Ulam stability for a quasi-monotone elliptic system of Laplacian equations

Subject Areas : Analyze

Mehdi Choubin ¹ , Mohammad Bagher Ghaemi ²

1 - Department of Mathematics, Velayat University, Iranshahr, Iran,
2 - Department of Mathematics, Iran University of Science and Technology, Tehran, Iran

Received: 2022-12-11 Accepted : 2024-04-29 Published : 2025-07-29

Keywords: Ulam stability, quasi-monotone elliptic system, upper and lower solutions.,

Abstract :

The method of upper and lower solutions is a well-known tool that has been used to prove results of the existence of solutions for many classes of boundary value problems involving ordinary and partial differential equations. It is a well-known fact that the existence of a lower and a upper solutions α and β satisfying α≤β, implies the existence of a solution u with α≤u≤β. In this paper, we study the Hyers-Ulam-Rassias stability of the quasi-monotone(cooperative) elliptic system of Laplacian equations (*) ■(-Δu=F(x,u,v), x∈Ω,@-Δv=G(x,u,v), x∈Ω,) with homogeneous Dirichlet boundary conditions which arise in different applications such as population dynamics and population genetics, where Ω is a bounded domain in R^n with a smooth boundary ∂Ω, Δz is the n-dimensional Laplacian operator defined by Δz:=(∂^2 z)/(∂x_1^2 )+⋯+(∂^2 z)/(∂x_n^2 ) and F,G:¯Ω×R^2→R are functions. The aim of this paper is to investigate the Hyers-Ulam-Rassias stability of (*) by using the new method of upper and lower solutions in two sense of clasical and weak.

References:

[1] S. M. Ulam, “A Collection of the Mathematical Problems,” Interscience, New York, 1960.

[2] D. H. Hyers, “On the stability of the linear functional equation,” Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., vol. 27, pp. 222–224, 1941.

[3] Th. M. Rassias, “On the stability of the linear mapping in Banach spaces,” Proc. Amer. Math. Soc., vol. 72, pp. 297–300, 1978.

[4] Y. J. Cho, M. B. Ghaemi, M. Choubin, and M. Eshaghi Gordji, “On the Hyers-Ulam stability of sextic functional equations in β-homogeneous probabilistic modular spaces,” Math. Inequal. Appl., vol. 16, pp. 1097–1114, 2013.

[5] S. Czerwik, “Functional Equations and Inequalities in Several Variables,” World Scientific, 2002.

[6] G.-L. Forti, “Comments on the core of the direct method for proving Hyers-Ulam stability of functional equations,” J. Math. Anal. Appl., vol. 295, pp. 127–133, 2004.

[7] D. H. Hyers, G. Isac, and Th. M. Rassias, “Stability of Functional Equations in Several Variables,” Birkhäuser, Basel, 1998.

[8] S.-M. Jung, “Hyers-Ulam-Rassias Stability of Functional Equations in Mathematical Analysis,” Hadronic Press, Palm Harbour, 2001.

[9] D. Popa, “Hyers-Ulam-Rassias stability of a linear recurrence,” J. Math. Anal. Appl., vol. 309, pp. 591–597, 2005.

[10] T. Aoki, “On the stability of the linear transformations in Banach spaces,” J. Math. Soc. Japan, vol. 2, pp. 64–66, 1950.

[11] C. Alsina and R. Ger, “On some inequalities and stability results related to the exponential function,” J. Inequal. Appl., vol. 2, pp. 373–380, 1998.

[12] T. Miura, S. Miyajima, and S. E. Takahasi, “Hyers-Ulam stability of linear differential operator with constant coefficients,” Math. Nachr., vol. 258, pp. 90–96, 2003.

[13] S. E. Takahasi, T. Miura, and S. Miyajima, “On the Hyers-Ulam stability of the Banach space-valued differential equation y'=λy,” Bull. Korean Math. Soc., vol. 39, pp. 309–315, 2002.

[14] S. E. Takahasi, H. Takagi, T. Miura, and S. Miyajima, “The Hyers-Ulam stability constants of first order linear differential operators,” J. Math. Anal. Appl., vol. 296, pp. 403–409, 2004.

