تاثیر استفاده از بازنمایی ها بر کیفیت تدریس مفاهیم جبری (معادله درجه اول )
Subject Areas : StatisticsAkram Daryaee 1 , Abolfazl tehranian 2 , Ahmad shahvarani 3 , محسن رستمی مال خلیفه 4
1 - مدیر/مقطع متوسطه دوره دوم /آموزش و پرورش
2 - ْScience and Research branch, Islamic Azad University
3 - دانشگاه استارا
4 - science and research branch, islamic azad university
Keywords: عملکرد, معادله درجه اول, تدریس جبر, بازنمایی, : ریاضی,
Abstract :
Teaching and learning of Algebra has been always challenging. The process of teaching of Algebra in schools should help students to understand that most of algebraic ideas can be tangible by using representations. It must be tried to help students create mathematical concepts and ideas by providing them an intuitive point of view and gradually moving from concrete and tangible experiences towards more abstract ideas and also through the appropriate use of multiple representations. The main aim of this study is to examine the effectiveness of the use of different types of representations on quality of teaching Algebraic concepts. Research framework was created by three types of representations; numerical, symbolic and graphical. The study sample was selected from a school in District 4th Tehran, Iran. In this quasi-experimental research were implemented among 83 tenth grade female students in humanities, natural sciences, and mathematics subjects. The research tool is researcher-made mathematical test. Formal and content validity was confirmed by 8 professors of mathematics. Using Cronbach alpha criterion, its reliability coefficient was 0.85. Data were collected before and after representation-based teaching method in the experimental group and classic teaching method in the control group. The results of the findings based on statistical inferences on SPSS24 software, showed that using each " graphic, symbolic, numerical representations " regard to teaching status of Algebraic concepts and student’s conditions, have positive impact on their performance when solving algebraic problems at tenth grade. The results of this research are useful for math educators and textbook authors.
[1] L. Caccetta, B. Qu, and G. Zhou. A globally and quadratically convergent method for absolute value equations. Computational Optimization and Applications, 48(1):45–58, 2011.
[2] A. Cordero, J. L. Hueso, E. Martinez, and J. R. Torregrosa. A modified Newton-Jarratts composition. Numerical Algorithms, 55(1):87–99, 2010.
[3] A. Cordero, T. Lotfi, K. Mahdiani, and J. R. Torregrosa. A stable family with high order of convergence for solving nonlinear equations. Applied Mathematics and Computation, 254:240–251, 2015.
[4] R. Farhadsefat, T. Lotfi, and J. Rohn. A note on regularity and positive definiteness of interval matrices. Open Mathematics, 10(1):322–328, 2012.
[5] F. K. Haghani. On generalized Traubs method for absolute value equations. Journal of Optimization Theory and Applications, 166(2):619–625, 2015.
[6] N. J. Higham. Accuracy and stability of numerical algorithms. SIAM, 1996.
[7] J. L. Hueso, E. Martinez, and J. R. Torregrosa. Modified Newtons method for systems of nonlinear equations with singular Jacobian. Journal of Computational and Applied Mathematics, 224(1):77–83, 2009.
[8] T. Lotfi, P. Bakhtiari, A. Cordero, K. Mahdiani, and J. R. Torregrosa. Some new efficient multipoint iterative methods for solving nonlinear systems of equations. International Journal of Computer Mathematics, 92(9):1921–1934, 2015.
[9] T. Lotfi, K. Mahdiani, P. Bakhtiari, and F. Soleymani. Constructing two-step iterative methods with and without memory. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 55(2):183–193, 2015.
[10] O. Mangasarian. A generalized newton method for absolute value equations. Optimization Letters, 3(1):101–108, 2009.
[11] O. Mangasarian and R. Meyer. Absolute value equations. Linear Algebra and Its Applications, 419(2-3):359–367, 2006.
[12] O. L. Mangasarian. Absolute value equation solution via concave minimization. Optimization Letters, 1(1):3–8, 2007.
[13] O. L. Mangasarian. A hybrid algorithm for solving the absolute value equation. Optimization Letters, 9(7):1469–1474, 2015.
[14] O. Prokopyev. On equivalent reformulations for absolute value equations. Computational Optimization and Applications, 44(3):363, 2009.
[15] J. Rohn. On unique solvability of the absolute value equation. Optimization Letters, 3(4):603–606, 2009.
[16] J. Rohn, V. Hooshyarbakhsh, and R. Farhadsefat. An iterative method for solving absolute value equations and sufficient conditions for unique solvability. Optimization Letters, 8(1):35–44, 2014.
[17] F. Soleymani, T. Lotfi, and P. Bakhtiari. A multi-step class of iterative methods for nonlinear systems. Optimization Letters, 8(3):1001–1015, 2014.
[18] J. Stoer and R. Bulirsch. Introduction to numerical analysis, volume 12. Springer Science & Business Media, 2013.
[19] J. F. Traub. Iterative methods for the solution of equations, volume 312. American Mathematical Soc., 1982.
[20] H. Wozniakowski. Numerical stability for solving nonlinear equations. Numerische Mathematik, 27(4):373–390, 1976.
[21] N. Zainali and T. Lotfi. On developing a stable and quadratic convergent method for solving absolute value equation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 330:742–747, 2018.
[22] T. Lotfi; Y. Seif, An improved generalized Newton generalized method for absolute value equation, New Researches in Mathematics, 29 (7) 103-110, 2021
[23] Wang, A., Cao, Y., Chen, J.-X., Modified Newton-Type iteration methods for generalized absolute value equations, J. Optimization Theory and Applications, 181(1), 216-230, 2019
[24] L. Zheng, L. The Picard-HSS-SOR iteration method for absolute value equations. J Inequal Appl 2020, 258 2020.
[25] Y. Cao, Q. Shi, S. Zhu, A relaxed generaized Newton iteration method for generalized absolute value equation, AIMS Mathematics, 6(2), 1258-1275, 2021
تاثیر استفاده از بازنمایی ها بر کیفیت تدریس مفاهیم جبری (معادله درجه اول )
چکیده
یاددهی و یادگیری مفاهیم جبری همواره با مشکلاتی مواجه بوده است. فرایند یاددهی و یادگیری جبر در مدارس باید به گونه ای باشد تا دانش آموزان بدانند اغلب ایده های جبری می تواند به صورتی عینی و ملموس، با استفاده از بازنمایی ها معرفی شوند. بنابراین با تلاش در بوجود آوردن یک دیدگاه شهودی در دانش آموزان و حرکت تدریجی از تجربه های عینی و ملموس به سمت ایده های مجردتر و استفاده ی مناسب از بازنمایی ها می توان به ساخته شدن مفاهیم و ایده های ریاضی در آن ها کمک نمود. هدف اصلی این پژوهش، بررسی تاثیر استفاده از بازنماییها بر کیفیت تدریس مفاهیم جبری میباشد. چارچوب پژوهش به کمک سه نوع بازنمایی؛ عددی، نمادین و نموداری است. نمونه در دسترس از یک مدرسه در منطقة 4 شهر تهران انتخاب شده است. روش پژوهش نیمه آزمایشی با طرح پیشآزمون و پسآزمون با گروه کنترل در میان 83 دانشآموز دختر پایه دهم در سه رشته انسانی، تجربی و ریاضی پیادهسازی و اجرا شد. ابزار پژوهش آزمون محقق ساخته است که روایی صوری و محتوایی آزمون توسط 8 نفر از اساتید ریاضی تأیید گردید. به کمک معیار آلفای کرونباخ ضریب پایایی آن 85/0 به دست آمد. دادههای پیش و پس از آموزش مبتنی بر بازنماییها در گروه آزمایش و آموزش سنتی در گروه کنترل جمعآوری شد. نتایج یافتهها با استفاده از نرم افزار SPSS 24 نشان داد که استفاده از هر یک از "بازنمایی به شیوه نموداری، عددی، و نمادین" با توجه به موقعیتهای تدریس مفاهیم جبری و متناسب با شرایط دانشآموزان، تأثیر مثبتی بر عملکرد آنها در حل مسائل جبری پایه دهم داشته است. نتایج این پژوهش برای آموزشگران ریاضی و مؤلفین کتب درسی مفید است.
کلید واژه ها: ریاضی، بازنمایی، تدریس جبر، عملکرد، معادله درجه اول.
Abstract
Teaching and learning of Algebra has been always challenging. The process of teaching and learning of Algebra in schools should help students to understand that most of algebraic ideas can be tangible by using representations. It must be tried to help students create mathematical concepts and ideas by providing them an intuitive point of view and gradually moving from concrete and tangible experiences towards more abstract ideas and also through the appropriate use of multiple representations. The main aim of this study is to examine the effectiveness of the use of different types of representations on quality of teaching Algebraic concepts. Research framework was created by helping of three types of representations; numerical, symbolic and graphical. The study sample was selected from a school in District 4th Tehran, Iran. In this quasi-experimental research were implemented among 83 tenth grade female students in humanities, natural sciences, and mathematics subjects. The research tool is researcher-made mathematical test. Formal and content validity of the test was confirmed by 8 professors of mathematics. Using Cronbach alpha criterion, its reliability coefficient was 0.85. Data were collected before and after representation-based teaching method in the experimental group and classic teaching method in the control group. The results of the findings based on statistical inferences on SPSS24 software, showed that using each " graphic, symbolic, numerical representations " regard to teaching status of Algebraic concepts and student’s conditions, have positive impact on their performance when solving algebraic problems at tenth grade. The results of this research are useful for math educators and textbook authors.
Keywords: Mathematics, Representation, Algebra Teaching, Performance, linear equation
مقدمه
جبر اغلب اولین موضوع ریاضی است که نیاز به تفکر انتزاعی وسیعی دارد و دانش آموزان را در بکارگیری مهارت های جدید به چالش می کشد و نه تنها فراتر از تاکید بر روی محاسبات است بلکه تمرکز بر استفاده از نمادها برای نشان دادن اعداد و بیان روابط ریاضی دارد 1(NCEE) [1] . شورای ملی معلمان ریاضی2 (NCTM) [2] در سند خود تحت عنوان (اصول و استاندارد ها برای ریاضیات مدرسه) یک استاندارد فرایندی به نام بازنمایی ها3 معرفی نمود. همچنین در این سند آورده شده که؛ استفاده از بازنمایی ها به دانش آموزان کمک می کند تا آن ها، ایده های ریاضی را به صورت ملموس تر و قابل دسترس تری برای تفکر، در اختیار داشته باشند. سیگر و همکاران[3] بازنمایی را اینگونه تعریف می کنند : "هر نوع حالت ذهنی با محتوای خاص؛ بازتولید ذهنی از یک حالت ذهنی قبلی؛ یک تصویر، نماد و یا نشانه؛ یک ابزار نمادین برای یادگیری زبان؛ یک چیزی به جای چیز دیگری". همچنین از نظر هال [4] "بازنمایی فرایند تبدیل یک وضعیت مساله از طریق پرس و جو و توسعه ی یک تجربه در طول آن فعالیت است".
