Seperation Axioms in the Structural Topology

Subject Areas : Statistics

Mohammad Zaher Kazemi Baneh ^{1 *} , Seyed Naser Hosseini ²

1 - Department of Mathematics, Faculty of Sciences, University of Kurdistan, Sanandaj, Iran.
2 - Department of Pure Mathematics, Faculty of Mathematics and Computer,Shahid Bahonar Univercity of Kerman, Kerman, Iran

Received: 2023-10-25 Accepted : 2024-10-02 Published : 2025-07-29

Keywords: closed subobject, open subobject, seperation axioms, structural topology, topological structure.,

Abstract :

The notion of structural topology is introduced in [3]. There it is shown that standard topology as well as several fuzzy topologies fall within this framework. The category STop of structural topological spaces is defined in [5], where it is shown that under certain conditions, the category has equalizers, terminal objects, binary products and (finite) limits. Here we define singleton subject, open and closed subobjects. So we introduce separation axioms as T0, T1 and Hausdorffness, relative to a given singleton function, for an object in Stop. We investigate some equivalents of Hausdorffness and we prove under certain conditions the T0 property is equivalent to closedness of singletons and every singleton is the meet of a class of open subobjects. At the end we give several examples as standard topological spaces category, fuzzy topological spaces category, small complete lattice in which binary meet distributes over arbitrary join as a complete category and we investigate separation axioms on the objects of those categories.

References:

[1]. J. Adamek, H. Herrlich, G.E. Strecker, Abstract and Concrete Categories, Wiley, New York, 2004.

[2].G. Gratzer, General Lattice Theory, Academic Press Inc., 1978.

[3].S. N. Hosseini, R. Amimi, Structural Topology in a Category, Iranian Journal of Fuzzy Systems, Volume 18, Number 6, (2021), pp. 45-54.

[4].P. T. Johnstone, Topos Theory, Academic Press, London, New York, San Francisco, 1977.

[5].S. N. Hosseini, M.Z. Kazemi Baneh, Limits in the Category of Structural Topological Spaces, U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 86, Iss. 2, 2024, pp 55-70.

[6].S. MacLane, I. Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic, A First Introduction to Topos Theory, Springer-Verlag, New York, 1992.

[7].S. Vickers, Topology via Logic, Cambridge University Press, 1989.

Full-Text:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال یازدهم، شماره پنجاه و پنجم، مرداد و شهریور  1404

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

        

اﺻﻮل ﺟﺪاﺳﺎزی در ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﺳﺎﺧﺘﺎری

 

 

محمدظاهر کاظمی بانه 1¹، سیدناصر حسینی 2 

 

 

(1) گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه کردستان، سنندج، ایران.

(2) گروه ریاضی محض، دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر، دانشگاه شهید باهنر، کرمان، ایران.

 

 

 

تاریخ ارسال مقاله: 03/08/1402 تاریخ پذیرش مقاله: 11/07/1403

چکيده

در ﻣﻘﺎﻟﻪ [5]، ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی و ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﺳﺎﺧﺘﺎری ﺑﻪ ﺻﻮرت ﯾﮏ ﭼﻬﺎرﺗﺎﯾﯽ از ﺗﺒﺪﻻت ﻃﺒﯿﻌﯽ و ﯾﮏ زوج از ﺗﺎﺑﮕﻮنﻫﺎ، ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪه اﺳﺖ و ﺑﻌﻀﯽ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﮐﺎﺗﮕﻮرﯾﮑﯽ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﯽ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ. در اﯾﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺑﺎز و ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻮدن در ﯾﮏ ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﺳﺎﺧﺘﺎری روی ﯾﮏ شی‌ء، اﺻﻮل ﺟﺪاﺳﺎزی ، ،  تعریف و ﺑﻌﻀﯽ ﻧﺘﺎﯾﺞ و معادل­های آن­ها در رﺳﺘﻪ ﻓﻀﺎﻫﺎی ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژﯾﮏ اﺳﺘﺎﻧﺪارد و ﯾﮏ ﻓﻀﺎی ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ و ﺑﺮرﺳﯽ ﻗﺮار ﻣﯽﮔﯿﺮد.

