مخازن مکعب مستطیلی برتری دارد. بنابراین در پژوهش حاضر، به مثالی از طراحی بهینه مخازن بتنی دایروی آب از نوع غیرمدفون، پرداخته شده است. مهندسین و محققین تقریبا از سال ۱۹۶۰ به اهمیت ارزیابی ایمنی سازه‌ها با بررسی رفتار تصادفی پارامترهای طراحی و خصوصیات آماری آن‌ها پرداختند(Mirsharifi & Baba 2017). پژوهش­های انجام­ شده در زمینه­ی بهینه­سازی، عمدتاً از روش­هایی می­باشند که ضعف عمده­ی آن ناتوانی در لحاظ نمودن قیود احتمالاتی است. پیرامون همین موضوع،  Jahanshahi et al. (2016) به کاربرد روش‌های نوین بهینه‌سازی در سازه‌های بتنی پرداختند. Havaei & Kia (2012)، به بهینه­سازی مخزن بتنی مستطیلی نیمه­مدفون آب توسط الگوریتم ازدحام ذرات (PSO)¹ با استفاده از غلاف تقویت منشوری پرداختند. Wankhede et al. (2015) در پژوهشی بهینه­سازی هزینه مخازن آب دایروی با یک برنامه­ریزی کامپیوتری و استفاده از الگوریتم ازدحام ذرات،‌ را بررسی کردند.et al. (2015)  Chiti در مقاله­ای طراحی بهینه سدهای وزنی بتنی را بر اساس قابلیت­اعتماد به روش شبیه­سازی زیرمجموعه­ای انجام دادند. Ahmadi (2012) در پژوهشی به بهینه‌سازی ساخت مخازن بتنی زمینی آب با کاهش مقاومت فشاری بتن و افزایش مقاومت کششی فولاد پرداخت. Proppe (2017)، روش­ شبیه‌سازی ²MCMC را برای تحلیل قابلیت­اعتماد سازه‌ها بکار برد. او با استفاده از تحلیل زیرمجموعه‌ای و با به­کارگیری روش تقریب زنی احتمالاتی MCMC سعی در شبیه‌سازی قابلیت­اعتماد سازه‌ها داشته است. Jensen et al. (2021) در پژوهشی یک رویکرد کلی برای حل مسائل طراحی سازه ارائه کردند که یک رویکرد دو فازی برای به دست آوردن طرح­های بهینه در نظر گرفته شده است. فاز یک نمونه‌ها (طرح‌ها) را تولید می‌کند که به طور یکنواخت در فضای طراحی امکان‌پذیر توزیع شده‌اند، در حالی که فاز دوم مجموعه‌ای از طرح‌ها را در مجاورت مجموعه راه‌حل بهینه به­دست می‌آورد که مشکل به روز رسانی مدل معادل با روش مونت کارلوی زنجیره مارکف انتقالی حل شده است. Xiao & Nowak (2022) یک روش نمونه‌گیری کارآمد جدید برای تخمین³PDF شرطی شکست و شاخص حساسیت قابلیت اطمینان از طریق شبیه‌سازی دو مرحله‌ای زنجیره مارکوف مونت کارلو (MCMC) پیشنهاد دادند.

 در سال 2013، در پژوهشی از الگوریتم MCMC جهت طراحی روسازی راه بر اساس قابلیت­اعتماد استفاده شد (Dilip & Sivakumar Babu 2013). Khanmohammadi et al. (2010)، به بررسی مبانی طراحی مخازن بتنی ذخیره آب در آیین­نامه­های معتبری چونEN 1998-4:2006 (E)، NZS 3106-2009, ACI350.3-06 و نشریه 123 پرداختند. در سال 2010، در پژوهشی تحت عنوان بهینه­سازی طراحی با استفاده از الگوریتم شبیه‌سازی زیرمجموعه‌ای، یک الگوریتم بهینه‌سازی عمومی دو معیاره ارائه­ شد (Li & Au 2010). روش پیشنهادی این الگوریتم، درواقع همان روش MCMC است که در معیار اول، آن­هایی که دامنه­ی بیشتری به اطلاعات موجود دهد و در معیار دوم آن­هایی که تابع هدف را بهبود بخشد، موردقبول است. در سال 2015، در مقاله­ای به طراحی بهینه­ مجزای سازه­های خرپایی شکل با استفاده از الگوریتم شبیه‌سازی زیرمجموعه‌ای پرداخته شد (Li & Ma 2015).

Lopez & Beck (2012) در یک مقاله‌ی مروری، انواع روش‌های بهینه‌سازی مبتنی بر قابلیت­اعتماد، به ­خصوص روش مرتبه اول قابلیت­اعتماد⁴(FORM)، را مورد بررسی قرار دادند. روش بهینه‌سازی بر پایه­ی قابلیت­اعتماد (⁵RBDO)، به دنبال راهی است که پاسخ بهینه را در یک سطح حداقلی از ایمنی نگه دارد. از آن­جایی که روش FORM، جهت محاسبه‌ شاخص قابلیت­اعتماد مورداستفاده قرار می­گیرد در اصل جزء روش­های بهینه‌سازی است. استفاده از این روش در استراتژی RBDO در یک دیدگاه سنتی دارای دو حلقه­ی تو در تو می­باشد. منظور از حلقه­ی درونی، تحلیل قابلیت­اعتماد و حلقه­ی بیرونی روند بهینه‌سازی است. از آن­جا که ترکیب این دو حلقه ازلحاظ محاسباتی بسیار هزینه­بر است؛ جهت کاهش حجم محاسباتی RBDO که بر اساس روش FORM شکل گرفته­اند پژوهشگران این حوزه را بر آن داشته است که پیشنهاد‌هایی جهت جدا نمودن روند محاسباتی این دو حلقه از هم ارائه دهند؛ این پیشنهاد‌ها به دو دسته­ی اصلی تقسیم­بندی می­گردند:

