Bourdon and Shapiro conjecture

Subject Areas : Analyze

Mohammad Taghi Heydari ¹

1 - گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه یاسوج، یاسوج، ایران

Received: 2022-01-11 Accepted : 2024-05-29 Published : 2024-09-18

Keywords: Hardy space, Composition operator, Elliptic automorphism, Numerical range.,

Abstract :

The numerical range of composition operators on Hardy space whose symbol is an ellipse of finite order is not disk. This is the conjecture that Bourdon and Shapiro made in 2000, the International Year of Mathematics. Attempts have been made to prove or disprove it over the past few years, but a complete answer has not yet been obtained. Bourdon and Shapiro have considered the question of when the numerical range of a composition operator is a disk centered at the origin and have shown that this happens whenever the inducing map is a non-elliptic conformal automorphism of the unit disk. They also have shown that the numerical range of elliptic automorphism with order 2 is an ellipse with focus at ±1. Recently, Patton et al. Proved the problem for each finite linear operator of order 3. Patton, in particular, showed that the numerical range of composition operators on Hardy space with a minimum polynomial of z ^ 3-1 is not a disk. In this study, we prove that this conjecture is correct for a large family of such operators.

References:

[1] A. Abdollahi, The numerical range of a composition operator with conformal automorphism symbol, Linear algebra appl., vol. 408 (2005),177-188.
[2] P. S. Bourdon and J. H. Shapiro, The numerical range of automorphic composition operators, J. Math. Anal. Appl., 251 (2000), 839-854.
[3] P. S. Bourdon and J. H. Shapiro, When is zero in the numerical range of a composition operator, Integr. Equ. Oper. Theory 44 (2002), 410-441.
[4] S. L. Burnett, A. Chandler, L. J. Patton, Symmetric numerical ranges of four-by-four matrices, Involve, a Journal of Mathematics, 11 (2018) (5), 803-826.
[5] C. C. Cowen and B. D. Maccluer, Composition operators on spaces of analytic functions, CRC Press, Boca Raton, 1995.
[6] Y-X. Gao, Y. Liang, Y. Wang, Z-H. Zhou, Numerical ranges of composition operators with elliptic automorphism symbols, Banach Journal of Mathematical Analysis,17(3) DOI:10.1007/s43037-023-00264-3.
[7] K. E. Gustafon and K. M. Rao, The numerical range, the field of values of linear operators and matrices, Springer, New York. 1997.
[8] J. Guyker, on reducing subspaces of composition operators, , Acta Sci. Math. (Szeged) 53. (1989), 369376.
[9] P. R. Halmos, A Hilbert space problem Book, second ed. , Springer, New York, 1982.
[10] T.R. Harris, M. Mazzella, L.J. Patton, D. Renfrew, I.M. Spitkovsky, Numerical ranges of cube roots of the identity, Linear Algebra Appl. 435 (2011) 2639–2657
[11] M. T. Heydari, A. Abdollahi, The numerical range of finite order elliptic automorphism composition operators, Linear Algebra and its Applications 483 (2015) 128–138
[12] R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985.
[13] J. E. Littlewood, On inequalities in the theory of functions, Proc. London Math. Soc. 23 (1925), 481519.
[14] V. Matache, Numerical ranges of composition operators, Linear algebra appl., 331 (2001), 61-74
[15] V. Matache, Aleksandrov Operators and Numerical Ranges of Composition Operators with Inner Symbols, to appear.
[16] L.J. Patton, Some block Toeplitz composition, J. Math. Anal. Appl. 400 (2013) 363–376
[17] W. Rudin, Real and complex analysis. Third edition, McGraw-Hill Book Co., New York, 1987.
[18] J. H. Shapiro, Composition Operators and Classical Function Theory, Springer-Verlag, 1993.
[19] R. K. Singh and J. S. Manhas, Composition operators on function spaces, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1993.