از نظر پاناسوک و بیرانوند[5]، بازنمایی های چندگانه معمولا برای مدل سازی مفاهیم ریاضی، به طور کلی و برای روابط خطی با یک مجهول، به طور خاص، مورد استفاده قرار می گیرند. یادگیری چگونگی حل مسائلی که شامل روابط خطی با یک مجهول هستند، با استفاده از انواع بازنمایی ها، پایه و اساس توسعه استدلال جبری در دانش آموزان است. آن ها در تحقیقی نشان دادند که، تاکید بر یک فرم از بازنمایی می تواند مانع از پیشرفت ریاضی در بلند مدت در دانش آموزان شود. همچنین به نظر ماینالی[6]، تکیه بر تنها یک نوع بازنمایی در راهبردهای آموزشی توسط معلمان، فرصت یادگیری ریاضیات با استفاده از دیگر انواع بازنمایی را از دانش آموزان می گیرد. وی پیشنهاد می دهد که؛ شایسته است راهبرد های آموزشی تمرکز بر ترکیب انواع بازنمایی های مختلف داشته باشند تا بتوانیم شاهد الویت بندی استراتژی های حل مساله توسط دانش آموزان باشیم. مثلا تعدادی از دانش- آموزان تمایل به استفاده از نمودار دارند درحالیکه بعضی ها دوست دارند از معادله استفاده کنند و بعضی دیگر می خواهند از بازنمایی عددی استفاده کنند. واقعیت این است که دانش آموزان باید بتوانند از حالت های مختلف بازنمایی استفاده کنند تا در ریاضیات تبحر بیشتری داشته باشند، زیرا در برخی از مسائل ریاضی، استفاده از نوع خاصی از بازنمایی می تواند به روش ساده تری از حل مساله منجر شود(ماینالی)[7].
همچنین شولتز و واترز[8] برای انتخاب مناسب بازنمایی ها این معیار ها را ارائه می دهند: 1-کدام بازنمایی درک مفهومی را ارتقاء می دهد. 2-کدام بازنمایی برای تعمیم به سطوح بالاتر ریاضی بهترین است. 3-کدام بازنمایی بهترین کاربرد برای پیدا کردن جوابهای تقریبی را دارد. 4-کدام بازنمایی برای پیدا کردن جوابهای دقیق بهترین است. 5-کدام بازنمایی با توجه به نوع تکنولوژی در دسترس بهترین است. 6-کدام بازنمایی با توجه به سبک یادگیری و سطح راحتی دانش آموز مناسب ترین است. به باور آنها توجه به این معیار ها از اهمیت ویژه ای برخوردار است چرا که ممکن است بر انتخاب موضوعات برنامه درسی ریاضی مدارس تاثیر گذار باشند. همچنین فایده دیگر آن آشنایی دانش- آموزان با بازنمایی های جایگزین و کنترل عملکردشان در جهت ارتقاء تفکر عمیق تر در ارتباطات ریاضی می باشد.
اهمیت بازنمایی ها در یادگیری مفاهیم ریاضی
بازنمایی یکی از ویژگی های کلیدی در یادگیری ریاضیات و حل مسائل است که معلمان ریاضی غالبا از انواع آن در طول تدریس خود استفاده می کنند که شامل بازنمایی های گفتاری و نوشتاری، تصاویر، نقاشی ها، دست ورزی های مجازی، و اجسام واقعی می- باشد (بیکر) [9] . بازنمایی نقش کلیدی در آموزش ریاضیات دارد و درک مفاهیم یا ایده های انتزاعی ریاضی را برای دانش آموزان تسهیل می کند. با این حال، در واقعیت چالش هایی در راهبری یادگیری ریاضیات با استفاده از بازنمایی وجود دارد. به طور مثال یک چالش زمانی رخ می دهد که دانش آموزان بازنمایی و مفهوم ریاضیات ارائه شده را به عنوان دو چیز جدا از هم درک می کنند. این بدان معنی است که مثلا دانش آموزان می دانند که چگونه از بازنمایی های چندگانه (مانند نمودار، جدول و معادله) در مورد تابع استفاده کنند، اما آنها نمی توانند مفهوم خود تابع را درک کنند. چالش دیگر زمانی رخ می دهد که معلم به عنوان یک تسهیل کننده یادگیری، بازنمایی را به عنوان فرایندی در درک ریاضیات تلقی نکند. و وقتی که این اتفاق می افتد، معلمان در فرایند یاددهی ریاضیات با استفاده از بازنمایی ها با مشکل مواجه می شوند. (سمسودین و رتناواتی) [10]. همچنین ادیوگیامفی و بووس [11] در تحقیقی به این نتیجه رسیدند که به طور معمول اکثر دانش آموزان به سوالات ارزیابی میزان یادگیری مهارت بازنمایی به درستی پاسخ می دهند. با این حال، هنگامی که از آنها خواسته می شود روابط بین تابعی که با استفاده از بازنمایی چندگانه به صورت نمودار، جدول و معادله نشان داده شده است را تشخیص دهند، اغلب نمی توانند به درستی پاسخ دهند. بنابراین بازنمایی در فرایند تدریس می تواند ابزاری برای حمایت درک ریاضی دانش- آموزان باشد (سالکیند)[12] . علاوه بر این بازنمایی به دانش- آموزان کمک می کند تا تفکر خود را سازماندهی کنند (کتکارد و همکاران)[13] .
مدرسان ریاضی مدل های مختلفی برای بکارگیری بازنمایی ها در آموزش مفاهیم و روابط ریاضی پیشنهاد داده اند. یکی از این مدل ها مدلی است که توسط لش [14] پیشنهاد شده است و براساس نظریه های پیاژه و برونر ساخته شده است. او عمده ترین بازنمایی ها را بازنمایی نموداری4، بازنمایی عددی5 و بازنمایی نمادین6 عنوان می کند. از سویی دیگر مگنر و همکاران [15] معتقدند که تمرکز بر یادگیری همراه با بازنمایی های عددی، نمادین و نموداری نشان دهنده ی این باور است که بازنمایی های چندگانه مفید هستند، چرا که در سیستم های متفاوتی ارائه می شوند.
بازنمایی های عینی و ذهنی و دیدگاه های مرتبط با آن
طبق نظر گلدین و شتینگلد [16]؛ "بازنمایی های درونی معمولا با تصاویر ذهنی که افراد در ذهن خود ایجاد می کنند، مرتبط هستند" و بازنمایی بیرونی می تواند نماد "چیزی غیر از خودش" باشد. آن ها پیشنهاد دادند که سیستم های بازنمایی بیرونی و درونی از یکدیگر تمییز داده شوند و اذعان داشتند که "تعامل بین سیستم های بازنمایی درونی و بازنمایی بیرونی، برای آموزش و یادگیری ریاضیات ضروری است" (ص3). یک راه برای تفسیر ذهن توسعه یافته بازنمایی ذهنی است. چرا که با توجه به محدودیت های ذاتی شناخت نمی توان همه مفاهیم را با ذهن انسان حل کرد. نمادهای ریاضی، بازنمایی از عملیات ریاضی خاص هستند. آن ها عملیات مفهوم سازی دشوار را آسان و مختصر می کنند. (کروز و اسمت)[17] .
گلدین [18](نقل شده در سیکلا)[19]، به عنوان یک ساختارگرا، حالت های بازنمایی را به عنوان سیستمی شامل علائم گفتاری و نوشتاری، مدل ها و تصاویر شکلی ساکن، مدل های دست ورزی، و موقعیت های دنیای واقعی تعریف کرده است. با توجه به گفته ی وی، یک سیستم بازنمایی دارای ساختار درونی و بیرونی است و ارائه ی مدلی متشکل از فعل و انفعالات به منظور افزایش یادگیری حل مساله در ریاضیات، هم در درون یک حالت خاص از بازنمایی و هم در میان انواع حالت های بازنمایی، ضروری است. او با تاکید بر رابطه ی نزدیک بین بازنمایی های بیرونی و درونی؛ سیستم بازنمایی بیرونی را به عنوان سازه ای برای درک ریاضیات می داند که برای استفاده آسان است و اجازه ی تجسم کردن را به دانش آموز می دهد و سیستم بازنمایی درونی را به عنوان سازه ی رفتار ریاضی تعریف می کند که با کمک آن، نحوه ی یادگیری و مفهوم پردازی فرد قابل فهم می شود (گلدین)[20]. از نظر گلدین[21] (نقل شده در سیکلا)[19] تعامل بین بازنمایی های بیرونی و درونی نه تنها ضروری است، بلکه هدف اصلی نیز می- باشد و برای رسیدن به آن، محیط پیرامون دانش آموز باید برای به دست آوردن انواع بازنمایی ها اعم از زبان گفتاری تا علائم ریاضی طراحی شود. از نظر ساختارگرا ها، بازنمایی های درونی در داخل ذهن دانش آموزان قرار دارد (به عنوان نمونه تصاویر ذهنی) و بازنمایی های بیرونی در پیرامون دانش آموزان واقع شده است (به عنوان نمونه زبان گفتاری، نماد های نوشتنی، تصاویر یا اشیاء فیزیکی) (کاب و همکاران)[22]. سیگر[23] بازنمایی را یک ساخت و ساز فعال می داند و آن را "بازنمایی دیدگاه ذهنی" نامگذاری می کند. از آنجا که ساختار، همان ویژگی زیربنایی ریاضیات است که به بیان روابط، معادلات یا بازنمایی ها می پردازد و با توجه به اینکه ساختار های پیچیده از ساختار های ساده تر ساخته می شوند، توصیه می شود که به دانش آموزان استفاده از ساختار بازنمایی جبری آموزش داده شود (NCEE)[1] .