 

 

 

 

 

 

 

واژه‌هاي کليدي: اﺻﻮل ﺟﺪاﺳﺎزی، ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﺳﺎﺧﺘﺎری، ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی، شی‌ء ﺑﺎز، شی‌ء ﺑﺴﺘﻪ

1- مقدمه

در ﻣﻘﺎﻟﻪ [3] ﻣﻔﻬﻮم ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﺳﺎﺧﺘﺎری و در ﻣﻘﺎﻟﻪ [5] رﺳﺘﻪ ﻓﻀﺎﻫﺎی ﺗﻮﭘﻮﻟﻮزﯾﮑﯽ ﺳﺎﺧﺘﺎری STop ﺗﻌﺮﯾﻒ و ﺑﻌﻀﯽ وﯾﮋﮔﯽﻫﺎی ﮐﺎﺗﮕﻮرﯾﮑﯽ ﻫﻤﭽﻮن ﺑﺮاﺑﺮﺳﺎز، ﺿﺮب دوﺗﺎﯾﯽ و ﺣﺪ ﻣﺘﻨﺎﻫﯽ در اﯾﻦ رﺳﺘﻪ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ و ﺑﺮرﺳﯽ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ. در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﭘﺎﯾﻪای ﻣﺒﺤﺚ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﺑﯿﺎن و ﭼﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﺑﺮای ﺗﻔﻬﯿﻢ ﺑﻬﺘﺮ ﺑﻪ ﻓﺮاﺧﻮر ﻣﺒﺤﺚ ﻣﻘﺎﻟﻪ آورده ﺷﺪه اﺳﺖ. در ﺑﺨﺶ ﺑﻌﺪ اﺑﺘﺪا ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﺑﺎز و ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻮدن در ﯾﮏ ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﺳﺎﺧﺘﺎری روی ﯾﮏ شیء ﻣﺎﻧﻨﺪ X ﺑﺎ ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﺳﺎﺧﺘﺎری  را ﺗﻌﺮﯾﻒ، ﺳﭙﺲ اﺻﻮل ﺟﺪاﺳﺎزی اوﻟﯿﻪ را ﺑﯿﺎن و ﺑﻌﻀﯽ ﻧﺘﺎﯾﺞ و ﻣﻌﺎدل­های آﻧﻬﺎ را ﺛﺎﺑﺖ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ. ﺑﺮای درک ﺑﯿﺸﺘﺮ ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ و ﻣﺒﺎﺣﺚ رﺳﺘﻪای ﺑﻪ ﻣﻨﺎﺑﻊ [1، 6[ ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﺷﻮد.

 

ﺗﻌﺮﯾﻒ 1-1: ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ Ɛ و  دو رﺳﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ.

 

(i زوج تابعگون­های ، را یک پایه روی زوج  می­نامیم، به ­طوری­که  به ­طور متناهی کامل است.

 

(ii یک ساختار توپولوژیکی وابسته به پایه  و یا  ساختار توپولوژی یک چهارتایی  از تبدیلات طبیعی می­باشد که در آن:

 

در دیاگرام فوق  تابعگون مربع و 1 یک شیء نهایی است.

 

(iii یک توپولوژی ساختاری روی شیء X از رسته‌  وابسته به S و یا به طور اختصار  توپولوژی ساختاری روی X یک –  مانومورفیسم  است که در آن:

  

 

همچنین دیاگرام­های زیر جابجایی هستند:

 

 

 

 

 

 

 

              

 

 

در این حالت  را یک فضای توپولوژی ساختاری می­نامیم. بعضی مواقع به جای  از زوج  استفاده می­کنیم. ببینید [3، 5].