Full-Text:



دسترسي در سايتِ http://jnrm.srbiau.ac.ir

سال دهم، شماره چهل و نهم، مرداد و شهریور  1403

شماره شاپا: -588X2588

 

 

 

 

 

حدس بردون­–­شاپیرو

 

 

محمدتقی حیدری¹*

 

 

گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه یاسوج، یاسوج، ایران

 

 

 

تاريخ ارسال مقاله:         21/10/1400   تاريخ پذيرش مقاله: 09/03/1403

 

چکیده: برد عددی عملگرهای ترکیبی روی فضای هاردی که نماد آنها بیضوی از مرتبه متناهی باشد گوی نیست. این حدسی است که بردون و شاپیرو در سال 2000، سال جهانی ریاضیات، مطرح نموده­اند. در این چند سال تلاش­هایی برای اثبات یا رد آن صورت گرفته ولی هنوز جواب کامل بدست نیامده است. ما در این پژوهش ثابت می­کنیم این حدس برای خانواده بزرگی از این نوع عملگرها درست است.

 

 

واژه­های کلیدی: فضای هاردی، عملگر ترکیبی، خودریختی بیضوی، برد عددی، فاصله هاسدورف، پایه گایکر

 

1. مقدمه

مطالعه عملگرهای ترکیبی به نظریه­ی خودریختی­های گوی واحد، ، و رده­بندی آنها، وابسته است. فرض کنیم  خودریختی از گوی واحد باشد. تابع  عملگر ترکیبی   را روی ، توابع تحلیلی از ، بوسیله  القا می­کند. عملگر تعریف شده در ، خطی و پیوسته است.

تحدید  به فضاهای باناخ مختلف از توابع تحلیلی روی  موضوع تحقیقات در چند دهه اخیر بوده است. (مراجعه کنید به ] 19[،] 18[،] 11[ و] 4[). فرض کنید  فضای هاردی از توابع تحلیلی روی گوی واحد با جمع­پذیری مربعی ضرایب تیلور باشد. در سال­های اخیر مطالعه عملگرهای ترکیبی روی فضای هاردی مورد توجه زیادی قرار گرفته است.

یکی از نتایج مهم قضیه­ی معروف لیتلوود² سرچشمه می­گیرد، بیان می­کند که تحدید هر عملگر ترکیبی به فضای هاردی، یک عملگر کراندار است و یک روش برای پیوند به آنالیز تابعی را ارائه می­دهد. تاریخ ریاضی در سه دهه گذشته شاهد پژوهش بسیاری در مورد نظریه­ی عملگرهای خطی کراندار در فضای هیلبرت بوده است. ([13] را ببینید.)

این مقاله به برد عددی عملگرهای ترکیبی بیضوی روی می­پردازد. هدف این است که ویژگی­های خودریختی  را به رفتار عملگر مرتبط کنیم.

برد عددی عملگر خطی کراندار  روی فضای هیلبرت  مجموعه اعداد مختلط به صورت زیر است

 

جایی که  ضرب داخلی در  را نشان می­دهد.

