On the p-operator space structure of the group algebra of universal p-pseudofunctions

Subject Areas : Statistics

Mohammad Ali Ahmadpoor JAddeh Kenari ¹ , Marzieh Shams Yousefi ^{2 *}

1 -
2 -

Received: 2022-01-23 Accepted : 2023-10-02 Published : 2024-01-18

Keywords: QSLp- فضاها, p- شبه توابع جامع, p- فضاهای عملگری, نمایش جامع,

Abstract :

In this paper one of the possible p-operator space structures of the algebra of universal p-pseudofunctions will be introduced, َ Also to some extend some practical and developmental results in the field of p-completely boundedness of specific mappings on this algebra will be presented. In this paper one of the possible p-operator space structures of the algebra of universal p-pseudofunctions will be introduced, َ Also to some extend some practical and developmental results in the field of p-completely boundedness of specific mappings on this algebra will be presented. In this paper one of the possible p-operator space structures of the algebra of universal p-pseudofunctions will be introduced, َ Also to some extend some practical and developmental results in the field of p-completely boundedness of specific mappings on this algebra will be presented. In this paper one of the possible p-operator space structures of the algebra of universal p-pseudofunctions will be introduced, َ Also to some extend some practical and developmental results in the field of p-completely boundedness of specific mappings on this algebra will be presented.

References:

[1] M. Daws, p-Operator spaces and Figa-Talamanca-Herz algebras, J. Operator Theory
63 (1) 47-83(2010).
[2] E.G. Effros, Z.-J. Ruan, A new approach to operator spaces, Canad. J. Math. 34 (1991) 329-337
[3] E.G. Effros, Z.-J. Ruan, Operator Spaces, London Math. Soc. Monogr. (N.S.) 23 Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.
[4] P. Eymard, L'algebre de Fourier d'un groupe localement compact,, Bull. Soc. Math. France 92 181-236 (1964)
[5] A. Figa-Talamanca, Translation invariant operators in Lp, Duke Math. J. 32 495-501 (1965)
[6] G. B. Folland, A course in abstract harmonic analysis, CRC PRESS, 1995.
[7] E. Gardella, A modern look at algebras of operators on Lp-spaces,
ArXiv:1909.12096v1.
[8] C. Herz, Une generalisation de la notion de transformee de Fourier-Stieltjes, Ann.
Inst. Fourier 24 (1974), 145157.
[9] C. Herz, The theory of p-spaces with an application to convolution operators, its
second dual, Trans. Amer. Math. Soc. 154 69-82(1971)
[10] M. Ilie, A note on p-completely bounded homomorphisms of the Figa-Talamanca-
Herz algebras, J. Math. Anal. Appl. 419 273-284(2014)
[11] M. Ilie, N. Spronk, Completely bounded homomorphisms of the Fourier algebra,
J. Funct. Anal. 225 480-499(2005)
[12] C. Le Merdy, Factorization of p-completely bounded multilinear maps, Pacific J. Math. 172, 187-213(1996)
[13] G. Pisier, Similarity Problems and Completely Bounded Maps, Second, expanded edition, Lecture Notes in Math., vol. 1618, Springer-Verlag, Berlin 2001.
[14] V. Runde, Representations of locally compact groups on QSLp-spaces and a p-analog of the Fourier-Stieltjes algebra, Pacific J. Math. 221 (2) 379-397(2005)

Full-Text:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال دهم، شماره پنجاه و دوم، بهمن و اسفند 1403

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

 

معرفي يک ساختار p- عملگري بر روي جبر گروهي

p- شبه توابع جهاني، UPFp(G) 

 

 

محمدعلي احمدپور جاده­کناري1، مرضيه شمس يوسفي2¹

(1و2) گروه رياضي محض، دانشکده علوم رياضي، دانشگاه گيلان، رشت، ايران

 

 

تاريخ ارسال مقاله: 03/11/1400       تاريخ پذيرش مقاله: 10/07/1402

چکيده : در اين مقاله يکي از انواع خاص ساختار p-عملگري بر روي جبر p-شبه توابع جهاني داده مي‎شود. همچنين برخي نتايج کاربردي و توسعه­اي در زمينه p-کاملا کران­داري نگاشت­هاي خاص روي اين جبر ارائه خواهد شد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

واژه هاي کليدي: p- فضاهاي عملگري،  p- شبه توابع جهاني، نمايش جهاني، QSLp- فضاها

 

 

---

[1] عهده دار مکاتبات    [e-mail]          Email:  

