بررسی رفتارمواد بتنی حاوی سنگدانه مقاوم در برابر حرارت به روش عددی :مدل اجزای محدود
Subject Areas : Statisticsayli kaltehie 1 , alireza Rasekhi 2 *
1 -
2 -
Keywords: حل عددی, ضریب انتقال حرارت, اجزا محدود,
Abstract :
در این تحقیق به روش آزمایشگاهی از سنگدانههای سبک مقاوم در برابر حرارت، پومیس و پرلیت در درصد های جایگزینی ،40،30،20،10و 50 به عنوان جایگزین سنگدانه استفاده و در مجموع 11 سری طرح مخلوط طراحی و ساخته شد و در ادامه با استفاده از روش اجزا محدود عملکرد حرارتی سنگدانه های پومیس و پرلیت مورد بررسی و مقایسه با روش آزمایشگاهی قرار گرفت. نتایج بیانگر آن بودند که با افزایش درصد جایگزینی سنگدانه سبک، مقاومت فشاری مخلوط ها کاهش یافته و همچنین تخلخل و میزان نفوذ یون کلر در تمامی مخلوط ها افزایش یافته است و در مجموع مشخصات دوام مخلوط ها کاهش نشان داد . افزایش میزان جایگزینی سنگدانهی سبک باعث کاهش چشمگیر ضریب انتقال حرارت نمونه ها شده است. از طرف دیگر درصد خطای محاسبه ضریب انتقال حرارت به روش عددی نسبت به روش آزمایشگاهی، برای مخلوطهای حاوی 20 درصد پومیس و پرلیت برابر با 3/9 و 5/7 درصد بوده که درصد خطای قابل قبولی به حساب میآید.آنالیز ریزساختاری نشان داد که استفاده از سنگدانه های سبک پومیس و پرلیت انبساط یافته باعث افزایش تخلخل در مخلوط ها می شود.
[1] Akman MS, Tas_demir MA. Perlite concrete as a structural material. In: 1st National perlite congress, Ankara (Turkey); 1977 .
[2] Steiger RW, Hurd MK. Lightweight insulating concrete for floors and roof decks. Concr Const 1978;23(7):411–22.
[3] Akçaözoğlu, S., Akçaözoğlu, K., & Atiş, C. D. (2013). Thermal conductivity, compressive strength and ultrasonic wave velocity of cementitious composite containing waste PET lightweight aggregate (WPLA). Composites Part B: Engineering, 45(1), 721-726.
[4] ACI committee 213. Guide for structural lightweight aggregate concrete. Report No. 213R-87. Detroit, USA: American Concrete Institute; 1999. p. 27.
[5] Tay J, Yip W. Sludge ash as lightweight concrete material. J Environ Eng 1989;115(1):56–64.
[6] Unal O, Uygunog˘lu T, Yildiz A. Investigation of properties of low-strength lightweight concrete for thermal insulation. Build Environ 2007;42(2):584–90.
[7] K.H. Mo, U.J. Alengaram, M.Z. Jumaat, Bond properties of lightweight concrete – A review, Constr. Build. Mater. 112 (2016) 478–496.
[8] J.A. Bogas, M.G. Gomes, S. Real, Capillary absorption of structural lightweight aggregate concrete, Mater. Struct. 48 (2015) 2869–2883.
[9] K.M.A. Hossain, M. Lachemi, Mixture design, strength, durability, and fire resistance of lightweight pumice concrete, ACI Mater. J. 104 (2007) 449–457.
[10] M.N. Haque, H. Al-Khaiat, O. Kayali, Long-term strength and durability parameters of lightweight concrete in hot regime: importance of initial curing, Build. Environ. 42 (2007) 3086–3092.
[11] M. Kismi, P. Poullain, P. Mounanga, Transient thermal response of lightweight cementitious composites made with polyurethane foam waste, Int. J. Thermophys. 33 (7) (2012) 1239–1258.
[12] Lihua Zhu , Jun Dai , Guoliang Bai a, Fengjian Zhang, Study on thermal properties of recycled aggregate concrete and recycled concrete blocks, Construction and Building Materials 94 (2015) 620–628
[13] K.H. Kim, S.E. Jeon, J.K. Kim, S. Yang, An experimental study on thermal conductivity of concrete, Cem. Concr. Res. 33 (3) (2003) 363–371.