[15] E. C. de Oliveira and J. V. C. Sousa, “Ulam–Hyers–Rassias stability for a class of fractional integro-differential equations,” Results Math., vol. 73, p. 111, 2018. https://doi.org/10.1007/s00025-018-0872-z

[16] D. Popa and G. Pugna, “Hyers–Ulam stability of Euler’s differential equation,” Results Math., vol. 69, pp. 317–325, 2016.

[17] Y. Shen, “The Ulam stability of first order linear dynamic equations on time scales,” Results Math., vol. 72, pp. 1881–1895, 2017.

[18] S.-M. Jung and K.-S. Lee, “Hyers-Ulam stability of first order linear partial differential equations with constant coefficients,” Math. Inequal. Appl., vol. 10, pp. 261–266, 2007.

[19] S.-M. Jung, “Hyers-Ulam stability of linear partial differential equations of first order,” Appl. Math. Lett., vol. 22, pp. 70–74, 2009.

[20] N. Lungu and I. A. Rus, “Ulam stability of nonlinear hyperbolic partial differential equations,” Carpathian J. Math., vol. 24, pp. 403–408, 2008.

[21] I. A. Rus, “Remarks on Ulam stability of the operatorial equations,” Fixed Point Theory, vol. 10, pp. 305–320, 2009.

[22] S.-M. Jung, “A Fixed Point Approach to the Stability of Differential Equations
y'=F(x,y),” Bull. Malays. Math. Sci. Soc., vol. 33, no. 1, pp. 47–56, 2010.

[23] P. Găvruță, S.-M. Jung, and Y. Le, “Hyers-Ulam stability for second-ordered linear partial differential equations with boundary condition,” EJDE, vol. 2011, no. 80, pp. 1–5, 2011.

Full-Text:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال یازدهم، شماره پنجاه و پنجم، مرداد و شهریور  1404

شماره شاپا: X588-2588

 

 

 

 

 

پایایی اولام برای یک دستگاه­ بیضوی شبه-یکنوا از معادلات لاپلاسی

 

مهدی چوبین 2،1، محمدباقر قائمی 3¹

 

(1) گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه ولایت، ایرانشهر، ایران

(2) گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه رازی، کرمانشاه، ایران         

(3) گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه علم و صنعت ایران، تهران، ایران

 

تاريخ ارسال مقاله: 20/09/1401   تاريخ پذيرش مقاله: 10/02/1403

چکيده

در این مقاله، پایایی هایرز-اولام-راسیاس دستگاه­ بیضوی شبه-یکنوا (همیاری) از معادلات لاپلاسی

 

 با شرایط مرزی دیریکله همگن که در کاربردهای مختلف از جمله پویایی جمعیت و ژنتیک جمعیت به وجود می­آید را بررسی می­کنیم که در آن  یک دامنه کراندار با مرز هموار  در ،  عملگر لاپلاس -بعدی تعریف شده با ضابطه  و  توابعی معین هستند. هدف ما در این مقاله، بررسی ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ دستگاه () با استفاده از روش جدید جواب­های پایینی و بالایی به دو مفهوم «کلاسیک» و «ضعیف» می­باشد.

 

 

 

 

 

 

واژه‌هاي کليدي: پایایی اولام ، دستگاه­ بیضوی شبه-یکنوا ، جواب­های پایینی و بالایی

1- مقدمه

پایایی معادلات تابعی یک ابزار بسیار مهم در زمینه­های مختلف ریاضیات است. این مساله با سوال اولام ]1[ در سال 1940 به این شکل مطرح شد که: 

«تحت چه شرایطی یک نگاشت جمعی نزدیک به یک نگاشت جمعی تقریبی وجود دارد.» 

 ﻫﺎﯾﺮز ]2[ ﺑﺮﺍﯼ ﺍﻭﻟﯿﻦ ﺑﺎﺭ ﺑﻪ ﺳﻮﺍﻝ اولام ﺩﺭﺑﺎﺭﻩ ﻧﮕﺎﺷﺖ­ﻫﺎﯼ ﺟﻤﻌﯽ ﺗﻘﺮﯾﺒﯽ ﺩﺭ ﻓﻀﺎﻫﺎﯼ ﺑﺎﻧﺎﺥ ﭘﺎﺳﺦ ﺩﺍﺩ. نتیجه­ای که هایرز ارایه داد به شرح زیر است:

فرض کنید  و  فضاهای باناخ حقیقی باشند و . آن­گاه برای هر نگاشت   که به ازای هر ،

(1)

یک نگاشت جمعی   وجود دارد به طوری که به ازای هر ،  .