اهمیت مهارت ترجمه و ایجاد ارتباط بین بازنمایی ها
سوپرفین و کنتی [24]، ترجمه را شامل دو مولفه مهارت و دانش در نظر گرفتند . به این ترتیب ترجمه به عنوان یک فعالیت به حساب می آید که به ما اجازه می دهد تا چارچوب خودمان را به صورت جزئی یا کلی تعریف کنیم. به باور آن ها شایستگی یک ترجمه کامل زمانی برای یک مفهوم بدست می آید که روابط هر یک از اجزاء یک مفهوم با هر بازنمایی بیرونی مرتبط با آن بوسیله مهارت ادغام به صورت تدریجی شکل گیرد. بازنمایی یک عبارت جبری که از یک مساله کلامی یا کاربردی بدست آمده و با دست ورزی فیزیکی مدل سازی شده است، می تواند به بازنمایی های مختلف ترجمه و تبدیل شود و این یک مهارت است که باید مورد توجه قرار گیرد (والز)[25] . همچنین کیرن [26] بر ادغام انواع بازنمایی های توابع مانند نموداری، جبری و جدولی تاکید دارد و ویلیام [27] نیز اهمیت حرکت راحت بین انواع بازنمایی های توابع جبری، نموداری و جدولی را برجسته کرد.
[1] . National Center for Education Evaluation and Regional Assistance
[2] . National Council of Teachers of Mathematics
[3] . Representation
[4] . Graphic Representation
[5] . Numerical Representation
[6] . Symbolic Representation
دانش آموزان بایستی قادر به بکارگیری روش های متنوع بازنمایی در حل مسایل ریاضی باشند تا مهارت بیشتری در این زمینه پیدا کنند. برای مثال، آنها باید بتوانند یک مساله ریاضی را با استفاده از روشی ساده تر نسبت به سایر روشهای بازنمایی حل کنند. همچنین راهبردهای آموزشی نیازمند تمرکز بر جاهاییست که می خواهد دانش آموزان قادر به دستیابی به فرصت های ترجمه یک مساله ریاضی از یک بازنمایی به دیگر بازنمایی ها باشند که برای استراتژی حل مساله ارجحیت دارد(ماینالی)[28].
داشتن مهارت های ترجمه توسط دانش آموزان بسیار مهم است، اما در حال حاضر هنوز دانش آموزان زیادی هستند که در ترجمه بین بازنمایی ها مشکل دارند. علاوه بر این، عدم درک دانش- آموزان از مفاهیم مربوط به بازنمایی های مختلف نیز یک عامل محدود کننده در ترجمه بازنمایی ها است. بنابراین تلاش زیادی لازم است تا دانش آموزان بتوانند مهارت های ترجمه خود را در جریان یادگیری در کلاس، هم هنگام درک مفاهیم و هم در حل مسایل، گسترش دهند(نوراماواتی و همکاران)[29].
بنابراین بایستی دانش آموزان را به استفاده از بازنمایی های مختلف و ترجمه بین آنها برای یک مفهوم یکسان در یک زمینه و در یک زمان تشویق کرد تا بتوان با سازماندهی ایده ها یادگیری مفهومی در آن ها ایجاد نمود ( وینسلو)[30] . البته در صورتی که بازنمایی های چندگانه از راه درست استفاده نشوند، ممکن است به جای کمک به یادگیری در واقع آنها را گیج کنند، مگر اینکه دانش آموزان قادر باشند هر بازنمایی را به صورت جداگانه و به درستی تفسیر کنند و بین بازنمایی های چندگانه و اطلاعاتی که آن ها قصد انتقالشان را دارند، ارتباط ایجاد کنند(راوو و متیوس)[31].
از آنجایی که یادگیری با درک و فهم، یادگیری های بعدی را نیز آسان تر می کند، زمانیکه دانش آموزان دانسته های جدید را با دانش قبلی در ذهن خود به روشی معنادار مرتب می کنند، ریاضیات برای آنان قابل فهم تر می شود (حيدري قزلجه)[32].
زمانی که دانش آموزان مفاهیم ریاضی را به صورت جزیره هایی جدا از هم تلقی کنند و قادر به فهم ارتباطات و اتصالات بین این مفاهیم نباشند، همه ی آنچه که به عنوان ریاضی در ذهن آن ها وجود دارد، رابطه ها و فرمول هایی مستقل از هم هستند که احتمالا دامنه ی استفاده و محدودیت های آن ها را نیز به خوبی نمی دانند. این نوع فهم از ریاضی فهم ابزاری می باشد. در جایگاه مقابل فهم ابزاری، فهم رابطه ای وجود دارد. یعنی حالتی که در آن دانش آموز تا حد امکان از علت آنچه که انجام می دهد آگاه است. به علاوه خودش قانون ساز است و قادر است با توجه به شرایط موجود، دانش یا قانون مورد نیاز برای غلبه بر هر موقعیت را ایجاد کرده و مسأله را حل کند. در واقع تمرکز درک و فهم ابزاری، بر «چگونگی انجام دادن» و تمرکز فهم و درک رابطه ای، بر «چرایی انجام دادن» است. این امر، باعث یک اختلاف اساسی در ماهیت و کیفیت فهم و درک می گردد (اسکمپ)[33].
چمن آرا به نقل از ون دو ویل [34] فواید فهم رابطه ای را به صورت زیر بر می شمرد : فهم رابطه ای، حافظه را ارتقاء می دهد؛ نیاز کمتری به یادآوری و حفظیات دارد؛ به یاد گرفتن مفاهیم و موضوعات جدید کمک می کند؛ توانایی حل مسأله را رشد می دهد؛ طرز تلقی ها و باورها را بهبود می بخشد. اسکمپ [33] نیز موارد زیر را از مزیت های درک ابزاری می داند: "درک ابزاری معمولاً آسان تر کسب می شود اگر هدف یادگیری ریاضی، انجام یک صفحه تمرین با جواب های درست باشد، درک و فهم ابزاری این را با سرعت و سهولت بیشتری فراهم می کند. در درک ابزاری ریاضیات، پاداش ها فوری تر و آشکارتر هستند. بدست آوردن یک صفحه از جواب های درست، خوشایند است و نباید اهمیت احساس موفقیتی که دانش آموزان از این طریق بدست می آورند، را دست کم بگیریم" (ص 18).
[1] . Instrumental understanding
[2] . Relational understanding
مبانی نظری بازنمایی های چندگانه در تدریس مفاهیم جبری
جبر نیازمند استفاده از مهارت های بازنمایی چندگانه و همینطور توانایی بیان استدلال های منطقی می باشد که هر دوی این ها نقش مهمی در دوره های پیشرفته ریاضی ایفا می کنند NCEE))[1]. بنابراین اگر فرایند ساخت دانش ریاضی در دانش آموزان با بازنمایی های چندگانه غنی شود، محیط یادگیری معنی دار را برای دانش آموزان فراهم می کند (مونه)[35] . همچنین مطابق با نظر ادیو-گیامفی و همکاران [36]، دانش آموزان اغلب در مسیر ایجاد ارتباط بین بازنمایی های مرتبط با مفاهیم ریاضی با مشکلات و موفقیت های مختلفی روبرو هستند. از اینرو در مطالعه ای در مورد شیوه ی ارتباط دانش آموزان در زمان انجام یک تکلیف ریاضی که نیازمند ارتباط بین بازنمایی های جبری و نموداری برای چندجمله ای ها بودند، دریافتند که؛ غالب مشکلات دانش آموزان به صورت تفکیک ناپذیری با یکسری از ملاحظات مانند درک مفهومی و ترجمه در ارتباطند. به باور آنها ایجاد و نحوه ی ارتباط بین بازنمایی ها به عنوان اجزاء ضروری در موفقیت حل مساله و درک ریاضی می باشد. بنابراین توانایی بررسی مسائل با رویکرد های متنوع یکی از مهم ترین ویژگی های حل کننده ی موفق مساله است. ویژگی های دیگر عبارتند از: استقلال، انعطاف پذیری، عزم و تمایل به ریسک. همچنین استفاده از بازنمایی های چندگانه در تدریس یک استراتژیست که برای حل کننده ی موفق مساله مفید است (کلیوس) [37]. شرط لازم برای دستیابی به مهارت استفاده صحیح از بازنمایی های چندگانه در ریاضیات، توانایی درک مفاهیم ریاضی و روابط بین آن ها می باشد(نیزارودین وهمکاران)[38]. در مورد این که بازنمایی ها برای یادگیری دانش آموزان بسیار مهم هستند، اتفاق نظر کلی وجود دارد. بازنمایی ها در کسب دانش حل مسئله، به دانش آموزان کمک می کنند. بنابراین می توان گفت که استفاده مناسب و با کیفیت بالا از بازنمایی های چندگانه در حین حل مسئله شرط کافی برای موفقیت است اما شرط لازم نیست (روزنگرنت و همکاران)[39]. .
پاناسوک و بیرانوند [40]، معتقدند دانش آموزان اغلب در یادگیری روابط خطی با یک مجهول، ممکن است مهارت خاصی را در به کار بردن نماد های جبری از خود نشان دهند و وقتی که تشویق می شوند، آنها می توانند گام های عملکرد خود را توضیح شفاهی دهند، در نتیجه آگاهی خود را از مراحل انجام کار با نماد ها با توجه به قوانین ثابت نشان می دهند. آن ها در مطالعه ای به بررسی وجود رابطه بین پیشرفت توانایی دانش آموزان در شناخت ساختار های مشابه معادلات خطی با یک مجهول و توانایی حل مساله مربوط به این روابط در حالت های مختلف پرداختند. نتایج این بررسی نشان داد که بین موفقیت دانش آموزان و توانایی آن ها در تشخیص ساختار های مشابه با یک مجهول و حل مسائل مربوط به یک رابطه خطی در حالت های مختلف (کلمات، نمودار ها و نماد ها) رابطه وجود دارد.همچنین احمدی و یافتیان [41]، در پژوهشی نتیجه گرفتند که؛ در تعداد قابل توجهی از سوالات و متن کتاب ریاضی پایه دهم بازنمایی‌های چندگانه به کار رفته اند. همچنین بیشترین ارتباط بین بازنمایی‌های نموداری و نمادین برقرار شده است و بر مرتبط ساختن بازنمایی‌های عددی و نموداری با بازنمایی کلامی توجه چندانی نشده است.