 دسته­ی اول به روش­هایی تعلق دارد که تک حلقه­ای بوده و به­صورت زنجیره­ای از تک حلقه­ها می­باشد و هدف آن است که دو حلقه از یکدیگر جدا گردد و حل آن‌ها به‌صورت زنجیره­ای تا رسیدن به یک معیار توقف ادامه یابد. دسته­ی دوم مربوط به روش­های تک سطحی است و با در­نظر­گرفتن یک استراتژی متفاوت، سعی در به نتیجه رساندن حلقه­ی بهینه‌سازی دارد.

روش­های جداسازی به دو دسته­ی مهم یعنی بهینه‌سازی زنجیره­ای بر اساس قابلیت­اعتماد­(⁶SORA) و برنامه­ریزی تقریبی مرحله­ای­، با یکدیگر مقایسه شده­اند. این دو دسته بهترین کارایی را در مقایسه با تمامی روش­های جداسازی دارا می‌باشند. در مقایسه با روش MCMC می­توان گفت که روش FORM بر پایه­ی محاسبه­ی گرادیان توابع حالت­حدی، بهینه­یابی می‌کند درصورتی‌که شبیه‌سازی مانند MCMC تنها با جایگذاری مقادیر عددی که بار محاسباتی بسیار کمی دارد (سعی و خطا) به شبیه‌سازی قیود می­پردازد. لذا حساسیتی به مشتق‌پذیر بودن قیود مسئله ندارد. در ضمن برنامه­نویسی کامپیوتری آن­ها بسیار ساده­تر از روش­های کلاسیک می­باشد. همچنین روش­های کلاسیک در برخورد با تعداد زیاد قیود فعال دچار عدم همگرایی مناسب می­شود درحالی‌که عدم حساسیت روش MCMC یکی دیگر از مزایای این­گونه روش­ها می­باشد.

 بنابراین در حوزه­ی طراحی بهینه مخازن بتنی به­ویژه دایروی، پژوهش­های بسیار کمی صورت گرفته است. ضمن آن­که مزیت الگوریتم به­کار­گرفته ‌شده در پژوهش حاضر، نسبت به الگوریتم‌های کلاسیک معمول در بهینه­سازی، توان آن در لحاظ ­نمودن قیود احتمالاتی در مسئله است. روش‌های زیادی مانند الگوریتم ژنتیک، ازدحام ذرات، کولونی مورچگان و... تنها توان حل مسئله مبتنی بر متغیرهای معین را دارند درصورتی‌که روش پیشنهادی MCMC با لحاظ ­نمودن پارامترهای تصادفی دارای اهمیت در مسئله‌ی طرح، بهینه‌سازی را بر اساس توابع توزیع و در قالب قیود احتمالاتی انجام می‌دهد. بنابراین استفاده از الگوریتم‌های کلاسیک نمی‌تواند از جامعیت بالایی برخوردار باشد. درنتیجه پژوهش حاضر با لحاظ ­نمودن قیود احتمالاتی و استفاده از توابع توزیع و با روش MCMC، به طرح بهینه مخازن به‌ویژه از نوع دایروی پرداخته است.

 

2- روش کار

 

1-2- بهینه‌سازی بر­پایه نظریه قابلیت­اعتماد سازه­­ها به روش MCMC

 

 مهندسان در طراحی­های خود با متغیرهای تصادفی(هم در مورد بارها و هم در خصوص مقاومت) سروکار دارند. معمولاً جهت پیش‌بینی رفتار هر متغیر، آزمایش­های مکرری بر روی آن صورت گرفته و سپس نمودارهای آماری برای آن تهیه ‌شده و از این نمودارها در مطالعات آماری در به­دست­آوردن روابط احتمالاتی استفاده می­گردد. برای تجزیه و تحلیل آماری پارامترهای مربوط به کمیت­ها دو روش وجود دارد:

اولین روش تحلیل خطی آماری نام دارد و بر اساس بسط تیلور شکل‌گرفته است. در این روش از جملات خطی بسط تیلور(فقط مشتقات مرتبه اول) استفاده‌شده است؛ بنابراین این روش برای روابط غیرخطی بین متغیرهای اولیه و کمیت­های طراحی نتایج دقیقی ارائه نمی­دهد (Mirsharifi & Baba, 2017).

روش دوم که به روش تحلیلی مونت‌کارلو معروف می‌باشد، درواقع یک روش شبیه‌سازی است. در این روش ابتدا برای تمامی متغیرهای تصادفی اولیه (مثل بار یا مقاومت) با میانگین، واریانس و ضریب پراکندگی مشخص، توابع توزیع بر اساس تجربه موجود در­نظر­گرفته می‌شود. سپس مقادیر تصادفی بین 0 تا 1 تولید می‌شوند که درواقع نشان‌دهنده احتمال وقوع مقادیر مشخص از متغیر تصادفی موردنظر می‌باشد.