راسیاس [3]  با در نظر گرفتن یک تابع  وابسته به  و  به جای  در (1) نتیجه هایرز را تعمیم داد و ﺍﯾﻦ ﻣﻔﻬﻮﻡ امروزه ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮﺍﻥ ﺗﻌﻤﯿﻢ ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ ﯾﺎ ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪﻩ ﺍﺳﺖ. بعد از آن، تعمیم­ها و صور­ت­های مختلفی از این نتیجه بیان شد، به [10،9،8،7،6،5،4]  و منابع آن­ها مراجعه کنید.

آلسینا و گر اولین نویسندگانی بودند که ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ یک معادله دیفرانسیل را بررسی کردند ([11]). آن­ها ثابت کرده­اند اگر  یه بازه باز در  و  داده شده باشد، برای هر نگاشت مشتق­پذیر   به طوری که به ازای ،

 

یک نگاشت مشتق­پذیر  با ویژگی  موجود است به طوری که به ازای ،

 

این نتیجه به پایداری معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول و معادله دیفرانسیل خطی مرتبه بالاتر با ضرایب ثابت [14،13،12]، معادله انتگرال دیفرانسیل کسری [15] ، معادلات دیفرانسیل اویلر [16] ، معادلات دینامیکی خطی در مقیاس های زمانی [17] و غیره، تعمیم داده شد.

بررسی ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ در معادلات دیفرانسیل جزئی به تازگی آغاز شده است که بعنوان نمونه می­توان نتایج بدست آمده توسط یونگ [18] ، [19] ، لونگو و روس [20] ، [21] را در این­جا ذکر کرد. یونگ [22] ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ معادلات دیفرانسیل به شکل  و گاورتا و همکاران [23] ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با شرایط مرزی به شکل  را ثابت کردند. 

چوبین و جوانشیری [24] پایایی هایرز-اولام و هایرز-اولام-راسیاس معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول

 

را بدون فرض پیوستگی لیپشیتز²، بر اساس یک روش جدید با عنوان «روش جواب­های پایینی و بالایی³» اثبات کردند و برخی نتایج بدست آمده قبلی که با روش معمول در این موضوع یعنی روش نقطه ثابت⁴ بدست آمده بود را بهبود بخشیدند. آنها همچنین پایایی هایرز-اولام معادلات دیفرانسیل بیضوی مرتبه دوم  با شرایط مرزی دیریکله همگن را ثابت کردند.

در این مقاله، ما به اثبات ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ دستگاه لاپلاسی بیضوی با شرایط مرزی دیریکله همگن

(2)

می­پردازیم، که در آن  عملگر لاپلاس تعریف شده با ضابطه ،  یک دامنه کراندار با مرز هموار  در  و  توابعی معین هستند. دستگاه (2) را یک دستگاه «شبه یکنوا⁵» یا «همیاری⁶» می­نامیم هرگاه  نست به  و  نسبت به   ناکاهشی⁷ باشند.

هدف ما در این مقاله، بررسی ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ دستگاه (2) با استفاده از روش جدید جواب­های پایینی و بالایی به دو مفهوم «کلاسیک⁸» و «ضعیف⁹» می­باشد. روش جواب­های پایینی و بالایی ابزاری شناخته شده برای اثبات نتایج وجود جواب برای بسیاری از کلاس­های مسایل مقدار مرزی شامل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی می­باشد. این یک واقعیت شناخته­شده است که وجود جواب­های پایینی و بالایی  و   با شرط  حاکی از وجود یک جواب  با ویژگی   است. اولین استفاده روش جواب­های پایینی و بالایی برای اثبات وجود جواب کلاسی از معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی را می­توان در پیکارد جستجو کرد. در سال 1890 برای معادلات دیفرانسیل جزئی [25] و در 1893 برای معادلات دیفرانسیل معمولی [26] ، او تکرارهای یکنوا را از یک جواب پایینی معرفی کرد. موفقیت عمده در سال 1931 برای یک مساله معادله دیفرانسیل معمولی دیریکله توسط اسکورزا دراگونی [27] و در سال 1954 برای یک مساله معادله دیفرانسیل جزئی دیریکله توسط ناگومو [28] به دست آمد. اثبات وجود جواب به مفهوم کلاسیک با شروع از آمان [29] به طور گسترده مورد بررسی قرار گرفته است (برای اطلاعات بیشتر به [30] ، [31] مراجعه شود). بعدا دانسر-سویرز [32] و كانادا-درابك-گامز [33]، [34] وجود جواب را به معناي ضعيف ثابت كردند.