با توجه به پیشینه بررسی شده، سؤال اصلی پژوهش این است: استفاده از "بازنمایی ها" در کیفیت تدریس مفاهیم جبری چقدر موثر است. چارچوب پژوهش با توجه به تحقیقات پاناسوک و بیرانوند[5]و[40] و مگنر و همکاران [15]و سیکلا [19]با کمی تغییر به کمک سه نوع بازنمایی؛ عددی، نمادین و نموداری، در مبحث معادله درجه اول در دوره متوسطه است.
روش پژوهش
پژوهش حاضر از نظر هدف کاربردی و از نظر روش پژوهش نیمه آزمایشی با طرح پیش آزمون و پس آزمون با گروه کنترل است. در این روش گروه آزمایش، تحت آموزش بازنمایی ها و گروه کنترل بدون هیچ مداخله ای باقی می مانند. مراحل اجرایی آن شامل موارد زیر می باشد: جایگزینی تصادفی آزمودنی ها؛ اجرای پیش آزمون و جمع آوری داده ها؛ اعمال مداخله آموزشی جدید بر روی گروه آزمایش و اجرای پس آزمون و جمع آوری اطلاعات. گروه آزمایش در 10 جلسه 45 دقیقه ای تحت آموزش جدید قرار می گیرند، ولی گروه کنترل هیچ گونه مداخله ای دریافت نمی کنند. قبل از شروع، وضعیت هر دو گروه با پیش آزمون ریاضی ارزیابی می شوند. سرانجام پس از جمع آوری داده ها، در بخش آمار توصیفی، به رسم جداول و شاخص های گرایش مرکزی و پراکندگی و در بخش آمار استنباطی، از آزمون های پارامتریکی (داده ها در ابتدا با آزمون K-S نرمال سنجی شدند) آنالیز واریانس ANOVA و تحلیل کوواریانس ANCOVA استفاده شد.
شرکت کنندگان
جامعه آماری این تحقیق، دانش آموزان دختر پایه دهم در سه رشته تحصیلی؛ ریاضی، تجربی و انسانی منطقه 4 آموزش و پرورش شهر تهران در سال تحصیلی 96-95 می باشد. در این تحقیق از روش نمونه گیری "در دسترس- هدفمند" که 83 نفر را در نظر می گیرد، استفاده می شود. بدین منظور یک گروه کنترل و یک گروه آزمایش به صورت کاملاً تصادفی در مدرسه انتخاب می شود و راهبردهای مبتنی بر بازنمایی ها در گروه آزمایش پیاده سازی می شود. نمونه های منتخب پس از کسب اطلاعات کامل از روش انجام مطالعه و اهداف آن و اخذ رضایت، در پژوهش وارد می شوند. به این صورت که گروه آزمایش شامل 43 دانش آموز دختر پایه دهم (18 نفر در رشته ریاضی، 13 نفر در رشته تجربی، 12 نفر در رشته انسانی) تحت آموزش جدید مبتنی بر انواع بازنمایی ها قرار می گیرند و گروه کنترل شامل 40 دانش آموز دختر پایه دهم (15 نفر رشته ریاضی، 12 نفر رشته تجربی، و 13 نفر رشته انسانی) تحت هیچ گونه مداخله ای قرار نگرفته اند.
در ادامه، نمونه های عملی از تدریس و چالش های دانش آموزان در حل مسائل جبری با بهره گیری از بازنمایی های عددی، نمادین و نموداری تشریح شده است.
ابزار
در این تحقیق، از آزمون ریاضی محقق ساخته استفاده می شود. بر اساس محتوای کتاب ریاضی پایه دهم برای هر رشته که باید مبحث مورد نظر (مفاهیم جبری) تدریس می شد، محقق، بر اساس سوالات استانداردی که در سال تحصیلی برای دانش- آموزان در مدرسه، طراحی می گردید و مورد تایید وزارت آموزش و پرورش بود، پیش و پس آزمون ریاضی را طراحی کرد. علاوه بر این؛ پس از جمع آوری داده ها، آزمون ها از لحاظ روایی و پایایی مورد بررسی قرار گرفتند. نتایج بررسی روایی محتوای با حداقل مقدار شاخص CVR نشان داد که مطابق با نظرات 8 کارشناس در زمینه آموزش ریاضی دوره متوسطه، سوالات پیش آزمون بر اساس موضوع تحقیق با مقدار تقریبی 84/0 و سوالات پس آزمون بر اساس موضوع تحقیق با مقدار تقریبی 81/0 مورد تایید واقع
گردید. برای مشخص نمودن پایایی آزمون ها از روش دو نیمه کردن استفاده شد. بدین ترتیب به منظور تعیین اعتبار آزمون ها، 30 نفر از دانش آموزان پایه دهم به طور تصادفی انتخاب شده و آزمون ها بین آنها توزیع شد. بعد از جمع آوری با استفاده از نرم افزار SPSS24، برای آزمون ها، پایایی به مقدار 78/0 بدست آمد.
نمونه عملی آموزش مبتنی بر بازنمایی عددی
برای تدریس معادله درجه اول به شیوه بازنمایی عددی مثالی ساده که کاملا آشنا با تفکر ریاضی دانش آموزان است، بیان می کنیم؛
مثال: در معادله زیر □ را که یک عدد طبیعی است، بیابید.
در اینجا روی مفهوم تعادل و توازن کار می کنیم، خط وسط را به صورت علامت یک تساوی بین دو ستون جدول برای دانش آموز
نشان می دهیم حال او می تواند با جایگزینی اعداد طبیعی و بدست آوردن حاصل هر دو طرف معادله هر کجا که به توازن رسید روند حل را متوقف کند و به جواب برسد. که در اینجا جواب
7 است.
|
| □ |
|
|
|
نمونه عملی آموزش مبتنی بر بازنمایی نمادین
در تدریس معادله درجه اول به شیوه بازنمایی نمادین که مشابه شیوه مرسوم کتب درسی دانش آموزان است در هر دو گروه آزمایش و کنترل انجام شد. در این روش نیز قدم به قدم دانش- آموزان را با مفهوم معادله و وجود مجهول در آن، و هدف از حل معادله درجه اول آشنا شدند. در مثال زیر از دانش آموزان می- خواهیم که برای رسیدن به طول هر ضلع یک ستاره معادله ای بنویسند و آن را حل کنند.
مثال: طول ضلع چند ضلعی متوازی الاضلاعی زیر را بیابید که محیطش 24 است.
برای حل این سوال نیز از آنجا که طول تمام اضلاع با هم برابرند کافیست یکی را
در نظر بگیریم و تعداد اضلاع را بشماریم و برابر با محیط بگیریم. یعنی:
شایان ذکر است با وجود اینکه دانش آموزان در هر دو گروه به صورت یکسان این شیوه را کار کرده بودند، اما در پاسخ های دانش آموزان گروه آزمایش مشاهده می شود که اکثریت دانش- آموزان شیوه نمادین را تقریبا کامل پاسخ داده اند در حالیکه در گروه کنترل به همان شیوه معمول تفاوت بین دانش آموزان قوی و ضعیف مشهود است و این امر نشان دهنده این است که بازنمایی های چندگانه بر عملکرد ذهنی دانش آموزان تاثیر مثبتی داشته است.
نمونه عملی آموزش مبتنی بر بازنمایی نموداری
در تدریس معادله درجه اول به شیوه بازنمایی نموداری سعی بر این است که دانش آموز به بهترین شکل ممکن با رسم یک نمودار و در کوتاهترین زمان ممکن به جواب برسد.
مثال: وزن ندا 2 کیلو گرم بیشتر از وزن آوا و وزن آوا 2 کیلو گرم بیشتر از وزن زهرا است. اگر مجموع وزنهای این سه نفر 111 کیلوگرم باشد وزن هر کدام رامحاسبه کنید.
برای حل این مثال کافیست وزن زهرا را بگیریم و وزن آوا را از روی وزن زهرا بنویسیم یعنی + 2 و وزن ندا را از روی وزن آوا بنویسیم یعنی (+ 2 ) + 2 یعنی + 4 . در ادامه با تصویر سازی ساده می توانیم به جواب برسیم. از 111 می توان 2 و 4 یعنی 6 واحد را کم کردو به عدد 105 رسید و چون مازاد ها را برداشتیم در حال حاضر 3 تا داریم یعنی 105 معادل 3 برابر است پس کافیست 105 را به سه قسمت مساوی تقسیم کنیم و به وزن زهرا یا همان برسیم بنابراین زهرا 35 کیلوگرم و آوا 37 و ندا 39 کیلو گرم وزن دارند.
6 35 35 35
|
|
|
|
105
111
یافته ها
در بخش اول؛ آمار توصیفی را برای هر یک از سه نوع بازنمایی و نمره کل و در بخش دوم؛ آمار استنباطی را برای سه نوع بازنمایی و نمره کل بیان می کنیم، پس از مقایسه نمرات و مقایسه دو گروه، تحلیل کوواریانس را برای هر یک از سه نوع بازنمایی و نمره کل انجام می دهیم و در انتهای این بخش به تحلیل مفهومی نتایج داده ها می پردازیم.
آمار توصیفی
در این بخش برای هر سه نوع بازنمایی، شاخص های مرکزی و پراکندگی متغیرهای بازنمایی عددی، نموداری و نمادین را به تفکیک هر یک از رشته ها را با رسم جدول نشان می دهیم. لازم به ذکر است که در این بخش برای نمره کل شاخص های آماری مرکزی و پراکندگی را یکبار به تفکیک رشته و بار دیگر بدون تفکیک رشته بررسی می کنیم. همچنین به بررسی توصیفی نمرات سه بازنمایی و نمره کل در پیش آزمون و پس آزمون می پردازیم.
جدول های (1)، (2)، (3)، به ترتیب آمار توصیفی بازنمایی عددی، نموداری، نمادین به تفکیک رشته و جدول های (4) و (5) به ترتیب نمره کل به تفکیک رشته و نمره کل بدون تفکیک رشته را نشان می دهد و همانطور که مشهود است؛ میانگین نمره بازنمایی عددی (جدول1)، میانگین نمره بازنمایی نمادین (جدول2) و میانگین نمره بازنمایی نموداری (جدول3) در تمام رشته ها در پس آزمون بیشتر از پیش آزمون می باشد و همچنین در پس آزمون میانگین نمره گروه آزمایشی بیشتر از گروه کنترل است. همچنین میانگین نمره کل (جدول4) در تمام رشته ها در پس آزمون بیشتر از پیش آزمون می باشد و همچنین در پس آزمون میانگین نمره گروه آزمایشی بیشتر از کنترل است. با بررسی توصیفی نمرات سه بازنمایی و همچنین نمره کل در پیش آزمون و پس آزمون (جدول5) مشاهده می شود که نمره بازنمایی نموداری از دو نوع بازنمایی دیگر بیشتر بوده و در رتبه بعدی نمره بازنمایی نمادین و پس از آن نمره بازنمایی عددی است.