2-2- روش شبیه­سازی زیرمجموعه­ای مارکوف­چین مونت‌کارلو(MCMC)

 

روش مارکوف­چین مونت‌کارلو(MCMC)، یک روش شبیه­سازی احتمالاتی است که به کمک یک PDF دلخواه، با تولید تعداد نمونه­ها­ی شرطی تصادفی کم­تر و مطلوب­تر می­تواند حجم محاسبات را کاهش دهد و در نتیجه با همان دقت روش مونت­کارلو به جواب بهینه برسد. به‌طورکلی به روش مونت‌کارلو که برای تولید نمونه­های تصادفی خود از زنجیره­ی مارکوف استفاده می‌کند درواقع یک زنجیره­ی مارکوف، یک دنباله­ای از اعداد است که هر نمونه، وابسته به نمونه قبلی در آن دنباله است. الگوریتمی به نام متروپولیس­هستینگ(⁷MH)، مشخص می­کند عدد تصادفی جدید، کمکی در به ‌روز شدن دانش قبلی خواهد کرد یا خیر؛ و درنتیجه دیتای تصادفی جدید، رد یا قبول گردد.  الگوریتم متروپلیس-هیستینگ یک روش زنجیره مارکوف مونت کارلو برای بدست آوردن ترتیبی از نمونه‌های تصادفی از یک توزیع احتمالی است که نمونه‌برداری مستقیم از آن دشوار می‌باشد. این ترتیب را می‌توان برای برآورد یک توزیع به عنوان مثال تولید یک هیستوگرام (امید ریاضی) استفاده کرد(Hastings, 1970). به کمک الگوریتم MH در انتخاب و انتقال از یک نمونه به به نمونه دیگر به‌صورت یک مرحله­ی رد و قبول در معرض قضاوت و درنتیجه عملیاتی می­گردد. در این الگوریتم یکی از روش‌های رد یا قبول، محاسبه­ی ضریبی به نام، برگرفته از اطلاعات دانش قبلی و به‌روز کردن آن با استفاده از روش بیزین است. احتمال شرطی به­نام احتمال بیز بصورت زیر است(2012 Nowak & Collins,):

(1)        J=1,2,3,….,n  

که در که در رابطه فوق  احتمال وقوع پیشامد  با مشروط کردن نسبت به وقوع پیشامد A است.  احتمال قوع پیشامد  و  احتمال قوع A است. همچنین  بیانگر احتمال وقوع همزمان پیشامدهای A و  B است.

 

3-2- بهینه­سازی بر­پایه­ قابلیت­اعتماد(RBDO)

هر مسئله بهینه‌سازی داراي تعدادي متغير مستقل است كه آن‌ها را متغيرهاي طراحي می‌نامند. هدف از بهینه‌سازی تعيين متغيرهاي طراحي است، به‌گونه‌ای كه تابع هدف كمينه يا بيشينه شود. درواقع هدف از بهینه‌سازی يافتن بهترين جواب قابل‌قبول، با توجه به محدودیت‌ها و نيازهاي مسئله است. براي يك مسئله، ممكن است جواب‌های مختلفي موجود باشد كه براي مقايسه آن‌ها و انتخاب جواب بهينه، تابعي به نام تابع هدف تعريف می­شود. انتخاب اين تابع به طبيعت مسئله وابسته است. هزينه ازجمله اهداف رايج بهینه‌سازی در سازه‌های بتنی و همچنین در این پژوهش می‌باشد. شبیه‌سازی زیرمجموعه‌ای یک روش بسیار مؤثر در بهینه‌سازی سازه‌ها معرفی گردید که برای مطالعه‌ بیشتر می‌توان به Li & Cao (2016) مراجعه نمود. جهت شبیه‌سازی زیرمجموعه­ای برای بهینه‌سازی سازه­ها، فرض کنید که قرار است یک مسئله بهینه‌سازی نامقید حل گردد و مسئله‌ی آن به‌صورت رابطه زیر ارائه ‌شده است:

                                                                                                                                                                   (2(                                                                                                         

در رابطه بالا، W(d) تابع هدف،  بردار طراحی،نیز حدود بالا و پایین مقادیر بردار­های طراحی­اند. بنابراین می‌توان یک مسئله قابلیت ­اعتماد ساختگی را بر پایه­ متغیر­های طراحی و به بیان احتمالاتی تبیین و به‌صورت رابطه زیر ارائه داد:

(3(

در این رابطه،  مقدار کمینه­ای است که تابع هدف می‌تواند داشته باشد و رخداد  یک رخداد دلخواه ساختگی است که در این روند تعریف‌شده است. روشن است که احتمال شکست  دارای مقدار صفر است. در شبیه‌سازی زیرمجموعه­ای که به کمک آن بهینه‌سازی سازه­ها را می‌توان بررسی نمود معادله­ی حاکم همچنان رابطه ­(3) می­باشد. در گام اول عملیات بهینه­سازی حل و محاسبه­ی بردار طراحی d بایستی ابتدا پارامترهای تصادفی را با استفاده از توزیع‌های حاکم بر آن‌ها مقداردهی نمود. در گام دوم عملیات بهینه‌سازی که حالتی تکراری و چندمرحله‌ای دارد عمدتاً نبایستی به اتمام برسد مگر آنکه به معیار توقف رسیده باشد. از بررسی مقالات مختلف که در این زمینه به چاپ رسیده­اند این نتیجه حاصل شد که تنها دو روش جهت اعمال معیار توقف وجود دارد:

در روش اول در بهینه‌سازی احتمالاتی از حداکثر تعداد استفاده می­شود و در روش دوم اگر بین چند تکرار پیاپی، تغییر خاصی در تابع هدف ایجاد نشود بدین معنی است که بایستی عملیات بهینه‌سازی متوقف گردد. معیار توقف جدید که بر پایه­ی نمونه­های احتمالاتی ارائه شده است در زیر آورده شده است(Li & Cao, 2016):

(4)

در رابطه­ی بالا بیانگر انحراف از معیار داده­هایی است که از مرحله­ی  Kام شبیه‌سازی به­دست آمده­اند. متغیر ɛ نیز نشانگر تلرانسی است که جهت پایان عملیات توقف تعیین می­گردد. یک مسئله قابلیت­اعتماد بر پایه­ متغیر­های طراحی و به بیان احتمالاتی به‌صورت رابطه­ زیر بیان شود:

 

3- نتایج و بحث

 

1-3- بارگذاری

 

در پژوهش حاضر بارگذاری بصورت ترکیبی از بارهای زنده، مرده، زلزله، فشار استاتیک خاک و مایع است که ترکیب این بارها در طراحی بصورت حدی از آیین نامه نشریه ۱۲۳ سازمان مدیریت و برنامه ریزی ایران استفاده شده است. اثرات ناشی از وزن تجهیزات ولوله‌ها باید با توجه به اهمیت و بزرگی آن‌ها، بر اساس نظر طراح مورد محاسبه قرار گیرند. حداقل بار زنده، باید برابر بار برف در­نظر­گرفته شود. همچنین مقدار بار زنده در هیچ حالتی نباید کم‌تر از1.5KN/m² باشد. فشار استاتیکی جانبی و قائم مایع نگهداري شده بر اساس تئوری‌های مکانیک سیالات و با استفاده از وزن مخصوص و عمق تراز موردنظر از سطح آزاد مایع نگهداري­شده، مطابق رابطه  محاسبه می­شود. درهرحال مخازن باید براي حداکثر تراز ممکن مایع نگهداري­شده محاسبه شوند. سازه مخازن براي تحمل نیروهاي ناشی از اثرات خودکرنشی حاصل از تغییرات دما طراحی می­شوند که البته با توجه به محدوده کاربرد این ضابطه، به‌طورمعمول می‌توان از گرادیان حرارتی ناشی از تفاوت دماي مایع نگهداري­شده با محیط پیرامون مخازن صرف‌نظر کرد. طبق نشریه 123، به‌منظور ساده‌سازی محاسبات و با توجه به اثر خزش در بتن نارس و اثر چسبندگی فولاد به بتن، در بتن سخت­شده، فرض می‌شود انجام تحلیل حرارتی سه‌بعدی مخزن بر مبناي مقادیر ارائه‌شده در مدلسازی کافی بوده و مخزن طرح‌شده در برابر ترک‌خوردگی براثر هر دو نوع تغییرات دماي ذکرشده مقاوم است. فشار استاتیکی جانبی خاك را در محاسبات برابر فشار هیدرواستاتیکی جانبی نظیر مایعی با وزن مخصوص15 KN/m³  در قسمت‌هایی که خاك پایین‌تر از سطح آب زیرزمینی قرار دارد (کل فشار استاتیکی جانبی آب و خاک اشباع) و10 KN/m³ در قسمت­هایی که خاك بالاتر از سطح آب زیرزمینی قرار دارد، درنظر گرفت (Regulation No. 123, 1992). در این تحقیق شرایط محیطی معمولی برای خاک در نظر گرفته شده است. شرایط معمولی، شرایطی است که در آن عضو در تماس با خاک‌های غیر­مهاجم و آب با PH > 5 قرارگرفته و گاهی دچار تعریق می‌گردد.  براي محاسبه اندرکنش مخزن و مایع نگهداري­شده در آن، تنها روش تحلیل استاتیکی معادل بر اساس روش اصلاح‌شده‌ هازنر موردبررسی قرار می‌گیرد. زمان تناوب ارتعاش افقی جرم مواج مایع نگهداري­شده را می‌توان بر اساس رابطه (۵) تعیین کرد. مقدار ضریبl نیز برای مخازن استوانه­ای طبق رابطه (۷) محاسبه می­شود (Regulation No. 123, 1992):

(۵)
(۶)

در رابطه بالا،D  و  به ترتیب قطر داخلی مخزن و ارتفاع مایع درون آن است. همچنین حداقل ضریب اهمیت مخازن(I) باید با توجه به مایع نگهداري­شده، کاربري مخزن و محل قرارگیري آن بر اساس استاندارد 2800 ایران تعیین گردد. نسبت وزن معادل قسمت سخت و قسمت مواج مایع نگهداری­شده به وزن کل آن، برای مخازن استوانه­ای باید طبق رابطه (۷) محاسبه شوند (Regulation No. 123, 1992):

(۷)                                                                                                     

ضریب رفتار(R) ، ضریبی است که نشان‌دهنده میزان نامعینی و شکل‌پذیری سیستم سازه‌ای و همچنین توانایی آن براي استهلاك انرژي زلزله می‌باشد و مقدار آن برای مخازن مدفون ۴ و برای مخازن غیر مدفون ۳ است. شکل ۱ کلیه‌ی آثار ناشی از ارتعاش افقی مایع نگهداري­شده در مخازن نشان داده‌شده است. در این شکل  فشار قائم استاتیکی آب و  تغییر فشار در هنگام زلزله است. ارتعاش افقی مایع نگهداري­شده در مخازن منجر به ایجاد فشار نامتوازن بر روي دال کف آن‌ها می‌شود. اثر این تغییرات فشار با تعریف ارتفاع‌های ظاهري  و  به جای ارتفاع­های  و  در محاسبه لنگر واژگونی مخازن بر روي دال کف در­نظر­گرفته می­شود. این ارتفاع‌های ظاهري که نشان‌دهنده‌ ارتفاع مرکز ثقل نیروهاي جانبی ناشی از ارتعاش جرم سخت و مواج مایع نگهداري­شده از پاي دیوار با درنظرگرفتن فشار نامتوازن وارد بر کف مخزن هستند. در مخازن استوانه­ای طبق روابط ۸ تا 10 محاسبه می­گردند (Regulation No. 123, 1992).