2- پایایی هایرز-اولام-راسیاس دستگاه (2)

این بخش به مطالعه پایایی هایرز-اولام-راسیاس دستگاه (2) با شرایط مرزی دیریکله اختصاص دارد. برای نمایش بهتر، این بخش را به دو زیر بخش تقسیم می کنیم. این به این دلیل است که جواب­های دستگاه (2)  را می توان در دو دسته طبقه بندی کرد، دسته اول جواب­های کلاسیک و دیگری جواب­های به مفهوم ضعیف. به طور شگفت­انگیزی یک معادله دیفرانسیل ممکن است جواب­هایی داشته باشد که دقیقاً مشتق­پذیر نیستند و فرمول ضعیف اجازه می­دهد چنین جواب­هایی را پیدا کنیم. قبل از ادامه، توجه داشته باشیم که در این بخش  یک دامنه کراندار در   با مرز هموار ،   فضای باناخ متشکل از همه توابع پیوسته روی فضای فشرده ،  فضای متشکل از همه توابعی که مشتقات تا مرتبه دوم آن­ها روی   موجود و پیوسته است،  و  و  فضاهای تابعی شناخته شده لبگ و سوبولف هستند.

زوج  را یک جواب کلاسیک دستگاه (2) می­نامیم هرگاه به ازای هر  در دستگاه (2) صدق کند. همچنین می­گوییم  یک جواب ضعیف دستگاه (2) است هرگاه روی  ،  و به ازای هر

 

داشته باشیم

 

 

درواقع، وقتی به معنای ضعیف به دنبال جواب هستیم،  را به عنوان یک نگاشت از فضای سوبولف  به  و با ضابطه

 

در نظر می­گیریم.

در ادامه، پایایی هایرز-اولام-راسیاس دستگاه (2) را به دو مفهوم کلاسیک و ضعیف تعریف می­کنیم و هر دو مفهوم پایایی را به ترتیب در دو زیربخش 2-1 و 2-2 مورد مطالعه قرار می­دهیم.

تعریف 2-1. فرض کنید  . اگر برای هر   نامساوی­های دیفرانسل

 

 

 به ازای هر  برقرار باشد و روی ، ، آن­گاه جواب(کلاسیک)  از دستگاه (2) موجود باشد به گونه ای که برای هر 

 

 

که در آن  عبارتی است تنها برحسب  و . در این صورت می­گوییم که مساله (2) دارای «پایایی هایرز-اولام با شرایط مرزی دیریکله همگن به مفهوم کلاسیک » است.

اگر تعریف بالا وقتی در آن ،   و  را توسط ،  و  جایگزین می­کنیم همچنان درست باشد که در آن  توابعی هستند که به ،  ،  و  وابسته نیستند، در این صورت می­گوییم که مساله (2) دارای « ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ با شرایط مرزی دیریکله همگن مفهوم کلاسیک» است. به طور مشابه ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ و ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ با شرایط مرزی دیریکله همگن به مفهوم ضعیف قابل تعریف است. در واقع می­گوییم که مساله (2) دارای «ﭘﺎﯾایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ با شرایط مرزی دیریکله همگن به مفهوم ضعیف» است هرگاه برای هر   اگر روابط زیر

 

 به ازای هر  برقرار باشند، آن­گاه نتیجه شود جواب  ضعیف  از دستگاه (2) موجود است به گونه­ای که برای هر 

 

 

 

2– 1 پایایی دستگاه (2) به مفهوم کلاسیک

در این زیر بخش پایایی هایرز-اولام-راسیاس دستگاه (2) را به مفهوم کلاسیک بررسی می­کنیم. ابتدا نیاز داریم که تعریف زیر را بیان کنیم  که بر اساس مرجع ]29[ است.