جدول 1 آمار توصیفی بازنمایی عددی به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار |
پیش آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 35/3 | 84/1 |
تجربی | 12 | 42/3 | 73/1 | ||
انسانی | 13 | 82/2 | 76/1 | ||
آزمایش | ریاضی | 18 | 33/4 | 37/1 | |
تجربی | 13 | 82/2 | 26/2 | ||
انسانی | 12 | 53/3 | 54/2 | ||
پس آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 93/3 | 76/2 |
تجربی | 12 | 38/4 | 46/2 | ||
انسانی | 13 | 42/4 | 56/2 | ||
آزمایش | ریاضی | 18 | 06/8 | 92/1 | |
تجربی | 13 | 00/6 | 19/3 | ||
انسانی | 12 | 17/7 | 98/2 |
جدول 2 آمار توصیفی بازنمایی نموداری به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار |
پیش آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 53/2 | 68/1 |
تجربی | 12 | 33/2 | 67/1 | ||
انسانی | 13 | 23/2 | 79/1 | ||
آزمایش | ریاضی | 18 | 50/3 | 58/1 | |
تجربی | 13 | 89/1 | 98/1 | ||
انسانی | 12 | 63/2 | 55/2 | ||
پس آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 47/6 | 29/3 |
تجربی | 12 | 33/7 | 74/2 | ||
انسانی | 13 | 00/7 | 83/2 | ||
آزمایش | ریاضی | 18 | 56/9 | 04/1 | |
تجربی | 13 | 85/7 | 44/2 | ||
انسانی | 12 | 67/8 | 10/2 |
جدول 3 آمار توصیفی بازنمایی نمادین به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار |
پیش آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 60/5 | 84/1 |
تجربی | 12 | 58/5 | 93/1 | ||
انسانی | 13 | 46/5 | 98/1 | ||
آزمایش | ریاضی | 18 | 61/6 | 46/1 | |
تجربی | 13 | 62/4 | 29/2 | ||
انسانی | 12 | 83/5 | 98/2 | ||
پس آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 53/5 | 23/2 |
تجربی | 12 | 67/5 | 97/1 | ||
انسانی | 13 | 77/5 | 83/1 | ||
آزمایش | ریاضی | 18 | 56/8 | 69/1 | |
تجربی | 13 | 92/6 | 66/2 | ||
انسانی | 12 | 08/8 | 07/2 |
جدول 4 آمار توصیفی نمره کل به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار |
پیش آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 21/11 | 99/4 |
تجربی | 12 | 42/11 | 21/4 | ||
انسانی | 13 | 69/10 | 19/5 | ||
آزمایش | ریاضی | 18 | 06/14 | 61/3 | |
تجربی | 13 | 01/9 | 30/5 | ||
انسانی | 12 | 70/11 | 22/7 | ||
پس آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 77/17 | 06/7 |
تجربی | 12 | 08/19 | 35/6 | ||
انسانی | 13 | 15/19 | 22/6 | ||
آزمایش | ریاضی | 18 | 72/24 | 84/4 | |
تجربی | 13 | 92/19 | 62/7 | ||
انسانی | 12 | 17/23 | 81/6 |
جدول 5 آمار توصیفی نمره کل بدون تفکیک رشته
نوع بازنمایی | تعداد | حداقل | حداکثر | میانگین | انحراف معیار | ||||
پیش آزمون | نمره بازنمایی عددی | 83 | 30/0 | 00/8 | 43/3 | 93/1 | |||
نمره بازنمایی نمادی | 83 | 00/1 | 00/10 | 67/5 | 11/2 | ||||
نمره بازنمایی نموداری | 83 | 00/0 | 60/6 | 58/2 | 89/1 | ||||
نمره بازنمایی کل | 83 | 18/1 | 20/23 | 50/11 | 19/5 | ||||
پس آزمون | نمره بازنمایی عددی | 83 | 5/0 | 10 | 75/5 | 02/3 | |||
نمره بازنمایی نمادی | 83 | 3 | 10 | 83/6 | 37/2 | ||||
نمره بازنمایی نموداری | 83 | 0 | 10 | 88/7 | 63/2 | ||||
نمره بازنمایی کل | 83 | 50/3 | 30 | 80/20 | 78/6 | ||||
آمار استنباطی
این بخش را در سه مرحله بیان می کنیم:
مرحله اول؛ به مقایسه نمرات انواع بازنمایی ها و بازنمایی کل در بین رشتههای مختلف، به تفکیک رشته می پردازیم برای انجام اینکار، پس از بررسی نرمال بودن نمرات هر سه نوع بازنمایی و نمره کل در هر یک از گروه ها برای پیشآزمون و پسآزمون، با استفاده از آزمون K-S به بررسی معنیداری نمره هر سه نوع بازنمایی و نمره کل بین رشتههای مختلف در پیشآزمون و پسآزمون در هر یک از گروههای کنترل و آزمایشی با استفاده از آزمون آنالیز واریانس ANOVA می پردازیم.
مرحله دوم؛ به مقایسه نمرات انواع بازنمایی ها و بازنمایی کل در دو گروه کنترل و آزمایش به تفکیک رشته می پردازیم. به این ترتیب که، پس از تایید برابری واریانس ها با استفاده از آزمون Levene و بررسی معنیداری نمرات با استفاده از آزمون t- دو نمونه مستقل، به مقایسه میانگین نمرات هر سه نوع بازنمایی و نمره کل در دو گروه کنترل و آزمایش به تفکیک رشته می پردازیم.
مرحله سوم؛ به بررسی اثر عاملهای گروه آزمایشی و رشته بر نمره پس آزمون با درنظر گرفتن اثر نمره پیشآزمون می پردازیم.
برای انجام این مرحله، پس از تایید همگنی شیب های خط رگرسیونی با استفاده از آزمون اثر تعامل، تحلیل کوواریانس را برای هر سه نوع بازنمایی و نمره کل با استفاده از آزمون ANCOVA انجام می دهیم.
مقایسه نمرات در بین رشتههای مختلف
جدول 6 مقایسه نمره بازنمایی عددی در بین رشتههای مختلف به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار | p-value One-sample K-S | p-value Leven test | p-value ANOVA |
پیش آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 35/3 | 84/1 | 21/0 | 84/0 | 64/0 |
تجربی | 12 | 42/3 | 73/1 | |||||
انسانی | 13 | 82/2 | 76/1 | |||||
آزمایش | ریاضی | 18 | 33/4 | 37/1 | 18/0 | 05/0> | 13/0 | |
تجربی | 13 | 82/2 | 26/2 | |||||
انسانی | 12 | 53/3 | 54/2 | |||||
پس آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 93/3 | 76/2 | 22/0 | 75/0 | 86/0 |
تجربی | 12 | 38/4 | 46/2 | |||||
انسانی | 13 | 42/4 | 56/2 | |||||
آزمایش | ریاضی | 18 | 06/8 | 92/1 | 14/0 | 05/0> | 12/0 | |
تجربی | 13 | 00/6 | 19/3 | |||||
انسانی | 12 | 17/7 | 98/2 |
جدول 7 مقایسه نمره بازنمایی نموداری در بین رشتههای مختلف به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار | p-value One-sample K-S | p-value Leven test | p-value ANOVA |
پیش آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 53/2 | 68/1 | 92/0 | 05/0> | 89/0 |
تجربی | 12 | 33/2 | 67/1 | |||||
انسانی | 13 | 23/2 | 79/1 | |||||
آزمایش | ریاضی | 18 | 50/3 | 58/1 | 04/0 | 05/0> | 09/0 | |
تجربی | 13 | 89/1 | 98/1 | |||||
انسانی | 12 | 63/2 | 55/2 | |||||
پس آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 47/6 | 29/3 | 77/0 | 93/0 | 75/0 |
تجربی | 12 | 33/7 | 74/2 | |||||
انسانی | 13 | 00/7 | 83/2 | |||||
آزمایش | ریاضی | 18 | 56/9 | 04/1 | 01/0 | 05/0> | 06/0 | |
تجربی | 13 | 85/7 | 44/2 | |||||
انسانی | 12 | 67/8 | 10/2 |
جدول 8 مقایسه نمره بازنمایی نمادین در بین رشتههای مختلف به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار | p-value One-sample K-S | p-value Leven test | p-value ANOVA |
پیش آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 60/5 | 84/1 | 09/0 | 98/0 | 97/0 |
تجربی | 12 | 58/5 | 93/1 | |||||
انسانی | 13 | 46/5 | 98/1 | |||||
آزمایش | ریاضی | 18 | 61/6 | 46/1 | 14/0 | 05/0> | 51/0 | |
تجربی | 13 | 62/4 | 29/2 | |||||
انسانی | 12 | 83/5 | 98/2 | |||||
پس آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 53/5 | 23/2 | 44 | 31/0 | 95/0 |
تجربی | 12 | 67/5 | 97/1 | |||||
انسانی | 13 | 77/5 | 83/1 | |||||
آزمایش | ریاضی | 18 | 56/8 | 69/1 | 07/0 | 05/0> | 12/0 | |
تجربی | 13 | 92/6 | 66/2 | |||||
انسانی | 12 | 08/8 | 07/2 |
جدول 9 مقایسه نمره کل در بین رشتههای مختلف به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار | p-value One-sample K-S | p-value Leven test | p-value ANOVA |
پیش آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 21/11 | 99/4 | 42/0 | 82/0 | 92/0 |
تجربی | 12 | 42/11 | 21/4 | |||||
انسانی | 13 | 69/10 | 19/5 | |||||
آزمایش | ریاضی | 18 | 06/14 | 61/3 | 29/0 | 001/0 | 82/0 | |
تجربی | 13 | 01/9 | 30/5 | |||||
انسانی | 12 | 70/11 | 22/7 | |||||
پس آزمون | کنترل | ریاضی | 15 | 77/17 | 06/7 | 18/0 | 85/0 | 05/0> |
تجربی | 12 | 08/19 | 35/6 | |||||
انسانی | 13 | 15/19 | 22/6 | |||||
آزمایش | ریاضی | 18 | 72/24 | 84/4 | 09/0 | 07/0 | 12/0 | |
تجربی | 13 | 92/19 | 62/7 | |||||
انسانی | 12 | 17/23 | 81/6 |
در جدول های (6)، (7) و (8) هدف بررسی معنیداری به ترتیب نمره بازنمایی عددی، نموداری و نمادین؛ بین رشتههای مختلف در پیشآزمون و پسآزمون، در هر یک از گروههای کنترل و آزمایشی با استفاده از آزمون آنالیز واریانس (ANOVA) میباشد. همانطور که از نتیجه آزمون مشخص است، بین نمره بازنمایی عددی، نموداری و نمادین بین رشتههای مختلف در پیشآزمون و پسآزمون در هر یک از گروههای کنترل و آزمایشی اختلاف معنیداری وجود ندارد. شایان ذکر است نمره بازنمایی عددی، نموداری و نمادین در هر یک از گروه ها برای پیشآزمون و پسآزمون با استفاده از آزمون one-sample K-S از توزیع نرمال اختلاف معنیداری ندارد. همچنین در جدول (9) هدف بررسی معنیداری نمره بازنمایی کل بین رشتههای مختلف در پیشآزمون و پسآزمون در هر یک از گروههای کنترل و آزمایشی با استفاده از آزمون آنالیز واریانس ANOVA میباشد.