1- مقدمه

فضاهاي عملگري توسط آروسون و استينسپرينگ معرفي و توسط افراس در 1986 به جامعه رياضي ارائه شد[2]. با توجه به اهميت و جذابيت جبرهاي گروهي فوريه و فوريه اشتيل يس ايمارد [4]، ساختارهاي عملگري آن‎ها از علاقمندي رياضيدانان معاصر بوده است. جبر فوريه اشتيل يس به عنوان دوگان-جبر گروهي داراي ساختار عملگري است و با اين ساختار جبر فوريه، به عنوان ايده‎آل بسته آن، نيز مجهز به ساختار عملگري مي­شود. ايلي در[10،11] نگاشت­هاي کاملا کران­دار در رسته فضاهاي عملگري بالا، از جبر فوريه به جبر فوريه اشتيل يس را بررسي و شناسايي کرد در مرحله بعد تعبير فضاهاي p-عملگري در [1]، بر اساس ايده‎هاي مطالعاتي پيزيه [13] و لِ مردي [12] گسترش يافت. اين راهبرد معرفي شده به شکل وسيعي بر روي جبر فيگا-تالامانکا، هرتس،  ، (p-صورت جبر فوريه[5،8،9]) به کار رفت و برخي خواص ديگر آن نيز مطالعه شد.

در اين مقاله ما ساختار p-عملگري روي UPFp(G) ، جبر p-شبه توابع جهاني را معرفي مي‏کنيم. براي اين هدف، اين مطالب را به بخش‎هاي زير تقسيم مي‏کنيم:

در بخش 2 نظريه‎ي پايه‎اي QSLp- فضاها را معرفي مي‎کنيم، تعاريف و مقدمات مورد نياز اوليه براي نمايش‎ها و صورت ماتريسي آن‎ را بيان مي‎کنيم. سپس در بخش 3 برخي خواص جذاب نمايش‎ها را بيان کرده و به عنوان نتيجه‎اي از آن ساختار p-عملگري مورد نظر را معرفي مي‎کنيم.

 

 

2- پيش نيازها

نظريه نمايش گروه‎هاي فشرده موضعي روي فضاهاي هيلبرت به شکل وسيعي مطالعه شده است. براي مطالعه بيشتر در اين زمينه مرجع [6]  و همچنين براي مطالبي در مورد ارتباط بين نمايش‎ها و ساختارهاي عملگري مرجع [3] را مطالعه کنيد. در اين مقاله به دنبال طراحي p-صورت مفاهيم بالا هستيم و در تعريف­ها و نمادگذاري­ها از مرجع [14] بهره مي­بريم.

در ابتدا تعريف رده خاصي از فضاهاي باناخ را عرضه و مفاهيم مورد نياز براي نزديکي به مقوله مورد نيازمان در مورد p-نمايش‏ها را بيان مي‎کنيم.

تعريف 1. الف. يک نمايش از گروه فشرده موضعيG، زوج  است که در آن E  فضاي باناخ و  يک همريختي از G به فضاي عملگرهاي طولپاي وارون­پذير روي E است که نسبت به توپولوژي اوليه G و توپولوژي عملگري قوي روي B(E) پيوسته است. به طور دقيق  يک همريختي پيوسته است که  وارون­پذير و طولپا با وارون  است.

ب. يک ترفيع از يک نمايش  از گروه فشرده موضعيG به جبر گروهي  ،   همريختي انقباضي  است که به صورت

 

 

تعريف مي‎شود که نسبت به توپولوژي اوليه G و توپولوژي عملگري قوي روي B(E) پيوسته است.

ج. نمايش  دوري با بردار دوري  ناميده مي‎شود هرگاه   در E  چگال باشد. در اين حالت ممکن است  را با  نمايش دهيم. در اين حالت  را فضاي دوري مي­ناميم.

يکي از مهمترين فضاها (جبرها)ي متناظر با نمايش‎هاي گروهي، فضاي توابع ضريب آن‏هاست.

 در سرتاسر اين مقاله p يک اسکالر حقيقي متعلق به بازه   است.

تعريف 2. الف. فضاي باناخ E را يک Lp-فضا مي‎ناميم، هرگاه براي يک فضاي اندازه  به شکل  باشد.

ب. فضاي باناخ E را يک QSLp-فضا مي‏ناميم، هرگاه زيرفضايي از يک خارج قسمت از يک Lp-فضا باشد.

تعريف 3. فرض کنيم  و  دو نمايش از گروه فشرده موضعيG باشند. در اين صورت

الف. نمايش  و  را هم‌ارز مي‏ناميم، هرگاه طولپايي  چنان موجود باشد که براي هر  داشته باشيم  . در اين حالت مي‎نويسيم .