تعریف 2-1-1. فرض کنید  و  یک فضای متریک فشرده با بیشتر از یک نقطه باشد. در این صورت تابع  را -هولدر¹⁰ پیوسته می­نامیم هرگاه

 

یک تابع 1-هولدر پیوسته را پیوسته لیپشتیتز می­نامیم.

در ادامه فرضیات ثابت زیر را که در طول این زیربخش و همچنین برای برقراری لم بعدی به آن­ها نیاز داریم از مرجع ]29[  بیان می­کنیم. فرض کنید  یک بازه بسته در  با درون ناتهی است و قرار دهید . فرض کنید توابع  در فرضیات (ف 1) و (ف 2) زیر صدق می­کنند:

 (ف1)  و  توابعی -هولدر پیوسته با شرط  هستند.

 (ف2) ثابت­های نامنفی  و   وجود دارند به طوری که به ازای هر  و  با شرط  و  نامساوی­های زیر برقرارند:

 

 

 روش ما بر اساس  روش جواب­های پایینی و بالایی است که به شرح زیراست. 

تعریف 2-1-2. یک جواب پایینی (کلاسیک) از دستگاه (2) یک زوج   است به طوری که

 

 

 

 و یک جواب بالایی (کلاسیک) از دستگاه (2)  یک زوج    است به طوری که

 

 

 

می­گوییم ، اگر به ازای هر ،  و . هم­اکنون آماده­ایم تا لم اصلی این زیر بخش(]29[) را بیان کنیم.

لم 2-1-3. فرض کنید فرضیات (ف 1) و (ف 2) برقرار باشند. اگر یک جواب پایینی  و یک جواب بالایی  از دستگاه (2) موجود باشند به طوری که به ازای هر ، در شرط  صدق کنند، آن­گاه یک جواب کلاسیک  از دستگاه (2) موجود است به طوری که

 

حال نتیجه اصلی این زیربخش را بیان می­کنیم. در واقع ثابت می­کنیم دستگاه (2) به مفهوم کلاسیک پایای ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ با شرایط مرزی دیریکله همگن است.

قضیه 2-1-4. دستگاه شبه-یکنوای (2) را تحت فرضیات (ف1) و (ف2) در نظر بگیرید. همچنین فرض کنید  نسبت به مولفه  و  نسبت به مولفه  ناافزایشی¹¹ است و توابع  ( طول بازه  است) موجود هستند به طوری که به ازای هر  و  با شرط  و  نامساوی­های زیر برقرارند:

 

اگر  موجود باشد به طوری که

(3)

(4)

که در آن  و ، آن­گاه یک جواب کلاسیک  از دستگاه (2) وجود دارد به طوری که برای هر 

 

که در آن  جواب مثبت یکتای معادله

 

 

است و

 

 

اثبات. فرض کنید  در (4) صدق کند. در این صورت به ازای هر  خواهیم داشت

(5)

(6)

 

 هم­اکنون قضیه 2-1-4 را با ساختن یک جواب پایینی  و یک جواب بالایی  از دستگاه (2) با شرط  ثابت خواهیم کرد. فرض می­کنیم  جواب مثبت یکتای معادله

 

 

است و قرار می­دهیم

 

 

زوج های  و  متعلق به  را به صورت زیر تعریف می­کنیم

 

 

در این صورت روی  خواهیم داشت ،  و برای هر  نیز طبق (6) نتیجه می­شود

 

 

 

 

که نامساوی آخر از رابطه (3) حاصل می­شود به این صورت که 

 

به همین ترتیب بنابر (3) برای هر  خواهیم داشت

 

 

 

 

به طور مشابه می­توان نتیجه گرفت برای هر

 

از این رو زوج­های  و  به ترتیب یک جواب پایینی و بالایی از دستگاه (2) می­باشند. از آنجا که در ، ، بنابر لم 2-1-3 یک جواب کلاسیک  از دستگاه (2) وجود دارد به طوری که 

 

به علاوه

 

 

بنابراین دستگاه شبه-یکنوای (2) به مفهوم کلاسیک پایای ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ با شرایط مرزی دیریکله همگن است.