مقایسه دو گروه کنترل و آزمایشی
جدول 10 مقایسه میانگین نمره بازنمایی عددی در دو گروه کنترل و آزمایشی به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار | p-value Leven test | p-value T-test |
ریاضی | پیش آزمون | کنترل | 15 | 84/1 | 48/0 | 14/0 | 10/0 |
آزمایش | 18 | 37/1 | 32/0 | ||||
پس آزمون | کنترل | 15 | 76/2 | 71/0 | 06/0 | 05/0> | |
آزمایش | 18 | 92/1 | 45/0 | ||||
تجربی | پیش آزمون | کنترل | 12 | 73/1 | 50/0 | 39/0 | 45/0 |
آزمایش | 13 | 26/2 | 63/0 | ||||
پس آزمون | کنترل | 12 | 46/2 | 71/0 | 15/0 | 17/0 | |
آزمایش | 13 | 19/3 | 88/0 | ||||
انسانی | پیش آزمون | کنترل | 13 | 76/1 | 49/0 | 06/0 | 43/0 |
آزمایش | 12 | 54/2 | 73/0 | ||||
پس آزمون | کنترل | 13 | 56/2 | 71/0 | 45/0 | 05/0> | |
آزمایش | 12 | 98/2 | 86/0 |
جدول 11 مقایسه میانگین نمره بازنمایی نموداری در دو گروه کنترل و آزمایشی به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار | p-value Leven test | p-value T-test |
ریاضی | پیش آزمون | کنترل | 15 | 53/2 | 68/1 | 95/0 | 11/0 |
آزمایش | 18 | 50/3 | 58/1 | ||||
پس آزمون | کنترل | 15 | 47/6 | 29/3 | 05/0> | 11/0 | |
آزمایش | 18 | 56/9 | 04/1 | ||||
تجربی | پیش آزمون | کنترل | 12 | 33/2 | 67/1 | 63/0 | 55/0 |
آزمایش | 13 | 89/1 | 98/1 | ||||
پس آزمون | کنترل | 12 | 33/7 | 74/2 | 73/0 | 62/0 | |
آزمایش | 13 | 85/7 | 44/2 | ||||
انسانی | پیش آزمون | کنترل | 13 | 23/2 | 79/1 | 06/0 | 65/0 |
آزمایش | 12 | 63/2 | 55/2 | ||||
پس آزمون | کنترل | 13 | 00/7 | 83/2 | 31/0 | 11/0 | |
آزمایش | 12 | 67/8 | 10/2 |
جدول 12 مقایسه میانگین نمره بازنمایی نمادین در دو گروه کنترل و آزمایشی به تفکیک رشته
آزمون | گروه ها | رشته | تعداد | میانگین | انحراف معیار | p-value Leven test | p-value T-test |
ریاضی | پیش آزمون | کنترل | 15 | 60/5 | 84/1 | 21/0 | 89/0 |
آزمایش | 18 | 61/6 | 46/1 | ||||
پس آزمون | کنترل | 15 | 53/5 | 23/2 | 48/0 | 05/0> | |
آزمایش | 18 | 56/8 | 69/1 | ||||
تجربی | پیش آزمون | کنترل | 12 | 58/5 | 93/1 | 20/0 | 26/0 |
آزمایش | 13 | 62/4 | 29/2 | ||||
پس آزمون | کنترل | 12 | 67/5 | 97/1 | 05/0> | 19/0 | |
آزمایش | 13 | 92/6 | 66/2 | ||||
انسانی | پیش آزمون | کنترل | 13 | 46/5 | 98/1 | 08/0 | 71/0 |
آزمایش | 12 | 83/5 | 98/2 | ||||
پس آزمون | کنترل | 13 | 77/5 | 83/1 | 41/0 | 05/0> |
جدول13 مقایسه میانگین نمره کل در دو گروه کنترل و آزمایشی به تفکیک رشته
رشته | آزمون | گروه | تعداد | میانگین | انحراف معیار | p-value Leven test | p-value T-test |
ریاضی | پیش آزمون | کنترل | 15 | 21/11 | 99/4 | 17/0 | 07/0 |
آزمایش | 18 | 06/14 | 61/3 | ||||
پس آزمون | کنترل | 15 | 77/17 | 06/7 | 14/0 | 05/0> | |
آزمایش | 18 | 72/24 | 84/4 | ||||
تجربی | پیش آزمون | کنترل | 12 | 42/11 | 21/4 | 36/0 | 22/0 |
آزمایش | 13 | 01/9 | 30/5 | ||||
پس آزمون | کنترل | 12 | 08/19 | 35/6 | 33/0 | 76/0 | |
آزمایش | 13 | 92/19 | 62/7 | ||||
انسانی | پیش آزمون | کنترل | 13 | 69/10 | 19/5 | 07/0 | 69/0 |
آزمایش | 12 | 70/11 | 22/7 | ||||
پس آزمون | کنترل | 13 | 15/19 | 22/6 | 50/0 | 14/0 | |
آزمایش | 12 | 17/23 | 81/6 |
در جدول های (10)، (11) ، (12 ) و (13) به ترتیب هدف بررسی معنیداری نمره بازنمایی عددی، نموداری، نمادین و کل بین دو گروه کنترل و آزمایش برای هر یک از رشتهها در پیشآزمون و پسآزمون با استفاده از آزمون t- دو نمونه مستقل میباشد. لازم به ذکر است که معنی داری اختلاف واریانس در هر دو گروه با استفاده از آزمون levene آزمون شده است که برابری واریانسها را تایید میکند.
نتیجه آزمون در جدول های (10) و (12 ) مشخص می کند که، بین دو گروه کنترل و آزمایش برای هر یک از رشتهها در پیشآزمون و پسآزمون، غیر از نمره پسآزمون در دو رشته ریاضی و انسانی اختلاف معنیداری وجود ندارد. همچنین نتیجه آزمون در
جدول (11) نشان می دهد که بین دو گروه کنترل و آزمایش برای هر یک از رشتهها در پیشآزمون و پسآزمون، اختلاف معنیداری وجود ندارد. همینطور در مقایسه میانگین نمره بازنمایی کل جدول (13) بین دو گروه کنترل و آزمایش برای هر یک از رشتهها در پیشآزمون و پسآزمون، غیر از پسآزمون رشته ریاضی اختلاف معنیداری وجود ندارد.
تحلیل کوواریانس دوعاملی (عاملهای رشته و گروه آزمایشی)
پیشفرض همگنی شیب های خط رگرسیونی یکی از مفروضه های اصلی تحلیل کوواریانس است. برای بررسی این مورد، از آزمون اثر تعامل استفاده می شود و نتیجه برای متغیرهای تحقیق در جدول (14) مشخص است.
جدول 14 بررسی مفروضه همگنی شیب های خط رگرسیونی
متغیر | منبع تغییرات | مجموع مربعات | درجه آزادی | میانگین مربعات خطا | آماره آزمون | P- مقدار |
بازنمایی عددی | گروه × پیش آزمون | 59/5 | 1 | 59/5 | 16/3 | 08/0 |
بازنمایی نمادی | گروه × پیش آزمون | 77/6 | 1 | 77/6 | 85/3 | 06/0 |
بازنمایی نموداری | گروه × پیش آزمون | 26/3 | 1 | 26/3 | 85/1 | 17/0 |
نمره کل | گروه × پیش آزمون | 17/2 | 1 | 17/2 | 26/1 | 26/0 |
با توجه به نتایج جدول 14 که P- مقدارها اثر تعامل گروه (مستقل) × پیش آزمون (همپراش) برای تمامی متغیرها بزرگتر از 05/0 است. لذا فرضیه همگنی شیب های رگرسیونی پذیرفته می شود. حال به بررسی اثر عاملهای گروه آزمایشی و رشته بر نمره پس آزمون با درنظر گرفتن نمره پیشآزمون با استفاده از مدلبندی آماری برای هر یک از نمرات بازنمایی عددی، نموداری، نمادین و کل می پردازیم که این کار را با استفاده از مدل تحلیل کوواریانس دوعاملی (عاملهای رشته و گروه آزمایشی) و با تعدیل اثر نمره پیشآزمون انجام می دهیم.