در] 14[ ماتاچه³ شکل  وقتی که نماد  تک­جمله­ای باشد یا تابع داخلی، تابع تحلیلی روی گوی واحد که قدرمطلق حد شعاعی آن روی دایره واحد ت.ه. برابر یک است، که صفر را ثابت نگه می­دارد، تعیین کرد. همچنین او بعضی از خواص برد عددی عملگرهای ترکیبی را ارایه کرد. در] 2[ شکل برد عددی عملگرهای ترکیبی القا شده روی فضای هاردی بوسیله خودریختی­های همدیس از ، بخصوص سهموی و هذلولوی، مورد بررسی قرار گرفتند. در] 2[ بردون⁴ و شاپیرو⁵ این سوال را که در چه صورت برد عددی یک عملگر ترکیبی، گوی به مرکز مبدا است را مورد بررسی قرار دادند و ثابت کردند این اتفاق می­افتد اگر ­ خودریختی همدیس بیضوی نباشد. آنها همچنین نشان دادند اگر  خودریختی بیضوی از مرتبه 2 باشد آنگاه  بیضی با کانون­های  است. در] 1[ عبدالهی نتایج آنها را با محاسبه مقدار دقیق قطر اصلی بیضی  تکمیل کرد با این وجود هیچکدام از آنها اطلاعاتی در مورد اینکه چه نقاطی در مرز این بیضی متعلق به  است، ارایه نکردند. اما مساله برای خودریختی بیضوی مرتبه متناهی از مرتبه بزرگتر از 2 هنوز باز بود تا اینکه پاتون⁶ و همکاران در] 8[، مساله را وقتی  برای هر عملگر خطی کراندار  ثابت کردند. بویژه پاتون در] 15[  نشان داد که برد عددی عملگرهای ترکیبی روی فضای هاردی  با چندجمله­ای مینیمال ، گوی نیست. اخیراً، پاتون و شاگردانش حدس بردون و شاپیرو را وقتی  تأیید کردند [16].

این مقاله بدین صورت تنظیم شده است. بخش دوم شامل معرفی بعضی از نمادها و مقدماتی است که در سراسر مقاله مورد استفاده قرار می­گیرند. در بخش سوم رفتار مجانبی دنباله­ای از برد عددی عملگرهای ترکیبی نسبت به توپولوژی القا شده بوسیله متریک هاوسدورف، ارایه شده است. در بخش چهارم پیوستگی نگاشت  را در نظر می­گیریم. و نهایتا در بخش پنجم ثابت می­کنیم برد عددی خانواده بزرگی از عملگرهای ترکیبی روی فضای هاردی که نماد آنها بیضوی از مرتبه متناهی باشد گوی نیست.

 

2. نمادها و مقدمات

فرض کنیم  نشان دهنده گوی واحد در صفحه مختلط و فضای هاردی  شامل توابع

 

تحلیلی روی  به گونه­ای که

 

باشد که در آن ،  امین ضریب تیلور تابع   است. ضرب داخلی که نرم را القا می­کند با

 

تعریف می­شود. ضرب داخلی دو تابع  و   در  همچنین با انتگرال زیر محاسبه می­شود

 

جایی که  در جهت مثبت گرفته شده و  ت.ه. روی  با حد شعاعی تعریف شده­اند.

برای هر همریختی خودنگاشت  از گوی واحد، عملگر ترکیبی   روی القا می­شود که با ضابطه تعریف می­شود. بنابر یک نتیجه از قضیه معروف لیتلوود ]12[،  کراندار است. (] 4[ را ببینید.) 

 

در حالتی کهشاپیرو⁷ نشان داده است که نامساوی دوم به تساوی تبدیل می­شود اگر و تنها اگر  یک تابع داخلی باشد.

به هر  هسته مولد

 

را متناظر می­کنیم.

هر تابع  روی همسایگی از گوی واحد بسته تحلیلی است و بنابراین عضوی از  است. علاوه بر آن برای هر  و  داریم .

یک خودریختی همدیس نگاشت تحلیلی ازبروی خودش است. چنین نگاشتی، خطی کسری است و به صورت حاصلضرب   نمایش داده می­شود جایی که

 

برای ثابت­های  و  (] 16[ را ببینید).

نگاشت  نقاط  و مبدا را به هم تبدیل می­کند و یک خودریختی از  است که با معکوس خودش برابر است.

هر خودریختی همدیس یک نگاشت دوسویی از صفحه مختلط توسعه یافته به خودش است که دو نقطه ثابت دارد (با احتساب تکرار). چنین خودریختی:

·       بیضوی است اگر یک نقطه ثابت درون گوی واحد و یکی خارج گوی بسته واحد داشته باشد،

·       هذلولوی است اگر دو نقطه ثابت مجزا روی مرز گوی واحد داشته باشد و

·       سهموی است اگر یک نقطه ثابت با تکرار دو روی مرز گوی واحد داشته باشد

اگر ، یک -اتساع نگاشتی است به شکل . ما  را عامل اتساع  می­نامیم.

