Determining and Estimating the Weights of Best-Worst Method Criteria through Solving Linear Programming or Mixed Integer Linear Programming Models

Subject Areas : Statistics

Mehdi Abbasi ^{1 *} , Mohammad Reza Dehghani ²

1 - Department of Industrial Engineering, Shiraz Branch,, Islamic Azad University, Shiraz, Iran
2 - Expert in Quality Management and Improvement of Methods of Fars Power Generation Management Company, Shiraz, Iran

Received: 2021-10-10 Accepted : 2022-02-19 Published : 2024-11-30

Keywords: محدوده وزن شاخص‌ها, روش بهترین-بدترین (BWM), مدل برنامه‌ریزی خطی مختلط (MILPM), مدل برنامه‌ریزی خطی (LPM), تقریب تکه‌ای خطی (PLA),

Abstract :

The Best-Worst Method (BWM) is one of the latest methods for determining the weight of criteria in multiple attribute decision making problems. The optimal weights of criteria are determined through forming and solving of a Non-Linear Programming Model (NLPM). Being completely consistent, consistent, or inconsistent of the problem can be determined by calculating consistency ratio and comparing with its threshold. Considering the difficulties of solving NLPM through BWM, some attempts have been done to determine and estimate the criteria weights through forming and solving LPMs or Mixed-Integer LPMs (MILPMs). The presentation of the LPM and the SOS2 Piecewise Linear Approximation (PLA) were the main results of these attempts. The LPM is suitable for determining the weight criteria of completely consistent problems. In the PLA, the weights of criteria were estimated by solving some MILPMs. The necessity of many MILPMs solving and PLAs using to solve all problems is the main deficiencies of this method. In the suggested method of this paper, LPM is solved for weight determining of completely consistent problems criteria. Also, MILMs are solved for weight estimating of consistent problems criteria. For weight estimating of criteria, being criteria weights in the defined bounds are considered as another stop conditions, too. Also, the method doesn’t solve inconsistent problems. The results of applying the method to determine and estimate the criteria weights of the 384 sample tests show that results of proposed methods in 79% samples were improved and quality of results were as good as PLA in remained samples.

References:


[1] اصغرپور، محمدجواد. تصمیم‌گیری‌های چند معیاره، چاپ هفدهم، انتشارات دانشگاه تهران. (1398).

[2] Rezaei, J. (2015). Best-worst multi-criteria decision-making method. Omega, 53, 49-57.

[3] Mi, X., Tang, M., Liao, H., Shen, W., and Lev, B. (2019). The state-of-the-art survey on integrations and applications of the best worst method in decision making: Why, what, what for and what's next?, Omega, Vol. 87, pp. 205-225.

[4] Liang, F., Brunelli, M., and Rezaei, J. (2020). Consistency issues in the best worst method: Measurements and thresholds, Omega, Vol. 96, pp. 1-11.

[5] Rezaei, J. (2016). Best-worst multi-criteria decision-making method: Some properties and a linear model. Omega, 64, 126-130.

[6] Beemsterboer, D. J. C., Hendrix, E. M. T., & Claassen, G. D. H. (2018). On solving the best-worst method in multi-criteria decision-making. IFAC-PapersOnLine, 51(11), 1660-1665.

[7] دهقانی، محمدرضا. عباسی، مهدی. (1400). تخمین جواب مدل برنامه‌ریزی غیرخطی روش بهترین-بدترین با استفاده از حل مدل‌های برنامه‌ریزی خطی مختلط. پژوهش‌های نوین در ریاضی.

[8] Liao, H., Mi, X., Yu, Q., & Luo, L. (2019). Hospital performance evaluation by a hesitant fuzzy linguistic best worst method with inconsistency repairing. Journal of Cleaner Production, 232, 657-671.

[9] Chitsaz, N., & Azarnivand, A. (2017). Water scarcity management in arid regions based on an extended multiple criteria technique. Water Resources Management, 31(1), 233-250.

[10] Rezaei, J. (2020). A concentration ratio for nonlinear best worst method. International Journal of Information Technology & Decision Making, 19(03), 891-907.

[11] Duleba, S., Moslem, S., & Esztergár-Kiss, D. (2021). Estimating commuting modal split by using the Best-Worst Method. European Transport Research Review, 13(1), 1-12.

[12] Firouzabadi, S. K., Ghahremanloo, M., Keshavarz-Ghorabaee, M., & Saparauskas, J. (2019). A new group decision-making model based on bwm and its application to managerial problems. Transformations in Business & Economics, 18(2), 47.

[13] Beale, E. M. L., & Tomlin, J. A. (1970). Special facilities in a general mathematical programming system for non-convex problems using ordered sets of variables. OR, 69(447-454), 99.

[14] انصاری، محمدرضا. حسنی‌فرد، فاطمه. (1396). حل یک مسئله بهینه‌سازی غیرخطی، عدد صحیح و غیرمحدب با استفاده از روش‌های محدب‌سازی مبتنی بر مجموعه منظم خاص. فصلنامه سیستم‌های مختلط و غیرخطی, 1(1), 71-85.

[15] MirHassani, S. A., &Hooshmand, F. (2019). Methods and Models in Mathematical Programming. Springer International Publishing.

[16] Akbari-Dibavar, A.,Mohammadi-Ivatloo, B., & Zare, K. (2020). Optimal stochastic bilevel scheduling of pumped hydro storage systems in a pay-as-bid energy market environment. Journal of Energy Storage, 31, 101608.

[17] Huchette, J., & Vielma, J. P. (2019). A combinatorial approach for small and strong formulations of disjunctive constraints. Mathematics of Operations Research, 44(3), 793-820.

Full-Text:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال دهم، شماره پنجاه و يکم، آذر و دي 1403

شماره شاپا: X2588-588

 

 

 

 

تعیین یا تخمین وزن شاخص‌های روش بهترین–بدترین با حل مدل‌های برنامه‌ریزی خطی یا برنامه‌ریزی خطی مختلط

 

مهدی عباسی 1¹، محمدرضا دهقانی2

 

(1)   گروه مهندسی صنایع، واحد شیراز، دانشگاه آزاد اسلامی، شیراز، ایران

(2)   کارشناس مدیریت کیفیت و بهبود روش‌های شرکت مدیریت بهره‌برداری تولید برق فارس، شیراز، ايران

 

تاريخ ارسال مقاله: 18/07/1400    تاريخ پذيرش مقاله: 30/11/1400

چکيده

روش بهترین-بدترین یکی از روش‌های جدید تعیین وزن شاخص‌ها در مسائل تصمیم‌گیری چند شاخصه بوده که در آن وزن‌های بهینه شاخص‌ها طی تشکیل و حل یک مدل برنامه‌ریزی غیرخطی تعیین می‌شود. كاملاً سازگار، سازگار يا ناسازگار بودن مسأله می‌تواند با محاسبه نرخ سازگاری و مقایسه آن با آستانه قابل قبول نرخ سازگاری مشخص گردد. با توجه به مشکلات حل مدل برنامه‌ریزی غیرخطی روش بهترین-بدترین، تلاش‌هایی جهت تعیین و تخمین وزن شاخص‌ها طی تشکیل و حل مدل‌های برنامه‌ریزی خطی و یا برنامه‌ریزی خطی مختلط صورت پذیرفته است. ارائه مدل برنامه‌ریزی خطی و همچنین روش تقریب تکه‌ای خطی SOS2، از نتایج اصلی این تلاش‌ها می‌باشند. مدل برنامه‌ريزي خطی برای تعيين وزن شاخص‌های مسائل کاملاً سازگار مناسب است. در روش تقریب تکه‌ای خطی، تخمين وزن شاخص‌ها با حل تعدادي مدل برنامه‌ریزی خطی مختلط انجام می‌پذیرد. لزوم بکارگیری تقريب‌های تكه‌اي خطي و حل تعداد قابل توجه مدل‌های برنامه‌ریزی خطی مرتبط با تمامی مسائل از عيوب اصلي این روش مي‌باشد. روش پیشنهادی مقاله حاضر از حل مدل برنامه‌ریزی خطی برای تعیین وزن شاخص‌های مسائل کاملاً سازگار و از حل مدل‌های برنامه‌ریزی خطی مختلط براي تخمین وزن شاخص‌های مسائل سازگار استفاده مي‌كند. برای تخمین وزن شاخص‌ها، شرط توقف قرار گرفتن وزن‌ها در محدوده مشخص نیز بررسی می‌شود. برای مسائل ناسازگار نیز حل مسأله لازم نيست. نتايج حاصل از پیاده‌سازی روش پیشنهادی جهت تعيين و تخمین وزن شاخص‌های 384 مسأله نمونه نشان مي‌دهد كه در 79% مسائل، روش پيشنهادي عملكردي بهتر و در مابقي مسائل، عملكردي به خوبي روش تقریب تکه‌ای خطی داشته است.

 

 

واژه‌هاي کليدي: روش بهترین-بدترین (BWM)، محدوده وزن شاخص‌ها، تقریب تکه‌ای خطی (PLA)، مدل برنامه‌ریزی خطی (LPM)، مدل برنامه‌ریزی خطی مختلط (MILPM).

1- مقدمه

روش‌های تصمیم‌گیری چند شاخصه (MADM²) مختلفی از جمله روش محبوب فرآیند تحلیل سلسله مراتبی (AHP³) برای حل مسائل مربوطه وجود دارد [1]. روش بهترین-بدترین (BWM⁴) یکی از جدیدترین روش‌های حل مسائل MADM می‌باشد که رضایی (2015) آنرا به منظور تعيين وزن شاخص‌ها ارائه نمود. این روش نسبت به AHP به داده‌های مقایسه‌ای کمتر [2] و همچنين زمان کمتر برای انجام مقایسات زوجی [3] نياز دارد. در BWM وزن شاخص‌ها با تشکیل و حل یک مدل برنامه‌ریزی غیرخطی (NLPM⁵) حاصل می‌شود. نرخ سازگاري (CR⁶) NLPM شاخصي است كه به كمك آن مي‌توان در خصوص قابل اعتماد بودن وزن‌هاي حاصل از BWM قضاوت نمود [2]. به عبارت ديگر نتايج BWM در صورتي قابل اعتماد است كه CR مربوط به NLPM در محدوده قابل قبول باشد. در اين خصوص جداول آستانه قابل قبول نرخ سازگاری (CRT⁷) ارائه شده است [4]. بنابراین با مقایسه مقدار CR محاسبه شده با CRT‌ مي‌توان مسائل را در سه دسته «كاملاً سازگار»، «سازگار» و «ناسازگار» قرار داد.

