Option Pricing by Binomial Model under Knightian Uncertainty and Transaction Cost in Tehran Stock Exchange

Subject Areas : Financial engineering

Moslem Peymani ¹ , Mostafa Sargolzaei ² , Amir Hosein Mosafa ³

1 - Department of Finance and Banking, Faculty of Management & Accounting, Allame Tabataba'i University, Tehran, Iran
2 - Department of Management and Accounting , University of Allameh Tabataba’i, Tehran. Iran
3 - Department of Finance and Banking Faculty of Management and Accounting Allameh Tabataba'I University. Tehran, Iran

Received: 2023-10-19 Accepted : 2023-12-21 Published : 2024-08-17

Keywords: Tehran Stock Exchange, Transaction cost, Option, Binomial Model, Knightian Uncertainty,

Abstract :

Options are one of the most important derivatives that are trading in most major stock exchanges in today’s world. One of the basic issues in the field of these bonds is valuation and the Binomial model one of the common methods, but it has a number of problems such as the absence of transaction costs and Knightian uncertainty, which have been solved in this research. The purpose in this research is to compare the binomial model under Knightian uncertainty and transaction cost with the Black-Scholes-Merton model. By using these two models, in this research priced options were published since 1397 until the end of 1401. After estimating the theoretical prices of each of the models, it is compared with the market prices, and the amount of prediction error of each of them is calculated using the root mean square error (RMSE). The obtained results show that the Black-Scholes-Merton model has less error than the binomial tree model under Knightian uncertainty and transaction cost. By removing the transaction cost from research model, the error of this model is reduced, and in the symbol-day data that are in the money, this model has a lower error than the Black-Scholes-Merton model.

References:

_|1) افشار، علی. (1401). مقایسه روش‌های مختلف تخمین نوسان در ارزش¬گذاری اوراق اختیار معامله. پایان‌نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه علامه طباطبائی.
2) امیری، مهدیه. (1399). قیمت‌گذاری قراردادهای اختیارمعامله با روش‌های بلک- شولز،بونس و دوجمله‌ای (مطالعه موردی: قراردادهای اختیار معامله سکه طلا در بورس کالای ایران)، فصلنامه بورس اوراق بهادار، 13(50)، 141-170.
3) جلوداری ممقانی، م. (1395). نظریه‌ی آربیتراژ زمان پیوسته. تهران: انتشارات دانشگاه علامه طباطبائی.
4) خوزین، علی و دنکوب، مرتضی. (1390). اولویت‌بندی عوامل مؤثر در به‌کارگیری اوراق مشتقه در بورس اوراق بهادار تهران، فصلنامه مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، 2(7)، 145-165.
5) زینل زاده، وحیده. (1394). قیمت¬گذاری اختیار معامله با درخت دوجمله‌ای ضمنی. پایان‌نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه علم و فرهنگ تهران.
6) سفیدفرد، فهیمه. (1397). قیمت¬گذاری اختیار معامله به روش درخت دوجمله‌ای. پایان‌نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه شهید باهنر کرمان.
7) کشتکاری، معصومه و علومی یزدی، حمیدرضا. (1392). ساختار و چالش‌های حقوقی قرارداد اختیار معامله، مجله مطالعات فقه و حقوق اسلامی، 5(8)، 123.
8) کیمیاگری، علی‌محمد؛ حاجی‌زاده، احسان؛ دستخوان، حسین و رمضانی، مجید. (1396). ارائه یک مدل ترکیبی جدید به‌منظور قیمت‌گذاری قراردادهای اختیار اروپایی. نشریه بین‌المللی مهندسی صنایع و مدیریت تولید; ۲۸ (۱) :۹۹-۸۷.
9) لطفی آصف، هاجر. (1398). بررسی مدل بلک-شولز برای قیمت‌گذاری اختیار معامله با استفاده از نظریه فازی. پایان‌نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه علم و فرهنگ تهران.
10) ماه آورپور، راضیه؛ مشایخ، شهناز و رحمانی، علی. (1400). شناسایی چالش‌های پیاده‌سازی استانداردهای بین‌المللی حسابداری ابزارهای مشتقه: با تأکید بر الزامات افشا، فصلنامه بورس اوراق بهادار، 14(55)، 160-186.
11) مرادی نیک، هادی. (1401). بررسی مدل‌های قیمت‌گذاری اختیار معامله: مطالعه موردی معاملات اختیار بورس تهران. پایان‌نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه تهران.
12) ملک محمدی، سارا. (1399). مقایسه عملکرد مدل‌های ارزش¬گذاری اوراق اختیار معامله در بورس اوراق بهادار تهران. پایان‌نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه علامه طباطبائی.
13) مهردوست، فرشید و صابر، نغمه. (1393). قیمت‌گذاری اختیار معامله تحت مدل هستون مضاعف با پرش. مجله مدل‌سازی پیشرفته ریاضی, 3(2), 45-60.
14) نیسی، ع. و پیمانی فروشانی، م. (1398). مدل‌سازی مالی با استفاده از نرم‌افزار MATLAB. تهران: انتشارات دانشگاه علامه طباطبائی.
15) نیسی، عبدالساده; ملکی، بهروز و رضائیان، روزبه. (1395). تخمین پارامترهای مدل قیمت¬گذاری اختیار معامله اروپایی تحت دارایی¬پایه با تلاطم تصادفی با کمک رهیافت تابع زیان. مجله مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، 91-115.
16) Basili, M. (2001). Knightian uncertainty in financial markets: An assessment. Economic Notes, 30(1), 1-26.
17) Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of political economy, 81(3), 637-54.
18) Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach. Journal of financial Economics, 7(3), 229-263.
19) Heston, S. L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. The review of financial studies, 6(2), 327-343.
20) Hull, J. C. (2021). Option, Futures, and Other Derivatives: Eleventh Edition . New York: Pearson.
21) Jabbour, G. M., Kramin, M. V., & Young, S. D. (2001). Two‐state option pricing: Binomial models revisited. Journal of Futures Markets: Futures, Options, and Other Derivative Products, 21(11), 987-1001.
22) Kleinert, H., & Korbel, J. (2016). Option pricing beyond Black–Scholes based on double-fractional diffusion. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 449, 200-214.
23) Knight, F. H. (1921). Risk, uncertainty and profit (Vol. 31). Houghton Mifflin.
24) Köhn, J. (2017). Uncertainty in economics. Berlin, Germany: Springer. Retrieved June, 20, 2021.
25) Lin, Z., Han, L., & Li, W. (2021). Option replication with transaction cost under Knightian uncertainty. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 567, 125680.
26) Merton, R. C. (1976). Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of financial economics, 3(1-2), 125-144.
27) Nishimura, K. G., & Ozaki, H. (2017). Economics of pessimism and optimism. Springer, 10, 978-4.
28) Podolny, J. M., & Hsu, G. (2003). Quality, exchange, and Knightian uncertainty. In The Governance of Relations in Markets and Organizations (Vol. 20, pp. 77-103). Emerald Group Publishing Limited.
29) Vasicek, O. (1977). An equilibrium characterization of the term structure. Journal of financial economics, 5(2), 177-188.
30) Wu, H. F. (2019). From constant to stochastic volatility: Black-Scholes versus Heston option pricing models.
|_

Full-Text:



فصلنامه مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار

 

ارزش­گذاری اوراق اختیار معامله به روش درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات در بورس اوراق بهادار تهران

چکیده:

اوراق اختیار معامله یکی از مهمترین ابزارهای مشتقه است که امروزه در اکثر بورس­های جهان در حال معامله هستند. از مسائل اساسی در حوزه این اوراق، ارزش­گذاری آن است و مدل دوجمله­ای یکی از روش­های رایج است، ولی یکسری مشکلاتی مانند عدم وجود هزینه معاملات و عدم قطعیت نایتی دارد که در این پژوهش این مشکلات حل شده است. هدف این پژوهش مقایسه مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات با مدل بلک، شولز و مرتون است. این پژوهش با استفاده از این دو مدل به ارزش­گذاری اوراق اختیار معاملات که از ابتدای سال 1397 الی پایان سال 1401 منتشر شده، پرداخته است. پس از تخمین قیمت­های نظری هر یک از مدل­ها به مقایسه آن با قیمت­های بازار پرداخته و مقدار خطای پیش­بینی هر یک از آن­ها را با استفاده از جذر میانگین مربعات خطا RMSE محاسبه می­شود. نتایج بدست آمده نشان می­دهد در حالت کلی مدل بلک، شولز و مرتون دارای خطای کمتری نسبت به مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات است. با حذف هزینه معاملات از مدل مورد پژوهش خطای این مدل کاهش می­یابد، در داده­های نماد-روزی که در سود هستند این مدل خطای کمتری نسبت به مدل بلک، شولز و مرتون دارد.