[14] ACI 213R–03. Guide for structural lightweight-aggregate concrete. American Concrete Institute/01-Jan-2003.
[15] Arnould M, Virlogeux M. Granulats et bétons légers. Presses de l’école nationale des ponts et chaussées; 1986, ISBN 2-85978-086-6.
[16] Ke Y, Beaucour AL, Ortola S, Dumontet H, Cabrillac R. Influence of volume fraction and characteristics of lightweight aggregate concrete on the mechanical properties of concrete. Constr Build Mater 2009;23:2821–8.
[17] Ke Y, Ortola S, Beaucour AL, Dumontet H. Identification of microstructural characteristics in lightweight aggregate concretes by micromechanical modeling including the interfacial transition zone (ITZ). Cement Concrete Res 2010;40:1590 600.
[18] Chandra S, Berntsson L. Lightweight aggregate concrete. Noyes Publications/
William Andrew Publishing; 2002, ISBN 0-8155-1486-7.
[19] Zhang MH, Gjorv OE. Characteristics of lightweight aggregates for high strength concrete. ACI Mater J 1991;March–April:150–8.
[20] Kockal NU, Ozturan T. Strength and elastic properties of structural lightweight
concretes. Mater Des 2011;32:2396–403.
[21] Sengul, O., Azizi, S., Karaosmanoglu, F., Tasdemir, M.A., 2011. Effect of expanded perlite on the mechanical properties and thermal conductivity of lightweight concrete. Energy Build. 2e3, 671e676
[22] Demirboga, R., Kan, A., 2012. Thermal conductivity and shrinkage properties ofmodified waste polystyrene aggregate concretes. Constr. Build. Mater. 0, 730e734
[23] BS 1881 Part 116, Method for determination of compressive strength of concrete, British Standard,
1983.
[24]ASTM C642, Standard Test Method for Density, Absorption, and Voids in Hardened Concrete, ASTM C642, 1997.
[25]NT Build 492 - Concrete Mortar and Cement-based Repair Materials - Chloride Migration Coefficient from Non-steady-state Migration Experiments. NT Build 492, 1999.
[26] Saeed shekveh, (2020). Existence of at least three weak solutions for a quasilinear elliptic system. Journal of New Researches in Mathematics.
[27] Khaleghi Moghadam, M., Tersian, S., & Avci, M. (2020). A Variational Approach To The Existence Of Infinitely Many Solutions For Difference Equations. Journal of New Researches in Mathematics, 5(22), 99-110.
[28] Amini, E., & Ebadian, A. (2020). Numerical Solution and Error Analysis for Linear and Nonlinear Delay Differential Equations. Journal of New Researches in Mathematics.
[29]Youm, K. S., Moon, J., Cho, J. Y., & Kim, J. J. (2016). Experimental study on strength and durability of lightweight aggregate concrete containing silica fume. Construction and Building Materials, 114, 517-527.
[30] J.L. Clarke. Structural lightweight aggregate concrete. Blackie Academic & Prof; 2005, pp. 161.
[31] Rasekhi Sahneh, A. R., Dashti Rahmatabadi, M. A., Madani, H., & Dehghan Manshadi, H. (2023). A Comprehensive Investigation on the Influence of Zeolite, Pumice, and Limestone Powder on the Characteristics of Eco‐Friendly Calcium Aluminate Cement Mixes. Advances in Materials Science and Engineering, 2023(1), 1433612.
[32]Asadi, I., Shafigh, P., Hassan, Z. F. B. A., & Mahyuddin, N. B. (2018). Thermal conductivity of concrete–A review. Journal of Building Engineering, 20, 81-93.
دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir
سال هشتم، شماره چهلم، بهمن و اسفند 1401
|
بررسی رفتار مواد بتنی حاوی سنگدانه مقاوم در برابر حرارت به روش عددی: مدل اجزای محدود
آیلی کلتهئی1، علیرضا راسخی صحنه2*
)1و2 (گروه مهندسی عمران، واحد قشم، دانشگاه آزاد اسلامی، قشم، ایران
تاريخ ارسال مقاله: 27/06/1399 تاريخ پذيرش مقاله: 01/07/1399
چکيده
در این تحقیق به روش آزمایشگاهی از سنگدانههای سبک مقاوم در برابر حرارت، پومیس و پرلیت در درصدهای جایگزینی ،40،30،20،10و 50 به عنوان جایگزین سنگدانه استفاده و در مجموع 11 سری طرح مخلوط طراحی و ساخته شد و در ادامه با استفاده از روش اجزای محدود عملکرد حرارتی سنگدانههای پومیس و پرلیت مورد بررسی و مقایسه با روش آزمایشگاهی قرار گرفت. نتایج بیانگر آن بودند که با افزایش درصد جایگزینی سنگدانه سبک، مقاومت فشاری مخلوطها کاهش یافته و همچنین تخلخل و میزان نفوذ یون کلر در تمامی مخلوطها افزایش یافته است و در مجموع مشخصات دوام مخلوطها کاهش نشان داد. افزایش میزان جایگزینی سنگدانه سبک باعث کاهش چشمگیر ضریب انتقال حرارت نمونهها شده است. از طرف دیگر درصد خطای محاسبه ضریب انتقال حرارت به روش عددی نسبت به روش آزمایشگاهی، برای مخلوطهای حاوی 20 درصد پومیس و پرلیت برابر با 3/9 و 5/7 درصد بوده که درصد خطای قابل قبولی به حساب میآید. آنالیز ریزساختاری نشان داد که استفاده از سنگدانههای سبک پومیس و پرلیت انبساط یافته باعث افزایش تخلخل در مخلوطها میشود.
واژههاي کليدي: حل عددی، ضریب انتقال حرارت، روش اجزا محدود
1- مقدمه
جرم واحد حجم(چگالی )، مقاومت فشاری و خواص عایق حرارتی بتن با یکدیگر در ارتباط هستند. بهطورکلی، با افزایش جرم واحد حجم بتن، مقاومت فشاری آن نیز افزایش مییابد. با این وجود، خواص عایق حرارتی بتن به دلیل افزایش جرم واحد حجم کاهش مییابد]1-2[. امروزه بتن سبک در بسیاری از پروژههای مهندسی جهت رفع مشکلات بتن معمولی از جمله چگالی بالا و خواص عایق حرارتی پایین مورد استفاده قرار میگیرد. خواص عایق حرارتی بتن سبک در مقایسه با بتن معمولی بهتر میباشد. ضریب انتقال حرارت بتنهای حاوی بتن سبک در حدود 50 درصد کمتر از بتن معمولی میباشد]3[. در حال حاضر، بتن سبک را میتوان با روش ساخت و مصالح گوناگونی تولید کرد. رایجترین روش تولید بتن سبک استفاده از سنگدانه سبک میباشد. سنگدانه سبک مصالح مهمی میباشد که از آن، جهت کاهش چگالی بتن سازهای و غیر سازهای استفاده میشود. سنگدانه سبک به صورت کلی برای کاهش چگالی بتن استفاده میشود و معمولاً جایگزین سنگدانه طبیعی میشود. از دیگر روشهای بررسی بتنهای سبک استفاده از شبیهسازی عددی است. منظور از شبیهسازی عددی تحلیل خواص بتن سبک به کمک معادلات حاکم بر آن میباشد. از جمله مزایای استفاده از روشهای عددی صرفهجویی در وقت و هزینه در مقایسه با روش آزمایشگاهی میباشد.