با توجه به مشکلات حل مدل‌های NLPM، تلاش‌هایی جهت تعیین و تخمین وزن‌های BWM طی تشکیل و حل مدل‌های برنامه‌ریزی خطی (LPM⁸) و یا برنامه‌ریزی خطی مختلط (MILPM⁹) صورت پذیرفته است. در اين خصوص مي‌توان به استفاده از LPM برای تعیین وزن‌ها در حالت کاملاً سازگار ([5]) و ارائه MILPM تقريبي معادل با استفاده از تقریب تکه‌ای خطی¹⁰ مبتنی بر مجموعه‌های منظم خاص (SOS¹¹) نوع 2 (SOS2) ([6]) و استفاده از تقریب تکه‌ای خطی SOS2 برای تخمین وزن ‌شاخص‌ها با خطاي قابل قبول ([7]) اشاره نمود. هر کدام از روش‌هاي ارائه شده دارای مزايا و معايبي هستند که در ادامه به آنها پرداخته می‌شود. مزيت اصلي مدل ارائه شده در [5]، تعيين وزن‌هاي كاملاً درست با حل يك LPM بجاي حل يك NLPM براي مسائل کاملاً سازگار مي‌باشد. ایراد اصلی مدل مزبور را می‌توان عملكرد ضعيف مدل براي مسائل سازگار و ناسازگار ذكر نمود. در [6]، MILPM‌ معادل NLPM با استفاده از SOS2 ارائه شده است. مزيت اصلي اين مدل، تخمين وزن‌ها با حل يك MILPM‌ بجاي حل NLPM است. ايراد اصلي مدل را مي‌توان عدم امکان حصول جواب با خطای دلخواه ذکر نمود. الگوریتم تخمین جواب NLPM روش BWM با میزان خطای قابل قبول ([7]) روش یاد شده را بهبود داده است. روش مزبور (ارائه شده در [7]) از طریق مدل‌سازی و حل يك يا چند MILPM با استفاده از SOS2، جواب مدل غيرخطي را تخمین می‌زند. امكان استفاده براي مسائل كاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار و همچنین امكان حل مدل غیرخطی با خطای مورد نظر از مزاياي اصلي اين روش است. نياز به حل چندين MILPM در برخي شرايط و استفاده از تقريب خطي براي مسائل كاملاً سازگار و ناسازگار علاوه بر مسائل سازگار، از معايب اصلي اين روش می‌باشد. بنابراین با توجه به نتایج بررسی سه تحقیق یافت شده جهت تعیین و تخمین وزن‌های BWM مسائل کاملاً سازگار و سازگار به ترتیب مدل‌های LPM ([5]) و MILPM مبتنی بر SOS2 با خطاي قابل قبول ([7]) بهترین عملکرد را داشته است. همچنین با توجه به قابل اعتماد نبودن وزن شاخص‌ها در مسائل ناسازگار ([4]) نیاز به استفاده از مدل‌های مربوطه و حل این مسائل نمی‌باشد. ضمناً در روش‌های بررسی شده وضعیت سازگاری مسأله لحاظ نشده و از طرف دیگر هدف اصلی از حل BWM بدست آوردن وزن شاخص‌ها می‌باشد، ولی در روش‌های MILPM ارائه شده بیشتر تأکید بر مقدار تابع هدف مدل () بوده و به وزن شاخص‌ها کمتر اشاره‌ گردیده است.

بنابراین نوآوری اصلی تحقیق حاضر، ارائه روشی مناسب براي تعیین و تخمین وزن شاخص‌های BWM با استفاده از حل مدل‌های LPM و MILPM متناسب با وضعیت سازگاری مسأله می‌باشد. روش پیشنهادی علاوه بر افزایش دقت و اطمینان نتایج باعث کاهش حجم محاسبات می‌گردد. در اين راستا ابتدا مباني نظري و پيشينه تحقيق آورده و سپس روش پيشنهادي ارائه مي‌شود. در روش پیشنهادی با استفاده از CR و CRT، وضعیت سازگاری مسأله تعیین می‌گردد. سپس برای مسائل کاملاً سازگار، طي ارائه قضيه‌اي مبني بر معادل بودن مدل‌هاي LPM و NLPM براي مسائل كاملاً سازگار، وزن شاخص‌ها طی حل LPM تعيين مي‌شود. برای مسائل سازگار، به منظور كاهش تعداد مراحل حل MILPM، روش تقريب تكه‌اي خطي را با احتساب شرط توقف جدیدي علاوه بر شرط توقف قبلي بكار مي‌بندد. در اين خصوص، در محدوده قابل قبول بودن وزن کلیه شاخص‌ها به عنوان شرط توقف جدید به شرط توقف قبل اضافه مي‌شود. همچنین با توجه به قابل اعتماد نبودن وزن‌ها براي مسائل ناسازگار، عدم نياز به حل اينگونه مسائل توصيه می‌شود. در پايان 128 نمونه‌ی سه و پنج شاخصه توليد شد. در ادامه طي حل 384 مسأله (حل 128 نمونه با سه خطاي قابل قبول متفاوت)، عملكرد روش پیشنهادی با عملکرد الگوریتم تقریب تکه‌ای خطی ([7]) جهت تعيين و تخمین وزن شاخص‌های BWM مقایسه مي‌شود.

 

2- مبانی نظری و پیشینه تحقیق

1-2- روش بهترین - بدترین

رضایی (2015) روش BWM را برای حل مسائل MADM ارائه نمود. گام‌های روش BWM به صورت زیر می‌باشد:

گام 1: مجموعه شاخص‌های تصمیم‌گیری به صورت {C1, C2, ….,Cn} تعریف می‌شود.

گام 2: بهترین شاخص (B) و بدترین شاخص (W) مشخص می‌شود.

گام 3: ارجحیت بهترین شاخص نسبت به سایر شاخص‌‌ها با اعداد 1 تا 9 مشخص می‌شود. aBj مقدار ارجحیت بهترین شاخص نسبت به سایر شاخص‌ها (j) را نشان می‌دهد.

گام 4: ارجحیت همه شاخص‌ها نسبت به بدترین شاخص با اعداد 1 تا 9 مشخص می‌گردد. ajW مقدار ارجحیت شاخص (j) را نسبت به بدترین شاخص نشان می‌دهد.

گام 5: با تشکیل و حل مدل 1 (NLPM)، مقادیر بهینه وزن شاخص‌ها  محاسبه می‌گردد.

 

(1)

 

مقدار بهینه تابع هدف حاصل از حل مدل 1، ξ* می‌باشد. جهت اطمینان از نتایج BWM، شاخص CR ارائه شده است. با استفاده از مقادیر شاخص سازگاری CI)¹²) جدول 1 و مقدار بهینه تابع هدف حاصل از مدل 1، میزان CR طبق رابطه 2 محاسبه می‌گردد. CR عددی بین صفر تا یک می‌باشد. هر چه CR به صفر نزدیکتر باشد، سازگاری مسأله بیشتر و جواب‌ها قابل اطمینان‌تر می‌باشد و برعکس هر چه به یک نزدیکتر باشد، سازگاری و اطمینان از نتایج کمتر می‌باشد [2]. 

جدول (1): شاخص‌های سازگاری (CI) روش BWM [2]

aBW	1	2	3	4	5	6	7	8	9
CI (max ξ)	00/0	44/0	00/1	63/1	30/2	00/3	73/3	47/4	23/5

 

(2)

 

 

اطمينان از وزن‌هاي حاصل از حل مدل 1 منوط به قرار گرفتن CR در محدوده قابل قبول است. روش‌های مختلفی جهت تعیین و یا محاسبه آستانه قابل قبول ارائه شده است. به عنوان نمونه، آستانه قابل قبول در يك تحقيق 2/0 [8] و در تحقيقي دیگر، 5/0[9] در نظر گرفته شده است.

 لیانگ و همکاران (2020) روش‌های بررسی سازگاری و محاسبه CRT را ارائه نمودند. آنها بیان نمودند که سازگاری می‌تواند مبتنی بر ورودی (CRI¹³) و یا مبتنی بر خروجی (CRO¹⁴) اندازه‌گیری شود. CRO همان CR در مدل BWM اصلی می‌باشد. CRI بر اساس ارجحیت‌های مقایسات زوجی محاسبه می‌گردد؛ بنابراین پس از جمع‌آوری اطلاعات مربوط به مقایسات زوجی، به تعداد شاخص‌های هر مسأله، CRI را طبق رابطه 3 محاسبه و ماکزیمم CRI به عنوان CRI آن مسأله لحاظ می‌گردد. 

(3)

 

ارائه بازخورد فوری از مزاياي بكارگيري CRI می‌باشد. بدین معنی که برای محاسبه آن نیاز به حل مدل 1 نیست.