ب. نمايش  يک زير نمايش از نمايش  ناميده مي‎شود، هرگاه  يک زيرفضاي بسته باشد و براي هر  داشته باشيم .

ج. نمايش  مشمول در  ناميده مي‎شود، هرگاه  با يک زير نمايش از  هم‎ارز باشد. در اين حالت مي­نويسيم .

نمادگذاري. مجموعه همه (کلاس‎هاي هم‌ارزي) نمايش‎هاي يک گروه فشرده موضعيG روي يک QSLp-فضا با  نمايش داده مي‌شود  و به هر عضو ان يک p -نمايش اطلاق مي­شود. همچنين مجموعه همه p -نمايش‌هاي دوري را با  نمايش مي‎دهيم. براي ، مجموعه همه زير نمايش­هاي دوري آن را با  نمايش مي‎دهيم.

تعريف 4. يکp -نمايش  را يک p-نمايش جهاني مي‎ناميم، هرگاه شامل همه نمايش‎هاي دوري در  باشد.

در ادامه جبرهاي p –شبه توابع را معرفي مي‎کنيم که نقش اساسي را در اين مقاله ايفا مي‎کنند.

تعريف 5. فرض کنيم  

الف. در اين صورت قرار مي‎دهيم

                 

در اين حالت  يک نيم-نرم جبري روي  تعريف مي‏کند.

ب. جبر p-شبه توابع متناظر با  به صورت بستار در نرم  در B(E) تعريف مي‎شود و با  نمايش داده مي‎شود. همچنين، اگر  يک p-نمايش جهاني باشد، آنگاه   جبر p-شبه توابع جهاني ناميده مي‌شود و با  نمايش داده مي‌شود.

تذکر 1. فرض کنيم  و قرار مي‎دهيم
 
در اين صورت،  يک ايده‎آل بسته  است و با خارج قسمت گرفتن به فضاي نرم دار  منجر مي‎شود. کامل سازي  با اين نرم همان  معرفي شده بالا است. مشاهده مي‎شود که نرم  مستقل از انتخاب p-نمايش جهاني است.

در ادامه بر اساس [7]، QSLp-جبرهاي عملگري را معرفي مي‎کنيم.

تعريف 6. فرض کنيم A يک جبر باناخ باشد.

الف. يک نمايش از A (روي QSLp-فضاي E) يک همريختي انقباضي مانند
 است.

ب. نمايش  را ناتبهگون (اساسي) مي‎ناميم هرگاه  در E چگال باشد.

ج. نمايش اساسي  از A (روي يک QSLp-فضاي E) وفادار ناميده مي‎شود، هرگاه يک به يک باشد.

د. جبر باناخ A يک QSLp-جبر عملگري ناميده مي‌شود هرگاه QSLp-فضاي E و همريختي طولپاي موجود باشد. در اين حالت به طور معادل مي‎توان گفت يک نمايش طولپاي وفادار از A بر، QSLp-فضاي E موجود است.

در اين قسمت به تعريف p-فضاي عملگري مي­پردازيم. مرجع ما در اين بخش [3] و [16] است.

براي  ، اندازه  و فضاي باناخ E، با متناظر کردن طبيعي ضرب تانسوري جبري  با يک زيرفضاي  ، مي­توان نرم طبيعي بر آن القا کرد. در اين حالت با کامل­سازي  فضاي باناخ حاصل را با  نمايش مي‎دهيم. همچنين داريم  (به صورت طولپا). اگر  مجهز به -نرم را با  نمايش دهيم  به طور طبيعي با  يکريخت است.

تعريف 7 . الف. فضاي باناخ   را p-فضاي عملگري  ملموس مي­ناميم، هرگاه براي يک QSLp-فضاي E، يک زيرفضاي بسته B(E) باشد.

در اين حالت براي هر  مي­توان با يکسان­سازي  با زيرفضاي  نرم  را روي  القا کرد. بنابراين مي‎توان خانواده  را يافت که در شرايط ذيل صادق است

 

در اين حالت  داراي نمايش ماتريس بلوکي به فرم  است.

و براي ،  و داريم 

 

 ب. p-فضاي عملگري مجرد، يک فضاي باناخ X مجهز به خانواده اي از نرم‎هاي  روي  است که در دو شرط  و  صادق هستند.