سنگدانههای سبک میتواند از منابع طبیعی بدست آیند و یا به صورت مصنوعی ساخته شوند. اصلیترین منابع طبیعی سنگدانه سبک، سنگدانههای آتشفشانی هستند. سنگدانههای مصنوعی و ساخت بشر مانند پرلیت، ورمکولیت و رس انبساط یافته از طریق یک فرایند حرارتی در کارخانهها بدست میآیند. سنگدانههای سبک میتوانند به عنوان سنگدانه برای تولید بتن در محدوده وسیعی از چگالی و مقاومت ساخته شوند و کاربردهای گوناگونی داشته باشند. بتنهای سبک با مقاومت فشاری بین 0.69 تا 89/6 مگا پاسکال به عنوان بتن عایق به کار میرود. بتنهای با مقاومت بین 89/6 تا 24/17 به عنوان بتن پرکننده و بتن سبک با مقاومت بالاتر از 24/17 به عنوان بتن سبک سازهای به کار میرود]4[. اولین فایده استفاده از سنگدانه سبک کاهش بار مرده است. سنگدانههای سبک به صورت کلی دارای ساختار متخلخل هستند که این ساختار متخلخل باعث میشود که این سنگدانهها دارای مشخصات حرارتی، آکوستیکی و مقاوم در برابر آتش مناسب باشند.]5-6 [. چگالی بتنهای حاوی سنگدانه سبک در مقایسه با بتن معمولی که حدود 2400 کیلوگرم بر متر مکعب است معمولا زیر 2000 کیلوگرم بر متر مکعب است. با وجود این مزایای ذکر شده بتنهای سبک دارای مشکلاتی نیز میباشند. برای مثال برای یک طرح مخلوط حاوی سنگدانه سبک، معمولا مقاومت فشاری مخلوط پایین میباشد که علت آن مقاومت پایین و ساختار متخلخل سنگدانه سبک میباشد]7[. بعلاوه برای رسیدن به یک مقاومت فشاری مشخص، بتن سبک معمولا به حجم خمیر بیشتری احتیاج دارد ]8[ که منجر به افزایش مقدار سیمان مصرفی در مقایسه با بتن معمولی میشود. مصرف بیشتر سیمان باعث افزایش هزینه بتن و همچنین افزایش مقدار حرارت هیدراتاسیون در بتن میشود. همچنین گزارش شده است که استفاده از سنگدانه سبک باعث کاهش مشخصات دوام مانند نفوذپذیری؛ جذب حجمی و مقاومت کربناسیون میشود]9-10[.
هارمتی و همکارانش گزارش دادند که بتن سبک به دلیل چگالی پایین و مشخصات خاص سنگدانههای آن عایق کارآمدی میباشد]11[. ژائو و همکارانش به بررسی خواص حرارتی بتنهای حاوی سنگدانه بازیافتی بتنی پرداختند و گزارش دادند که با افزایش درصد جایگزینی سنگدانه بازیافتی ضریب انتقال حرارت کاهش مییابد]12[. کیم و همکارانش گزارش ضریب انتقال حرارت بتنهای مرطوب 7/1 برابر بزرگتر از بتن خشک است ]13[. محققین مختلفی گزارش دادند که سنگدانه سبک مورد استفاده در بتن معمولا پومیس، رس کلیسنه است]14-19[. چگالی بتن سبک سخت شده معمولا بین 1500 تا 1800 کیلوگرم است]20[. سنگال و همکارانش گزارش دادند که استفاده از پومیس انبساط یافته در بتن باعث کاهش چشمگیر ضریب انتقال حرارت بتن میشود]21[. کان و همکاران به بررسی استفاده از دانههای پلی اتیلن به عنوان سنگدانه سبک در بتن پرداختند. آنها گزارش دادند که استفاده از سنگدانه پلی اتیلن باعث کاهش مقدار ضریب انتقال حرارت تا 6/0وات بر متر کلوین میشود]22[.
2- مواد و مصالح مورد استفاده
2-1- سیمان مصرفی
در این تحقیق از سیمان تیپ 2 تولید شده در کارخانه سیمان فیروزآباد فارس برای ساخت مخلوطهای آزمایشی استفاده شده است. جدول آنالیز شیمیایی سیمان مصرفی در جدول 1 نشان داده شده است.
جدول 1. آنالیز شیمیایی سیمان مصرفی
مشخصات شیمیایی الزامی | (MgO)% | (SiO2)% | (Al2O3)% | (Fe2O3)% | (C3A)% | (SO3)% | (L.O.I)% | (I.R)% |
(CAO)% |
مشخصه سیمان فیروزآباد | 4/1 | 2/21 | 6/4 | 8/3 | 6 | 54/2 | 1 | 5/0 | 62 |
2-2- سنگدانه
سنگدانههای استفاده شده در این مطالعه شامل ماسه سیلیسی رودخانهای با حداکثر بعد 75/4 میلیمتر و جذب آب 42/2 درصد و چگالی اشباع با سطح خشک kg/m32560، مشخصات سنگدانه پرلیت و پومیس در جدول 2 آورده شده است.