لیانگ و همکاران (2020)، جهت اطمینان از وزن‌هاي حاصل از حل مدل 1، مقادیر CRT را با توجه به تعداد شاخص‌ها و مقدار ارجحیت بهترین شاخص نسبت به بدترین شاخص (aBW) ارائه نمودند. در این خصوص مقادیر CRT مربوط به CRI و CRO مطابق جداول 2 و 3 ارائه شده است. به منظور بررسی قابل اطمینان بودن نتایج، ابتدا نرخ سازگاری مسأله BWM مورد نظر با توجه به روابط 2 و 3 محاسبه می‌شود. سپس مقدار محاسبه شده با مقدار CRT مستخرج از جداول 2 و 3 مقایسه می‌گردد. در صورتی که نرخ سازگاری کوچکتر از CRT باشد، نتایج قابل قبول است؛ در غیر اینصورت نیاز به ارزیابی مجدد مقایسات زوجی می‌باشد. لازم به ذکر است که ضریب همبستگی بالایی بین CRI و CRO وجود دارد [4].

جدول (2): آستانه قابل قبول ترکیبات مختلف اندازه‌گیری سازگاری مبتنی بر ورودی CRI [4]

9	8	7	6	5	4	3	شاخص‌ها مقیاس‌ها
1667/0	1667/0	1667/0	1667/0	1667/0	1667/0	1667/0	3
2683/0	2577/0	2527/0	2206/0	1898/0	1529/0	1121/0	4
2960/0	2844/0	2716/0	2546/0	2306/0	1994/0	1354/0	5
3262/0	3221/0	3144/0	3044/0	2643/0	1990/0	1330/0	6
3403/0	3251/0	3144/0	3029/0	2819/0	2457/0	1294/0	7
3657/0	3620/0	3408/0	3154/0	2958/0	2521/0	1309/0	8
3662/0	3620/0	3517/0	3337/0	3062/0	2681/0	1359/0	9

 

جدول (3): آستانه قابل قبول ترکیبات مختلف اندازه‌گیری سازگاری مبتنی بر خروجی CRO [4]

9	8	7	6	5	4	3	شاخص‌ها مقیاس‌ها
2087/0	2087/0	2087/0	2087/0	2087/0	2087/0	2087/0	3
3273/0	3154/0	3102/0	2928/0	2738/0	2352/0	1581/0	4
3741/0	3611/0	3479/0	3309/0	3019/0	2848/0	2111/0	5
4225/0	4168/0	4061/0	3924/0	3565/0	2922/0	2164/0	6
4298/0	4108/0	4035/0	3931/0	3734/0	3313/0	2090/0	7
4599/0	4543/0	4379/0	4230/0	4029/0	3409/0	2267/0	8
4747/0	4587/0	4445/0	4225/0	4055/0	3653/0	2122/0	9

 

2-2-محدوده وزن بهینه شاخص‌ها در روش بهترین - بدترین

اگر مسأله‌اي کاملاً سازگار نبوده () و بیش از سه شاخص داشته باشد، ممکن است برای مدل 1 جواب بهینه چندگانه وجود داشته باشد. در اين شرايط به جای یک وزن بهینه منحصر به فرد برای هر شاخص، وزن‌ها دارای فاصله بهینه‌اند [10]. به منظور تعیین حداقل و حداکثر وزن بهینه شاخص‌ها، ابتدا با حل مدل 1 مقدار ξ*  محاسبه مي‌شود؛ سپس دو مدل برنامه‌ریزی خطی 4 و 5 برای هر شاخص تهیه و حل مي‌شود. محدوده قابل قبول جهت وزن هر شاخص بصورت  مشخص می‌گردد [5 و 10].

(4)

 

(5)

 

 

3-2-مدل‌ برنامه‌ریزی ریاضی خطی روش بهترین - بدترین

رضایی (2016) مدل 6 را به عنوان LPM ارائه داد. این مدل اولین مدل خطی متناظر با NLPM روش BWM می‌باشد. همچنین بیان گردید که هر چه مقدار تابع هدف LPM () به صفر نزدیکتر باشد، سازگاری در نتایج بیشتر است [5]. 

(6)

 

 

جواب‌های مدل 6 تخمینی برای جواب‌های مدل 1 بوده؛ بنابراین ممکن است با جواب‌های مدل 1 متفاوت باشد. از اینرو نمی‌توان همواره به جواب‌های حاصل از LPM اطمینان نمود [6]. به عبارت دیگر با توجه به اینکه ممکن است مقدار تابع هدف LPM با NLPM متفاوت باشد امکان محاسبه CRO و در نتیجه اطمینان از نتایج وجود ندارد. 

مدل‌های خطی دیگری بر مبنای LPM ارائه شده است که در اینجا به 2 مورد اشاره می‌شود. دولبا و همکاران (2021) برای بدست آوردن نتایج قابل اطمینان از LPM در یک مطالعه موردی مسأله حمل و نقل، با استفاده از ترکیب مدل 6 با CRI و CRT اقدام نموده‌اند [11]. فیروزآبادی و همکاران (2019) با مبنا قرار دادن مدل 6 یک مدل تصمیم‌گیری جدید خطی گروهی BWM و کاربرد آن برای مشکلات مدیریتی ارائه نمودند [12].

 

4-2-تخمین جواب روش بهترین - بدترین با استفاده از حل مدل‌های برنامه‌ریزی خطی مختلط

بیل و توملین (1970) تقریب‌های SOS را برای جایگزینی توابع غیرخطی با تقریب‌های تکه‌ای خطی ارائه نمودند [13]. بسته به بُعد توابع غیرخطی روش‌های مختلفی در این زمینه وجود دارد [14]. SOS نوع 1 (SOS1) و SOS نوع 2 (SOS2) دو نوع متغیر تقریب SOS متداول مرتبط با مسائل برنامه‌ریزی ریاضی می‌باشند [15]. SOS1 مجموعه منظمی از اعداد است که حداکثر یک متغير می‌تواند غیرصفر باشد [16]. SOS2 مجموعه منظمی از اعداد است که حداکثر دو متغیر همسایه (یا پشت سر هم) می‌تواند غیرصفر باشد [17]. 

 

بیم استربوئر و همکاران (2018) یک MILPM برای تقریب NLPM روش BWM با استفاده از تغییر متغیرهاي x و y و تقریب SOS2 ارائه دادند. ایشان ابتدا با اعمال تغییر متغیرهای  و، مدل 7 را به عنوان مدل معادل NLPM پیشنهاد کردند:

(7)

 

سپس با استفاده از روش SOS2، مدل تقریبی MILPM متناظر با مدل غیرخطی 7 را ارائه نمودند. در این خصوص جهت جملات غیرخطی مدل 7، نقاط شکست  {X1=0, X2, …., Xn} جهت بازه متغیر x و نقاط شکست
{Y1=-0.5, Y2, ….,Ym} جهت بازه متغیر y لحاظ گردید و تقریب‌های تکه‌ای خطی جهت هر جمله غیرخطی بصورت روابط 8 ارائه گردید. در روابط 8،  و  متغیرهای SOS2 می‌باشند.

(8)

 

 

در ادامه با حل و مقایسه نتایج حل 64 مسأله سه شاخصه از طریق مدل‌های LPM، NLPM و مدل پیشنهادی MILPM نشان دادند که وزن محاسبه شده شاخص‌ها توسط MILPM در همه حالات با NLPM یکسان می‌باشد، ولی در بیشتر مواقع با LPM یکسان نیست. نویسندگان این نتیجه را به معنی عدم اطمینان از نتایج به دست آمده از LPM تفسیر نمودند. همچنین سهولت حل توسط نرم‌افزارهای استاندارد بالاخص در مواقعی که مسأله بیش از سه شاخص داشته باشد و حصول جواب‌های منحصر به فرد اولیه جهت NLPM را به عنوان مزایای اصلی بکارگیری MILPM بجای NLPM برشمردند [6].

از جمله ایرادات وارده به مدل پیشنهادی ارائه شده در [6] این است که تصمیم‌گیرنده نمی‌تواند خطای مورد نظر خود را به مدل اعلام نماید، از اینرو ممکن است مدل جوابی با خطای غیرقابل قبول ارائه نماید. جهت رفع این ایراد، الگوریتمی جهت تخمین جواب NLPM با استفاده از حل یک یا تعدادی MILPM با استفاده از تقریب تکه‌ای خطی SOS2 با خطاي قابل قبول طی چهار قدم بصورت زیر ارائه شد: 

قدم 0: اخذ پارامترهای NLPM و میزان خطای قابل قبول (خطای قابل قبول میزان اختلاف مقدار تابع هدف MILPM و NLPM بوده که به عنوان شرط توقف الگوریتم می‌باشد).

قدم 1: احتساب مقداردهی اولیه تقریب SOS2 و تشکیل MILPM: در این قدم بصورت پیش فرض تعداد 18 نقطه شکست جهت متغیرهای x و y مشخص می‌گردد؛ این نقاط به فاصله‌های مساوی از یکدیگر و بصورت صعودی قرار دارند. بازه x بین عدد صفر تا  و بازه y بین عدد 5/0- تا  می‌باشد. سپس به منظور انجام درون‌یابی‌ها، با استفاده از روابط 8 قسمت اول MILPM تعریف می‌شود. در ادامه، با احتساب محدودیت‌های متغیرهای مشترک درون‌یابی‌های روابط 8 در مدل 7، MILPM طبق مدل 9 تعریف می‌شود.

در صورت ایده‌آل بودن تقریب‌های خطی، مدل تلفیقی 8 و 9 بگونه‌ای عمل می‌کند که مقدار بهینه با احتساب درون‌یابی‌ها تعیین شوند. لازم به ذکر است به هر بار تشکیل و حل MILPM یک مرحله گفته می‌شود.

(9)

 

قدم 2: حل MILPM در هر مرحله با استفاده از نرم‌افزارهای استاندارد (مانند لینگو)؛

قدم 3: بررسی شرط توقف: اگر خطای بدست آمده کمتر از خطای قابل قبول باشد مقدار تابع هدف (ξ) و وزن‌های به دست آمده مربوط به شاخص‌ها جواب نهایی می‌باشد، پایان. در غیر این صورت برو به قدم 4.