جدول 15 نتیجه آزمون تحلیل کوواریانس در مورد نمره بازنمایی عددی
متغیر | منبع تغییرات | مجموع مربعات | درجه آزادی | میانگین مربعات | آماره آزمون | P- مقدار |
نمره بازنمایی عددی | گروه | 00/116 | 00/1 | 00/116 | 56/63 | 05/0> |
رشته | 74/5 | 00/2 | 87/2 | 57/1 | 21/0 | |
نمره پیشآزمون | 83/395 | 00/1 | 83/395 | 90/216 | 05/0> | |
خطا | 70/138 | 00/76 | 82/1 |
|
| |
کل | 00/3503 | 00/83 |
|
|
|
جدول 16 نتیجه آزمون تحلیل کوواریانس در مورد نمره بازنمایی نموداری
متغیر | منبع تغییرات | مجموع مربعات | درجه آزادی | میانگین مربعات | آماره آزمون | P- مقدار |
نمره بازنمایی نموداری | گروه | 55/805 | 00/1 | 55/805 | 52/280 | 05/0> |
رشته | 96/46 | 00/1 | 96/46 | 35/16 | 58/0 | |
نمره پیشآزمون | 12/3 | 00/2 | 56/1 | 54/0 | 05/0> | |
خطا | 12/269 | 00/1 | 12/269 |
|
| |
کل | 99/223 | 00/78 | 87/2 |
|
|
جدول 17 نتیجه آزمون تحلیل کوواریانس در مورد نمره بازنمایی نمادین
متغیر | منبع تغییرات | مجموع مربعات | درجه آزادی | میانگین مربعات | آماره آزمون | P- مقدار |
نمره بازنمایی نمادین | گروه | 89/37 | 00/1 | 89/37 | 74/31 | 05/0> |
رشته | 79/89 | 00/1 | 79/89 | 22/75 | 65/0 | |
نمره پیشآزمون | 03/1 | 00/2 | 51/0 | 43/0 | 05/0> | |
خطا | 93/250 | 00/1 | 93/250 |
|
| |
کل | 11/93 | 00/78 | 19/1 |
|
|
جدول 18 نتیجه آزمون تحلیل کوواریانس در مورد نمره کل
متغیر | منبع تغییرات | مجموع مربعات | درجه آزادی | میانگین مربعات | آماره آزمون | P- مقدار |
نمره بازنمایی کل | گروه | 50/29 | 00/1 | 50/29 | 27/4 | 05/0> |
رشته | 27/1 | 00/1 | 27/1 | 18/0 | 67/0 | |
نمره پیشآزمون | 08/15 | 00/2 | 54/7 | 09/1 | 34/0 | |
خطا | 47/2803 | 00/1 | 47/2803 |
|
| |
کل | 57/538 | 00/78 | 90/6 |
|
|
با بررسی عاملهای گروه آزمایشی و رشته بر نمره پس آزمون نمرات انواع بازنمایی ها و نمره کل در جداول 15تا 18 و با درنظر گرفتن نمره پیشآزمون با استفاده از آزمون ANCOVA مشخص شد که؛ نوع گروه (کنترل یا آزمایش) بر نمرات بازنمایی عددی، نموداری، نمادین و کل اثر معنیداری دارد (05/0>p).
همانطور که در قسمت آمار توصیفی مشاهده شد میانگین نمره بازنمایی عددی، نموداری، نمادین و کل در گروه آزمایشی از گروه کنترل بیشتر است. لذا در اینجا با توجه به نتیجه آزمون ANCOVA میتوان گفت که این میانگین بهطور معنیداری بیشتر است. همچنین اثر رشته تحصیلی با درنظر گرفتن اثر نمره پیشآزمون معنیدار نمیباشد (05/0<p). بنابراین می توان گفت که؛ استفاده از بازنمایی به شیوه های عددی، نموداری، نمادین تاثیر مثبتی بر کیفیت تدریس مفاهیم جبری دارد و این یعنی استفاده از بازنمایی ها در میان دانش آموزان پایه دهم تاثیر مثبتی بر عملکرد آن ها دارد.
تحلیل مفهومی نتایج داده ها
با در نظر گرفتن نتایج داده های پژوهش حاضر و تاثیرگذاری استفاده از بازنمایی ها در کیفیت تدریس مفاهیم جبری و افزایش عملکرد دانش آموزان در درک این مفاهیم با بکارگیری بازنمایی های عددی، نموداری و نمادین، ضروریست تا به این پرسش پاسخ داده شود که؛
آیا این افزایش عملکرد دانش آموزان در درک مفاهیم جبری که به واسطه ی تدریس با استفاده از بازنمایی ها حاصل شده است، بیشتر فهم رابطه ای دانش آموزان را بهبود می بخشد و یا فهم ابزاری آن هارا ؟
از آنجا که که دانش آموزان در این شیوه ی آموزشی، ریاضیات را به عنوان یک کل منسجم و یکپارچه در نظر می گیرند و ارتباط بین مفاهیم مختلف را به خوبی درک می کنند، می توان نتیجه گرفت که از طریق فهم رابطه ای به این افزایش در عملکرد یادگیری مفاهیم جبری می رسند. چرا که آنها به این سطح از دانستن در نحوه ی عملکرد خود دست می یابند که به دنبال چرایی انجام هر یک از اعمال خود در حین حل مسائل باشند. بنابراین محقق با تکیه بر نتایج داده ها بر این باور است که؛ آموزش به شیوه ی بازنمایی عددی، نموداری و نمادین تاثیر مثبت بر عملکرد دانش آموزان در یادگیری مفاهیم جبری از طریق فهم رابطه ای دارد.
لازم به ذکر است که در نگاه اول، بازنمایی نمادین با روش سنتی یا همان شیوه معمول آموزش در کتاب درسی یکسان به نظر بیاید؛ اما واقعیت این است که در آموزش به شیوه ی سنتی اغلب دانش آموزان روابط و قوانین را در بسیاری از موارد بدون دانستن دلیل می پذیرند و فقط به استفاده ابزاری از آنها به صورت مکانیکی و طوطی وار در مسائلی که با آن مواجه می شوند، بسنده می کنند. که این خود گواه بر فهم ابزاری دانش آموزان می باشد. در فهم ابزاری دانش آموزان با دانستن فرمول ها و روش های رسیدن به هدف، به انجام عملیات می پردازند والبته عموما به جواب هم می- رسند، اما نکته شایان توجه دقیقا در همینجا نهفته است و آن این است که دانش آموزان بایستی هر بار برای موقعیت های جدیدی که با آن مواجه می شوند، قوانین جداگانه ای بیاموزند تا قادر به حل مساله شوند. در حالیکه در آموزش به شیوه ی بازنمایی نمادین، دانش آموزان گروه آزمایش با ایجاد طرحواره های مناسب در ذهن خود و برقراری ارتباط با طرحواره های ذهنی پیشین خود، قادر به ایجاد بازنمایی های ذهنی جدید می شوند و در واقع تعامل بین بازنمایی های عینی و ذهنی در آنان ایجاد می شود، که سبب می شود تا مفاهیم جبری برای دانش آموزان قابل فهم تر گردد و به خاطر سپاری و بکارگیری مفاهیم در سایر موقعیت های مشابه ساده تر شود.
نتیجه گیری
یاددهی و یادگیری مفاهیم و ایده های جبری همواره با مشکلاتی مواجه بوده است. فرایند یاددهی و یادگیری جبر در مدارس باید به گونه ای باشد تا دانش آموزان بدانند اغلب ایده های جبری می تواند به صورت ملموس، با استفاده از بازنمایی ها معرفی شوند. باید تلاش کرد تا با فراهم کردن یک دیدگاه شهودی برای دانش آموزان و حرکت تدریجی از تجربه های عینی و ملموس به سمت ایده های مجردتر و استفاده ی مناسب از بازنمایی ها به ساخته شدن مفاهیم و ایده های ریاضی به آن ها کمک شود. آنچه که مهم است این است که در استفاده از بازنمایی ها در آموزش مفاهیم و ایده های ریاضی، باید طراحی مراحل به گونه ای باشد که در یک روند استقرایی و با تکیه بر دانش قبلی دانش آموزان، فرصت کشف برای دانش آموزان فراهم شود و تنها بر مهارت ها و دانش رویه ای تاکید نشود و ارتباط و سازگاری منطقی بین نمایش های متفاوت (بازنمایی های جداگانه) از مفاهیم و ایده ها نیز نشان داده شود.
از آنجایی که مفاهیم جبری، انحصارا در صورت های جبری و غیر قابل ملموس برای دانش آموزان تدریس و طراحی می شود، دانش آموزان در تجسم مفاهیم جبری ممکن است با چالش مواجه شوند. مفاهیم جبری نیازمند مثال های عینی است و مثال های عینی و ملموس زمانی مهیا می گردد که دانش آموزان به شیوه های مختلف آن ها را بازنمایی کنند.
نتایج یافته های آماری نشان داد که دانش آموزان پس از آموزش مبتنی بر بازنمایی عددی، نموداری و نمادین؛ عملکرد بهتری در یادگیری مفاهیم جبری به نسبت دانش آموزانی داشتند که به شیوه سنتی آموزش دیده بودند. بازنمایی به شیوه عددی، مرحله ای است که دانش آموز می تواند روابط بین اعداد برای کشف یک فرمول یا قانون ریاضی را برای یک مساله جبری پیدا کند. در این تغییر شکل، یک مساله که دربردارنده یک مفهوم جبری است، به صورتی عددی خود را نشان می دهد. مسلما پاسخگویی و درک یک مساله به شیوه عددی برای دانش آموزان به نسبت آسان تر از حل به یکباره یک مساله است. همچنین اگر بازنمایی نموداری به شیوه صحیح ترسیم گردد، ارتباط بین مولفه های اصلی مساله را به صراحت به دانش آموزان نشان می دهد و در نتیجه به ایجاد تمرکز و تجسم در دانش آموزان کمک می کند از طرفی تمرکز بر روی مولفه های اصلی مساله، میزان خطا در مراحل حل را کاهش می دهد و گامی مهم در جهت رسیدن به جواب صحیح می باشد.
در بازنمایی نمادین دانش آموزان، خود به کشف نماد ها و بازنمایی نمادین می پردازند، در واقع با پرسشگری هایی که معلم در حین آموزش مبتنی بر بازنمایی می کند، دانش آموزان به یادآوری مفاهیم جبری که در گذشته فرا گرفته اند، می پردازند و در برابر سوالات معلم و نمونه مساله های مورد نظر که در متن این پژوهش آمده است، به دنبال بازنمایی به شیوه نمادین ریاضی هستند. استفاده از نماد ها و فرمول های مناسب با هر مساله سبب بهبود عملکرد در دانش آموزان می شود و موجبات فراگیری بهتر مفاهیم جبری را فراهم می آورد. استفاده از بازنمایی ها در هر سه شیوه ای که در این تحقیق استفاده شد، قابلیت های ادراکی دانش آموزان را در درک مفاهیم ریاضی پایه دهم ارتقا می بخشد. زمانی که دانش آموزان صورت یک مساله ساده یا پیچیده را با تکیه بر بازنمایی ها مورد بررسی و نمایش قرار می دهند، آنها وارد حیطه ای می شوند که می توانند قدرت تجسم خود را از مفاهیم در ریاضی تغییر دهند. تحقیق حاضر برای شناخت و استفاده از بازنمایی های عددی، نموداری و نمادین، در فرایند تدریس معلمان در مبحث معادله درجه اول برای دانش آموزان، بستری برای یادگیری ریاضی مفاهیم جبری فراهم می آورد که به رشد و توسعه تفکر جبری دانش آموزان کمک می کند و در نتیجه منجر به بهبود عملکرد یادگیری دانش آموزان در مفاهیم جبری می شود.