(8)
(9)
(10)

2-3- ساختار برنامه نوشته­شده برای بهینه­سازی طراحی مخازن بتن­آرمه

 

در ابتدا باید توابعی تولید کرد که بتواند مدل را در محیط SAP2000 ایجاد نموده و خواص مصالح مصرفی، مقاطع مورداستفاده و نیز بارگذاری مربوط به طرح مخازن را بر اساس نکات آیین­نامه123 ایجاد نماید. این موارد در SAP2000 شامل تعریف بتن، تعریف فولاد، تعریف فنر، الگو و ترکیبات بارگذاری، محل نقاط تغییرمکان می­باشد. در مدلسازی از تحلیل مودال با ۱۲ مود استفاده شده است. نوع بارگذاری با استفاده از موارد مندرج در آیین نامه 123 انجام شده است. نوع ترکیبات بار از نوع خطی است و همچنین مدل­سازی خاک پیرامون مخزن به‌صورت فنرهای وینکلر انجام شده است. در پژوهش حاضر عملیات مربوط به ارتباط برقرار­نمودن با نرم­افزار  SAP2000 توسط زبان برنامه­نویسی C#  انجام شده است و محاسبات مربوط به بهینه­سازی توسط الگوریتم MCMC با زبان MATLAB کدنویسی شده است. ارتباط بین کد MATLAB با Console برنامه­نویسی شده درC#، از طریق فرستادن دستور(Send Command) است؛ بدین‌صورت که پارامترهایی که باید به‌صورت تصادفی تولید و در شبیه­سازی مورداستفاده قرار گیرند، توسط این روش به برنامه .exe  فرستاده می­شود. پس از اتمام عملیات، نتایج در فایل متنی نوشته‌شده تا برنامه MATLAB آن را بخواند و سپس برآورد توابع هدف و نیز قیود فنی موجود در مسئله را انجام دهد.  اطلاعات نوشته­شده در فایل متنی، شامل مقادیر مربوط به توابع هدف (شامل قیمت مصالح مصرفی سازه مخزن) و مقادیر مربوط به کنترل قیود بهره­برداری (مانند ترک­خوردگی)، کنترل قیود مربوط به خدمت­پذیری (مانند تغییر­مکان نقاط خاصی از سازه) و کنترل قیود مربوط به قیود مقاومتی (شامل کنترل ظرفیت خمشی و تقاضای خمشی ناشی از بارگذاری­های مختلف در مقاطع حساس سازه) می­باشد. هر کدام از این مقادیر با فرض مشخص در فایل متنی نوشته‌شده و سپس همین مقادیر توسط MATLAB خوانده و به الگوریتم بهینه ­سازه بازمی‌گردد. ارتباط File.exe  با روش تولید عدد تصادفی MCMC موجود در برنامه MATLAB منجر به رسیدن جواب بهینه یا همان کم­ترین هزینه ساخت مخزن ازلحاظ میزان بتن و آرماتور مصرفی خواهد شد. در برنامه نوشته­شده به­علت آن­که طبیعت رفتار MCMC مورداستفاده برای بهینه­سازی مقید است، از هرگونه توابع با ضرائب لاگرانژ استفاده ‌نشده است. درنهایت مقدار فشار هیدرودینامیک وارد شده بر دیوارها و دال کف مخازن براثر شتاب قائم زلزله بر اساس روابط آیین نامه محاسبه می­شوند. شکل ۲ نماي شماتیک ازمقطع مخزن استوانه­ای و نحوه قطعه بندی آن را نشان می­دهد. المان مقطع موردبررسی، دارای 10 متغیر است که در جدول۱ آورده ‌شده است. لازم به ذکر است که المان موردنظر دارای عرض واحد، و ارتفاع المان نیز مطابق با ارتفاع مخزن 4m است. همچنین مطابق شکل ۲ قطعات ۳ با ۷ ، قطعات ۴ با ۶ و قطعات ۱ با ۲ با توجه به ماهیت رفتاری مشابه، به‌صورت قرینه و شبیه یکدیگر مدل می­شوند.