 

کلمات کلیدی

اوراق اختیار معامله، مدل درخت دو جمله­ای، عدم قطعیت نایتی، هزینه معاملات، بورس اوراق بهادار تهران.

 

 

 

مقدمه

تغییرات گسترده سالیان اخیر در حوزه­های مالی، اقتصادی و فناوری اطلاعات که با تغییرات نرخ­های اوراق­ بهادار، ارز و شوک­های اقتصادی همراه بوده است سبب به وجود آمدن ابزارهای جدید پولی و مالی مانند اوراق مشتقه شده است (خوزین و دنکوب، 1390). اوراق مشتقه قراردادهای مالی هستند که ارزش و بازده آنها با تغییرات ارزش سهام، ارز، نرخ سود، شاخص سهام و سایر دارایی ها مرتبط است (ماه آورپور، مشایخ و رحمانی، 1400). اوراق اختیارمعامله¹ قراردادی دوطرفه است که یکطرف آن با پرداخت مبلغی، اختیار معامله را خریداری می­کند و اختیار یا حق خرید یا فروش یک دارایی پایه را بدست می­آورد. از آن سو فروشنده اختیار معامله مبلغی را به عنوان قیمت اختیار معامله از طرف خریدار دریافت می­کند و متعهد می­شود که در صورت اعمال اختیار از طرف خریدار اقدام به انتقال دارایی پایه کند. در این نوع قرارداد حداکثر زیانی که خریدار متحمل می­شود همان وجهی است که به فروشنده اختیار، پرداخت کرده است (کشتکاری و علومی یزدی، 1392). به صورت کلی دو نوع اوراق اختیار معامله وجود دارد، اوراق اختیارخرید² که دارنده آن حق خرید دارایی پایه را در سررسیدی مشخص و قیمتی معین دارد و اوراق اختیارفروش³ که دارنده آن حق فروش دارایی پایه را در سررسیدی مشخص و قیمتی معین دارد. تاریخ و قیمت تعیین شده در قرارداد تحت عنوان تاریخ اعمال⁴ و قیمت اعمال⁵ نامیده می­شود. در هریک از این قراردادها، خریدار اختیار معامله مبلغی را به عنوان قیمت اختیار⁶ به طرف مقابل پرداخت می­کند و تعیین این قیمت یکی از مباحث مهم بازار های مالی است (امیری، 1399). مدل دوجمله­ای که یک روش برای ارزش­گذاری اختیار معامله است که کاکس، راس و رابینستین⁷ در سال 1979 و همچنین رندلمن و بارتر⁸ در سال 1979 پیشگام معرفی این روش بوده اند. این روش مبتنی بر تشکیل یک سبد بدون ریسک از طریق ترکیب سهام و اختیار معامله این سهام است، چنین پرتفویی باید بازدهی برابر نرخ سود بدون ریسک داشته باشد (جبور، کرامین و یانگ⁹، 2001). البته در برخی از منابع مدل دوجمله­ای با تشکیل یک سبد بدون ریسک با ترکیب سهام پایه و اوراق قرضه با نرخ سود بدون ریسک پیش می­رود (جلوداری ممقانی، 1395). از جمله مهمترین مفروضات مدل دو جمله­ای می­توان به فرض های عدم وجود هزینه معاملاتی و نبود عامل عدم قطعیت نایتی برای راحتی محاسبه اشاره کرد، در حالی که در مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات این موارد در نظر گرفته شده است. این مقاله به دنبال ارزش­گذاری اختیار خریدها با روش جدید هست تا با رفع برخی از محدودیت­های مدل بلک، شولز و مرتون، بتواند امکان ارزش­گذاری اختیارخریدها را با استفاده از این مدل جدید ارزیابی کند. بدین منظور در بخش های بعدی پس از مرور مبانی نظری پژوهش به بررسی مدل درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات، تاثیر پارامترها بر این مدل و پیشینه تحقیق پرداخته خواهد شد و پس از ارائه روش شناسی پژوهش و نتایج در نهایت نتیجه­گیری­ها و پیشنهادات بیان خواهد شد.

مبانی نظری پژوهش

اولین معاملات اختیار معامله در آمریکا و اروپا در اوایل قرن 18 صورت گرفت. سپس اولین بورس اختیار معامله در سال 1973 در بورس شیکاگو (CBOT) به نام بورس اختیار معامله شیکاگو (CBOE) شکل گرفت. بعد از این اتفاق چندین بورس سهام و بورس­های معاملات آتی به مبادله اختیار معامله اقدام نمودند. بورس شیکاگو برای اولین بار موفق به ایجاد یک بازار ساختاریافته با قراردادهای سازمان یافته شد. در سال 1975 در بورس سهام فیلادلفیا (PHLX) و بورس سهام آمریکا (AMEX) معاملات اوراق اختیار معامله شروع شد. با توجه به استقبال معامله­گران از اختیار معامله، حجم معاملات اوراق اختیار معامله در اوایل دهه 1980 از حجم معاملات روزانه سهام در بورس نیویورک پیشی گرفت. همچنین در آمریکا در دهه 1980 بازارهایی برای معاملات اختیار معامله بر روی شاخص سهام، ارز و قراردادهای آتی بوجود آمد (هال، 2021).

تاریخچه اختیار معاملات در ایران با کارهای پژوهشی اولیه در امکان سنجی پیاده‌سازی اختیارمعامله در اواخر دهه 1380 شمسی شروع شد. در سال 1390 موافقت کمیته فقهی در شرعی بودن ابزار اختیار معامله و تصویب دستورالعمل اولیه معاملات قراردادهای اختیار معامله انجام شد. برای نخستین بار در 25 مرداد 91 بر روی سهام شرکت پتروشیمی کرمانشاه قراردادهای اختیار فروش تبعی منتشر شد. با توجه به ریزش بازار در اوایل سال 1393، در تیرماه 1393 به صورت همزمان بر روی 29 سهم فعال در بورس اوراق بهادار تهران، اوراق اختیار فروش تبعی با هدف حمایت از سهامداران تعریف و به بازار عرضه شد. در نهایت در تاریخ 17 آذر 1395 دستورالعمل معاملات قرارداد اختیار معامله در بورس اوراق بهادار تهران و فرابورس ایران توسط هیئت مدیره سازمان بورس و اوراق بهادار به تصویب رسید. در 28 آذرماه 1395، قراردادهای استاندارد شده اختیارمعامله سهام برای اولین بار در ایران و از طریق بورس اوراق بهادار تهران معرفی و بر روی سه سهم پایه شرکت‌های ملی صنایع مس ایران، فولاد مبارکه اصفهان و ایران­ خودرو با سررسید بهمن ماه 1395 عرضه شد. آمار معاملات اختیار معامله از ابتدای سال 1397 شروع به رشد کرده است و از متوسط حجم معاملات ماهانه 80.334 واحد و متوسط ارزش معاملات ماهانه 8.278 میلیون ریال در سال 1397 به متوسط حجم معاملات ماهانه 29.350.000 واحد و متوسط ارزش معاملات ماهانه 4.934.000 میلیون ریال در سال 1401 رسیده است.