اگر ،  را اتساع مثبت می­گوییم. -اتساع همدیس نگاشتی است که مزدوج همدیس یک -اتساع باشد یعنی یک نگاشت  جایی که  و  یک خودریختی همدیس از   است.

اگر ، یک -چرخش نگاشتی است به شکل . ما  را عامل چرخش  می­نامیم.

یک محاسبه ساده نشان می­دهد که هر خودریختی بیضوی  از  باید به صورت

 

باشد برای بعضی  و .

فرض کنبم  یک عملگر خطی کراندار روی فضای هیلبرت مختلط  باشد. برد عددی  مجموعه

 

در صفحه مختلط است، جایی که  نماد ضرب داخلی در  می باشد. به عبارت دیگر،  تصویر دایره واحد  از  تحت فرم درجه دوم  است.

بعضی از خواص برد عددی به سادگی از تعریف بدست می­آیند. اولین ویژگی این است که برد عددی تحت هم ارزی یکانی تغییر نمی­کند یعنی برای هر یکانی ، . برد عددی رفتار خوبی تحت الحاق عملگرها دارد: . یکی از مهمترین ویژگی های برد عددی محدب بودن آن است که به قضیه توپلیتز-هاسدورف⁸ معروف است (] 5[ و] 8[ را ببینید). ویژگی مهم دیگر  این است که بستار آن شامل طیف است.  همبند است و در حالتی که فضا متناهی­البعد باشد، فشرده است.

یکی از ویژگی­های خیلی مهم نگاشت برد عددی، ، که در این مقاله نیاز داریم، پیوستگی آن است. نماد  به معنی بستار  در صفحه مختلط است. برای همگرایی زیرمجموعه­های فشرده صفحه مختلط، از توپولوژی القا شده توسط متریک هاسدورف⁹ استفاده می­کنیم] 7[.

فرض کنید  و  دو زیر مجموعه فشرده صفحه مختلط باشند. فاصله هاوسدورف  برابر کوچکترین عدد  است بطوری که -همسایگی بسته هر  در  شامل حداقل یک نقطه  از  باشد و برعکس. به عبارت دیگر،

 

قضیه بعد می­گوید که بستار برد عددی، یک نگاشت پیوسته روی عملگرها القا می­کند.

قضیه. اگر  یک فضای هیلبرت و  یک دنباله از عملگرهای خطی کراندار روی  باشد که به عملگر خطی کراندار  در نرم همگرا است، آنگاه  در متریک هاوسدورف به  همگرا است.

در] 14[ ماتاچه شکل  در حالتی که  تک جمله­ای یا تابع داخلی که صفر را ثابت نگه می­دارد باشد را مشخص کرده است. همچنین او برخی از خواص برد عددی عملگرهای ترکیبی بیان کرده است. او همچنین نشان داده که اگر ،  آنگاه  یک گوی بسته که مرز آن یک بیضی با کانون های  است و طول قطر افقی آن برابر است با  . برد عددی بعضی از عملگرهای ترکیبی فشرده مشخص گردیده است.

در] 2[ شکل برد عددی عملگرهای ترکیبی القا شده روی فضای هاردی  بوسیله بعضی از خودریختی­های همدیس گوی واحد خصوصا سهموی و هذلولوی مشخص شده است. نویسندگان نتایج زیر را ثابت کرده­اند:

·       اگر  خودریختی همدیس سهموی یا هذلولوی  باشد آنگاه  گویی به مرکز مبدا مختصات است.

·       اگر  خودریختی هذلولوی  باشد که مزدوج همدیس با اتساع مثبت ،  

باشد آنگاه  گوی باز به مرکز مبدا و شعاع  است.