 

شکل ۱. نیروها و لنگرهای ناشی از ارتعاشات افقی مایع در مخزن (Regulation No. 123, 1992)

 

Fig 1. Forces and moments due to horizontal vibrations of the liquid in the tank (Regulation No. 123, 1992)

 

 

 

شکل۲. شماتیک از مقطع مخزن استوانه­ای و قطعه بندی آن 

 

Fig 2. Schematic figure of the section of the cylindrical tank and its segmentation

 

جدول۱. معرفی متغیرهای مؤثر در طراحی بهینه المان مخزن

Table 1. Introduction of effective variables in the optimal design of the tank element

ضخامت دیوارها یا المان عمودی مخزن
ضخامت کف یا المان افقی مخزن
درصد آرماتور یا چگالی آرماتور بالای المان­های 3 و 7
درصد آرماتور یا چگالی آرماتور پایین المان­های 3 و 7
درصد آرماتور یا چگالی آرماتور بالای المان­های 4 و 6
درصد آرماتور یا چگالی آرماتور پایین المان­های 4 و 6
درصد آرماتور یا چگالی آرماتور بالای المان­های 5
درصد آرماتور یا چگالی آرماتور پایین المان­های 5
درصد آرماتور یا چگالی آرماتور بالا در المان عمودی مخزن
درصد آرماتور یا چگالی آرماتور پایین در المان عمودی مخزن

 

در پژوهش حاضر آرماتورهای طولی در نرم­افزار مدل­سازی شده است و آرماتورهای عرضی که به‌صورت کششی حلقوی عمل می­کند بر­اساس مقدار حداقل موجود در آیین­نامه ­123 درنظر­گرفته خواهد شد (شکل ۳).

تابع هدف موردنظر در این تحقیق هزینه ساخت مخزن بتن­آرمه و قیود آن شامل قیود خدمت­پذیری و مقاومتی می­باشد. قیود خدمت­پذیری نظیر تغییر­شکل­های سازه و ترک­خوردگی بوده و قید مقاومتی همان نسبت تقاضا به ظرفیت مقاطع حساس در این مخزن است. همچنین جهت برآورد هزینه کل سازه نیاز است که مقادیر حجم و وزن بتن مصرفی، همچنین وزن آرماتورهای مصرفی در سازه تعیین گردد که این امر نیز توسط نرم­افزار انجام می­شود. نحوه­ محاسبه­ تابع هدف بدین‌صورت است که ابتدا حجم بتن مصرفی در مخزن مورد محاسبه قرار می­گیرد و به دلیل آن­که مخزن مورد بررسی در پژوهش حاضر به‌صورت استوانه­ای است، بنابراین کافی است که یک قطاع از آن موردبررسی قرار گیرد. با محاسبه حجم نهایی مخزن بهینه و ضرب این عدد در چگالی آرماتور و همچنین بهای تمام ‌شده میلگرد مصرفی، قیمت فولاد کل مصرفی به­دست می­آید. در این پژوهش، قیمت بتن، به ازای هر تن ۵۵۰۰۰ تومان و قیمت فولاد، به ازای هر کیلوگرم ۵۵۰۰ تومان درنظر­گرفته­ شده است. لازم به ذکر است که این اعداد فرضی است ولی نسبت قیمت این دو متریال تقریبا درست فرض شده است.

 

شکل ۳. وضعیت قرارگیری آرماتورهای کششی حلقوی و آرماتورهای عمودی مخزن

 

Fig 3. Positioning of circular tensile reinforcements and vertical reinforcements of the tank

 

در رابطه با تعیین مقادیر حدود متغیرها و همچنین توابع توزیع، مطابق جدول(۲) توزیع ابعاد هندسی به­صورت یکنواخت و توزیع مقاومت به‌صورت نرمال درنظر گرفته شده است. تعداد متغییرهای طراحی 10 عدد می­باشد که مقادیر حداقل آن‌ها در آرایه b1 و مقادیر حداکثر آن­ها در آرایه b2 تعیین گردیده است. تلرانس مورد قبول 0001/0 تعیین گردیده است. تعداد نمونه­هایی که زنجیره­ مارکوف­چین­ مونت­کارلو در هر سعی نمونه­سازی می­کند برابر 10 عدد می­باشد. درواقع حداکثر تعداد دور در چرخه شبیه­سازی(MaxTry)، طبق مرجع (Li & Cao, 2016) مربوط به کد برنامه­نویسیMCMC ، برای رسیدن به حد تلرانس0001/0، برابر 100 مرتبه درنظر­گرفته شده است و پس از اتمام اجرای روند کلی شبیه­سازی­های انجام­شده توسط برنامه ثبت و سپس مطابق شکل (۴) ترسیم گردیده است:

جدول2. حدود متغیرها و توزیع مقاومت

Table 2. Range of variables and distribution of resistance

 

شکل4. اجرای روند برنامه­نویسی و میل به سمت هزینه بهینه

0.3 m <<0.65m

0.35 m <<0.8m

0.01   <<0.5

0.01   <<0.5

21 Mpa= m

2.1 Mpa= s

400 Mpa= m

40 Mpa= s

Cost (Iranian Toman)

 

Fig 4. Implementation of the programming process and desire towards optimal cost

 

همان­طور که از شکل(4) نیز مشخص است، با حدود 60 بار نمونه­سازی انجام‌گرفته، مقادیر مربوط به معیارهای توقف الگوریتم که تلرانس و تعداد حداکثر نمونه­سازی در یک مرحله است ارضا شده و پس از پایان مراحل بهینه­سازی در فایل برنامه Matlab با نام RunOPT.m، نتایج به­صورت جدول(۳) به­دست آمد:

جدول۳. نتایج حاصل از متغیرهای بهینه مخزن

Table 3.The results of optimal tank variables

 

طبق جدول(۳)، ضخامت دیوارها بصورت تقریبی 39/310 mm و ضخامت فونداسیون برابر با mm 2/393 تعیین گردیده است. دیگر پارامترها نیز در ردیف ۲ تا ۵ جدول مربوط به چگالی آرماتورهای مصرفی در کف و دیواره­های مخزن است. درنهایت با 11 مرتبه شبیه­سازی و کاهش انحراف از معیار در بین دسته نمونه­های تصادفی که هر کدام نماینده یک مخزن است، معیار­های توقف الگوریتم ارضا شده­اند و نتیجه نهایی مطابق شکل(۵) برابر با 7/25 میلیون تومان خواهد شد.