تذکر2.   مفاهيم p-فضاي عملگري ملموس و p-فضاي عملگري مجرد بر هم منطبق هستند. [3]

يکي از مهمترين کاربردهاي چنين p-فضاهاي عملگري به وسيله داوس¹ روي جبر فيگا-تالامانکا-هرتس  به کار رفت. او در [3] دو ساختار p-فضاي عملگري براي  معرفي کرد که براي گروه فشرده موضعي ميانگين­پذير G بر هم منطبق هستند.

تعريف 8. فرض کنيم X و Y دو p-فضاي عملگري باشند و  يک نگاشت خطي باشد. n-تاب نگاشت 𝛷 به شکل طبيعي به صورت زير تعريف مي‎شود
.

و p-نرم کامل آن با

            

داده مي‌شود. در اين حالت اگر  گوييم ، p-کاملاً کراندار است و هرگاه  آن را p-کاملاً انقباضي مي‎ناميم. همچنين در حالتي که براي هر n ،  طولپايي است،  را يک نگاشت p-کاملاً طولپايي مي‎خوانيم.

3- نرم ماتريسي روي جبر p-شبه توابع ن

در اين بخش خانواده  از نرم‎هاي ماتريسي روي جبر p-شبه توابع،  براي نمايش  را ارائه مي‌دهيم. در ابتدا براي شفاف شدن هر چه بيشتر ساختار، خوش تعريفي آن را بررسي مي‏کنيم. در گام نخست گزاره سرراست زير ارائه مي‌کنيم و در ادامه به مفهوم lp-جمع مستقيم نمايش‎ها خواهيم پرداخت.

گزاره 1. فرض کنيم  خانواده‌اي از نگاشت‎هاي خطي کراندار  ،  باشد. در اين صورت  براي  خوش تعريف است و داريم:

 

لم 1. فرض کنيم . در اين صورت داريم:

 

برهان. فرض کنيم  به  متعلق باشد. در اين صورت براي هر زوج ، تور  موجود است که در آن  يک مجموعه انديس­گذار است و

 

حال قرار مي‎دهيم

در اين صورت  با ترتيب طبيعي يک مجموعه انديس گذار است. براي  ، فرض کنيم  . در نتيجه        

در اين حکم از اين واقعيت که

             

استفاده شده است. به طور دقيق تر براي هر  فرض کنيم  به گونه‏اي باشد که براي هر

 

در اين صورت

 

حال کافي ا‎ست قرار دهيم

.

تذکر 3. براي ، لم قبل بيانگر تناظر ذيل است:

 

در گزاره بعد ساختار p-فضاي عملگري  را ارائه مي‏کنيم:

گزاره 2. فرض کنيم  يک p-نمايش گروهي باشد. در اين صورت جبر باناخ  از p-شبه توابع متناظر با  يک QSLp-جبر عملگري است.

برهان. براي اثبات بايد يک نمايش طولپا از  ارائه کنيم. فرض کنيم  و  در اين صورت نمايش دوري  از  با بردار دوري  چنان موجود است که   

     

حال lp-جمع مستقيم فضاهاي متناظر آن‎ها را در نظر مي‎گيريم

 

 

هر عضو  داراي نمايش يکتا به شکل زير است

 

همچنين داريم

.

حال براي يک عضو دلخواه ،مقدار  را محاسبه مي­کنيم. عملگر  به صورت زير است

 

و با توجه به گزاره 1 داريم

.

همچنين براي  و  عضو  در  چنان موجود است که

 

از سوي ديگر چون  تحديد  بر زير فضاي بسته  است، داريم

      و

 لذا داريم

.

از سوي ديگر براي ، عضو

 

را به فرم زير انتخاب مي‏کنيم:

 

در اين صورت

و

 

بنابراين  يک نمايش طولپا است که مي­تواند به  گسترش پيدا کند.

گزاره 3. فرض کنيم  يک p-نمايش گروهي در  باشد در اين صورت  يک p-فضاي عملگري است.

برهان. فرض کنيم  نمايش متناظر معرفي شده در گزاره قبل باشد. نشان مي­دهيم  يک نگاشت طولپا  به روي زير فضاي بسته­اي از  است.

براي  تاب n-ام نگاشت  را به صورت زير در نظر مي‎گيريم:

 

 

نشان مي‏دهيم طولپايي است. داريم

 

براي  مي­توانيم  بيابيم به طوري که

 

و  و لذا

 

از سوي ديگر از آنجايي که براي هر  ، عملگر  تحديد  به زير فضاي  است. بنابراين داريم

 

و اگر براي  قرار دهيم   و  ، در اين حالت

 و

 

و لذا

.