·       اگر  بیضیوی و مزدوج همدیس با چرخش ، و  ریشه واحد نباشد آنگاه  گوی به مرکز مبدا است.

·       اگر  یک خودریختی بیضوی  با پارامتر چرخشی  باشد، آنگاه  بیضی با کانون­های  است.

در ] 3[ نویسندگان ثابت کردند که بستار برد عددی هر عملگر ترکیبی، بجز همانی، شامل صفر است. آنها بر شمول صفر تمرکز کردند.

 

3. رفتار مجانبی

یک خودریختی بیضوی  از  که مبدا را ثابت نگه نمی­دارد به شکل  است برای ثابت­های  و . اگر بخواهیم وابستگی  به  و  نشان بدهیم خودریختی بیضوی  را  نمایش می­دهیم.

در این بخش ما رفتار مجانبی دنباله  را زمانی که  و  است نسبت به توپولوژی القا شده بوسیله متر هاسدورف بررسی می­کنیم، و ثابت می­کنیم این دنباله مستقل از انتخاب ، به گوی واحد بسته، ، همگرا است.

گزاره مفید بعدی نشان می­دهد که برد عددی  فقط به مقدار  و قدرمطلق  بستگی دارد و بنابراین در سراسر این مقاله فرض می­کنیم که  حقیقی است و .

گزاره3.1 فرض کنیم  و  عملگر ترکیبی بیضوی القا شده بوسیله  باشد آنگاه

 

برهان. فرض کنیم  برای بعضی . به سادگی به دست می­آید که

 

و بنابراین

 

چون  عملگر ترکیبی یکانی القا شده روی  بوسیله  است لذا

 

فرض کنیم  یک خودریختی بیضوی از مرتبه  باشد. برای مرتبه ، همانطور که در مقدمه گفته شد،   بیضی با کانون های  است، ولی برای مرتبه ، شکل  هنوز مشخص نشده است. در قضیه بعد رفتار مجانبی بعضی از دنباله­های چنین مجموعه­هایی تبیین شده است.

قضیه 3.2. فرض کنیم ،  و  آنگاه  وقتی ، همگرا به گوی بسته واحد،، است.

برهان. قرار دهید  برای . با محاسبات سرراست داریم ، یعنی  تابع ویژه از  متناظر با مقدار ویژه  است. در نتیجه . فرض کنیم  پوسته محدب از باشد. چون  محدب، کراندار و شعاع عددی آن کمتر یا مساوی  است لذا

.

بنابراین

 

از طرف دیگر

 

همچنین، چون  تابع داخلی است،

 

اثبات با ترکیب سه رابطه فوق بدست می­آید.

 

4. پیوستگی نسبت به نماد

یادآوری می­کنیم که دنباله ی  از عملگرهای خطی کراندار روی فضای هیلبرت  را همگرا به  در توپولوژی عملگر قوی، ، می نامیم اگر  برای هر بردار .

در این بخش ما ثابت می­کنیم که عملگرهای ترکیبی به عنوان تابعی از نماد  پیوسته است. در واقع ما قضیه زیر را ثابت می­کنیم.

قضیه 4.1 فرض کنیم  دنباله ای از خودریختی­های همدیس گوی واحد باشد. اگر  وقتی ، روی زیرمجموعه­های فشرده ، آنگاه برای هر

 وقتی .

در واقع

 در .

برهان. بنابر مساله  صفحه 34 از ] 18[،، به­طور ضعیف، وقتی . از طرفی

 

 

چون ، بنابراین .