قدم 4: تعریف و بروزرسانی نقاط شکست تقریب SOS2: در این قدم مقادیر x و yهایی که از حل مسأله در مرحله قبل به دست آمده را به نقاط شکست مسأله اضافه کرده و مقادیر را بصورت صعودی مرتب می‌شود. سپس الگوریتم از قدم 2 ادامه می‌یابد.

در ادامه به منظور بررسی اعتبار الگوریتم، روشی جهت تولید نمونه‌های پوشش دهنده حالت‌های مختلف یک مسأله پیشنهاد شد. سپس با استفاده از روش مزبور، تعداد 128 نمونه‌ی سه و پنج شاخصه تولید و با استفاده از حل آنها، اعتبار الگوریتم پیشنهادی مشخص گردید [7].

پیش‌بینی می‌گردد که بروزرسانی نقاط شکست به دقیق‌تر شدن تقریب خطی NLPM مسأله منجر شده و همگرایی به جواب بهینه با سرعت بیشتری انجام شود [7 و 14].

 

3- روش پیشنهادی

در این مقاله با توجه به كاملاً سازگار، سازگار يا ناسازگار بودن مسأله، روشی جهت تعیین و تخمین وزن شاخص‌های NLPM با استفاده از LPM و MILPM طی 3 قدم به شرح زیر ارائه مي‌شود:

قدم 0: آماده‌سازی و اخذ پارامترهای NLPM 

در این قدم پارامترهای مسأله از جمله مقدار تابع هدف NLPM، ارجحیت‌های شاخص‌ها نسبت به بهترین و بدترین شاخص، میزان خطای قابل قبول (اختلاف مقدار تابع هدف MILPM و NLPM) و تعداد رقم اعشار قابل قبول وزن شاخص‌ها از تصمیم‌گیرنده اخذ می‌گردد.

قدم 1: بررسی وضعیت سازگاری مسأله

در این قدم با استفاده از مقدار تابع هدف NLPM و جدول 1 از طریق رابطه 2 نسبت به محاسبه CRO مسأله اقدام می‌گردد. سپس با مقایسه مقدار CRO محاسبه شده و مقدار CRT استخراج شده از جدول 3 ([4])، وضعیت سازگاری مسأله مشخص مي‌شود. در صورتی كه  باشد (مسأله کاملاً سازگار ‌باشد)، الگوريتم از قدم 2 ادامه پيدا مي‌كند؛ در صورتی که   (مسأله سازگار ‌باشد) الگوريتم از قدم 3 ادامه پيدا مي‌كند؛ در صورتی که   (مسأله ناسازگار باشد)، نیاز به حل مسأله نمی‌باشد، پایان.

قدم 2: تعیین وزن مسائل کاملاً سازگار

ابتدا با بيان قضيه زير نشان داده مي‌شود كه در اين شرايط مدل‌های (1) و (6) معادل يكديگر مي‌باشند.

قضیه: اگر مسأله کاملاً سازگار باشد، مدل‌های (1) و (6) معادل‌اند. 

برهان: اگر مسأله کاملاً سازگار باشد، مقدار تابع هدف مدل (1) صفر می‌باشد (). با ضرب مجموعه محدويت‌هاي اول مدل در  و مجموعه محدويت‌هاي دوم مدل در  و احتساب  در مدل (1)، دستگاه معادلات خطي (10) حاصل خواهد شد:

(10)

 

 

از طرف دیگر اگر مسأله کاملاً سازگار باشد، مقدار تابع هدف مدل (6) صفر می‌باشد (). با احتساب  در مدل (6) نيز دستگاه معادلات خطي (10) حاصل خواهد شد. بنابراین اگر مسأله کاملاً سازگار باشد، دو مدل (1) و (6) معادل دستگاه معادلات خطي (10) بوده و از اينرو با هم معادل‌اند (پایان برهان).

کاربرد قضیه: وزن شاخص‌های مسائل کاملاً سازگار را مي‌توان با حل مدل (6) بدست آورد.

 

با استفاده از كاربرد قضیه، در این قدم از طریق حل LPM نسبت به تعیین وزن شاخص‌ها اقدام می‌شود. بنابراین با استفاده از ارجحیت‌های شاخص‌های مسأله نسبت به مدل‌سازی مسأله طبق مدل 6 و حل توسط نرم‌افزارهای استاندارد مانند لینگو اقدام می‌گردد. وزن شاخص‌های بدست آمده، جواب‌های نهایی مسأله است، پایان.

قدم 3: تخمین وزن مسائل سازگار

در حالتی که مساله کاملاً سازگار نباشد، ممکن است مدل 1 داراي جواب بهینه چندگانه بوده و فاصله بهینه وجود داشته باشد [10]. در این قدم از طریق بهبود الگوریتم MILPM با استفاده از تقریب تکه‌ای خطی SOS2 با خطاي قابل قبول (طبق موارد تشریح شده بند 2-4)، با احتساب شرط توقف جدیدي علاوه بر شرط توقف قبلي نسبت به تخمین وزن شاخص‌ها اقدام می‌گردد. در این راستا با استفاده از مدل‌های 4 و 5 نسبت به محاسبه محدوده قابل قبول وزن هر يك از شاخص‌های مسأله به عنوان شرط‌ توقف جدید الگوریتم اقدام می‌گردد. 

سپس در قدم بررسی شرط توقف الگوریتم MILPM بهبود یافته در صورتی که حداقل یکی از شرط‌های توقف برقرار باشد، یعنی «مقادیر بدست آمده وزن کلیه شاخص‌ها در محدوده قابل قبول محاسبه شده ‌باشد» یا «میزان اختلاف مقدار تابع هدف MILPM با NLPM کمتر از خطای قابل قبول باشد»، جواب‌های بدست آمده تخمین مناسبی از وزن شاخص‌ها بوده و حل مسأله پایان پذیرفته است. 

با توجه به توضيحات داده شده، روش پيشنهادي مطابق شکل 1 مي‌باشد.

شکل (1): فلوچارت روش پیشنهادی

 

4- یافته‌های پژوهش

در این قسمت به منظور تشریح عملكرد روش پیشنهادی، ابتدا 128 نمونه سه و پنج شاخصه توليد و کاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار بودن آنها مشخص مي‌شود. سپس براي حل نمونه‌هاي مسائل کاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار با سه خطای قابل قبول، روش پيشنهادي اجرا و نتايج حاصله با الگوریتم ارائه شده در [7] مقايسه مي‌شود.

 

1-4-تولید مسائل نمونه

در این قسمت به منظور تهیه 128 نمونه سه و پنج شاخصه مطابق مقاله [7] اقدام می‌گردد. در این خصوص جهت تولید 64 نمونه سه شاخصه، ابتدا مسأله سه شاخصه کاملاً سازگار بر اساس جدول 4 که در آن C3 بهترین شاخص و C1 بدترین شاخص می‌باشد را به عنوان مسأله مبنا در نظر می‌گیریم. با توجه به اینکه حداکثر مقدار aBW جهت این مسأله برابر 8 می‌باشد، با جایگذاری اعداد 1 تا 8 به جای مقادیر ارجحیت a21 و a32، 64 نمونه سه شاخصه تولید می‌شود که از حالت کاملاً سازگار تا کاملاً ناسازگار را در بر می‌گیرد (جدول 5). 

وضعیت سازگاری 64 نمونه سه شاخصه تولید شده بر اساس مقدار تابع هدف NLPM و با استفاده از محاسبه CRO و مقایسه با CRT با لحاظ خطای قابل قبول 01/0% طبق جدول 5 مشخص شده است. با توجه به جدول 5، تعداد مسائل کاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار سه شاخصه به ترتیب 4، 27 و 33 می‌باشد.

 

 

 

جدول(4): مسأله مبنا جهت تولید 64 نمونه سه شاخصه

C3	C2	C1
1	4	8	aBj=a3j
8	2	1	ajW=aj1

 

جدول (5): وضعیت سازگاری 64 مسأله نمونه‌ سه شاخصه با خطای قابل قبول 01/0%

توضیح: رنگ پس زمینه سبز، زرد و قرمز به ترتیب نشان‌دهنده مسائل کاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار می‌باشد.

 

قابل توجه آنكه در صورتي كه اعداد جدول 5 را با 3 و 2 رقم اعشار در نظر بگيريم، جداول وضعیت سازگاری 64 مسأله نمونه‌ سه شاخصه با خطای قابل قبول 1/0% و 1% حاصل خواهد شد. بنابراین تعداد کل مسائل سه شاخصه جهت بررسی با لحاظ 3 نوع خطای قابل قبول، 192 مسأله می‌باشد.

بصورت مشابه جهت مسأله پنج شاخصه، ابتدا نمونه پنج شاخصه کاملاً سازگار بر اساس جدول 6 که در آن C2 بهترین شاخص و C5 بدترین شاخص می‌باشد را به عنوان مسأله مبنا در نظر می‌گیریم. با توجه به اینکه حداکثر مقدار aBW جهت این مسأله برابر 8 می‌باشد، با جایگذاری اعداد 1 تا 8 به جای مقادیر ارجحیت a24 و a45، 64 نمونه پنج شاخصه تولید می‌شود که از حالت کاملاً سازگار تا کاملاً ناسازگار را در بر می‌گیرد (جدول 7).

وضعیت سازگاری 64 نمونه پنج شاخصه تولید شده بر اساس مقدار تابع هدف NLPM و با استفاده از محاسبه CRO و مقایسه با CRT با لحاظ خطای قابل قبول 01/0% طبق جدول 7 مشخص شده است. با توجه به جدول 7، تعداد مسائل کاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار پنج شاخصه به ترتیب 4، 40 و 20 می‌باشد.

در اينجا نيز اگر اعداد جدول 7 را با 3 و 2 رقم اعشار در نظر بگيريم، جداول وضعیت سازگاری 64 مسأله نمونه‌ پنج شاخصه با خطای قابل قبول 1/0% و 1% حاصل خواهد شد. بنابراین تعداد کل مسائل پنج شاخصه جهت بررسی با لحاظ 3 نوع خطای قابل قبول 192 مسأله می‌باشد.

