Options Pricing Model With Fokker-Planck Equation and Ito’s lemma (Case Study: Gold Coin Options Contracts on the Iranian Commodity Exchange)

Subject Areas : Financial engineering

Amir Farahani ¹ , Mahmoud Rahmani ^{2 *} , Farhad Ghaffari ³ , Behzad Parvizi ⁴

1 - PhD student, Department of Finance, Sanandaj Branch, Islamic Azad University, sanandaj, Iran
2 - Department of Management, Sanandaj Branch, Islamic Azad University, Sanandaj, Iran
3 - Department of Economics, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran
4 - Department of Accounting, Sanandaj Branch, Islamic Azad University, Sanandaj, Iran

Received: 2025-03-01 Accepted : 2025-04-22 Published : 2025-09-23

Keywords: European trading option, Hurst exponent, Fractional Brownian Movement, Fokker-Planck Method, Black-Scholes Fractional Pricing Equation.,

Abstract :

Options are one of the new financial instruments and a tool for risk management and profitability in the capital market, and pricing these instruments with the Black-Scholes pricing method is very common. One of the most important assumptions of the Black-Scholes model is that the price changes of the underlying asset follow geometric Brownian motion, which cannot express the statistical characteristics of the time series in all cases. The aim of this research is to present a new model for pricing gold coin options on the Iranian Commodity Exchange, and this model is based on the original Black-Scholes model and when the price changes of the underlying asset follow fractional Brownian motion. In this research, a new and different model has been presented for pricing options by using the Fokker-Planck and Lemma-Itou differential equation solution method. Greater pricing accuracy, generalization of the classic Black-Scholes model, and ultimately the application of fewer restrictions are among the advantages of the new model. To compare the efficiency of the new model with the pricing of call options under the original Black-Scholes model and actual market prices, data from eleven gold coin options contracts in the Iranian Commodity Exchange from Farvardin 1401 to Esfand 1402 were used daily and a non-parametric Mann-Whitney two-group comparative test was used. The results showed that it was possible to provide a new model for option pricing by using the Fokker-Planck and Lam-Ito equations, and at the 95% level based on the MAPE criterion(mean absolute percentage error), there was no significant difference .between the average scores in the two models, and these two models had the same efficiency

References:

1) ابوالی مهدی؛ خلیلی عراقی، مریم و همکاران .(1400). قیمت گذاری اوراق اختیار معامله با کمک روش نیکی وورو- اوواروف،فصلنامه بورس اوراق بهادار ،شماره 14.
2) امیری، مهدیه.(1399).قیمت گذاری قرارداد‌‌های اختیار معامله با روش بلک شولز ،بونس و دوجمله ای ،فصلنامه بورس اوراق بهادار ،شماره 50.
3)بهرادمهر،نفیسه؛طهماسبی،نرگس.(1401). قیمت گذاری قرارداد اختیار معامله سکه طلا در بازار بورس کالای ایران، فصلنامه اقتصاد مالی، شماره 3.
4)بلفکه ،علی؛ موسوی، سید نوراله.(2021). روش‌‌های عددی قیمت گذاری اختیار تحت مدل هستون، کنفرانس بین الملی مدیریت –حسابداری و توسعه اقتصادی .
5)پیمانی، مسلم؛امیری، میثم.(1402).ارزش گذاری اوراق بهادار اختیار معامله با نرخ سود تصادفی در بورس اوراق بهادار تهران، نشریه چشم انداز مدیریت مالی، شماره 41.
6) رحمانی، مرتضی؛ جعفریان ،ناهید.(1396). بررسی مدل بلک شولز کسری با توان هرست روی اختیار معامله اروپایی با هزینه‌‌های معاملاتی، مجله مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، شماره 32.
7)رضایی، مریم ؛ یزدانیان، احمد رضا.(1398). جواب عددی معادله بلک-شولز زمان-کسری برای اختیار مانع دوگانه اروپایی با پارامترهای وابسته به زمان تحت مدل CEV، فصلنامه مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار ،شماره 39.
8)سوری،علی .(1344). "اقتصاد سنجی"،1400،تهران،نورعلم.
9) لطفی، فروغ؛نشتائی، رضا.(1401). مقایسه کالیبراسیون مدل‌‌های قیمت گذاری اوراق اختیار خرید مبتنی بر نوسانات تصادفی و تکنیک انتگرال تعمیم یافته، فصلنامه علمی مدلسازی اقتصادی، شماره 59.
10) نبوی ،سید علی؛بهرام زاده،راضیه.(1397).بررسی کارایی فرآیند لوی در قیمت گذاری اختیار معاملات، فصلنامه علمی پژوهشی دانش مالی تحلیل اوراق بهادار ،شماره 38.
11) نصیری،کورش؛عسکرزاده،غلامرضا.(1402).بررسی تجربی مدل قیمت گذاری بلک شولز در معاملات خرید بورس اوراق بهادار تهران، فصلنامه اقتصاد مالی، دوره 17، شماره 4.
12)نصیری،کورش؛عسکرزاده،غلامرضا.(1401). تحلیل مقایسه ای کارایی مدل بلک شولز و درخت دوجمله ای در معاملات اختیار خرید بورس اوراق بهادار تهران،فصلنامه مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار ،شماره 54.
13) نیسی،عبدالساده؛سلمانی،کامران.(1347)" مهندسی مالی و مدل سازی بازارهای با رویکرد نرم افزار matlab"،1396، تهران، دانشگاه علامه طباطبائی.
14)هال، جان(1946) " مبانی مهندسی مالی و مدیریت ریسک"، سجاد سیاح و علی صالح آبادی، تهران، انتشارات بورس،(2002).
15)A. HNzoken.(2023).Europea option princing under generalized tempered stable process: Empirical Anaysis.arxiv12042,1,110-127.
16)Axel A. Araneda.(2021).Price modelling under generalized fractional Brownian motion, arxiv12042,1,220-227.
17)Aliou Niang Fall, Seydou Nourou Ndiaye , Ndolane Sene.(2019).Black–Scholes option pricing equations described by the Caputo generalized fractional derivative.Chaos, Solitons and Fractals,125,108-118.
18)C.Necula.(2002).Option pricing in a fractional Brownian motion environment, Working paper,Bucharest,24-34.
19)D.Ahmadian and L.V.Ballestra.(2020).Pricing geometric Asian rainbow options under the mixed fractional Brownian motion. Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,555,120-135.
20)Marjan Uddin and Muhammad Taufiq.(2019).Approximation of time fractional Black - Scholes equation via radial kernels and transformation. fractional differential calculus,9(1),75-90.
21)M.Zili.(2017).Generalized fractional Brownian motion .Modern Stochastics. Theory and Applications,4(1),15-24.
22)S.m.nuugulu,f.gideon.(2021).A robust numerical solution to a time-fractional Black–Scholes partial differential equation describing stock exchange dynamics.chaos,Soliton&Fractals.145,50-70.
23)Sunil Kumar,Devendra Kumar,Jagdev Singh.(2014).Numerical computation of fractional Blacke Scholes equation arising in financial market.Egyptian journal of basic and appliedsciences,1(3-4),177-183.
24)Takayuki Morimoto.(2015).European Option Pricing under Fractional Brownian motion with an Application to Realized.Volatility.FORMA,31(2),29-40.
25)TangTa-lun.(2005).long memory in stock index futures markets:Avalue-at-risk approach. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 366, 437-488.
26)V.Giorno,A.G.Nobile.(2021).Time-Inhomogeneous Feller type diffusion process in population dynamics. Mathematics ,7( 9).
27)zang,H, liu,F,Turner, I,Yang,Q.(2016). Namerical solution of the time fractional black- schools model governing European option.computers & mathematics with application,71(9),1772-1783.