فرض کنیم  برای  آنگاه

 

 

 

که به صفر میل می­کند وقتی  . بنابراین  برای هر چندجمله­ای . فرض کنیم  و  دنباله­ای از چندجمله­ای­ها که در  به  همگرا باشد. چون  و  توابع داخلی هستند و ، برای هر عدد صحیح مثبت ، داریم

 

جایی که  یک عدد حقیقی مثبت است. حال فرض کنید  انتخاب شده باشد. عدد صحیح و مثبت  وجود دارد بطوری که . همچنین عدد صحیح و مثبت  هست بطوری که  ایجاب می­کند ، و لذا داریم

 

 

و در نتیجه  وقتی  ، و این اثبات را کامل می­کند.

نتیجه4.2 فرض کنید  تابعی باشد که در قضیه 3.2 تعریف شده است. آنگاه

 وقتی  در 

برهان. با یک محاسبات ساده، برای  ، داریم

 

چون طرف راست نامساوی بالا مستقل از  است و وقتی  به صفر میل می­کند لذا  بطور یکنواخت روی . بنابر قضیه ماکزیمم قدرمطلق ، بطور یکنواخت روی زیرمجموعه­های فشرده . نتیجه از قضیه 4.1 بدست می­آید.

نتیجه4.2 فرض کنید  تابعی باشد که در قضیه 3.2 تعریف شده است. آنگاه برای هر با  داریم  وقتی که .

اثبات. بنابر نتیجه 4.1 داریم

 

بنابراین اگر  آنگاه  وقتی که .

نتیجه4.3 فرض کنید ، آنگاه دنباله  در توپولوژی نرم عملگرها واگرا است.

اثبات. بنابر قضیه 3.2، . اثبات به سادگی از قضیه 2.1 و نتیجه 4.2 و این واقعیت که  حاصل می­شود.

 

5. خودریختی­های بیضوی

فرض کنیم  یک خودریختی بیضوی از  باشد که مبدا را ثابت نگه نمی­دارد. با اینکه برد عددی  به طور کامل مشخص نشده، در این بخش بعضی از خواص آن مطرح می­شود.

در این بخش ما به طور خاص به سوالی درباره شکل برد عددی عملگرهای ترکیبی خودریختی­های بیضوی از مرتبه متناهی روی فضای هاردی پاسخ می­دهیم که بردون و شاپیرو در] 2[ بحث کرده­اند. در واقع اگر ،  و ، آنگاه ما ثابت می­کنیم برای بعضی  ها  گوی نیست. 

 

قضیه 5.1 فرض کنیم  خودریختی بیضوی از  باشد. آنگاه .

برهان. فرض کنیم  و  و تعریف می­کنیم . واضح است که

 

و این ایجاب می­کند که . طرف دیگر به سادگی، با روش مشابه و این واقعیت که  بدست می­آید.

برای نقطه ثابت  و عدد صحیح و غیرمنفی ، فرض کنیم

 

در این صورت  پایه­ای برای فضای هاردی  است که به پایه گایکر¹⁰ شهرت دارد (برای جزییات بیشتر مرجع ] 8[ را ببینید).

عملگر انتقال رو به جلو  (نسبت به پایه گایکر) را روی فضای هاردی  را با

 

تعریف می­کنیم. برای  داریم

 

بنابراین  یکمتری است و . در واقع

 

همچنین، اگر  یک خودریختی بیضوی از  باشد که  را ثابت نگه می­دارد و پارامتر چرخش آن  باشد آنگاه

،

و این قضیه زیر را ایجاب می­کند:

قضیه 5.2 فرض کنیم  خودریختی بیضوی از  با پارامتر چرخش  باشد. آنگاه

 

برهان. فرض کنیم  و . آنگاه

 

 

جایی که  نقطه ثابت  است. چون  یکمتری است، ایجاب می­کند که .

به عنوان یک نتیجه از قضیه 5.2، داریم که:

نتیجه 5.3 فرض کنیم  خودریختی بیضوی از  با پارامتر چرخش  باشد. اگر  ریشه واحد نباشد آنگاه  گویی به مرکز مبدا است.