برعکس بنا به تعريف نرم  براي  ، بردار

 

موجود است به طوري که

 

و

 

حال به سادگي ديده مي‎شود

 

بنابراين نگاشت

  

يک نمايش طولپاست که مي­تواند به  گسترش پيدا کند.

بر اين اعتقاد هستيم که اين نتايج ديدگاه جذابي از مسائل مختلفي پيرامون مقوله ساختار ماتريسي جبرهاي از نوع فوريه به دست مي­دهد. در ادامه برخي خواص افکنشي از جبر معرفي شده  را بيان مي‏کنيم.

فرض کنيم  يک زيرمجموعه و  يک تابع باشد. منظور از  تابع به فرم

 

است.

گزاره 4. فرض کنيم که G يک گروه فشرده موضعيو  زيرگروه باز آن باشد و فرض کنيم  . در اين صورت نگاشت

 

که به صورت

 

تعريف مي­شود يک همريختي p-کاملاً انقباضي است. در واقع رابطه زير برقرار است

 

برهان. به وضوح . همچنين براي هر  و هر  داريم

همچنين براي هر  و  و اگر  و  داريم

 

 

 

 

و

 

 

.

بنابراين حکم واضح است.

با توجه به اينکه ساختار p-عملگري معرفي شده براي   بر مبناي انتخاب نمايش جهاني است، گزاره ذيل عدم وابستگي ساختار p-عملگري معرفي شده براي   را به انتخاب نمايش جهاني محرز مي‌سازد.

گزاره 5. فرض کنيم  يک زير نمايش از  در اين صورت نگاشت

 

 

p-کاملاً کراندار است.

برهان. واضح است که نگاشت فوق انقباضي است. از سوي ديگر از آنجا که  شامل تمام زيرنمايش‎هاي دوري  است، حکم کلي نتيجه مي‎شود.

گزاره 6. فرض کنيم  يک زيرگروه بسته و نرمال باشد. در اين صورت اگر  آنگاه  است که در آن q نگاشت طبيعي خارج قسمتي است و داريم 

 

 برهان. فرض کنيم  به وضوح داريم  و همچنين نگاشت  

با تعريف  براي  را به خاطر مي‌آوريم. در اين صورت براي  و  و  داريم

و از آنجا که براي هر تابع پيوسته  و  داريم

 

در نتيجه

 

و بنابراين

 

 و

  

 و  .

و بنابراين از آنجاکه P پوشاست 

 

و همچنين در اين حالت براي

  داريم

 

 و بنابراين p-کاملاً طولپايي است.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

[1]  M. Daws

 

 

فهرست منابع

[1] M. Daws, p-Operator spaces and Figa-Talamanca-Herz algebras, J. Operator Theory

63 (1) 47-83(2010).

[2] E.G. Effros, Z.-J. Ruan, A new approach to operator spaces, Canad. J. Math. 34 (1991) 329-337 

[3] E.G. Effros, Z.-J. Ruan, Operator Spaces, London Math. Soc. Monogr. (N.S.) 23 Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.

[4] P. Eymard, L'algebre de Fourier d'un groupe localement compact,, Bull. Soc. Math. France 92 181-236  (1964)

[5] A. Figa-Talamanca, Translation invariant operators in Lp, Duke Math. J. 32 495-501 (1965)

[6] G. B. Folland, A course in abstract harmonic analysis, CRC PRESS, 1995.

[7] E. Gardella, A modern look at algebras of operators on Lp-spaces,

ArXiv:1909.12096v1.

[8] C. Herz, Une generalisation de la notion de transformee de Fourier-Stieltjes, Ann.

Inst. Fourier 24 (1974), 145157.

[9] C. Herz, The theory of p-spaces with an application to convolution operators, its

second dual, Trans. Amer. Math. Soc. 154 69-82(1971) 

[10] M. Ilie, A note on p-completely bounded homomorphisms of the Figa-Talamanca-

Herz algebras, J. Math. Anal. Appl. 419 273-284(2014)

[11] M. Ilie, N. Spronk, Completely bounded homomorphisms of the Fourier algebra,

J. Funct. Anal. 225 480-499(2005) 

[12] C. Le Merdy, Factorization of p-completely bounded multilinear maps, Pacific J. Math. 172, 187-213(1996) 

[13] G. Pisier, Similarity Problems and Completely Bounded Maps, Second, expanded edition, Lecture Notes in Math., vol. 1618, Springer-Verlag, Berlin 2001.

[14] V. Runde, Representations of locally compact groups on QSLp-spaces and a p-analog of the Fourier-Stieltjes algebra, Pacific J. Math. 221 (2) 379-397(2005) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---