جدول(6):مسأله مبنا جهت تولید 64 نمونه پنج شاخصه

a21								2267/0 CRT=
8	7	6	5	4	3	2	1
0000/0	1098/0	2426/0	4051/0	6056/0	8541/0	1623/1	5414/1	NLPM	1	a32
0000/0	0246/0	0543/0	0906/0	1355/0	1911/0	2600/0	3448/0	CRO
7830/0	6411/0	4689/0	2583/0	0000/0	3166/0	7016/0	1623/1	NLPM	2
1752/0	1434/0	1049/0	0578/0	0000/0	0708/0	1569/0	2600/0	CRO
5279/1	3467/1	1270/1	8599/0	5359/0	1459/0	3166/0	8541/0	NLPM	3
3418/0	3013/0	2521/0	1924/0	1199/0	0326/0	0708/0	1911/0	CRO
2280/2	0000/2	7251/1	3944/1	0000/1	5359/0	0000/0	6056/0	NLPM	4
4984/0	4474/0	3859/0	3120/0	2237/0	1199/0	0000/0	1355/0	CRO
8769/2	5949/2	2583/2	8599/1	3944/1	8599/0	2583/0	4051/0	NLPM	5
6436/0	5805/0	5052/0	4161/0	3120/0	1924/0	0578/0	0906/0	CRO
4689/3	1270/3	7251/2	2583/2	7251/1	1270/1	4689/0	2426/0	NLPM	6
7760/0	6996/0	6096/0	5052/0	3859/0	2521/0	1049/0	0543/0	CRO
0000/4	5949/3	1270/3	5949/2	0000/2	3467/1	6411/0	1098/0	NLPM	7
8949/0	8042/0	6996/0	5805/0	4474/0	3013/0	1434/0	0246/0	CRO
4689/4	0000/4	4689/3	8769/2	2280/2	5279/1	7830/0	0000/0	NLPM	8
9997/0	8949/0	7760/0	6436/0	4984/0	3418/0	1752/0	0000/0	CRO

C5	C4	C3	C2	C1
8	2	4	1	2	aBj=a2j
1	4	2	8	4	ajW=aj5

 

جدول (7): وضعیت سازگاری 64 مساله نمونه‌ پنج شاخصه با خطای قابل قبول 01/0% 

توضیح: رنگ پس زمینه سبز، زرد و قرمز به ترتیب نشان‌دهنده مسائل کاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار می‌باشد.

 

در ادامه نسبت به پیاده‌سازی الگوریتم پیشنهادی برای مسائل نمونه کاملاً سازگار (24 مسأله)، سازگار (201 مسأله) و ناسازگار (159 مسأله) یعنی در مجموع 384 مسأله سه و پنج شاخصه و مقایسه نتایج با الگوریتم ارائه شده در [7] اقدام می‌گردد.

 

2-4-بررسي مسائل کاملاً سازگار

در اين زيربند، پياده سازي الگوريتم پيشنهادي و مقايسه نتايج حاصله با الگوریتم ارائه شده در [7] براي 24 مسأله سه و پنج شاخصه کاملاً سازگار مد نظر است. در این خصوص ابتدا با حل سه مسأله سه شاخصه کاملاً سازگار به ترتیب با تعداد 2، 3 و 4 رقم اعشار قابل قبول وزن شاخص‌ها (خطای قابل قبول 1%، 1/0% و 01/0%)، همان جدول 4 (2=a21 و 4=a32)، با مقدار تابع هدف NLPM برابر صفر روش پیشنهادی در حالت کاملاً سازگار تشریح می‌گردد. 

سپس CRO مسأله محاسبه شد؛ چون مقدار CRO برابر صفر است، مسأله کاملاً سازگار بوده (مطابق جدول 5) و با استفاده از LPM مسأله حل می‌شود. بنابراین با استفاده از داده‌های مربوط به ارجحیت‌های شاخص‌های مسأله نسبت به مدل‌سازی مسأله طبق مدل 11 اقدام و طی یکبار حل در نرم‌افزارهای استاندارد مانند لینگو وزن شاخص‌ها محاسبه گردید.

a45								4029/0 CRT=
8	7	6	5	4	3	2	1
0000/0	1098/0	2426/0	4051/0	6056/0	8541/0	1623/1	5414/1	NLPM	1	a24
0000/0	0246/0	0543/0	0906/0	1355/0	1911/0	2600/0	3448/0	CRO
7830/0	6411/0	4689/0	2583/0	0000/0	3166/0	7016/0	1623/1	NLPM	2
1752/0	1434/0	1049/0	0578/0	0000/0	0708/0	1569/0	2600/0	CRO
5279/1	3467/1	1270/1	8599/0	5359/0	1459/0	3166/0	8541/0	NLPM	3
3418/0	3013/0	2521/0	1924/0	1199/0	0326/0	0708/0	1911/0	CRO
2280/2	0000/2	7251/1	3944/1	0000/1	5359/0	0000/0	6056/0	NLPM	4
4984/0	4474/0	3859/0	3120/0	2237/0	1199/0	0000/0	1355/0	CRO
8769/2	5949/2	2583/2	8599/1	3944/1	8599/0	2583/0	4051/0	NLPM	5
6436/0	5805/0	5052/0	4161/0	3120/0	1924/0	0578/0	0906/0	CRO
4689/3	1270/3	7251/2	2583/2	7251/1	1270/1	4689/0	2426/0	NLPM	6
7760/0	6996/0	6096/0	5052/0	3859/0	2521/0	1049/0	0543/0	CRO
0000/4	5949/3	1270/3	5949/2	0000/2	3467/1	6411/0	1098/0	NLPM	7
8949/0	8042/0	6996/0	5805/0	4474/0	3013/0	1434/0	0246/0	CRO
4689/4	0000/4	4689/3	8769/2	2280/2	5279/1	7830/0	0000/0	NLPM	8
9997/0	8949/0	7760/0	6436/0	4984/0	3418/0	1752/0	0000/0	CRO

(11)

 

 

وزن‌های بدست آمده به عنوان وزن نهایی شاخص‌های هر 3 مسأله بوده و حل مسأله پایان پذیرفته است. مقایسه وزن شاخص‌های بدست آمده با استفاده از روش پیشنهادی و الگوریتم قبلی ([7]) در جدول 8 آورده شده است. با توجه به نتیجه قضیه ذکر شده، وزن تمامی شاخص‌های حاصل از روش پیشنهادی در جدول 8 کاملاً درست است اما نتایج الگوریتم [7] دقیق نیست.

 

جدول(8): مقایسه نتایج وزن شاخص‌های نمونه کاملاً سازگار با خطای قابل قبول 01/0% 

 

استفاده از LPM جهت تعیین وزن شاخص‌های مسائل کاملاً سازگار باعث شده تا نیاز به حل مسائل MILPM و تعریف نقاط شکست جهت تقریب تکه‌ای خطی SOS2 برای این دسته مسائل نباشد. بنابراین استفاده از روش پیشنهادی در مسائل کاملاً سازگار علاوه بر بدست آوردن وزن دقیق شاخص‌ها، به دلیل عدم استفاده از تقریب تکه‌ای خطی SOS2 باعث کاهش حجم محاسبات بصورت چشمگیری نسبت به الگوریتم [7] شده است. 

مشابه موارد تشریح شده نسبت به مدل‌سازی و حل LPM جهت تعیین وزن شاخص‌ها برای 9 مسأله سه شاخصه کاملاً سازگار دیگر و 12 مسأله پنج شاخصه کاملاٌ سازگار اقدام گردید. در این خصوص در 24 مسأله کاملاً سازگار سه و پنج شاخصه (6% از کل مسائل) حل شده عملکرد روش پیشنهادی نسبت به الگوریتم [7] عملکرد کاملاً بهتری داشته است.

 

3-4- بررسي مسائل سازگار 

در اين زيربند، پياده‌سازي الگوريتم پيشنهادي و مقايسه نتايج حاصله با الگوریتم ارائه شده در [7] براي 201 مسأله سه و پنج شاخصه مد نظر است. در این خصوص با حل سه نمونه پنج شاخصه سازگار، روش پیشنهادی در حالت سازگار تشریح می‌گردد. برای اینکار با جایگذاری 3=a24 و 3=a45 در جدول 6، یک نمونه سازگار که همان مثال 2 ارائه شده در [5]، با مقدار تابع هدف NLPM برابر 1459/0 تشکیل گردید. شرط‌‌ توقف الگوریتم جهت مسأله اول، دوم و سوم تشکیل شده به ترتیب خطای قابل قبول 1%، 1/0% و 01/0% یا تعداد رقم اعشار قابل قبول وزن شاخص‌ها برابر 2، 3 و 4 مشخص گردید.

سپس مقدار CRO مسأله برابر 0326/0 محاسبه شد. با توجه به اینکه تعداد شاخص‌های مسأله برابر 5 و aBW برابر 8 می‌باشد مقدار CRT از جدول 3 برابر 4029/0 استخراج گردید. چون  می‌باشد، مسأله در حالت سازگار بوده و نسبت به حل آن با استفاده از الگوریتم MILPM بهبود یافته اقدام شد.

ابتدا با استفاده از مدل‌های خطی 4 و 5 جهت هر کدام از شاخص‌های مسأله یکبار مدل‌های 12 و 13 را تشکیل داده و در نرم‌افزارهای استاندارد مانند لینگو حل شد تا محدوده قابل قبول وزن هر شاخص (ماکزیمم و مینیمم وزن هر شاخص) به عنوان یکی از شرط‌های توقف الگوریتم مشخص گردید (جدول 9).