جدول 2 . مشخصات فیزیکی سنگدانه های مصرفی
حداکثر بعد سنگدانه (mm) | جذب آب (%) | چگالی SSD (Kg/m3) | وزن مخصوص خشک (Kg/m3) | نوع سنگدانه |
75/4 | 24/2 | 2560 | 2490 | ماسه |
75/4 | 80 | 480 | 420 | پرلیت |
75/4 | 27 | 1150 | 1070 | پومیس |
شکل1. سنگدانه مورد استفاده (الف)ماسه شسته (ب) پرلیت(ج) پومیس
با توجه به اینکه ماسههای موجود در ایران مقدار فیلر کمی دارند و نمیتوانند در محدوده منحنیهای دانهبندی مذکور قرار گیرند، از پودر سنگ آهک به عنوان فیلر استفاده شد. دانه بندی پودر سنگ آهک، سیمان با استفاده از دستگاه طیف سنج لیزری محاسبه شده است و در شکل 2 آورده شده است.
شکل 2. دانهبندی پودر سیمان
3- طرحهاي اختلاط، نحوه ساخت
برای اختلاط بتن سبک حاوی سنگدانه سبک در این مطالعه از یک میکسر درام استفاده شد. نحوه اختلاط شامل دو دقیقه اختلاط خشک مصالح، افزودن آب به مخلوط در حال اختلاط در یک بازه زمانی 30 ثانیه و ادامه اختلاط به مدت 3 دقیقه بوده است. نحوه اختلاط مصالح خشک نیز بدینصورت بوده است که در ابتدا شن، ماسه و سنگدانههای پرلیت و پومیس درون میکسر ریخته و سپس سیمان به آنها اضافه شده است. سپس، آب به همراه فوق روانکننده در آب درون مخلوطکن ریخته میشد. بلافاصله پس از اتمام اختلاط، بتن تازه در یک لایه در درون قالبهای مکعبی و در دو لایه در درون قالبهای استوانهای ریخته شده و به مدت دو تا سه دقیقه بر روی میز ویبره قرارگرفته و متراکم شدهاند. پس از آمادهسازی، نمونهها با پوشش مرطوب به مدت 18 ساعت پوشیده شدهاند تا از تبخیر سطحی آنها جلوگیری شود، سپس در حوضچه بتن حاوی آبآهک اشباعشده قرارگرفته تا زمان انجام آزمایشها نگهداری شدهاند.
جدول3. طرح اختلاطهای مخلوطهای حاوی سنگدانه پومیس
ریزدانه (Kg/) | پومیس (Kg/) | درشت دانه (Kg/) | پودرآهک (Kg/) | سیمان (Kg/) | w/c | شماره طرح |
730 | 0 | 1118 | 57 | 350 | 48/. | control |
512 | 2/107 | 1045 | 57 | 350 | 48/. | PC-10 |
343 | 214.5 | 1045 | 57 | 350 | 48/. | PC-20 |
173.3 | 2/310 | 1050 | 57 | 350 | 48/. | PC-30 |
0 | 396 | 1050 | 57 | 350 | 48/. | PC-40 |
0 | 468 | 1050 | 57 | 350 | 48/. | PC-50 |
ریزدانه (Kg/) | پرلیت (Kg/) | درشت دانه (Kg/) | پودرآهک (Kg/) | سیمان (Kg/) | w/c | شماره طرح |
730 | 0 | 1118 | 57 | 350 | 48/. | control |
512 | 24 | 1045 | 57 | 350 | 48/. | EPC-10 |
343 | 48 | 1045 | 57 | 350 | 48/. | EPC-20 |
3/173 | 74.4 | 1050 | 57 | 350 | 48/. | EPC-30 |
0 | 6/101 | 1050 | 57 | 350 | 48/. | EPC-40 |
0 | 1/129 | 1050 | 57 | 350 | 48/. | EPC-50 |
(1) |
|
= جذب آب (%)
A- وزن نمونه خشک شده درآون برحسب گرم
B- وزن نمونه غوطهور شده درآب با سطح خشک برحسب گرم
برای آزمایش چگالی بتن سخت شده و حجم حفرات بعد از یادداشت نمودن وزن اشباع نمونه، نمونه را درون توری و در آب قرار داده و وزن آن را به عنوان وزن ظاهری قرائت میکنیم. سپس از طریق روابط زیر به محاسبه چگالی و حجم حفرات بتن سخت شده میپردازیم.