حجم معاملات

ارزش معاملات(میلیون ریال)

منبع: یافته­های پژوهشگر

نمودار 1- آمار معاملات اوراق اختیار معامله (ارزش معاملات و حجم معاملات) از فروردین 1397 الی اسفند 1401 در بورس اوراق بهادار تهران

با توجه به رشد روزافزون معاملات اختیارمعامله در بورس اوراق بهادار تهران، موضوع ارزش­گذاری این اوراق نیز به یکی از مهمترین مباحث این اوراق تبدیل شده است. مدل های مختلفی برای قیمت­گذاری اختیارمعامله­ها ارائه شده است که عبارتند از مدل­های اولیه مانند مدل درخت دوجمله­ای، مدل بلک،شولز و مرتون، مدل نوسانات تصادفی هستون، روش شبیه سازی مونت کارلو، مدل پرش انتشار، روش تفاضلات متناهی، مدل هال و وایت¹⁰، مدل اسکات¹¹، مدل استین¹² و... که در این تحقیق هدف بررسی عملکرد مدل درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایت و هزینه معاملات است که این عملکرد با مدل بلک، شولز و مرتون نیز مورد مقایسه قرار می­گیرد.

مدل درخت دو جمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات:

فرانک نایت¹³ اقتصاددان اهل آمریکا در سال 1921 میلادی کتاب خود را تحت عنوان ریسک، عدم قطعیت و سود منتشر کرد. او نخستین فردی بود که به طور خاص میان عدم قطعیت و ریسک تمایز قائل شد که پیامدهای متفاوتی برای عملکرد مکانیسم بازار دارد و به همین دلیل مسیر جدیدی در مطالعات اقتصادی ایجاد شد. تفاوت بین عدم قطعیت نایت و ریسک در این است که ریسک دارای توزیع احتمال شناخته شده است، در حالی که عدم قطعیت توزیع احتمال شناخته شده­ای ندارد و توسط مجموعه­ای از معیارهای احتمال شناخته می­شود و به طور کلی عدم قطعیت بر مفهوم شانس تکیه دارد (باسیلی¹⁴، 2001). ریسک در موقعیت هایی اعمال می­شود که ما از نتایج این موقعیت ها اطلاعی نداریم ولی می­توانیم شانس را به دقت اندازه گیری کنیم، مانند احتمال آمدن هر کدام از اعداد روی تاس ولی در عدم قطعیت ما نمی­توانیم تمام اطلاعات مورد نیاز خود را برای تعییت احتمال دقیق در وهله اول بدانیم (نایت، 1921). کاربرد عدم قطعیت تا قبل از بحران مالی جهانی 2008-2007 نسبتا محدود بود و بیشتر از کنجکاوی نظری روی آن مطالعاتی انجام می­شد، اما بعد از بحران مالی جهانی توجهات به عدم قطعیت نایتی بیشتر شد و مطالعات بیشتری از لحاظ عملی روی آن صورت گرفته است. با توجه به اینکه ریسک، عاملی است که می­تواند از تجربیات گذشته مانند قیمت سهام و رشد اقتصادی برای پیش بینی آینده استفاده کرد. ولی در عدم قطعیت نایتی با توجه به عوامل اقتصادی و اطلاعات گذشته نمی­توان آینده را به صورت کامل پیش بینی کرد ( نیشیمورا و اوزاکی¹⁵، 2017). عدم قطعیت نایتی معمولا با عدم توزیع احتمال شناخته می­شود که باعث عدم اندازه گیری آن می­شود، بعضی از اقتصاددانان معتقدند که عدم قطعیت نایتی دارای توزیع احتمال ذهنی است و همچنین عدم قطعیت منبع اصلی رفتارهای اقتصادی است، آنها معتقدند بدون عدم قطعیت، هیچ نیازی به علم اقتصاد وجود نخواهد داشت چون که هیچ پیشرفت اقتصادی، نوآوری و سودی وجود نخواهد داشت، در نتیجه آنها اعتقاد دارند که عدم قطعیت نایتی باید به یکی از مفروضات اصلی تمام تفکرات اقتصادی و مالی تبدیل شود. همانند بحران مالی 2007 و رکود جهانی پس از آن که تقریبا هیچکس این رکود را ندیده بود و تئوری های اقتصادی غالب قادر به توضیح آن نبودند. نایت دانش بشری را به سه بخش تقسیم کرد: اطمینان، ریسک و عدم قطعیت و همچنین بیان می­کند که اقتصاد به طور خاص به دو مورد ریسک و عدم قطعیت توجه دارد. به این ترتیب بود که نایت عدم قطعیت را در مقابل ریسک و نه مستقل تعریف کرد و بر اساس این فرض بود که گفت دانش بشری به ویژه در مورد آینده و همچنین در مورد حال و گذشته ناقص است. از نظر نایت، هر موقعیتی که در آن احتمالات پیشینی یا آماری قابل دستیابی باشد، ریسک است، در حالی که موقعیت های عدم قطعیت آنهایی هستند که در آن هیچ محاسبه احتمال عینی را نمی­توان اعمال کرد و فقط می­توان از تخمین ها و قضاوت­های شخصی استفاده کرد (کوهن¹⁶، 2017). به صورت کلی می­توان گفت که ریسک به موقعیتی اطلاق می شود که در آن یک شخص از پیامدهای احتمالی برخی اقداماتی که انجام خواهد داد اطلاع دارد و می تواند احتمال وقوع آن نتایج را تخمین بزند ولی عدم قطعیت به موقعیتی اطلاق می شود که در آن یک شخص نتایج احتمالی را پیش بینی می کند اما نمی تواند به طور قابل اعتماد احتمال وقوع آن نتایج را تخمین بزند (پودولنی¹⁷، 2003).

مدل­های اولیه مانند مدل بلک، شولز و مرتون دارای مفروضاتی است که در دنیای واقعی وجود ندارد و از جمله این مفروضات می­توان به عدم وجود هیچگونه هزینه معاملاتی و پیروی قیمت سهام از توزیع خاص اشاره نمود. در حالی که موارد ذکر شده در مدل دو جمله­ای تحت عدم قطعیت نایت و هزینه معاملات وجود ندارد. مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات با اضافه کردن یک عامل عدم قطعیت ⴄ به نوسانات بازده دارایی­ پایه پیش می­رود و این عامل عدم قطعیت موجب عدم قطعیت در u ضریب بالارونده قیمت دارایی پایه و d ضریب پایین رونده قیمت دارایی پایه می­شود. در مدل دو جمله ای ساده نوسانات برابر σ است. با وارد کردن عدم قطعیت به نوسانات، نوسان به  تبدیل می­شود که I در آن یک متغیر تصادفی است که نشان دهنده عدم قطعیت با انحراف معیار ⴄ است. با قرار دادن ضریب عدم قطعیت در نوسانات، u و d به صورت زیر تغییر می­کند (لین، هان و لی، 2021).

(1)                          

(2)                                                                                                

T زمان باقی مانده تا سررسید به صورت کسری از سال و n معرف تعداد دوره های یک درخت دوجمله­ای می­باشد.