 

تعریف 1-2: فضاهای  توپولوژی  و  مفروضد.  مورفیسم  را پیوسته‌ ساختاری یا –S پیوسته می‌نامیم هرگاه –  مورفیسم  چنان موجود باشد که دیاگرام زیر جابجایی گردد.

 

 

 

در این حالت مورفیسم f را به صورت  می‌نویسیم. ببینید [3]

 

مثال 1-3: در توپولوژی استاندارد تابعگون­های  به ترتیب  تابعگون ناوردا و  تابعگون هموردای مجموعه‌ توانی هستند. چهارتایی تبدیلات طبیعی  روی مجموعه‌ X  به ترتیب (تهی، X، اشتراک و اجتماع):

 می‌باشد.  زیرمجموعه‌ای از مجموعه‌ توانی  و  نگاشت شمول است. ببینید [3].

 

مثال 1-4: در توپولوژی فازی نوع اول تابعگون­های  به صورت  و تابعگون P همان تابعگون همورداری مجموعه‌ توانی است. به ازای هر .

اگر  را تابع ثابت  در نظر بگیریم، آنگاه چهارتایی تبدیلات طبیعی به صورت زیر است.

  که در آن    رسند (meet) و  وست (join) هستند. تابع  نگاشت شمول است. ببینید [3].

 

مثال 1-5: در توپولوژی فازی نوع دوم تمام شرایط توپولوژی فازی نوع اول برقرار است با این اضافه که تمام نگاشت‌های ثابت در  موجود است. ببینید [3]

 

گزاره 1-6: رسته‌ فضاهای توپولوژی فازی نوع دوم یک زیررسته‌ کامل از رسته‌ فضاهای توپولوژی فازی نوع اول است.

 

مثال: 1-7: فرض کنید  یک رده‌ مرتب جزئی و به عنوان یک رسته، کامل و دارای خاصیت توزیع­پذیری رسند (meet) دوتایی نسبت به هر وست (join) دلخواهی باشد. تابعگون­های

  به صورت  و    و P تابعگون هموردای مجموعه‌ توانی باشند. همچنین   با ضابطه‌  با ضابطه‌  ،  و همچنین  با ضابطه  چهار تبدیل طبیعی ما می باشند. در این صورت  یک توپلوژی ساختاری است، هرگاه  نسبت به رسند دوتایی و وست دلخواه بسته باشد. ببینید [5]

 

مثال 1-8: اگر  مجموعه‌ توانی مجموعه‌ X باشد، آنگاه  حالت خاص و ظریفی از مثال فوق است. ببینید [5]

 

2- اصول جداسازی

در این فصل ابتدا مفاهیم باز و بسته بودن، سپس اصول جداسازی در ساختار توپولوژی را تعریف می‌کنیم. در نهایت با وجود شرایط مورد نیاز، بعضی از معادل­ها و نتایج همانند در توپولوژی استاندارد را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

فرض کنید  یک ساختار توپولوژی روی پایه  باشد. با در نظر گرفتن تابعگون ثابت با مقدار شیء نهای در رسته  فرض کنید  ترکیب تابعگون­های باشد.

 

 

 

از آنجا که تابعگون­های  و  ایزومورف طبیعی هستند، لذا به سادگی می­توان از تبدیل طبیعی  تبدیل طبیعی ، را به دست آورد که در آن به ازای هر ،  و ما آن را به صورت  نمایش می­دهیم.

 

تعریف 2-1: ساختار توپولوژی وابسته به پایه  زیرشیءهای و  از مفروضند. گوییم: a کمتر ازb  یا b شامل a است و می­نویسیم   هر گاه  با فرض آنکه  به ازای هر X دارای ویژگی‌های خودتوانی، جابجایی و شرکت‌پذیری باشد، آنگاه   یک  نیم مشبکه است.  با این فرض:

 

لم 2-2: فرض کنید  در این صورت:

 

(i  بزرگترین کران پایین  است.