الگوریتم [7]	روش پیشنهادی	پارامترها
0000/0	0000/0
0900/0	0909/0
1800/0	1818/0
7300/0	7273/0

(12)

 

 

(13)

 

 

در ادامه با استفاده از روابط 8 جهت متغیرهای x1، x3، x4، x5، y1، y3، y4 و y5 تقریب تکه‌ای خطی SOS2 تشکیل گردید. سپس 18 نقطه شکست با فاصله مساوی از یکدیگر جهت این متغیرها لحاظ شد. با توجه به مقدار aBW، حداکثر مقدار  جهت این مسأله مطابق جدول 1 برابر 47/4 می‌باشد. بنابراین بایستی متغیرهای x در بازه بین صفر تا 735/2 و متغیرهای y در بازه بین 5/0- تا 235/2 قرار ‌گیرند. سپس مقادیر به دست آمده از تقریب خطی SOS2 مربوط به  و  در مدل 9 جایگذاری شده و MILPM مسأله به صورت مدل 14 تشکیل گردید.

(14)

 

 

سپس روابط تقریب SOS2 و مدل 14 ایجاد شده را در یک نرم‌افزار استاندارد مانند لینگو برنامه‌نویسی کرده و با استفاده از نقاط شکست تعریف شده MILPM را حل می‌کنیم. سپس شرط‌های تعریف شده جهت توقف الگوریتم بررسی می‌گردد. در اولین بار حل  MILPMیا مرحله یک، مقدار خطای قابل قبول (اختلاف مقدار تابع هدف MILPM با NLPM) کمتر از 1% و بیش از 1/0% می‌باشد ولی وزن شاخص‌ها در محدوده 2، 3 و 4 رقم اعشار قرار گرفته است؛ پس جهت مسأله اول هر 2 شرط توقف برقرار گردیده و در 2 مسأله دیگر حداقل یکی از شرط‌های توقف یعنی در محدوده بودن وزن شاخص‌ها برقرار شده است. بنابراین وزن‌های بدست آمده به عنوان تخمین مناسبی از وزن شاخص‌های NLPM بوده و حل هر 3 مسأله پایان پذیرفته است. وزن شاخص‌های بدست آمده با استفاده از NLPM، روش پیشنهادی و الگوریتم [7] در جدول 9 آورده شده است.

جدول(9): مقایسه نتایج وزن شاخص‌های نمونه سازگار با خطای قابل قبول 01/0% (مثال 2 ارائه شده در [5])

تعداد مراحل حل با استفاده از روش پیشنهادی نسبت به الگوریتم [7] (مطابق جدول 10) در مسأله اول (خطای قابل قبول 1% یا 2 رقم اعشار وزن شاخص‌ها) تغییری نکرده، در مسأله دوم (خطای قابل قبول 1/0% یا 3 رقم اعشار وزن شاخص‌ها) و مسأله سوم (خطای قابل قبول 01/0% یا 4 رقم اعشار وزن شاخص‌ها) به میزان 67% کاهش داشته که نشان‌دهنده عملکرد مناسب روش پیشنهادی نسبت به الگوریتم [7] می‌باشد.

مشابه موارد تشریح شده نسبت به مدل‌سازی و حل براساس الگوریتم MILPM جهت تخمین وزن شاخص‌ها برای 117 مسأله پنج شاخصه سازگار دیگر و 81 مسأله سه شاخصه سازگار اقدام گردید. نتایج مربوط به تعداد مراحل حل توسط روش پیشنهادی و الگوریتم [7] و همچنین تعداد و درصد کاهش مراحل حل مربوط به 201 مسأله سازگار حل شده در جدول 10 آورده شده است. 

 

جدول (10): مقایسه نتايج حاصل از حل مسائل نمونه‌های سازگار توسط روش پيشنهادي و الگوريتم ارائه شده در [7]

الگوریتم [7]	روش پیشنهادی			NLPM	پارامترها
نتیجه نهایی مرحله 3	نتیجه مرحله 1	max	min
1459/0	1539/0	--	--	1459/0
2163/0	2271/0	2289/0	2145/0	2145/0
4571/0	4462/0	4571/0	4461/0	4534/0
1103/0	1157/0	1176/0	1085/0	1176/0
1602/0	1563/0	1602/0	1563/0	1588/0
0561/0	0548/0	0561/0	0548/0	0557/0

خطای قابل قبول 01/0% یا محدوده 4 رقم اعشار W				خطای قابل قبول 1/0% یا محدوده 3 رقم اعشار W				خطای قابل قبول 1% یا محدوده 2 رقم اعشار W				a32\ a24	a21\ a45	نمونه	تعداد شاخص
درصد کاهش مراحل	کاهش مراحل	روش پیشنهادی	الگوریتم [7]	درصد کاهش مراحل	کاهش مراحل	روش پیشنهادی	الگوریتم [7]	درصد کاهش مراحل	کاهش مراحل	روش پیشنهادی	الگوریتم [7]
25%	1	3	4	0%	0	3	3	0%	0	2	2	3	1	1	سه شاخصه
33%	1	2	3	0%	0	2	2	0%	0	1	1	4	1	2
25%	1	3	4	67%	2	1	3	50%	1	1	2	5	1	3
0%	0	3	3	50%	1	1	2	50%	1	1	2	6	1	4
25%	1	3	4	67%	2	1	3	67%	2	1	3	7	1	5
25%	1	3	4	33%	1	2	3	50%	1	1	2	2	2	6
33%	1	2	3	50%	1	1	2	0%	0	1	1	3	2	7
33%	1	2	3	0%	0	2	2	50%	1	1	2	5	2	8
67%	2	1	3	67%	2	1	3	50%	1	1	2	6	2	9
50%	1	1	2	0%	0	2	2	0%	0	1	1	7	2	10
0%	0	3	3	67%	2	1	3	67%	2	1	3	8	2	11
0%	0	3	3	0%	0	3	3	50%	1	1	2	1	3	12
0%	0	3	3	0%	0	2	2	0%	0	1	1	2	3	13
33%	1	2	3	0%	0	1	1	0%	0	1	1	3	3	14
0%	0	4	4	0%	0	3	3	67%	2	1	3	4	3	15
0%	0	4	4	0%	0	3	3	67%	2	1	3	5	3	16
0%	0	4	4	67%	2	1	3	0%	0	1	1	1	4	17
0%	0	3	3	33%	1	2	3	0%	0	2	2	3	4	18
0%	0	4	4	0%	0	3	3	50%	1	1	2	4	4	19
0%	0	3	3	0%	0	3	3	50%	1	1	2	1	5	20
0%	0	4	4	0%	0	3	3	50%	1	1	2	2	5	21
0%	0	3	3	0%	0	3	3	50%	1	1	2	3	5	22
0%	0	3	3	33%	1	2	3	0%	0	2	2	1	6	23
33%	1	2	3	0%	0	1	1	0%	0	1	1	2	6	24
0%	0	3	3	33%	1	2	3	0%	0	2	2	1	7	25
25%	3	3	4	33%	1	2	3	0%	0	1	1	2	7	26
0%	0	3	3	0%	0	2	2	0%	0	1	1	2	8	27
50%	3	3	6	50%	2	2	4	67%	2	1	3	1	1	28	پنج شاخصه
25%	1	3	4	0%	0	3	3	67%	2	1	3	2	1	29
0%	0	4	4	75%	3	1	4	67%	2	1	3	3	1	30
33%	1	2	3	50%	1	1	2	0%	0	1	1	4	1	31
25%	1	3	4	75%	3	1	4	67%	2	1	3	5	1	32
50%	2	2	4	67%	2	1	3	67%	2	1	3	6	1	33
40%	2	3	5	75%	3	1	4	67%	2	1	3	7	1	34
40%	2	3	5	25%	1	3	4	67%	2	1	3	1	2	35
40%	2	3	5	25%	1	3	4	67%	2	1	3	2	2	36
33%	1	2	3	33%	1	2	3	0%	0	1	1	3	2	37
25%	1	3	4	0%	0	3	3	67%	2	1	3	5	2	38
67%	2	1	3	67%	2	1	3	0%	0	1	1	6	2	39
67%	2	1	3	50%	1	1	2	0%	0	1	1	7	2	40
67%	2	1	3	67%	2	1	3	0%	0	1	1	8	2	41
25%	1	3	4	0%	0	3	3	67%	2	1	3	1	3	42
33%	1	2	3	0%	0	2	2	0%	0	1	1	2	3	43
67%	2	1	3	67%	2	1	3	0%	0	1	1	3	3	44
40%	2	3	5	25%	1	3	4	67%	2	1	3	4	3	45
40%	2	3	5	25%	1	3	4	67%	2	1	3	5	3	46
50%	3	3	6	75%	3	1	4	67%	2	1	3	6	3	47
25%	1	3	4	75%	3	1	4	67%	2	1	3	7	3	48
40%	2	3	5	50%	2	2	4	67%	2	1	3	8	3	49
33%	1	2	3	50%	1	1	2	0%	0	1	1	1	4	50
20%	1	4	5	25%	1	3	4	67%	2	1	3	3	4	51
60%	3	2	5	50%	2	2	4	67%	2	1	3	4	4	52
33%	2	4	6	0%	0	4	4	67%	2	1	3	5	4	53
75%	3	1	4	67%	2	1	3	67%	2	1	3	6	4	54
0%	0	3	3	33%	1	2	3	0%	0	1	1	1	5	55
50%	2	2	4	33%	1	2	3	50%	1	1	2	2	5	56
40%	2	3	5	0%	0	3	3	67%	2	1	3	3	5	57
25%	1	3	4	67%	2	1	3	50%	1	1	2	4	5	58
0%	0	3	3	0%	0	2	2	0%	0	1	1	1	6	59
0%	0	1	1	0%	0	1	1	0%	0	1	1	2	6	60
50%	2	2	4	50%	1	1	2	0%	0	1	1	3	6	61
50%	2	2	4	33%	1	2	3	0%	0	1	1	4	6	62
0%	0	3	3	33%	1	2	3	0%	0	1	1	1	7	63
33%	1	2	3	0%	0	2	2	0%	0	1	1	2	7	64
0%	0	3	3	0%	0	2	2	0%	0	1	1	3	7	65
0%	0	2	2	0%	0	1	1	0%	0	1	1	2	8	66
75%	3	1	4	0%	0	1	1	0%	0	1	1	3	8	67

جدول 10 نشان می‌دهد که روش پیشنهادی در مسائل سه شاخصه سازگار، حداکثر طی 2 مرحله مسأله به جواب با خطای قابل قبول 1% یا محدوده 2 رقم اعشار وزن شاخص‌ها می‌رسد و در مسائل پنج شاخصه سازگار، حداکثر طی یک مرحله مسأله به جواب با خطای قابل قبول 1% یا محدوده 2 رقم اعشار وزن شاخص‌ها می‌رسد. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت استفاده از MILPM بهبود یافته باعث می‌گردد به جای حل طی حداکثر سه مرحله (مطابق الگوریتم [7])، طی حداکثر دو مرحله وزن شاخص‌ها‌ی مسأله با حداکثر 1% خطا یا تعداد 2 رقم اعشار محاسبه می‌گردد. بنابرین این امر باعث کاهش 33% تعداد مراحل حل جهت تخمین وزن شاخص‌ها با حداکثر 1% خطا یا تعداد 2 رقم اعشار شده است.