 

 

 

 

شکل5. نمایش تعداد مراحل شبیه­سازی تا رسیدن به تابع هدف بهینه

 

Fig 5. Display the number of simulation steps until reaching the optimal objective function

 

این مسئله با دسته­های 15 تایی مجدداً حل گردید و با تغییر تعداد نمونه­ها در هر سطح شبیه­سازی(MaxTry) به مقدار 15، نتایج و نمودارهای تابع بهینه مخزن، همگراتر نسبت به مقدار بهینه قبلی به­دست خواهد آمد. با این تغییر، اجرای روند کلی شبیه­سازی­های انجام گردید و سپس توسط برنامه ثبت و به‌صورت شکل(6) ترسیم شد. درنهایت جواب متغیرهای بهینه مخزن شامل ضخامت دیوار، کف و میزان آرماتورهای مخزن، مطابق جدول(4) به­دست آمد. همان‌طور که از شکل(6) مشخص است پس از 198 مورد نمونه شبیه­سازی ضمن رعایت قیود آیین­نامه و ارضا معیارهای توقف، همگرایی جواب مسئله به‌طور آشکار و گویا قابل‌ملاحظه است. ضمن آن­که در کد بالا با توجه به مقادیر NumSam و MaxTry به ترتیب 15 و 100، استعداد 15000 مرتبه شبیه­سازی مونت­کارلو معمولی برای رسیدن به همین مقدار تابع هدف، وجود دارد و واضح است که با این زنجیره و استفاده از روش رد و قبول متروپولیس­هستینگ، سریع­تر به جواب بهینه و اقتصادی رسیده شد.

شکل6. اجرای روند برنامه­نویسی و میل به سمت هزینه بهینه

 

Fig 6. Implementation of the programming process and desire towards optimal cost

 

جدول4. نتایج حاصل از متغیرهای بهینه مخزن

Table 4.The results of optimal tank variables

Cost Function = 25773467 (Toman)
b2 = 393.2191 mm	b1 = 310.3905 mm
b1 = 0.011891	t1 = 0.014493
b2 = 0.0095131	t2 = 0.011831
b3 = 0.01127	t3 = 0.017364
bw = 0.017027	tw = 0.015561

 

نتایج جدول(4) که حاصل بهینه­سازی متغیرهای موردنظر این پژوهش، به کمک روش MCMC است، در قالب شکل(7) به نمایش درآمده است.

شکل7. نمایش متغیرهای مدنظر به­دست آمده از روش MCMC 

 

Fig 7. Display of considered variables obtained from MCMC method

 

 

درنهایت نمودار شکل(8)، نشان می­دهد که با 27 مرتبه شبیه­سازی با کاهش انحراف از معیار در بین دسته نمونه­های تصادفی که هر کدام نماینده یک مخزن است، معیار­های توقف الگوریتم ارضا گردید و نتیجه نهایی برابر با 9/21 میلیون تومان خواهد شد.

شکل8. نمایش تعداد مراحل شبیه­سازی تا رسیدن به تابع هدف بهینه

Cost Function = 21904845 (Toman)
b2 = 432.2963	b1 = 299.3426
b1 = 0.0098963	t1 = 0.011063
b2 = 0.0081082	t2 = 0.009943
b3 = 0.010652	= 0.012763
bw = 0.018241	0.0164020

Cost (Iranian Rial)

 

Fig 8. Display the number of simulation steps until the optimal objective function

 لازم به ذکر است که حتی انتخاب NumSam  یا همان تعداد نمونه­ها در هر سطح شبیه­سازی به مقادیر بالاتر، هزینه بهینه­تر و همگراتر می­گردد که البته در این مثال نزدیک به 9/21 میلیون تومان است اما به‌طور چشم­گیر موجب اختلاف قیمت نسبت به طراحی با MaxTry=15 نخواهد شد؛ ضمن آن­که با انتخاب تلرانس 0001/0که معادل شاخص قابلیت ­اطمینان آیین­نامه ایران (مقررات ملی ساختمان ایران،مبحث ۹) بر مبنای b=3.5 می­باشد، رعایت گردیده است. به­ همین دلیل می­توان به همین میزان طرح بهینه و دستیابی به روش MCMC  در زمینه طراحی مخزن که خاصیت تصادفی­ بودن متغیرهای طراحی نیز در آن رعایت گردیده، اکتفا نمود. در حالت بهینه­سازی دوم، تعداد بازه­های شبیه­سازی 100 مرتبه و تعداد دفعات قابل بهینه در هر بازه شبیه­سازی 15 مرتبه است و می­توان گفت با روش مونت­کارلو مستقیم استعداد 1500 بار نمونه­سازی دارد ولی درنهایت به همین جواب بهینه­ی 9/21 میلیون تومانی که با 200 نمونه از زنجیره­ مارکوف­چین به‌دست‌آمده، خواهیم رسید که در اتلاف زمان در رسیدن به تابع بهینه مؤثر است.