برای انجام پژوهش ها توسط محققان در حوزه مشابه با نتایج این پژوهش، پیشنهاد می شود؛
· 1- عملکرد دانش آموزانی که در این پژوهش شرکت کردند در دوره های مختلف در یک سال تحصیلی برای دیگر مفاهیم جبری مورد ارزیابی قرار گیرد تا بهترین عملکرد ریاضی بر اساس تدریس کارآمدترین بازنمایی مشخص گردد.
· 2- کارآمدی تدریس به شیوه بازنمایی از طریق استراتژی های تدریس معلمان در زمینه تدریس مفاهیم جبری در زندگی روزمره دانش آموزان مورد ارزیابی قرار گیرد و کاربردی ترین بازنمایی معرفی گردد.
· 3- برای معلمان در زمینه تدریس بازنمایی ها دوره هایی برگزار شود تا بر اساس دانش آن ها، بازنمایی های دیگری از مفاهیم ریاضی معرفی شوند و مطابق با هر نوع بازنمایی، دوره ها و یا استراتژی های آموزشی از طریق هم اندیشی بین معلمان ریاضی به صورت طرح ارائه گردد.
فهرست منابع
[1] NCEE, (2015). Teaching Strategies for
Improving Algebra Knowledge in Middle and High School Students. U.S. DEPARTMENT OF EDUCATION EDUCATOR’S PRACTICE GUIDE.
A set of recommendations to address challenges in classrooms and schools.
https://ies.ed.gov/ncee/wwc/PracticeGuide/20
[2] National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.
[3] Seeger.F, Voight. I , & V. Werschescio, (1998). The Culture of the Mathematics Classroom (pp. 308-343). Cambridge: Cambridge University Press.
[4] Hall, R. (1996). Representation as shared activity: situated cognition and Dewey's cartography of experience. The Journal of the Learning Sciences, 5(3), 209-238.
[5] Panasuk .R.M., & Beyranevand . M.L. (2011). Preferred Representations of Middle School Algebra Students When Solving Problems. The Mathematics Educator .2011, Vol. 13, No. 1, 32-52.
[6] Mainali, B. (2014). Investigating the relationships between preferences for solution methods, gender and high school students’ geometry performance (Unpublished doctoral dissertation). University of Central Florida, USA
[7] Mainali, B. (2019). Investigating the relationships between preferences, gender, task difficulty, and high school students’ geometry performance. International Journal of Research in Education and Science (IJRES), 5(1), 224-236.
[8] Schultz, U. E., & . Waters, M. S. (2000). DISCUSS WITH YOUR COLLEAGUES. Why Representations? MATHEMATICS TEACHER vol 93, No, 6. 448-453.
[9] Bakar, K. A. (2017). Young Children’s Representations of Addition in Problem Solving. Creative Education.
[10] A F Samsuddin & H Retnawati, 2018 Mathematical representation: the roles, challenges and implication on instruction, Mathematics Education Department of Graduate School, Yogyakarta State University Jl. Colombo No.1, Sleman, D.I. Yogyakarta, Indonesia 55281Journal of Physics Conference Series 1097(1):012152
[11] Adu-Gyamfi K and Bossé M J 2014 Processes and reasoning in representations of linear functions Int. J. Sci. Math. Educ. vol. 12 no. 1 pp. 167–192.
[12] Salkind, G. M. (2007). Mathematical presentation. http://mason.gmu.edu/~gsalkind/portfolio/products/857LitReview.pdf
[13] Cathcart, W. G, Pothier, Y. M., Vance, J. H. & Bezuk, N. S. (2006). Learning mathematics in elementary and middle Schools. (4th Ed.). N.J.: Merrill/Prentice Hall.
[14] Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1987b). Representations and translations among representations in mathematics learning and problem solving. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 33-40). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
[15] Magner, U., Schwonke, R., Renkl, A., Aleven, V., & Popescu, O. (2010). Seductive Illustrations: Double-Edged Effects? Paper presented at the EARLI SIG 6/7.
[16] Goldin, G., & Shteingold, N. (2001). System of mathematical representations and development of mathematical concepts. In F. R. Curcio (Ed.), The roles of representation in school mathematics (pp. 1-23). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
[17] Cruz, H. D., & Smedt, J. D. (2010). Mathematical symbols as epistemic actions. http://www.springerlink.com/content/36670740x1387471/
[18] Goldin, G. A. (2000). Affective pathways and representation in mathematical problem solving. Mathematical thinking and learning, 2(3), 209-219.
[19] Çikla. O. A. (2004). The effects of multiple representations-based instruction on seventh grade students’ Algebra performance, attitude toward mathematics, and representation preference. A thesis submitted to the graduate school of natural and applied sciences of middle east technical university. Ph.D., Department of Secondary Science and Mathematics Education. Supervisor: Assist. Prof. Dr. Erdinç Çakıroğlu.
[20] Goldin, G. A. (1998). Representational systems, learning, and problem solving in mathematics. Journal of Mathematical Behavior, 17 (2), 137-165.
[21] Goldin, G. A. (1990). Epistemology, constructivism, and discovery learning mathematics. In R. B. Davis, C. A. Maher, & N. Noddings (Eds.), Constructivist Views on the Teaching and Learning of Methematics (pp. 31- 47). Reston, VA: NCTM.
[22]Cobb, P., Yackel, E., & Wood, T. (1992). A constructivist alternative to the representational view of mind in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 23(1), 2-33.
[23] Seeger, F. (1998). Discourse and beyond: on the ethnography of classroom discourse. In A. Sierpinska (Ed.), Language and communication in the mathematics classroom (pp. 85-101). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
[24] Superfine, A, C,. & Canty, R, S,. (2009). Translation between external representation systems in mathematics: All-or-none or skill conglomerate? University of Illinois at Chicago, Learning Sciences Research Institute, Chicago, IL, United States. Journal of Mathematical Behavior 28 (2009) 217–236.
[25] Valles, J. R. (2014). Using Multiple Representations to Illustrate Division by a Fraction.
[26] Kieran, C. (1993). Functions, graphing, and technology: Integrating research on learning and instruction. In T. A. Romberg, T. P. Carpenter, & E. Fennema (Eds.), Integrating research on the graphical representation of functions (pp. 189-237). Hillsdale, NJ: Erlbaum
[27] Williams, S. R. (1993). Some common themes and uncommon directions. In T. A. Romberg, T. P. Carpenter, & E. Fennema (Eds.), Integrating research on the graphical representation of functions (pp. 313-338). Hillsdale, NJ: Erlbaum Norwood, NJ: Ablex Publishing Corporation.
[28] Mainali, B. (2021). Representation in teaching and learning mathematics. International Journal of Education in Mathematics, Science, and Technology (IJEMST), 9(1), 1-21.
https://doi.org/10.46328/ijemst.1111
[29] Nurrahmawati, Cholis Sa’dijah, Sudirman, Makbul Muksar, (2021), Assessing students’ errors in mathematical translation: From symbolic to verbal and graphic representations, International Journal of Evaluation and Research in Education (IJERE) Vol. 10, No. 1
[30] Winslow, C. (2003). Semiotic and discursive variables in CAS-based didactical engineering. Educational Studies in Mathematics, 52 (3), 271-288.
[31] Rau, M. A., & Matthews, P.G. (2017). How to Make "More" Better? Principles for Effective Use of Multiple Representations to Enhance Students' Learning about Fractions, ZDM: The International Journal on Mathematics Education, 49 (4), 531-544.
[32] Heydari Ghazalje,R.(1385). The role of relational and instrumental understanding in promoting mathematical problem-solving abilities of students. Supervisor Zahra Gouya, Master Thesis of Mathematics Education
[33] Skemp, R, (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Skemp Department of Education, University of Warwick. First published in Mathematics Teaching, 77, 20–26, (1976).
[34] Van de Will, John(1382). Development of mathematical understanding. Part I. Translated by Sepideh Chaman Ara. Educational Aid Publishing Office, Educational Research and Planning Organization, Ministry of Education. Journal of Mathematical Education Development.
No. 73, 4 -14.
[35] Mone. (2007). Board of Education, Secondary School Mathematics Curriculum (9-12th grades) Retrieved December 01, 2011, from
http://ttkb.meb.gov.tr/program.aspx?tur=orta&lisetur=&sira=derse&ders=Matematik
[36] Adu-Gyamfi. K,. & Bossé. M. J,. & Chandler. K. (2016). Student Connections between Algebraic and Graphical Polynomial Representations in the Context of a Polynomial Relation. Ministry of Science and Technology, Taiwan.
[37] Cleaves, W. P. (2008). Promoting mathematics accessibility through multiple representations jigsaw. Mathematics teaching in the middle school. Vol. 23 Ne. 8.
[38] Nizaruddin, Muhtarom, Yanuar Hery Murtianto,(2017), EXPLORING OF MULTI MATHEMATICAL REPRESENTATION CAPABILITY IN PROBLEM SOLVING ON SENIOR HIGH SCHOOL STUDENTS, problems of education in the 21 century, vol. 75, no. 6.
[39] David Rosengrant, Eugenia Etkina and Alan Van Heuvelen, (2014), An Overview of Recent Research on Multiple Representations, Rutgers, The State University of New Jersey GSE, 10 Seminary Place, New Brunswick NJ, 08904
[40] Panasuk, R. M., & Beyranevand, M. L. (2010). Algebra students’ ability to recognize multiple Representations and achievement.
[41] Ahmadi, S., Yaftian, N. (1396). Multiple Representations in the Tenth Grade Mathematics Book, First National Conference on Mathematics Education, Challenges and Opportunities, Faculty of Basic Sciences, Central Tehran, Islamic Azad University.