(2) |
| |||
(3) |
| |||
(4) | حجم حفرات(%) | |||
|
|
C-وزن نمونهی غوطهور و جوشیده با سطح خشک برحسب گرم
D-وزن ظاهری نمونه پس از غوطهوری وجوشیدن برحسب گرم
g1-چگالی خشک برحسب تن برمترمکعب(T/m 3)
g2-چگالی ظاهری برحسب تن برمترمکعب(T/m 3)
ρ-چگالی آب برحسب تن برمترمکعب(T/m 3)
4-3آزمایش انتشار تسریع شده یون کلراید(RCMT)
این آزمایش بر اساس استاندارد ]25[ NT-BUILD492 با هدف تعیین ضریب انتشار یونهای کلرید و بررسی عملکرد ذرات پارافین بر دوام ملاتهای ساخته شده، انجام گرفت. در این آزمایش پس از اجرای مراحل و شرایط آزمایش مطابق با استاندارد مذکور، عمق نفوذ یونهای کلرید به درون ملات، با پاشش محلول 1/0 مولار نقره نیترات و اندازه گیری به وسیله کولیس انجام شد. پس از اندازهگیری عمق نفوذ کرده مقادیر به دست آمده جهت محاسبه ضریب انتشار یون های کلرید در رابطه 5 قرار داده شد.
(5)
|
|
ضریب انتشار یون کلراید
-Uمقدار ولتاژ اعمالی
T- میانگین دمای اولیه و ثانویه در محلول آب نمک
-Lضخامت نمونه بر حسب میلی متر
-میانگین مقادیر عمق نفوذ
t- مدت زمان آزمایش، بر حسب ساعت
شکل 3. نمایی از آزمایش انتشار تسریع شده یون کلراید
شکل 4. پاشش نیترات نقره و تغییر رنگ ناحیه نفوذ کرده
3-6-5- میکروسکوپ الکترونی روبشی(SEM2)
به منظور بررسی بهتر عملکرد ذرات پارافین و مشاهده اثر آن بر ریزساختار ملاتها، از عکس میکروسکوپ الکترونی استفاده شد.
4-4- آزمایش ضریب انتقال حرارت
برای محاسبه ضریب انتقال حرارت بتن از روش شار حرارتی پایدار استفاده شد. نحوه کار بدینصورت است که نمونهها بین دو صفحه که به آنها صفحه گرم و صفحه سرد گفته میشود قرار گرفت. از طریق صفحه گرم شار حرارتی به نمونه داده میشود و در بقیه جهات نمونه ایزوله و عایق میشود و در بالای نمونه صفحه سرد قرار داده میشود و شار حرارتی از درون نمونه از صفحه گرم به سمت صفحه سرد صورت میگردد. زمانی که دمای سطح پایین و بالای نمونه ثابت شد مشخص میشود که شار حرارتی به حالت پایدار رسیده است و سپس مطابق با رابطه6 ضریب انتقال حرارت محاسبه میشود.
(6) |
|
K-ضریب انتقال حرارت برحسب W/(Mk)
Q-توان ورودی دستگاه برحسب وات(W)
t-ضخامت نمونه برحسب متر
A-سطح مقطع نمونه برحسب مترمربع
-اختلاف دمای بالا و پایین نمونه برحسب کلوین
شکل 5. دستگاه ضریب انتقال حرارت
5- شبیهسازی عددی
در این مطالعه از نرمافزار انسیس برای شبیهسازی عددی برای محاسبه ضریب انتقال حرارت نمونههای حاوی ذرات پارافین استفاده شد. ضریب انتقال حرارت خاصیتی از مواد است که نشاندهندهی توانایی مواد در انتقال حرارت میباشد. ضریب انتقال حرارت مهمترین مشخصهی حرارتی است که بر جریان انتقال حرارت در بتن تأثیر میگذارد. مقدار عبور جریان گرما از یک سطح را میتوان با معادله فوریه به دست آورد.