با توجه به مدل دوجمله­ای ساده بدون عدم قطعیت نایت، یک اختیار خرید اروپایی را می­توان از طریق مجموعه­ای از سهام پایه و اوراق قرضه بدون ریسک مدل سازی کرد. مقدار سهام با موقعیت خرید برابر با ∆ که ∆ عددی بین صفر و یک است و مقدار اوراق قرضه بدون ریسک برابر B با موقعیت فروش. در زمان 1، ارزش اختیار خرید در دو حالت بالا رفتن و پایین رفتن قیمت سهام برابر مقادیر زیر است:

(3)                                         

(4)                                                

S در این روابط بیانگر قیمت فعلی سهام پایه، K بیانگر قیمت اعمال اختیارمعامله، 0∆ برابر مقدار سهام در زمان صفر، B0 بیانگر مقدار اوراق قرضه بدون ریسک در زمان صفر و r نیز نرخ سود بدون ریسک می­باشد. حال با اضافه کردن عدم قطعیت به مدل، ضریب بالارونده به u* و ضریب پایین رونده به d* تبدیل می­شود، که در این صورت ارزش اختیار خرید به صورت زیر خواهد بود:

(5)                             

بنابراین خطای مدل ساده و مدل تحت عدم قطعیت نایتی به صورت زیر خواهد بود:

(6)                                                  

سرمایه­گذار باید u* و d* را انتخاب کند که RMSE را به حداقل برساند، بنابراین u* و d* به صورت زیر خواهد بود:

(7)                                                     

حالا ما متغیر تصادفی I را داریم که مستقل است و به صورت یکسان توزیع شده است که از توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس ⴄ2 پیروی می­کند، در نتیجه ما داریم:

(8)                                             

(9)                                         

با توجه به اینکه مقدار  مقدار بی نهایت کوچک است، از آن چشم پوشی می­کنیم:

(10)                                             

(11)                                             

رابطه 10 و 11 را می­توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

(12)                    ,                            

در زمان t، مرتبه اول لحظه نوسان¹⁸" یک لحظه آماری در مکانیک "(لحظه مرتبه اول متغیر تصادفی X برابر امید ریاضی E(X) است) و مرتبه دوم لحظه نوسان¹⁹(لحظه مرتبه دوم متغیر تصادفی X برابر var(X) است)  به صورت زیر است:

(13)                                                             

(14)                                        

با حل دو رابطه بالا می­توان به فرمول عامل عدم قطعیت ⴄ رسید:

(15)                                                                       

E(σt) و var(σt) را می­توان با استفاده از داده های تاریخی تخمین زد و سپس با استفاده از رابطه 15 عامل عدم قطعیت (ⴄ) را محاسبه کرد. با توجه به اینکه با افزایش دوره های (n) مدل دوجمله­ای می­توان خطای این مدل را کاهش داد ولی با افزایش تعدیل برای بهینه سازی پرتفوی بدون ریسک برای پوشش مستمر، سرمایه­گذاران با مقدار قابل توجه و غیرقابل اغماض هزینه معاملات مواجه خواهند شد، درنتیجه باید هزینه معاملات را نیز در مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی در نظر بگیریم. با در نظر گرفتن هزینه معاملات در قیمت گذاری اوراق اختیار معامله ضریب های بالارونده و پایین­رونده قیمت به صورت زیر خواهد بود:

(16)                                                        

(17)                                                      

k در این رابطه معرف هزینه معاملات دارایی پایه است.

با توجه به روابط بالا درخت دوجمله­ای را تشکیل خواهد شد و قیمت فعلی اختیار خرید بدست خواهد آمد. به صورت کلی در زمان صفر قیمت دارایی پایه را S0,1 در نظر گرفته می­شود و همچنین قیمت اختیارمعامله که در حال حاضر در بازار در حال معامله است را V0 در نظر گرفته می­شود، سپس زمان تا سررسید اختیار معامله را به n دوره مساوی تقسیم می­شود. در دوره اول قیمت مورد انتظار ممکن است در صورت افزایش به S0u و در صورت کاهش به S0d برسد. همچنین میدانیم که (u-1)*100 درصد افزایش قیمت سهام را نشان می­دهد و u > 1 است. همچنین (1-d)*100 درصد کاهش قیمت سهام را نشان می­دهد و d < 1 است. در دوره n ام نیز قیمت سهام در بالاترین حالت ممکن به Sun و در پایین­ترین حالت ممکن نیز به Sdn می­رسد. در آخرین گره ممکن قیمت اختیارخرید را با استفاده از رابطه 18 محاسبه می­شود و سپس با روش بازگشتی اختیارخریدهای ماقبل گره آخر با استفاده از رابطه 19 محاسبه می­شود. در نهایت به همین ترتیب به عقب برگشته تا بتوان اختیارخرید را در زمان حال ارزش­گذاری کرده و C0,1 را بدست ­بیاورند و با قیمت بازاری اختیارخرید (V0) مقایسه کنند.

بدین ترتیب در آخرین گره موجود قیمت اختیار خرید به صورت زیر محاسبه خواهد شد:

(18)                                                            

و در گره های ماقبل آخر قیمت اختیار خرید به صورت زیر محاسبه خواهد شد:

(19)                                                           

در رابطه 19، P را به صورت زیر داریم (احتمال بالا رفتن قیمت سهام در فضای ریسک خنثی را با P و احتمال پایین آمدن قیمت سهام در این فضا را با (1-P) نشان می­دهند)

(20)                                                                                         

 

تاثیر پارامترها بر مدل قیمت گذاری دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات

با افزایش و کاهش قیمت سهام پایه به ترتیب قیمت اختیار خرید افزایش و کاهش می­یابد، در واقع قیمت سهام پایه و قیمت اختیارخرید دارای رابطه مستقیم هستند. همچنین با افزایش عدم قطعیت قیمت اختیارخرید نیز افزایش پیدا می­کند. اگر اختیارخرید کاملا در سود²⁰ یا کاملا در زیان²¹ باشد، می­توان از تاثیر عدم قطعیت بر قیمت اختیار خرید چشم پوشی کرد و عدم قطعیت بیشترین تاثیر را در اختیارخرید بی تفاوت²² دارد. با افزایش و کاهش قیمت اعمال، قیمت اختیار خرید به ترتیب کاهش و افزایش می­یابد، در واقع قیمت اختیار خرید با قیمت اعمال رابطه عکس دارد. همچنین با افزایش هزینه معاملات، قیمت اختیار خرید نیز افزایش می­یابد. در کل می­­توان گفت هزینه معاملات بیشترین تاثیر را برروی اختیارخرید بی تفاوت (ارزش ذاتی صفر) دارد و می­توان تاثیر هزینه معاملات برروی اختیارخریدهای کاملا در سود یا کاملا در زیان را نادیده گرفت. با افزایش نوسانات، عدم قطعیت تاثیر بیشتری بر قیمت اختیار خرید می­گذارد، در واقع می­توان نتیجه گرفت که عدم قطعیت در بازارهایی که نوسانات بیشتری دارند، تاثیر بیشتری بر قیمت اختیارخرید می­گذارد. همچنین رابطه بین عدم قطعیت و قیمت اختیارخرید رابطه غیر خطی است زیرا افزایش عدم قطعیت، قیمت اختیارخرید با نرخ تندتری افزایش پیدا می­کند.

پیشینه تحقیق

لوییس بشیلیه²³ ریاضیدان فرانسوی در آغاز قرن بیستم بود. او در رساله دکتری خود که در سال 1900 دفاع کرد، مدلی از قیمت سهام تحت فرآیند تصادفی که اکنون به نام حرکت براونی نامیده می­شود، مدل­سازی کرد. بشیلیه بر اساس مشاهدات خود از بورس اوراق بهادار پاریس، این نظریه را مطرح کرد که سطح مشخصی از تصادفی بودن، زیربنای نوسانات قیمت سهام را تشکیل می­دهد. او استدلال می­کرد که قیمت ها به صورتی که نمی­توان پیش بینی کرد بالا یا پایین می­روند. احتمال منفی شدن قیمت سهام را می­توان به عنوان یکی از مشکلات مدل او دانست. مدل او در توسعه سایر مدل ها بخصوص مدل بلک، شولز و مرتون نقش عمده ای داشت، به همین دلیل او را پدر علم ریاضیات مالی می­نامند.