اثبات. بنابر قضیه 5.2 برای هر عدد صحیح غیرمنفی  داریم . چون  ریشه واحد نیست لذا  در دایره واحد چگال است و بنابراین برای هر عدد حقیقی و مثبت ، . بنابراین  گویی به مرکز مبدا است.

نتیجه 5.4 فرض کنیم  خودریختی بیضوی  از مرتبه  و پارامتر چرخش  باشد. آنگاه شرایط زیر برقرار است:

 

1)       اگر  آنگاه  بیضی نیست.

برهان. از قضیه 5.2 داریم

 

قسمت (1) از  نتیجه می­شود. حال اگر  آنگاه

 

بنابراین  بیضی نیست.

تذکر 5.5 فرض کنیم  خودریختی بیضوی  از مرتبه متناهی باشد. بنا بر نتیجه5.4 اگر  گوی باشد آنگاه مرکز آن مبدا مختصات خواهد بود.

نمایش ماتریسی عملگر ترکیبی  نسبت به پایه گایکر را بدست می­آوریم. با یک محاسبه ساده بدست می­آید که:

 

بنابراین برای اعداد صحیح و مثبت  و ،

 

در ] 7[ گایکر نشان داده که ماتریس  در یایه  پایین مثلثی با درایه­های قطری

 

است. بنابراین ما نیاز داریم درایه­های زیر قطر اصلی را مشخص کنیم. اگر ،

.

حال فرض کنیم . داریم

 

 

بنابراین ما فرمول بازگشتی زیر را داریم:

 

با حل این فرمول بازگشتی داریم

 

و بنابراین

 

لذا نمایش ماتریسی عملگر ترکیبی  نسبت به پایه گایکر  از  عبارت است از

 

که

 

وقتی که زیرنویس­های  و  در مجموعه اعداد صحیح مثبت تغییر می­کنند.

قبل از اینکه به موضوع اصلی این بخش بپردازیم، بعضی از مطالب مربوط به نظریه ماتریس ها از فصل 5 مرجع ]11[ یادآوری می­کنیم.

ماتریس مربعی  با درایه­های حقیقی یا مختلط را در نظر بگیرید. نرم ماکزیمم مجموع قدرمطلق ستون، ، نرم طیفی یا نرم عملگر، ، و نرم ماکزیمم مجموع قدرمطلق سطر، ، به ترتیب با

 

تعریف می­شوند، جایی که  ترانهاده مزدوج  و  بزرگترین مقدار ویژه طیفی  است. این سه نرم در نامساوی زیر صدق می­کنند:

 

لم 5.6 فرض کنیم  و  خودریختی بیضوی مرتبه  باشد. آنگاه برای هر ،

 

جایی که  و  زیر ماتریس حاصل از  سطر و  ستون اول نمایش ماتریسی عملگر  می باشد.

برهان. داریم:

 

 

و

 

بنابراین اثبات به کمک رابطه بین نرم­ها که قبل از لم یادآوری کردیم کامل می­شود.

قضیه5.7 اگر ،  و . آنگاه  برای بعضی از  ها گوی نیست.

برهان. فرض کنیم (فرض خلف)،  یک گوی باشد. چون  و  یک بیضوی با کانون های  است لذا شعاع عددی  یعنی  اکیدا از یک بزرگتر است. بنابر نتیجه 5.4 مرکز این گوی مبدا مختصات است. حال فرض کنیم  و  با . بنابراین

 

از اینرو

 

از طرف دیگر  جایی که  غلاف محدب مجموعه ، یعنی کوچکترین مجموعه­ی محدب شامل ، است. چون ، ،...و  مقادیر ویژه  هستند، . از اینرو

 

فرض کنیم  اختیار شده باشد. بنابراین  وجود دارد بطوری که . برای چنین ،  است که  ، لذا  که تنافض است.