در ادامه جهت 81 مسأله سه شاخصه سازگار و 120 مسأله پنج شاخصه سازگار حل شده آنالیز میانگین، حداکثر، حداقل تعداد و درصد کاهش مراحل هر مسأله و همچنین تعداد و درصد مسائلی که با روش پیشنهادی نسبت به الگوريتم [7] کاهش داشته است در جدول 11 آورده شده است. از جمله بهبودهای روش پیشنهادی جهت 201 مسأله سه و پنج شاخصه سازگار حل شده نسبت به الگوریتم [7] بصورت زیر می‌باشد:

1- استفاده از MILPM بهبود يافته پیشنهادی جهت تخمین وزن شاخص‌های مسائل سازگار، باعث کاهش تعداد مراحل حل 38 مسأله سه شاخصه (47% از مسائل سه شاخصه) و 83 مسأله پنج شاخصه (69% از مسائل پنج شاخصه) سازگار گردیده و در بقیه موارد تعداد مراحل تغییری نکرده است. بنابراین در مجموع تعداد مراحل 121 مسأله سه و پنج شاخصه (60% از مسائل سه و پنج شاخصه) سازگار حل شده کاهش داشته است.

2- استفاده از MILPM بهبود يافته پیشنهادی جهت تخمین وزن شاخص‌های مسائل سازگار، باعث بهبود عملکرد 32% کل مسائل حل شده (121 مسأله سه و پنج شاخصه سازگار) گردیده است.

 

جدول (11):خلاصه نتايج حاصل از مقایسه حل مسائل نمونه‌های سازگار توسط روش پيشنهادي و الگوريتم ارائه شده در [7]

81 مسأله سه شاخصه/ 120 مسأله پنج شاخصه		خطای قابل قبول 01/0% یا محدوده 4 رقم اعشار W		خطای قابل قبول 1/0% یا محدوده 3 رقم اعشار W		خطای قابل قبول 1% یا محدوده 2 رقم اعشار W		نوع آنالیز	تعداد شاخص
درصد	تعداد	درصد	تعداد	درصد	تعداد	درصد	تعداد
22%	6/0	15%	5/0	22%	6/0	28%	7/0	میانگین کاهش مراحل در هر مسأله	سه شاخصه
67%	2	67%	2	67%	2	67%	2	حداکثر کاهش مراحل در یک مسأله
0%	0	0%	0	0%	0	0%	0	حداقل کاهش مراحل در یک مسأله
47%	38	44%	12	44%	12	52%	14	مسائلی که مراحل آن کاهش یافته
36%	2/1	36%	5/1	35%	2/1	36%	0/1	میانگین کاهش مراحل در هر مسأله	پنج شاخصه
75%	3	75%	3	75%	3	67%	2	حداکثر کاهش مراحل در یک مسأله
0%	0	0%	0	0%	0	0%	0	حداقل کاهش مراحل در یک مسأله
69%	83	83%	33	70%	28	55%	22	مسائلی که مراحل آن کاهش یافته

توضیح: جهت هر نوع خطا به ترتیب 27 و 40 مسأله سه و پنج شاخصه سازگار حل شده است. 

 

3- حداقل کاهش مراحل حل 201 مسأله سه و پنج شاخصه سازگار حل شده برابر صفر مرحله (0%) می‌باشد. همچنین حداکثر تعداد کاهش مراحل حل مسأله سه و پنج شاخصه سازگار به ترتیب برابر 2 مرحله (67%) و 3 مرحله (75%) می‌باشد.

4- عملکرد روش پیشنهادی در 47% مسائل سه شاخصه سازگار (38 مسأله از 81 مسأله) و 69% مسائل پنج شاخصه سازگار (83 مسأله از 120 مسأله) نسبت به الگوریتم [7] بهبود داشته است؛ به عبارت دیگر با افزایش تعداد شاخص‌ها تعداد مسائل بیشتری مراحل حل آنها کاهش یافته است. همچنین حداکثر تعداد کاهش مراحل در یک نمونه سه شاخصه در حالت سازگار برابر 2 مرحله (67%) و حداکثر تعداد کاهش مراحل در یک نمونه پنج شاخصه در حالت سازگار برابر 3 مرحله (75%) می‌باشد. بنابراین اینگونه استنباط می‌شود که با بزرگتر شدن مسأله عملکرد روش پیشنهادی نسبت به الگوریتم [7] بهبود بیشتری می‌یابد.

 

4-4- بررسي مسائل ناسازگار

در اين زيربند، پياده‌سازي الگوريتم پيشنهادي و مقايسه نتايج حاصله با الگوریتم ارائه شده در [7] براي 159 مسأله سه و پنج شاخصه مد نظر است. در این قدم با حل سه نمونه پنج شاخصه ناسازگار به ترتیب با تعداد 2، 3 و 4 رقم اعشار قابل قبول وزن شاخص‌ها (خطای قابل قبول 1%، 1/0% و 01/0%)، روش پیشنهادی در حالت ناسازگار تشریح می‌گردد. بنابراین با جایگذاری 4=a24 و 7=a45 درجدول 6، یک نمونه ناسازگار با مقدار تابع هدف NLPM برابر 0000/2 تشکیل گردید. سپس مقدار CRO مسأله برابر 4474/0 محاسبه شد. مقدار CRT مسأله از جدول 3 برابر عدد 4029/0 استخراج گردید. چون CRO مسأله بیشتر از CRT می‌باشد، مسأله در حالت ناسازگار بوده و نیاز به حل ندارد، پایان.

مشابه موارد تشریح شده، 57 مسأله پنج شاخصه ناسازگار دیگر و 99 مسأله سه شاخصه ناسازگار نیاز به حل ندارند. یعنی در مجموع 41% از کل مسائل (159 مسأله از 384 مسأله) حل نگردیده است. بنابراین قابل اعتماد نبودن وزن‌ها در حالت ناسازگار باعث عدم حل مسائل ناسازگار گردیده که به عنوان یکی از بهبودهای مهم روش پیشنهادی می‌باشد.

 

5-4-جمع‌بندی

نتايج حاصل از پیاده‌سازی روش پیشنهادی جهت تعيين و تخمین وزن شاخص‌های 384 مسأله سه و پنج شاخصه نشان مي‌دهد كه در 79% مسائل، روش پيشنهادي عملكردي بهتر و در مابقي مسائل، عملكردي به خوبي روش تقریب تکه‌ای خطی SOS2 داشته است؛ یعنی عملکرد روش پیشنهادی به ترتیب جهت حل تعداد 12، 38 و 99 مسأله سه شاخصه کاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار و همچنین به ترتیب جهت حل تعداد 12، 83 و 60 مسأله پنج شاخصه کاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار بهبود داشته است. پس روش پیشنهادی علاوه بر افزایش دقت و اطمینان نتایج باعث کاهش حجم محاسبات نسبت به الگوریتم [7] شده است. بنابراین عملکرد روش پیشنهادی مناسب ارزیابی می‌گردد.

 

5 – بحث

1- در روش پیشنهادی جهت تخمین وزن شاخص‌های مسائل سازگار از MILPM بهبود يافته با برقراری حداقل 2 شرط‌ توقف، در محدوده قابل قبول بودن وزن کلیه شاخص‌ها یا برقراری خطای قابل قبول، استفاده گردید. با توجه به نتایج بدست آمده، در 98% از مسائل سه شاخصه سازگار (79 مسأله) و در 100% از مسائل پنج شاخصه سازگار (120 مسأله) حل شده، شرط توقف در محدوده قابل قبول بودن وزن کلیه شاخص‌ها زودتر برقرار گردیده است. به عبارت دیگر در 99% از 201 مسأله‌ سازگار حل شده شرط مذکور زودتر برقرار گردیده است. بنابراین احتساب اين شرط توقف به تنهايي در مسائل پنج شاخصه كفايت مي‌كند. همچنين احتساب اين شرط به تنهايي در 98% مسائل سه شاخصه باعث طولاني شدن مراحل حل نسبت به وضعيتي كه هر دو شرط بررسي شود نخواهد شد.

2- همبستگی بالایی بین CRI و CRO (بیش از 95%) وجود دارد [4]. با استفاده از CRT، شاخص‌های CRI و CRO وضعیت سازگاری 6 نمونه‌ از 64 نمونه سه شاخصه تولید شده در این مقاله را متفاوت نشان داده‌اند یعنی یکی سازگار و دیگری مسأله را ناسازگار نشان داده است؛ ولی شاخص‌های CRI و CRO وضعیت سازگاری همه 64 نمونه‌ پنج شاخصه تولید شده در این مقاله را یکسان نشان داده‌اند. بنابراین با توجه به نتایج بدست آمده، ضریب همبستگی بالای بین CRI و CRO و مزایای بکارگیری CRI (تشریح شده در بند 2-1) می‌توان در روش پیشنهادی به جای CRO  از CRI جهت مشخص کردن سازگاری مسائل استفاده کرد.