2-2 پایایی دستگاه (2) به مفهوم ضعیف

جواب­های به مفهوم ضعیف بسیار مهم هستند، زیرا بسیاری از معادلات دیفرانسیل حاکم بر پدیده­های دنیای واقعی به قدر کافی جواب­های هموار را قبول نمی­کنند، بنابراین تنها راه حل چنین معادلاتی استفاده از فرمول ضعیف است.  در واقع، حتی برای آن دسته از مسایل مقدار مرزی که به نظر می­رسد به صورت کلاسیک قابل حل باشند، معمولاً در ابتدا جستجوی نوع مناسب جواب ضعیف به مصلحت است. فرضیات زیر در کل این زیربخش مورد نیاز خواهد بود:

(ف3) توابع  و  کاراتئودوری¹² هستند (یعنی  و  تقریبا همه جا¹³ در  پیوسته هستند،  و  به ازای هر  اندازه­پذیر¹⁴ هستند) و اگر  و  به مجموعه­های کراندار متعلق باشد،  و  کراندار هستند.

 (ف4) تابع پیوسته و افزایشی¹⁵  وجود دارد به طوری که  و نگاشت­های  و   تقریبا همه جا  ناکاهشی است.

 ابتدا جواب ضعیف پایینی و بالایی دستگاه (2) را تعریف می­کنیم.

تعریف 2-2-1.  می­گوییم  و  متعلق به   به ترتیب یک جواب ضعیف پایینی و بالایی از دستگاه (2) هستند هرگاه روی  داشته باشیم

 

و برای هر :

 

 

 

 

 لم اصلی این زیربخش از مرجع ]34[  به شرح زیر است. 

لم 2-2-2. فرض کنید فرضیات (ف3) و (ف4) برقرار باشند. اگر یک جواب ضعیف پایینی  و یک جواب ضعیف بالایی  از دستگاه (2) موجود باشد به طوری که تقریبا همه جا در ، در شرط  صدق کنند، آن­گاه یک جواب ضعیف  از دستگاه (2) موجود است به طوری که

 

هم­اکنون آماده­ایم تا نتیجه اصلی این زیربخش یعنی  پایایی ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ دستگاه (2) با شرایط مرزی دیریکله همگن به مفهوم ضعیف را ثابت ­کنیم.

قضیه 2-2-3.  دستگاه شبه-یکنوای (2) را تحت فرضیات (ف3) و (ف4) در نظر بگیرید و فرض کنید ،  و  معرفی شده در قضیه 2-1-4 باشند. همچنین فرض کنید  نسبت به مولفه  و  نسبت به مولفه  ناافزایشی است و توابع  موجود هستند به طوری که به ازای هر  و  با شرط  و  نامساوی­های (3) برقرارند. اگر  موجود باشد به طوری که هر 

 

که در آن  و ، آن­گاه یک جواب ضعیف  از دستگاه (2) وجود دارد به طوری که در (5) صدق می­کند. به عبارتی، دستگاه (2) به مفهوم ضعیف پایای ﻫﺎﯾﺮز-ﺍﻭﻻﻡ-ﺭﺍﺳﯿﺎﺱ با شرایط مرزی دیریکله همگن است.

اثبات. مشابه اثبات قضیه 2-1-4 قرار می­دهیم 

 

 

در این صورت روی  ، . از آن جا که برای هر

 

خواهیم داشت

 

 

 

و

 

 

 

به طور مشابه برای همه  نتیجه می­شود

 

 

از آنجا که  ، بنابر لم 2-2-2 حکم نتیجه می­شود.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فهرست منابع

 

[1] S. M. Ulam, “A Collection of the Mathematical Problems,” Interscience, New York, 1960.

 

[2] D. H. Hyers, “On the stability of the linear functional equation,” Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., vol. 27, pp. 222–224, 1941.

 

[3] Th. M. Rassias, “On the stability of the linear mapping in Banach spaces,” Proc. Amer. Math. Soc., vol. 72, pp. 297–300, 1978.

 

[4] Y. J. Cho, M. B. Ghaemi, M. Choubin, and M. Eshaghi Gordji, “On the Hyers-Ulam stability of sextic functional equations in β-homogeneous probabilistic modular spaces,” Math. Inequal. Appl., vol. 16, pp. 1097–1114, 2013.