افراد زیادی در سال های 1960 الی 1970 تلاش کردند تا مدل جدید برای قیمت گذاری اوراق اختیار معامله ارائه دهند که از جمله آن ها، اسپرنکل²⁴ که در سال 1961 فرض کرد که قیمت سهام از توزیع لگ نرمال پیروی می­کند، همین فرض باعث شد تا احتمال منفی شدن قیمت سهم در مدل بشیلیه رفع شود. بونس²⁵ نیز در سال 1964، اهمیت صرف ریسک را درک کرد و به مدل خود اضافه کرد و در نهایت مدلی شبیه به مدل اسپرنکل ارائه داد. 

ساموئلسون²⁶ (1965) با بسط مدل بشیلیه قیمت سهام را با فرض حرکت براونی هندسی مدل­سازی کرد، او به این نتیجه رسید که با توجه به ریسک متفاوت سهام و اختیار معامله نرخ بازده مورد آن ها با یکدیگر متفاوت است.

مرتون²⁷ و ساموئلسون در سال 1969، مقاله ای را ارئه دادند و فرض کردند که قیمت اختیار معامله تابعی از قیمت سهام است.

بلک و شولز (1973) آن ها سبد بدون ریسک متشکل از دارایی پایه و اختیار معامله تشکیل دادند و با استفاده از نظریه آربیتراژ و در نظر گرفتن شرایطی ایده آل برای سهام و اختیار معامله، مدلی جدید برای قیمت­گذاری اختیار معامله های اروپایی ارائه دادند.

مرتون در سال 1976 مدل انتشار پرش مرتون را ارائه داد، از نظر تجربی بازده سهام تمایل به داشتن دم پهن دارد در واقع ممکن است قیمت سهام به دلیل انتشار اطلاعات مهم جدید تغییرات ناگهانی یا پرش داشته باشد. مدل مرتون یک جزء پرش را بر­ روی جزء انتشار قرار می­دهد.

واسیچک²⁸ (1977) یک مدل ریاضی به وجود آورد که برای تخمین مسیرهای بالقوه تغییرات نرخ سود آتی در اقتصاد مالی مورد استفاده قرار می­گیرد، در واقع یک نوع مدل­سازی است که به تصمیم گیری سرمایه­گذاران کمک می­کند. حرکت نرخ سود به عنوان عاملی متشکل از ریسک بازار، زمان و ارزش تعادلی است و نرخ سود به مرور زمان به سمت میانگین باز می­گردد. این مدل با در نظر گرفتن نوسانات فعلی بازار، ارزش متوسط نرخ سود بلند مدت و یک عامل ریسک بازار، نشان می­دهد که نرخ های سود در پایان یک دوره زمانی معین به کجا می­رسند.

در سال 1979 کاکس، راس و رابینستین مدل قیمت­گذاری دو جمله ای اختیار معامله را ارائه دادند، که در این مدل قیمت سهام با نسبت مشخصی بالا و پایین می­رود و سپس با یک روش برگشتی قیمت فعلی اختیار معامله را بدست می­آید، از این روش می­توان برای قیمت­گذاری اوراق اختیار معامله اروپایی و آمریکایی استفاده کرد.

هستون در سال 1993 مدل جدیدی به نام مدل نوسانات تصادفی هستون ارائه کرد، در این مدل دارایی پایه و نوسانات هرکدام جداگانه دارای یک فرآیند انتشار بودند و از این مدل برای ارائه مدل های پیشرفته تر استفاده شد.

کلاینرت و کوربل²⁹ در سال 2016 نشان دادند که قیمت­گذاری اختیارمعامله­ها با کمک معادله دیفرانسیل دو کسری پوشش مطمئن تری نسبت به قیمت­گذاری به روش بلک، شولز و مرتون در برابر افت شدید قیمت سهام می­دهد.

مهردوست و صابر (1392) با توجه به خبرهای گوناگون که باعث تغییرات شدید در قیمت دارایی های پایه موجود در بازار سرمایه می­شود در پژوهش خود به معرفی مدل تلاطم هستون پرشی پرداخته اند. این مدل بدلیل انعطاف پذیری بالاتر و همچنین پوشش تغییرات ناگهانی قیمت نسبت به مدل هستون می­تواند در بازار های مالی مانند سهام، طلا و بازار نفت مورد استفاده قرار گیرد و نتایج بهتری را در اختیار ما قرار دهد. هدف اصلی این مقاله معرفی این مدل و استخراج یک روش ارزش­گذاری اختیار معامله اروپایی با استفاده از آن است. در این تحقیق از داده های واقعی استفاده نشده است.

سفیدفرد، (1397) در پایان نامه خود با توجه به گسترش مشقات مالی بخصوص اختیار معامله برای مدیریت ریسک که قیمت­گذاری اختیار معامله به یکی از مسائل مهم و چالشی در ریاضیات مالی تبدیل شده است. او در این پایان نامه خود قیمت گذاری اختیار معامله ها را با روش دوجمله­ای انجام داده است. به صورتی که قیمت پایانی 10 شرکت بورس اوراق بهادار تهران در طول دوره سه ساله را دریافت و سپس قیمت اختیار معامله ها و سود و زیان حاصل از اعمال آن ها را محاسبه نموده است. در این پژوهش اطلاعات اختیار معامله ها به صورت مثال فرضی در نظر گرفته شده است.

زینل­ زاده، (1394) در پایان­نامه خود از روش مدل دوجمله­ای ضمنی برای قیمت­گذاری اختیار معاملات استفاده کرده و برای انجام این کار ابتدا یک تابع نوسانات ضمنی را بر اساس قیمت توافقی که از قیمت اختیار معامله های بازار و درون­یابی آن ها بدست می­آید، در نظر گرفته است و سپس براساس آن اختیار معامله ها را قیمت­گذاری کرده است.

کیمیاگری و همکاران (1396) در پژوهش خود به قیمت­گذاری اختیار معامله ها برروی شاخص اس اند پی 500 پرداخته­اند. به دلیل اهمیت پارامتر نوسانات بازده شاخص در این پژوهش برای مدلسازی نوسانات از مدل های سری زمانی گارچ مانند EGARCH، GARCH و GJR-GARCH استفاده شده است، سپس بهترین خروجی را به عنوان ورودی مدل­های ناپارامتری و بلک شولز مورد استفاده قرار داده­اند. در این مقاله، دو مدل براساس شبکه های عصبی و عصبی فازی ارائه شده است و عملکرد آن ها روی داده های واقعی اختیار معامله شاخص اس اند پی 500 مورد سنجش قرار گرفته است که نتایج بدست آمده نشان می­دهد مدل های شبکه عصبی فازی و عصبی نتایج بهتری نسبت به مدل بلک شولز می­دهد.

لطفی آسف، (1398) در پایان نامه خود با توجه به نوسانات بازارهای مالی، عدم قطعیت و بی ثباتی در قیمت­گذاری اختیار معامله، استفاده از مدل نوسانات فازی برای قیمت­گذاری واقعی به جای ریسک پیشنهاد کرده است. در نتیجه در این پژوهش روش جدیدی برای قیمت­گذاری اختیار معامله با استفاده از معادله دیفرانسیل بلک شولز طبق تئوری مجموعه فازی ارائه شده است. پژوهشگر در این پژوهش به این نتیجه رسیده است که خطای پیش بینی ارزش اختیار معامله زمانی که ضریب نوسان با استفاده از روش تقریب ضمنی بارادیا-کرستوفایدز-سالکین بدست آمده بسیار کمتر از زمانی است که ضریب نوسانات با استفاده از داده های سهام در طول یک سال بدست می­آید.

امیری، (1399) در پژوهش خود به قیمت­گذاری اختیار معامله سکه طلا با مدل های بلک-شولز، بونس و دوجمله­ای در بورس کالا ایران پرداخته است. نوسانات دارایی پایه بر اساس مدل گارچ برآورد شده است و در مدل های قیمت­گذاری مورد استفاده قرار گرفته است. نتایج نشان می­دهد که در اختیار خرید ها قیمت نظری محاسبه شده مدل بلک-شولز بالاتر از همه مدل ها است و در اختیار فروش قیمت نظری پیش بینی شده مدل بلک-شولز کمتر از سایر مدل ها است.