 

(ii رابطه  روی  یک رابطه ترتیب جزئی است.

 

(iii اگر  آنگاه .

 

اثبات: اثبات مستقیم است.

 

تعریف 2-3: فرض کنید  یک  – ساختار،  یک توپولوژی ساختاری روی X و  و  دو زیرشیء از  باشند.

 

(i a و b را جدا از هم گوییم هرگاه .

 

(ii a را در X نسبت به توپولوژی  باز گوییم هرگاه روی  تجزیه شود، بدین معنی که مورفیسم   چنان موجود باشد که:  .

 

با فرض وجود تابع یک به یک ، با این ضابطه که هر  را به زیرشیء نمادین  می­نگارد و آن را تابع تک عضوی می­نامیم، می­توان اصول جداسازی  را به صورت زیر تعریف کرد.

 

تعریف 2-4: فرض کنید  یک  ساختار،   یک توپولوژی ساختاری روی X باشد. گوییم: فضای توپولوژی ساختاری  نسبت به تابع تک عضوی،

(i  است هر گاه به ازای هر دو زیرشیء متمایز  یک زیرشیء باز  چنان موجود باشد که  و .

(ii   است هرگاه به ازای هر دو زیرشیء متمایز  دو زیرشیء باز  چنان یافت شود که:

 

(iii  یا هاوسدورف است هرگاه به ازای هر دو زیرشیء متمایز  دو زیرشیء باز جدا از هم  چنان موجود باشد که  ،  ،

 

گزاره 2-5: هر فضای ، یک فضای  و هر فضای ، یک فضای  است.

فرض کنید  نیم مشبکه  یک جبر بوولی باشد، بدین صورت که به ازای هر دو زیرشیء   و  وست  (که لزوما تبدیل طبیعی وست در ساختار توپولوژی نیست) به صورت  و به ازای هر زیرشیء  زیرشیء  چنان موجود باشد که . به وضوح  و  به ترتیب اعضای مینیمم و ماکزیمم می­باشد. با شرایط فوق می­توان مفهوم بسته بودن را تعریف کرد.

 

تعریف 2-6: زیرشیء  از جبر بوولی  را بسته می­نامیم هرگاه  یک زیرشیء باز باشد.

 

قضیه 2-7: فرض کنید  یک فضای توپولوژی ساختاری و  یک جبر بوولی باشد. در این صورت X هاوسدورف است اگر و تنها اگر به ازای هر دو شیء متمایز  دو زیرشیء باز  و  چنان بتوان یافت که  و .

 

اثبات: فرض کنید  یک فضای هاوسدورف باشد. لذا به ازای دو زیرشیء متمایز   زیر شیء­های باز جدا از هم  چنان موجودند که  و . بنابراین

  . لذا  . همچنین .

برعکس اگر به ازای هر دو زیرشیء متمایز  بتوان یک زیرشیء باز  و یک زیرشیء بسته  چنان یافت شود که  و  آنگاه  باز است و   پس  . همچنین   در نتیجه .

بنا به فرض انژکتیو بودن تابع  اگر دو زیرشیء   متمایز باشد آنگاه دو زیرشیء  نیز یکسان نخواهد بود. از این پس فرض می­کنیم اگر دو زیرشیء  متمایز باشند، آنگاه دو زیرشیء  جدا از هم باشند.

 

قضیه 2-8: در فضای توپولوژی ساختاری  اگر تک عضوی­ها بسته باشند، آنگاه X یک فضای  است.

 

اثبات: فرض کنید، دو زیرشیء   متمایز باشند. در این صورت دو زیرشیء  باز خواهند بود. بنا به تعریف  و . لذا

 

بنابراین . به همین منوال می­توان ثابت کرد که .