3-در مسائل سه شاخصه سازگار حل شده، تخمین وزن بدترین شاخص فقط با یک مرحله حل روش پیشنهادی تا 4 رقم اعشار محاسبه شده است. در مسائل پنج شاخصه سازگار حل شده، تخمین وزن بدترین شاخص فقط با یک مرحله حل روش پیشنهادی تا 3 رقم اعشار محاسبه شده است. همچنین در 83% مسائل پنج شاخصه سازگار حل شده تخمین وزن بدترین شاخص فقط با یک مرحله حل روش پیشنهادی تا 4 رقم اعشار محاسبه شده است. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت در صورتی که تصمیم‌گیرنده فقط نیاز به دانستن وزن بدترین شاخص یک مسأله سازگار را داشته باشد فقط با یک مرحله حل MILPM تخمین وزن آنرا تا 3 رقم اعشار بدست خواهد آورد.

4-در تمام مسائل سازگار حل شده فقط با یک مرحله حل MILPM تخمین وزن شاخص‌های NLPM با یک رقم اعشار بدست می‌آید. بنابراین می‌توان استنباط نمود که در همه مسائل چند شاخصه سازگار نیز فقط با یک مرحله حل MILPM تخمین وزن شاخص‌های NLPM در محدوده یک رقم اعشار بدست می‌آید. 

5- نتایج بدست آمده از حل مسأله‌های سه شاخصه سازگار، نشان‌دهنده این است که حد بالا و پایین شاخص‌های محاسبه شده در این مسائل بر اساس مدل‌های خطی 4 و 5 یکی می‌باشد (يعني وزن بهينه شاخص مورد نظر منحصر به فرد است). از طرف دیگر زمانی مدل 1 دارای جواب بهینه چندگانه می‌باشد که مسأله بیش از سه شاخص داشته و مسأله کاملاً سازگار نباشد [10]. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت زمانی که مسأله سه شاخصه و سازگار باشد؛ در قدم 3 روش پیشنهادی مي‌توان به جای استفاده کامل از الگوریتم MILPM بهبود یافته، وزن هر کدام از شاخص‌های مسأله را فقط با مدل‌سازی و حل یکی از مدل‌های خطی 4 و 5 محاسبه کرد.

 

6 – نتیجه‌گیری

BWM از روش‌های جدید تعیین وزن شاخص‌ها در مسائل MADM بوده که در آن وزن بهینه شاخص‌ها طی تشکیل و حل یک NLPM تعیین می‌شود. با توجه به مشکلات حل مدل‌های NLPM، تلاش‌هایی جهت تعیین و تخمین وزن‌های BWM طی تشکیل و حل مدل‌های LPM و MILPM صورت پذیرفته است. وضعیت سازگاری مسائل در این روش‌های ارائه شده لحاظ نگردیده است. همچنین هر کدام از روش‌های ارائه شده جهت حل هر کدام از مسائل کاملاً سازگار، سازگار و ناسازگار عملکرد بهتری دارند. بنابراین استفاده از CR و CRT در روش پیشنهادی باعث مشخص کردن وضعیت سازگاری مسأله و استفاده متناسب از مدل‌های LPM و MILPM و جلوگیری از حل مسائل ناسازگار به دلیل عدم اطمینان از جواب‌های این مسائل مي‌شود.

عدم حل مسائل ناسازگار باعث بهبود در حل 41% از کل مسائل تعریف شده این مقاله گردیده است. استفاده از LPM در روش پیشنهادی جهت حل مسائل کاملاً سازگار علاوه بر تعیین دقیق وزن شاخص‌ها باعث جلوگیری از تعریف نقاط شکست جهت تقریب تکه‌ای خطی SOS2 و استفاده از الگوریتم MILPM و بهبود در حل 6% از کل مسائل شده است. همچنین استفاده از MILPM بهبود یافته جهت تخمین وزن شاخص‌های مسائل سازگار تا هر رقم اعشار (حداکثر تا 4 رقم اعشار)، باعث کاهش مراحل حل 60% از مسائل سازگار و 32% از کل مسائل حل شده گردیده است. از طرف دیگر با استفاده از MILPM بهبود یافته تخمین وزن شاخص‌ها طی حداکثر 2 مرحله با حداکثر 1% خطا یا تعداد 2 رقم اعشار بدست می‌آید؛ بنابراین MILPM بهبود یافته باعث کاهش 33% تعداد مراحل حل جهت تخمین وزن شاخص‌ها با حداکثر 1% خطا یا تعداد 2 رقم اعشار نسبت به الگوریتم [7] شده است. پس در مجموع در 79% از مسائل حل شده، روش پيشنهادي عملكردي بهتر و در مابقي مسائل، عملكردي به خوبي روش تقریب تکه‌ای خطی SOS2 ([7]) داشته است؛ بنابراین روش پیشنهادی برای تعیین و تخمین وزن شاخص‌های BWM با استفاده از LPM و MILPM عملکرد مطلوب و بهتری از الگوریتم [7] دارد.

پیشنهاد می‌شود جهت تحقیقات آتی با استفاده از دیگر روش‌های تقریب جهت خطی کردن NLPM بهره گرفت. همچنین معرفی و استفاده از شاخص‌های دیگر به همراه CR جهت اطمینان از نتایج بدست آمده می‌تواند مفید باشد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فهرست منابع

[1] اصغرپور، محمدجواد. تصمیم‌گیری‌های چند معیاره، چاپ هفدهم، انتشارات دانشگاه تهران. (1398).

 [2] Rezaei, J. (2015). Best-worst multi-criteria decision-making method. Omega, 53, 49-57.

 [3] Mi, X., Tang, M., Liao, H., Shen, W., and Lev, B. (2019). The state-of-the-art survey on integrations and applications of the best worst method in decision making: Why, what, what for and what's next?, Omega, Vol. 87, pp. 205-225.

 [4] Liang, F., Brunelli, M., and Rezaei, J. (2020). Consistency issues in the best worst method: Measurements and thresholds, Omega, Vol. 96, pp. 1-11.

[5] Rezaei, J. (2016). Best-worst multi-criteria decision-making method: Some properties and a linear model. Omega, 64, 126-130.

 [6] Beemsterboer, D. J. C., Hendrix, E. M. T., & Claassen, G. D. H. (2018). On solving the best-worst method in multi-criteria decision-making. IFAC-PapersOnLine, 51(11), 1660-1665.

 [7] دهقانی، محمدرضا. عباسی، مهدی. (1400). تخمین جواب مدل برنامه‌ریزی غیرخطی روش بهترین-بدترین با استفاده از حل مدل‌های برنامه‌ریزی خطی مختلط. پژوهش‌های نوین در ریاضی.

[8] Liao, H., Mi, X., Yu, Q., & Luo, L. (2019). Hospital performance evaluation by a hesitant fuzzy linguistic best worst method with inconsistency repairing. Journal of Cleaner Production, 232, 657-671.

[9] Chitsaz, N., & Azarnivand, A. (2017). Water scarcity management in arid regions based on an extended multiple criteria technique. Water Resources Management, 31(1), 233-250.

[10] Rezaei, J. (2020). A concentration ratio for nonlinear best worst method. International Journal of Information Technology & Decision Making, 19(03), 891-907.

[11] Duleba, S., Moslem, S., & Esztergár-Kiss, D. (2021). Estimating commuting modal split by using the Best-Worst Method. European Transport Research Review, 13(1), 1-12.

[12] Firouzabadi, S. K., Ghahremanloo, M., Keshavarz-Ghorabaee, M., & Saparauskas, J. (2019). A new group decision-making model based on bwm and its application to managerial problems. Transformations in Business & Economics, 18(2), 47.

[13] Beale, E. M. L., & Tomlin, J. A. (1970). Special facilities in a general mathematical programming system for non-convex problems using ordered sets of variables. OR, 69(447-454), 99.

[14] انصاری، محمدرضا. حسنی‌فرد، فاطمه. (1396). حل یک مسئله بهینه‌سازی غیرخطی، عدد صحیح و غیرمحدب با استفاده از روش‌های محدب‌سازی مبتنی بر مجموعه منظم خاص. فصلنامه سیستم‌های مختلط و غیرخطی, 1(1), 71-85.

[15] MirHassani, S. A., &Hooshmand, F. (2019). Methods and Models in Mathematical Programming. Springer International Publishing.

 [16] Akbari-Dibavar, A.,Mohammadi-Ivatloo, B., & Zare, K. (2020). Optimal stochastic bilevel scheduling of pumped hydro storage systems in a pay-as-bid energy market environment. Journal of Energy Storage, 31, 101608.

 [17] Huchette, J., & Vielma, J. P. (2019). A combinatorial approach for small and strong formulations of disjunctive constraints. Mathematics of Operations Research, 44(3), 793-820.

 

---

[1] * عهده­دار مکاتبات:                                                          Email: [e-mail], [e-mail]

[2]  MADM: Multiple Attribute Decision Making

[3]  AHP: Analytic Hierarchy Process

[4]  BWM: Best Worst Method

[5]  NLPM: Non Linear Programming Model

[6]  CR: Consistency Ratio

[7]  CRT: Consistency Ratio Thresholds

[8]  LPM: Linear Programming Model

[9]  MILPM: Mixed-Integer Linear Programming Model

[10]  PLA: Piecewise Linear Approximation

[11]  SOS: Special Ordered Sets

[12]  CI:Consistency Index

[13]  CRI:Input-based Consistency Ratio

[14]  CRO:Output-based Consistency Ratio

---