 

[5] S. Czerwik, “Functional Equations and Inequalities in Several Variables,” World Scientific, 2002.

 

[6] G.-L. Forti, “Comments on the core of the direct method for proving Hyers-Ulam stability of functional equations,” J. Math. Anal. Appl., vol. 295, pp. 127–133, 2004.

 

[7] D. H. Hyers, G. Isac, and Th. M. Rassias, “Stability of Functional Equations in Several Variables,” Birkhäuser, Basel, 1998.

 

[8] S.-M. Jung, “Hyers-Ulam-Rassias Stability of Functional Equations in Mathematical Analysis,” Hadronic Press, Palm Harbour, 2001.

 

[9] D. Popa, “Hyers-Ulam-Rassias stability of a linear recurrence,” J. Math. Anal. Appl., vol. 309, pp. 591–597, 2005.

 

[10] T. Aoki, “On the stability of the linear transformations in Banach spaces,” J. Math. Soc. Japan, vol. 2, pp. 64–66, 1950.

 

[11] C. Alsina and R. Ger, “On some inequalities and stability results related to the exponential function,” J. Inequal. Appl., vol. 2, pp. 373–380, 1998.

 

[12] T. Miura, S. Miyajima, and S. E. Takahasi, “Hyers-Ulam stability of linear differential operator with constant coefficients,” Math. Nachr., vol. 258, pp. 90–96, 2003.

 

[13] S. E. Takahasi, T. Miura, and S. Miyajima, “On the Hyers-Ulam stability of the Banach space-valued differential equation y'=λy,” Bull. Korean Math. Soc., vol. 39, pp. 309–315, 2002.

 

[14] S. E. Takahasi, H. Takagi, T. Miura, and S. Miyajima, “The Hyers-Ulam stability constants of first order linear differential operators,” J. Math. Anal. Appl., vol. 296, pp. 403–409, 2004.

 

[15] E. C. de Oliveira and J. V. C. Sousa, “Ulam–Hyers–Rassias stability for a class of fractional integro-differential equations,” Results Math., vol. 73, p. 111, 2018. https://doi.org/10.1007/s00025-018-0872-z

 

[16] D. Popa and G. Pugna, “Hyers–Ulam stability of Euler’s differential equation,” Results Math., vol. 69, pp. 317–325, 2016.

 

[17] Y. Shen, “The Ulam stability of first order linear dynamic equations on time scales,” Results Math., vol. 72, pp. 1881–1895, 2017.

 

[18] S.-M. Jung and K.-S. Lee, “Hyers-Ulam stability of first order linear partial differential equations with constant coefficients,” Math. Inequal. Appl., vol. 10, pp. 261–266, 2007.

 

[19] S.-M. Jung, “Hyers-Ulam stability of linear partial differential equations of first order,” Appl. Math. Lett., vol. 22, pp. 70–74, 2009.

 

[20] N. Lungu and I. A. Rus, “Ulam stability of nonlinear hyperbolic partial differential equations,” Carpathian J. Math., vol. 24, pp. 403–408, 2008.

 

[21] I. A. Rus, “Remarks on Ulam stability of the operatorial equations,” Fixed Point Theory, vol. 10, pp. 305–320, 2009.

 

[22] S.-M. Jung, “A Fixed Point Approach to the Stability of Differential Equations
,” Bull. Malays. Math. Sci. Soc., vol. 33, no. 1, pp. 47–56, 2010.

 

[23] P. Găvruță, S.-M. Jung, and Y. Le, “Hyers-Ulam stability for second-ordered linear partial differential equations with boundary condition,” EJDE, vol. 2011, no. 80, pp. 1–5, 2011.

---

[1] . عهده­دار مکاتبات:                                                                                                         Email: [e-mail]

[2]  Lipschitz continuity 

[3]  upper and lower solutions method

[4]  fixed point approach

[5]  quasi-monotone

[6]  cooperative

[7]  nondecreasing

[8]  classical

[9]  weak

[10]  Hӧlder

[11]  nonincreasing

[12]  Carathéodory

[13]  almost everywhere

[14]  measurable

[15]  increasing

---