با فرض اینکه  یک جبر بوولی کامل، وست  و به ازای هر رده از زیرشیء­های باز مانند  وست  نیز باز باشد، داریم:

 

قضیه 2-9: اگر فضای توپولوژی ساختاری  یک فضای  باشد، آنگاه هر تک عضوی، بسته است.

اثبات: بنا به فرض  با ثابت نگه داشتن  به ازای هر  متمایز با y زیرشیء باز  چنان موجود است که: . بنابراین . تساوی  به تساوی  می‌انجامد، بنابر فرض وست هر رده از زیرشیء­های باز، باز است. لذا  باز و در نتیجه تک عضوی  بسته است.

با فرض اینکه   یک جبر بوولی کامل و به ازای هر زیر شیء   

داریم:

 

 

قضیه 2-10: فضای توپولوژی ساختاری  یک فضای  است، اگر به ازای هر x تک عضوی   اشتراک خانواده‌ای از زیرشیءهای باز شامل آن است.

 

اثبات: به ازای هر دو شیء متمایز  می­دانیم  . بنا به فرض دو مجموعه    از زیرشیءهای باز به ترتیب شامل  ،  موجودند که:   و ، لذا  . لذا  چنان موجود است که . در غیر این صورت اگر به ازای هر  و لذا  و این متناقض با فرض قضیه است. به طور مشابه  چنان موجود است که  بنابراین X یک فضای  است.

 

3- مثال­ها

در این بخش، اصول جداسازی، مثال­های بخش اول و چند مثال دیگر را بررسی می­کنیم.

مثال 3-1: یک فضای توپولوژی استاندارد  است، هرگاه به ترتیب یک فضای توپولوژی ساختاری  باشد. به ازای فضای توپولوژی استاندارد

 

همچنین  و  به ترتیب متناظر با اشتراک و اجتماع هستند. به وضوح  یک جبر بوولی کامل می­باشد.

در توپولوژی­های فارسی نوع اول و دوم به ازای مجموعه X،

 

ﺗﺎﺑﻊ ﺗﮏﻋﻀﻮی  را با  ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ در آن  ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺸﺨﺼﻪ روی ﺗﮏﻋﻀﻮی {x} اﺳﺖ. ﻻزم ﺑﻪ ذﮐﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺪاﻧﯿﻢ:

  و  است. از آنجا که  فشرده است، به وضوح  یک جبر بوولی کامل می­باشد. با این تعریف:

 

ﻣﺜﺎل 3-2: ﻓﻀﺎی ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﻓﺎزی ﻧﻮع اول ﯾﺎ دوم :

 

(i یک فضای  است هرگاه به ازای هر دو عضو متمایز  عضو  و (یا)  چنان موجود باشند که  و یا  همچنین  و یا .

 

(ii یک فضای ﻫﺎوﺳﺪورف اﺳﺖ ﻫﺮﮔﺎه ﺑﻪ ازای ﻫﺮدو ﻋﻀﻮ  اعضای  چنان موجود باشند که  و   و به ازای هر  دیگر  و .

 

مثال 3-3: برای مجموعه X یک حالت خاص از فضای توپولوژی فازی نوع اول  توپولوژی را همه توابع مشخصه در نظر می­گیریم. در این صورت هر تک عضوی باز است و لذا  یک فضای هاوسدورف به وضوح  و  می­باشد.

 

مثال 3-4: برای مجموعه X یک حالت خاص از فضای توپولوژی فازی نوع دوم 

ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی را ﺑﺎ ﭘﺎﯾﻪ ﻫﻤﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺛﺎﺑﺖ و ﻣﺸﺨﺼﻪ در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮﯾﻢ. در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﻫﺮ ﺗﮏﻋﻀﻮی، ﺑﺎز اﺳﺖ و ﻟﺬا  ﯾﮏ ﻓﻀﺎی ﻫﺎوﺳﺪورف و ﺑﻪ وﺿﻮح  و  ﻣﯽﺑﺎﺷﺪ. اﻣﺎ اﮔﺮ ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی ﺷﺎﻣﻞ ﻓﻘﻂ ﺗﻮاﺑﻊ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎﺷﺪ، در اﯾﻦ ﺻﻮرت  ﯾﮏ ﻓﻀﺎی ﻫﺎوﺳﺪورف ﻧﯿﺴﺖ.