(7) |
و هنگامیکه جریان فقط در یکجهت باشد میتوان بالا را بهصورت زیر ساده کرد.
| (8) |
شکل6. نمای شماتیک از انتقال حرارت یکبعدی از طریق انتقال
معادله حاکم
در این قسمت در ابتدا معادلات مشتق جزیی حاکم بر مساله انتقال حرارت ارائه خواهد شد و در اد امه به روش اجزا محدود پاسخ معادلات بدست خواهد آمد.
المان سه بعدی با حجم محدود مطابق با شکل 7 که تحت توزیع دمای قرار دارد را در نظر می گیریم .معادلات تعادل انرژی برای این المان به صورت زیر نوشته می شود.
در راستای x :
| (9) |
در راستای Y :
|
| (10) |
در راستای z :
| (11) |
شکل 7. المان سه بعدی تحت توزیع دما
مجموع معادلات بالا میزان انرژی ورودی به المان را نشان می دهد که در غیاب منبع حرارتی و چاه حرارتی این انرژی می بایست با نرخ ذخیره انرژی در المان برابر باشد.مظابق با معادله 12
| (12)
|
که در آن
ظرفیت گرمایی ویژه، چگالی و صریب انتقال حرارت است.
معادله .... معادله مشتق جزیی حاکم بر مساله انتقال حرارت دو بعدی را نشان می دهد که برای حل آن به طور کلی سه شرایط مرزی می باشد.
1. شرط مرزی دیریشله:
در این حالت دما روی مرز مقداری محدود و معلوم است.
| (13) |
2. شرط مرز نیومن:
در این حالت در مرز شار حرارتی محدود و معلومی وجود دارد
| (14) |
3. شرط مرزی کوشی:
در این حالت در مرز بر هم کنش بین المان و محیط اطراف وجود دارد
| (15) |
دمای محیط اطراف است.
مدل اجزای محدود
معادله حاکم بر مساله یک بعدی را به فرم کلی زیر در نظر می گیریم.
| (16) |
با شرایط مرزی زیر
| (17) |
مطابق با روش اجزای محدود برای حل معادله 16 می بایست ابتدا فرم ضعیف شده آن را بدست آورد . استفاده از روش های فرم ضعیف شده معادلات رویکردی است که در حل معادلات مختلف ریاضی مورد استفاده قرار می گیرد]26-28[.
بدین منظور طرفین معادله را در یک تابع تست مطابق با معادله 18 ضرب می کنیم.
| (18) |
در ادامه با اعمال روش انتگرال گیری جز به جز بر سمت چپ معادله 18 را می توان به فرم زیر بازنویسی کرد.
| (19) |
همان طور که از فرم ضعیف شده ی معادله مشخص است تابع تست می بایست تا مرتبه پیوسته باشد. در ادامه مطابق با معادله 20 پاسخ مساله را به صورت مجموع حاصل ضرب مقادیر گره ای در مقدار توابع شکل گسسته سازی می کنیم .
(20) |
|
که در آن n تعداد گره ، T مقادیر گره ای و توابع شکل هستند.برای بازنویسی فرم ماتریسی مساله لازم است تا فرم گسسته در معادله 20 را در معادله 19 جایگذاری کنیم .
(21) |
|
با حل معادله 21 بر هر المان می توان فرم ماتریسی مساله را به فرم زیر نوشت.
(22) |
|
که در آن A ماتریس سختی ، b بردار نیروها ، t بردار مقادیر مجهول گره ای است.
(23) |
|
[1] . *. عهدهدار مکاتبات: nishteman@gmail.com Email:
[2] Scanning Electron Microscopy
Related articles
-
-
Computational Method for Fractional-Order Stochastic Delay Differential Equations
Print Date : 2020-10-22 -
The use of concept mapping and Vee diagram to calculate the volume by the integral
Print Date : 2020-10-22 -
Topological structure on generalized approximation space related to n-arry relation
Print Date : 2020-10-22 -
The rights to this website are owned by the Raimag Press Management System.
Copyright © 2021-2025