ملک محمدی، (1399) در پایان نامه خود به بررسی عملکرد سه مدل قیمت گذاری اوراق اختیار معامله، مدل بلک شولز، مدل دارای انتشار پرش مرتون و مدل تلاطم تصادفی هستون برروی اختیار معامله­های موجود در بورس تهران پرداخته است. نتایج حاصله نشان می­دهد به ترتیب روش های بلک شولز، مدل تلاطم تصادفی هستون و مدل دارای انتشار پرش مرتون قیمت اختیار معامله را بهتر پیش بینی می­کنند.

مرادی نیک، (1401) در پایان نامه خود به بررسی دو مدل قیمت­گذاری دوجمله­ای و بلک شولز پرداخته است. او در مطالعه خود به مقایسه روش بلک شولز با تلاطم یکساله، شش ماهه، استفاده از نوسانات ضمنی پر معامله ترین اختیار معامله هر سررسید برای هر نماد، استفاده از نوسانات ضمنی روز قبل و روش درخت دوجمله­ای پرداخته است. نتایج بدست آمده با معیار RMSE نشان می­دهد مدل بلک شولز با استفاده از تلاطم ضمنی در هر دو روش نتایج دقیق­تری را نسبت به قیمت واقعی پیش بینی می­کند.

با توجه به رشد روزافزون بازارهای مشتقات در دنیا و همچنین به دلیل نوپا بودن بازار اختیارمعامله در ایران، نیاز به انجام پژوهش­ها در این حوزه احساس می­شود. اگرچه در دنیا پژوهش های فراوانی انجام شده است ولی در ایران حجم پژوهش­ها کم بوده و در اکثر پژوهش­ها از داده­های غیر واقعی و یا داده­های واقعی محدود استفاده شده است. ولی در این پژوهش از تمام داده­های اختیار خریدهای منتشر شده از ابتدای سال 1397 تا انتهای سال 1401 استفاده شده است که می­تواند منجر به دقیقتر و واقعی­تر شدن نتایج حاصله بشود. همچنین در مدل مورد پژوهش هم هزینه معاملات و هم عدم قطعیت ناتی در نظر گرفته شده است که در هیچکدام از پژوهش های داخلی، این متغیرها در نظر گرفته نشده است.

سوال پژوهش

عملکرد مدل ارزش­گذاری اوراق اختیار معامله به روش درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات در بورس اوراق بهادار تهران و مقایسه آن با مدل بلک، شولز و مرتون؟

روش شناسی پژوهش

این پژوهش به لحاظ هدف از نوع کاربردی است و همچنین با توجه به اینکه در این پژوهش از داده­های عددی استفاده شده است، می­توان گفت که این تحقیق از نوع کمی است. این پژوهش بدون دخالت در متغیرها و وقوع رویدادها تنها به دنبال شناخت بیشتر شرایط موجود و کمک به فرآیند تصمیم­گیری است، در نتیجه می­توان گفت پژوهش از نوع توصیفی است و از نظر بعد زمانی نیز پژوهش ما از نوع گذشته نگر است.

این پژوهش به دنبال بررسی عملکرد مدل ارزش­گذاری دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایت و هزینه معاملات در بورس اوراق بهادار تهران است. بدین منظور روش نمونه گیری در این پژوهش حذف سیستماتیک با استفاده از چندین فیلتر است. ابتدا لیست کل اوراق اختیارخریدهای موجود در بورس اوراق بهادار تهران را که از ابتدای سال 1397 تا انتهای سال 1401 منتشر شده اند را از سایت شرکت مدیریت فناوری بورس تهران ³⁰استخراج می­شود. در بین این سال­ها 4580 اختیار خرید برروی 53 نماد بورسی منتشر شده است. از این تعداد فقط 2659 اختیارخرید دارای حداقل یک معامله در کل روزهای معاملاتی خود بین سال 1397 الی 1401 هستند. شرط بعدی این است که این اوراق اختیارخرید حداقل 50 روز در طول دوره معاملاتی خود معامله شده باشند که از بین این اوراق فقط 488 اختیارخرید دارای این شرط می­باشند، همچنین از این تعداد 18 اختیارخرید برروی صندوق های قابل معامله در بورس هستند که آن­ها را نیز حذف می­شوند. در نتیجه 470 اختیارخرید برروی 28 نماد بورسی، دارای حداقل 50 روز معاملاتی در طول دوره معاملاتی خود هستند. سپس باید اختیار خریدهایی که نسبت تعداد روزهایی که نماد معامله شده است به تعداد کل روزهای معاملاتی آن اختیار حداقل برابر 6/0 باشد انتخاب شود. از بین این اوراق اختیار خرید فقط 380 اختیار خرید برروی 26 نماد بورسی دارای این شرط هستند. کل این 380 اختیار خرید دارای 27.981 نماد-روز معاملاتی هستند. سپس باید روزهای باقی مانده تا سررسید اختیار خریدها کمتر از 5 روز معاملاتی نباشد، پس از اعمال این شرط 26.884 نماد-روز معاملاتی باقی می­ماند. آخرین غربال این است که اگر اختیار خریدهایی در روز معاملاتی قیمت پایانی کمتر از 10 ریال داشته باشند، آن روز معاملاتی را حذف می­شود، که بعد از اعمال این شرط کل روزهای معاملاتی 380 اختیار خرید موجود برابر 25.852 نماد-روز معاملاتی می­شود که ارزش­گذاری اختیار خریدها با دو مدل برروی این 25.852 داده موجود انجام می­شود. از این فیلترها به منظور حذف اختیار خریدهای کم معامله شده، حذف داده­های پرت و همچنین حذف معاملات غیرعادی استفاده می­شود. همچنین برای استخراج نرخ سود بدون ریسک ابتدا داده­های اوراق اسناد خزانه اسلامی را از سایت فرابورس ایران³¹دریافت کرده و سپس به صورت روزانه نرخ میانگین بازدهی تا سررسید اوراق اسناد خزانه اسلامی­های معامله شده در آن روز را محاسبه شده و از این نرخ در مدل­ها استفاده می­شود.

روش تجزیه و تحلیل داده­ها

در مدل بلک، شولز و مرتون ابتدا باید برای هر اختیارخرید داده های قیمتی دارایی پایه آن را استخراج کنیم و سپس بازدهی لگاریتمی روزانه دارایی پایه را محاسبه کنیم. سپس با استفاده از بازدهی لگاریتمی محاسبه شده، نوسانات بازدهی سهم پایه را محاسبه می­کنیم. برای محاسبه انحراف معیار بازدهی سالانه سهام، ابتدا بازدهی لگاریتمی روزانه سهام را محاسبه می­کنیم سپس با توجه به اینکه انحراف معیار در بازه 180 روزه کمترین خطا را دارد (افشار، 1401)، ابتدا انحراف معیار روزانه بازدهی سهام را در بازه 180 روزه محاسبه می­کنیم و سپس برای محاسبه انحراف معیار سالانه بازدهی سهام عدد حاصل را در ریشه دوم تعداد روزهای معاملاتی سالانه بورس اوراق بهادار تهران (240 روز) ضرب می­کنیم. در نهایت با استفاده از داده های سایت بورس اوراق بهادار تهران پارامترهای مربوط به مدل بلک،شولز و مرتون مانند قیمت سهام، قیمت اعمال، انحراف معیار بازدهی لگاریتمی دارایی پایه و تعداد روزهای باقی مانده تا سررسید اوراق اختیار معامله را جمع آوری می­کنیم و نرخ سود بدون ریسک را با استفاده از داده­های قیمت اسناد خزانه اسلامی موجود در سایت فرابورس ایران محاسبه می­کنیم. سپس اوراق اختیار معامله­ها را به روش مدل بلک، شولز و مرتون ارزش­گذاری می­کنیم.

در مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایت و هزینه معاملات ابتدا طول عمر اختیار معامله را به n دوره مساوی تقسیم می­کنیم. سپس برای محاسبه عدم قطعیت ⴄ از مدل  GARCH(1,1)برای تخمین واریانس شرطی روزانه و نوسانات شرطی استفاده می­کنیم. مدل­­های GARCH به واریانس شرطی این امکان را می­دهد که به مقادیر وقفه خود نیز وابسته باشند در نهایت ما میانگین (E(σt)) و واریانس (Var(σt)) نوسانات شرطی سالانه را بدست می­آوریم که با استفاده از این دو عامل می­توان عدم قطعیت را محاسبه کرد.

(21)                                 

در رابطه فوق مقدار واریانس برازش شده به عنوان تابعی موزون از میانگین بلندمدت (وابسته به مقدار )، اطلاعات موجود در خصوص نوسانات دوره قبل  و مقدار برازش شده واریانس توسط مدل در دوره قبل  است. در نهایت مانند روش تجزیه و تحلیل داده های مدل بلک، شولز و مرتون داده های مورد نیاز روابط مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایت و هزینه معاملات که در فصل دو به آنها اشاره شده قیمت اختیارخرید را تخمین زده. همانگونه که در فصل دوم اشاره شد k هزینه معاملاتی که در مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات وجود دارد مربوط به هزینه معاملات دارایی پایه یعنی همان سهام است. اضافه کردن هزینه معاملات به مدل ارزش­گذاری اختیارخرید، باعث بالا رفتن قیمت نظری اختیار خرید می­شود. در واقع هزینه معاملات رابطه مستقیم با قیمت نظری اختیار خرید دارد و با بالارفتن هزینه معاملات، قیمت نظری اختیارخرید نیز افزایش پیدا می­کند. همچنین برای سنجش میزان خطا مدل دوجمله تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات، یکبارهم هزینه معاملات را صفر می­گذاریم تا با توجه به خطای مدل ببینیم که پیش بینی مدل بهتر می­شود یا بدتر.

جدول 1-تغییرات هزینه معاملات دارایی پایه(سهام) از ابتدای سال 1397 الی انتهای سال 1401

تاریخ	هزینه معاملات خرید	هزینه معاملات فروش
از 01/01/1397الی 02/06/1397	00464/0	00975/0
از 03/06/1397 الی 29/12/1397	00464/0	00575/0
از 01/01/1398 الی 31/04/1399	00464/0	00975/0
از 01/05/1399 الی 29/12/1401	003712/0	0088/0

منبع: بورس اوراق بهادار تهران

بررسی سوال پژوهش

در این پژوهش دو مدل درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات و بلک، شولز به وسیله عدد جذر میانگین مربعات خطا RMSE باهم مقایسه می­شود. هر چقدر عدد جذر میانگین مربعات خطا برای یک مدل کمتر باشد آن مدل قیمت نظری نزدیک­تری به قیمت بازار را تخمین زده است و در نتیجه آن مدل بهتر است. همانطور که در جدول 1-5 نشان داده شد، میانگین خطای RMSE مدل بلک، شولز و مرتون برابر عدد 607/0 و میانگین خطای RMSE مدل درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات برابر 83/0 است. در نتیجه می­توان گفت مدل بلک، شولز و مرتون قیمت اوراق­اختیار خرید را به صورت واقعی تر پیش بینی می­کند. علت عملکرد ضعیف­تر مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت ناتی و هزینه معاملات را می­توان به صورت زیر بیان کرد. هر چه میزان هزینه معاملات و همچنین عامل عدم­قطعیت نایتی بالا می­رود، مدل قیمت بالاتری را برای اختیارخریدها بدست می­آورد زیرا هزینه معاملات و عامل عدم قطعیت نایتی به صورت مستقیم بر ضریب های مدل تاثیر می­گذارد و باعث بالا رفتن ضریب بالارونده و پایین آمدن ضریب پایین رونده می­شود و چون ما تعداد دوره های مدل دوجمله­ای را برابر 30 (30n=) قرار داده ایم تاثیر این عوامل مضاعف­تر شده و قیمت بالاتر یا پایین­تری ارائه می­دهد. در واقع هر چه تعداد دوره های مدل دوجمله­ای، هزینه معاملات و عامل عدم قطعیت پایین­تر باشد، مدل قیمت دقیق­تری را پیش­بینی می­کند و باعث می­شود که خطا مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایت و هزینه معاملات پایین­تر بیاید.

نتیجه­گیری و پیشنهادات

هدف از این پژوهش، گسترش علم ارزش­گذاری اوراق­اختیارمعامله در بازار نوپا و درحال گسترش اوراق ­اختیارمعامله در بورس ­اوراق ­بهادار­ تهران است. همچنین علاقه­مندان و پژوهشگران این حوزه می­توانند با در اختیار داشتن نتایج این پژوهش به انجام مطالعات تکمیلی­تر و کاربردی­تر در این حوزه بپردازند. از لحاظ کاربردی نیز می­تواند نتایج این پژوهش در تصمیم­گیری به معامله­گران، سرمایه­گذاران و مدیران نهادهای مالی و سرمایه­گذاری کمک کند.

در این پژوهش دو مدل درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات و بلک، شولز به وسیله عدد جذر میانگین مربعات خطا RMSE باهم مورد مقایسه قرار می­گیرند. هر چقدر عدد جذر میانگین مربعات خطا برای یک مدل کمتر باشد آن مدل قیمت نظری نزدیک­تری به قیمت بازار را تخمین زده است و در نتیجه آن مدل بهتر است.

 

 

 

جدول 2- مقایسه میانگین خطای مدل درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات و مدل بلک، شولز و مرتون

مدل	میانگین RMSE کلی	میانگین RMSE در سود	میانگین RMSE در زیان
مدل بلک، شولز و مرتون	607/0	273/0	895/0
مدل درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات	83/0	295/0	256/1
مدل درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و بدون هزینه معاملات	657/0	27/0	976/0

منبع: یافته­های پژوهشگر

با توجه به جدول 2 می­توان نتیجه گرفت که در کل مدل بلک، شولز و مرتون بهتر از مدل درخت دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات قیمت اوراق­اختیارخرید را پیش بینی می­کند، در نتیجه مدل بلک، شولز و مرتون قابلیت اتکا و پیش بینی بهتر دارد و برای قیمت گذاری اوراق­اختیارخرید در بازار بورس اوراق بهادار تهران بهتر است از این مدل استفاده شود. همچنین با حذف هزینه معاملات از مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و هزینه معاملات، می­بینیم که خطای مدل کاهش قابل توجهی پیدا کرده است. می­توان مشاهده کرد که تمامی مدل­ها اختیارهای در سود را نسبت به اختیارهای در زیان، بهتر و دقیق­تر پیش­بینی می­کنند و در اختیارهای در سود مدل دوجمله­ای تحت عدم قطعیت نایتی و بدون هزینه معاملات دارای خطای کمتری نسبت به مدل بلک، شولز و مرتون است ولی در اختیارهای در زیان مدل بلک، شولز و مرتون دارای خطای کمتری نسبت به مدل­های دیگر است.

انجام این پژوهش با یکسری محدودیت هایی مانند عمق کم بازار، کم حجم بودن معاملات روزانه و کم بودن تعداد شرکت­هایی که روی سهامشان اختیار معامله منتشر شده، مواجه بوده است.

برای تحقیقات آتی هم پیشنهاد می­شود که مدل­های جدید مورد بررسی قرار بگیرد تا بتوان با مقایسه این مدل­ها با مدل بلک، شولز و مرتون به مناسب­ترین مدل را برای قیمت­گذاری اوراق اختیار معامله در بورس اوراق بهادار تهران برسند. همچنین پیشنهاد می­شود هزینه معاملات و عامل عدم قطعیت نایتی را به مدل بلک، شولز و مرتون، مدل هستون و مدل پرش انتشار مرتون اضافه کنند و نتایج را مورد بررسی قرار دهند و در آخر پیشنهاد می­شود این پژوهش بر روی اوراق اختیارمعامله موجود در فرابورس ایران و بورس کالا نیز انجام شود.