 

ﻣﺜﺎل 3-5: ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ  ﯾﮏ ﻣﺸﺒﮑﻪ ﮐﺎﻣﻞ ﺗﻮزﯾﻊﭘﺬﯾﺮ رﺳﻨﺪ ﻣﺘﻨﺎﻫﯽ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻫﺮ رده‌ دﻟﺨﻮاه وﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ. در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﻪ ازای ﻫﺮ  و ﻫﺮ ﺗﻮﭘﻮﻟﻮژی  ﻓﻀﺎی  ﯾﮏ ﻓﻀﺎی ﻫﺎوﺳﺪورف اﺳﺖ. ﻣﯽداﻧﯿﻢ،  و   ﺑﻪ ازای ١ ≠ x ﺗﻬﯽ اﺳﺖ و ﺑﻪ ازای ١ = x ﻓﻘﻂ ﺷﺎﻣﻞ ﻫﻤﺎﻧﯽ ﻣﯽﺑﺎﺷﺪ. از آﻧﺠﺎ ﮐﻪ ﻫﯿﭻ ﻣﻮرﻓﯿﺴﻤﯽ از ١ ﺑﻪ x وﺟﻮد ﻧﺪارد، ﻟﺬا ﺑﻪ اﻧﺘﻔﺎی ﻣﻘﺪم، ﻗﻀﯿﻪ درﺳﺖ و ﻟﺬا  ﯾﮏ ﻓﻀﺎی ﻫﺎوﺳﺪورف اﺳﺖ.

 

ﻣﻼﺣﻈﻪ 3-6: ﺑﺎ وﺟﻮد ﺷﺮاﯾﻂ ﻓﻮق در ﺗﻌﺎرﯾﻒ و ﻣﻌﺎدل­های اﺻﻮل اوﻟﯿﻪ ﺑﻪ راﺣﺘﯽ ﻣﯽﺗﻮان اﺻﻮل ﺟﺪاﺳﺎزی ﻣﻨﻈﻢ و ﻧﺮﻣﺎل را ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﺮد، اﻣﺎ ﺑﺮای ﻧﺘﺎﯾﺞ ﺑﻌﺪ از آن ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪای از ﻣﻔﺮوﺿﺎت دﯾﮕﺮ ﻧﯿﺎز داﺷﺘﯿﻢ. ﻟﺬا ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺴﺌﻠﻪای ﺑﺎز ﺑﺮای ﺗﺤﻘﯿﻘﺎت آﯾﻨﺪه ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﯽ ﻗﺮار ﻣﯽ‌ﮔﯿﺮد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فهرست منابع

[1]. J. Adamek, H. Herrlich, G.E. Strecker, Abstract and Concrete Categories, Wiley, New York, 2004.

 

[2].G. Gratzer, General Lattice Theory, Academic Press Inc., 1978.

 

[3].S. N. Hosseini, R. Amimi, Structural Topology in a Category, Iranian Journal of Fuzzy Systems, Volume 18, Number 6, (2021), pp. 45-54.

 

[4].P. T. Johnstone, Topos Theory, Academic Press, London, New York, San Francisco, 1977.

 

[5].S. N. Hosseini, M.Z. Kazemi Baneh, Limits in the Category of Structural Topological Spaces, U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 86, Iss. 2, 2024, pp 55-70.

 

[6].S. MacLane, I. Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic, A First Introduction to Topos Theory, Springer-Verlag, New York, 1992.

 

[7].S. Vickers, Topology via Logic, Cambridge University Press, 1989.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

[1] * عهده دار مکاتبات:                                                                               Email: [e-mail]

---