تبصره5.8. قضیه بالا که نتیجه اصلی است برای تمام   محدوده­ای را برای  مشخص می­کند که مرز  دایره نیست. با افزایش  مقدار  کاهش پیدا می­کند اما پاسخی برای مساله وجود دارد. برای مثال اگر  آنگاه برای  با شرط  مرز  دایره نخواهد بود.

 

6. نتیجه گیری:

با اینکه قضیه برای خانواده بزرگی از عملگرها ترکیبی، با زیرنویس بیضوی از مرتبه متناهی، ثابت شد ولی همچنان مساله به طور کامل حل نشده و باز است. طراحان این حدسیه  و علاقه­­مندان به برد­ عددی عملگرهای ترکیبی در صدد حل آن هستند و در این مسیر نتایج جالبی را اثبات کرده­اند که برای مثال به] 6[ مراجعه کنید.

 

مراجع

[1] A. Abdollahi, The numerical range of a composition operator with conformal automorphism symbol, Linear algebra appl., vol. 408 (2005),177-188.

[2] P. S. Bourdon and J. H. Shapiro, The numerical range of automorphic composition operators, J. Math. Anal. Appl., 251 (2000), 839-854.

[3] P. S. Bourdon and J. H. Shapiro, When is zero in the numerical range of a composition operator, Integr. Equ. Oper. Theory 44 (2002), 410-441.

[4] S. L. Burnett, A. Chandler, L. J. Patton, Symmetric numerical ranges of four-by-four matrices, Involve, a Journal of Mathematics, 11 (2018) (5), 803-826.

[5] C. C. Cowen and B. D. Maccluer, Composition operators on spaces of analytic functions, CRC Press, Boca Raton, 1995.

[6] Y-X. Gao, Y. Liang, Y. Wang, Z-H. Zhou, Numerical ranges of composition operators with elliptic automorphism symbols, Banach Journal of Mathematical Analysis,17(3) DOI:10.1007/s43037-023-00264-3.

[7] K. E. Gustafon and K. M. Rao, The numerical range, the field of values of linear operators and matrices, Springer, New York. 1997.

[8] J. Guyker, on reducing subspaces of composition operators, , Acta Sci. Math. (Szeged) 53. (1989), 369376.

[9] P. R. Halmos, A Hilbert space problem Book, second ed. , Springer, New York, 1982.

[10] T.R. Harris, M. Mazzella, L.J. Patton, D. Renfrew, I.M. Spitkovsky, Numerical ranges of cube roots of the identity, Linear Algebra Appl. 435 (2011) 2639–2657

[11] M. T. Heydari, A. Abdollahi, The numerical range of finite order elliptic automorphism composition operators, Linear Algebra and its Applications 483 (2015) 128–138

[12] R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985.

[13] J. E. Littlewood, On inequalities in the theory of functions, Proc. London Math. Soc. 23 (1925), 481519.

[14] V. Matache, Numerical ranges of composition operators, Linear algebra appl., 331 (2001), 61-74

[15] V. Matache, Aleksandrov Operators and Numerical Ranges of Composition Operators with Inner Symbols, to appear.

[16] L.J. Patton, Some block Toeplitz composition, J. Math. Anal. Appl. 400 (2013) 363–376

[17] W. Rudin, Real and complex analysis. Third edition, McGraw-Hill Book Co., New York, 1987.

[18] J. H. Shapiro, Composition Operators and Classical Function Theory, Springer-Verlag, 1993.

[19] R. K. Singh and J. S. Manhas, Composition operators on function spaces, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1993.

 

---

[1] . *. عهده­دار مکاتبات:                                                                    yu.ac.ir @ heydari   Email:

[2]  J. E. Littlewood

[3]  Valentin Matache

[4]  Paul S. Bourdon

[5]  Joel H. Shapiro

[6]  Linda J. Patton

[7]  Joel H. Shapiro

[8]  Toeplitz-Hausdorff Theorem

[9]  Hausdorff metric 

[10]  Guyker

---