4- نتیجه­گیری

در این پژوهش ضرورت عدم قطعیت و اعمال خصوصیت تصادفی بودن متغیرها در بحث تحلیل و طراحی با روشی به نام MCMC انجام شد. MCMC به کمک توابع توزیع احتمال، به‌ویژه توزیع نرمال در بحث مقاومت، به تولید عدد تصادفی پرداخت که البته در بحث توزیع بارهای لرزه­ای حداکثر وارد بر سازه، همچنین تعداد زلزله­هایی که ممکن است در طول یک فاصله­ی زمانی اتفاق بیفتد، توصیف بار زنده دائمی، پدیده خستگی مصالح و پدیده­های دیگر، توابع توزیع مختلفی وجود داشت. از فرضیات ساده­کننده­ای نیز استفاده گردید و برای تکمیل طراحی به­ویژه در بحث آرماتورهای کششی حلقوی و توزیع بارهای لرزه­ای، طبق آیین­نامه 123 انجام شد. طراحی بهینه ضخامت و آرماتور موجود در دیوار و کف مخزن مورد بررسی قرار گرفته و مشاهده شد که با استفاده از زنجیره مارکوف­چین و روش رد و قبول MH در روش کلی تولید عدد تصادفی مونت­کارلو مستقیم، با حدود 200 نمونه مخزن و با تبادل اطلاعات بین روش MCMC  موجود در برنامه Matlab و نرم­افزار محاسبه­گر SAP2000، نتیجه­ای همگرا و بهینه، درحدود قیمتی22 میلیون تومانی رسید؛ و این یعنی بهینه­کردن، اعمال تصادفی بودن متغیرها به کمک دو معیار میانگین و انحراف از معیار، اعمال قیود و محدودیت­های مدنظر آیین­نامه دلخواه و همچنین کم­ترین زمان در RunOPT.m برنامه نسبت به روش­هایی مانند مونت­کارلو مستقیم.

5- تضاد منافع نویسندگان

نویسندگان این مقاله اعلام می‌دارند که هیچ تضاد منافعی در رابطه با نویسندگی و یا انتشار این مقاله ندارند.

6- مراجع

Ahmadi, G. (2012) Optimization of construction of concrete water ground tanks by reducing the compressive strength of concrete and increasing the tensile strength of steel. 4th National Conference of Concrete. Tehran, Iran. (In Persian)

Chiti, H., Khatibinia, M., Akbarpoor, A., & Naseri, H. (2015). Optimal design of weighted dams based on reliability 2nd International & 6th National Conference on Earthquake and Structure, Kerman, Iran. (In Persian)

Dilip, D. M., & Sivakumar Babu, G. L. (2013). Methodology for pavement design reliability and back analysis using Markov chain Monte Carlo simulation. Journal of Transportation Engineering, 139(1), 65-74.

Havaei, G. R., & Kia, S. (2015). Optimization of reinforced concrete reservoir with circumferential stiffeners strips by particle swarm algorithm. Structural Engineering and Construction, 2(2), 28-42. (In Persian)

Hastings, W.K. (1970). Monte carlo sampling methods using markov chains and their applications. Biometrika, 57 (1): 97–109.

Jahanshahi, M., Fakhimi, B., Fakhimi, A. (2016). Application of new optimization methods in concrete structures. 4th International Congress on Civil Architecture and Urban Development, Tehran, Iran. (In Persian)

Jensen, H., Jerez, D., & Beer, M. (2021). A general two-phase Markov chain Monte Carlo approach for constrained design optimization: Application to stochastic structural optimization. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 373, 113487.

Khanmohammadi, M., Hejazi, F., & Hataminia, H. (2014). Investigating the fundamentals of design of concrete water storage tanks in regulations EN 1998-4:2006(E), NZS 3106-2009, ACI 350.3-06, Publication 123, 8th National Congress on Civil Engineering, Babol, Iran. (In Persian)

Kia, S. & Ghasemi, M.R., (2012). Durability-based optimization of reinforced concrete reservoirs using artificial bee colony algorithm, Global Journal of Researches in Engineering, 12, 9-18.

Li, H. S., & Au, S. K. (2010). Design optimization using subset simulation algorithm. Structural Safety, 32(6), 384-392.

Li, H. S., & Cao, Z. J. (2016). Matlab codes of Subset Simulation for reliability analysis and structural optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization, 54, 391-410. 

Li, H. S., & Ma, Y. Z. (2015). Discrete optimum design for truss structures by subset simulation algorithm. Journal of Aerospace Engineering, 28(4), 04014091. 

Lopez, R. H., & Beck, A. T. (2012). Reliability-based design optimization strategies based on FORM: a review. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 34, 506-514.

Mirsharifi, A., & Baba, H. (2017) Safety of structures based on reliability theory. No-Avar publication, 2017.

Nowak, A. S., & Collins, K. R. (2012). Reliability of structures. CRC press.

Proppe. C., (2017). Markov chain Monte Carlo simulation methods for structural reliability analysis. Procedia Engineering, 199, 1122-1127.

Regulation No. 123, (1992). Rules and criteria for the design and calculation of underground water reservoirs, First revision, Iran Management and Planning Organization.

Wankhede, S., Salunke, P. J., & Gore, N. G. (2015). Cost optimization of elevated circular water storage tank. The International Journal of Engineering and Science, 4(2015). 

Xiao, S., & Nowak, W. (2022). Reliability sensitivity analysis based on a two-stage Markov chain Monte Carlo simulation. Aerospace Science and Technology, 130, 107938.

 

 

114

 

---

[1] 1- Particle Swarm Optimization 

[2] 2- Markov Chain Monte Carlo

[3] - Probability Density Function

 

[4] 4- First Order Reliability Method

[5] 5- Reliability Based Design Optimization

[6] 6- Sequential Optimization and Reliability Assessment

[7] 7- Metropolis Hastings

---