 

 

منابع

1) افشار، علی. (1401). مقایسه روش های مختلف تخمین نوسان در ارزش­گذاری اوراق اختیار معامله. پایان نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه علامه طباطبائی.

2) امیری، مهدیه. (1399). قیمت گذاری قراردادهای اختیارمعامله با روش های بلک- شولز،بونس و دو جمله ای (مطالعه موردی: قراردادهای اختیار معامله سکه طلا در بورس کالای ایران)، فصلنامه بورس اوراق بهادار، 13(50)، 141-170.

3) جلوداری ممقانی، م. (1395). نظریه­ ی آربیتراژ زمان پیوسته. تهران: انتشارات دانشگاه علامه طباطبائی.

4) خوزین، علی و دنکوب، مرتضی. (1390). اولویت بندی عوامل موثر در بکارگیری اوراق مشتقه در بورس اوراق بهادار تهران، فصلنامه مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، 2(7)، 145-165.

5) زینل زاده، وحیده. (1394). قیمت­گذاری اختیار معامله با درخت دوجمله ای ضمنی. پایان نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه علم و فرهنگ تهران.

6) سفیدفرد، فهیمه. (1397). قیمت­گذاری اختیار معامله به روش درخت دو جمله ای. پایان نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه شهید باهنر کرمان.

7) کشتکاری، معصومه و علومی یزدی، حمیدرضا. (1392). ساختار و چالش های حقوقی قرارداد اختیار معامله، مجله مطالعات فقه و حقوق اسلامی، 5(8)، 123.

8) کیمیاگری، علی محمد؛ حاجی زاده، احسان؛ دستخوان، حسین و رمضانی، مجید. (1396). ارائه یک مدل ترکیبی جدید به منظور قیمت گذاری قراردادهای اختیار اروپایی. نشریه بین المللی مهندسی صنایع و مدیریت تولید; ۲۸ (۱) :۹۹-۸۷.

9) لطفی آصف، هاجر. (1398). بررسی مدل بلک-شولز برای قیمت گذاری اختیار معامله با استفاده از نظریه فازی. پایان نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه علم و فرهنگ تهران.

10) ماه آورپور، راضیه؛ مشایخ، شهناز و رحمانی، علی. (1400). شناسایی چالشهای پیاده سازی استانداردهای بین المللی حسابداری ابزارهای مشتقه: با تاکید بر الزامات افشا، فصلنامه بورس اوراق بهادار، 14(55)، 160-186.

11) مرادی نیک، هادی. (1401). بررسی مدل‌های قیمت‌گذاری اختیار معامله: مطالعه موردی معاملات اختیار بورس تهران. پایان نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه تهران.

12) ملک محمدی، سارا. (1399). مقایسه عملکرد مدل های ارزش­گذاری اوراق اختیار معامله در بورس اوراق بهادار تهران. پایان نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه علامه طباطبائی.

13) مهردوست، فرشید و صابر، نغمه. (1393). قیمت گذاری اختیار معامله تحت مدل هستون مضاعف با پرش. مجله مدل‌سازی پیشرفته ریاضی, 3(2), 45-60.

14) نیسی، ع. و پیمانی فروشانی، م. (1398). مدل سازی مالی با استفاده از نرم افزار MATLAB. تهران: انتشارات دانشگاه علامه طباطبائی.

15) نیسی، عبدالساده; ملکی، بهروز و رضائیان، روزبه. (1395). تخمین پارامترهای مدل قیمت­گذاری اختیار معامله اروپایی تحت دارایی­پایه با تلاطم تصادفی با کمک رهیافت تابع زیان. مجله مهندسی مالی و مدیریت اوراق بهادار، 91-115.

16) Basili, M. (2001). Knightian uncertainty in financial markets: An assessment. Economic Notes, 30(1), 1-26.

17) Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of political economy, 81(3), 637-54.

18) Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach. Journal of financial Economics, 7(3), 229-263.

19) Heston, S. L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. The review of financial studies, 6(2), 327-343.

20) Hull, J. C. (2021). Option, Futures, and Other Derivatives: Eleventh Edition . New York: Pearson.

21) Jabbour, G. M., Kramin, M. V., & Young, S. D. (2001). Two‐state option pricing: Binomial models revisited. Journal of Futures Markets: Futures, Options, and Other Derivative Products, 21(11), 987-1001.

22) Kleinert, H., & Korbel, J. (2016). Option pricing beyond Black–Scholes based on double-fractional diffusion. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 449, 200-214.

23) Knight, F. H. (1921). Risk, uncertainty and profit (Vol. 31). Houghton Mifflin.

24) Köhn, J. (2017). Uncertainty in economics. Berlin, Germany: Springer. Retrieved June, 20, 2021.

25) Lin, Z., Han, L., & Li, W. (2021). Option replication with transaction cost under Knightian uncertainty. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 567, 125680.

26) Merton, R. C. (1976). Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. Journal of financial economics, 3(1-2), 125-144.

27) Nishimura, K. G., & Ozaki, H. (2017). Economics of pessimism and optimism. Springer, 10, 978-4.

28) Podolny, J. M., & Hsu, G. (2003). Quality, exchange, and Knightian uncertainty. In The Governance of Relations in Markets and Organizations (Vol. 20, pp. 77-103). Emerald Group Publishing Limited.

29) Vasicek, O. (1977). An equilibrium characterization of the term structure. Journal of financial economics, 5(2), 177-188.

30) Wu, H. F. (2019). From constant to stochastic volatility: Black-Scholes versus Heston option pricing models.

یادداشت­ها

 

---

[1]  Options

[2]  Call Option

[3]  Put Option

[4]  Strike date

[5]  Strike price

[6]  Premium

[7]  Cox, Ross, and Rubinstein

[8]  Rendleman and Bartter

[9]  George M. Jabbour, Marat V. Kramin and Stephen D. Young

[10]  Hull and White

[11]  Scott

[12]  Stein

[13]  Frank Knight

[14]  Basili

[15]  Nishimura & Ozaki

[16]  Kohn

[17]  Podolny

[18]  First-order moment of volatility

[19]  Second-order moment of volatility

[20]  In the money

[21]  Out of the money

[22]  At the money

[23]  Louis Bachelier

[24]  Sprenkle

[25]  Boness

[26]  Samuelson

[27]  Merton

[28]  Vasicek

[29]  Kleinert & Korbel

[30]  www.tsetmc.com

[31]  www.ifb.ir

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Option Pricing by Binomial Model under Knightian Uncertainty and Transaction Cost in Tehran Stock Exchange

 

Abstract:

Options are one of the most important derivatives that are trading in most major stock exchanges in today’s world. One of the basic issues in the field of these bonds is valuation and the Binomial model one of the common methods, but it has a number of problems such as the absence of transaction costs and Knightian uncertainty, which have been solved in this research. The purpose in this research is to compare the binomial model under Knightian uncertainty and transaction cost with the Black-Scholes-Merton model. By using these two models, in this research priced options were published since 1397 until the end of 1401. After estimating the theoretical prices of each of the models, it is compared with the market prices, and the amount of prediction error of each of them is calculated using the root mean square error (RMSE). The obtained results show that the Black-Scholes-Merton model has less error than the binomial tree model under Knightian uncertainty and transaction cost. By removing the transaction cost from research model, the error of this model is reduced, and in the symbol-day data that are in the money, this model has a lower error than the Black-Scholes-Merton model.

 

Keywords:

Option, Binomial Model, Knightian Uncertainty, Transaction Cost, Tehran Stock Exchange.

---