نقش نظریة ون‌هیلی برای ارتقاء مهارت‌های هندسی دانش آموزان و بدفهمی های هندسه

Subject Areas : MAth Education

reza safarpoor keleshteri ¹ (گروه ریاضی)
محسن رستمی مال خلیفه ² (science and research branch, islamic azad university)
Mohamad Hasan behzadi ³ (Department of mathematics ، Science and Research Branch ، Islamic Azad university، Tehran ، Iran)
Ahmad shahvaranisemnani ⁴ (گروه ریاضی)

Received: 2022-04-03 Accepted : 2022-07-05 Published : 2024-01-18

Keywords: نظریة ون‌هیلی, مهارت‌های هندسی, بدفهمی های هندسه,

Abstract :

هدف این پژوهش شناسایی بدفهمی های دانش آموزان در مهارت های هندسی درس هندسه و استفاده از نظریة ون هیلی برای ارتقا و بهبود سطح مهارت های هندسی دانش آموزان بوده است. جامعة آماری آن دانش آموزان دوره متوسطه در استان گیلان بودندکه در سال تحصیلی 1399-1398 تحصیل می کردند. نمونه مورد نظر به صورت تصادفی خوشه ای به تعداد 384 نفر درنظر گرفته شد. این مطالعه ازنظر هدف کاربردی، ازنظر اجرا توصیفی، و از نوع زمینه یابی است. ابزار اندازه گیری این پژوهش آزمون کتبی بوده است. ضریب آلفا کرونباخ 896 /0 به دست آمد. نتایج به دست آمده از این پژوهش نشان داد که اغلب دانش آموزان خطاهای متعددی در مباحث هندسه و مهارت های هندسی داشتند. میانگین نمرات دانش آموزان گروه آزمایش در بدفهمی ها پایین تر از میانگین نمرات دانش آموزان گروه گواه بود. بین عملکرد دانش آموزان گروه کنترل و آزمایش در سطوح تفکر ون هیلی تفاوت معناداری در سطح 05 /0 وجود داشت. این تفاوت به سود دانش آموزان گروه آزمایش بود. همچنین، بین عملکرد دانش آموزان دو گروه در مهارت های هندسی تفاوت معناداری در سطح 05/0 به سود دانش آموزان گروه آزمایش وجود داشت. بنابراین اگر معلمان اگر از مدل ون هیلی در جهت آموزش مفاهیم و مهارت های هندسی استفاده کنند تا حدی بدفهمی های دانش آموزان کاهش می یابد.

References:


- امیری، محسن. (۱۳۹۲). مدل دو بعدی اشتباه مفهومی و خطا در ریاضی بر اساس نظریه تفکر هندسی ون هیلی و دانش مفهومی و رویه ای (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی، تهران.

- آذرنگ، يوسف. (۱۳۹۱). پیوستگی از شهود تا دقت. رشد آموزش ریاضی، ۲۶ (۳)، ۱۰-۱۵. - آقاپور باینوجی، امین. (۱۳۸۸). بررسی بدفهمی های دانش آموزان سال اول نظری در درس ریاضی (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه آزاد اسلامی واحد کرمان.

- اریحانی ابراهیم. (۱۳۸۴). معرفی نظریه پیاژه و نظریه ونهیلی - ونهیلی در مورد یادگیری هندسه. رشد آموزش ریاضی، ۲۲ (۸۰)، ۲۲-۱۲

- اعلم الهدایی، سیدحسن. (۱۳۸۸). اصول آموزش ریاضی. تهران: نما. اغلام آزاد، سهیلا. (۱۳۷۹). رویکردهای نوین آموزشی در هندسه. رشد آموزش ریاضی، (۵۹)، ۱۸-۲۵.

- اویسی، شورش. (۱۳۸۸). بررسی میزان آموزش به کمک هندسه پويا مبتنی بر نظریه ون هیلی بر رشد تفکر هندسی دانش آموزان سال سوم راهنمایی (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی، تهران.

- شریف پور، شقایق. (۱۳۹۳). مدلی برای سنجش سطوح تفکر هندسی بر اساس سه سطح اول تئوری ونهیلی، نخستین همایش ملی علوم تربیتی و روان شناسی، مرودشت، شرکت اندیشه سازان مبتکر جوان.

- صباغی، زهرا. (۱۳۹۳). خطاهای دانش آموزان در همنهشتی مثلث ها (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی

- مرادی ویس، اصغر. (۱۳۸۸). مطالعه جایگاه هندسه مدرسه ای در برنامه درسی کارشناسی دبیری ریاضی مبتنی بر نظریه ونهیلی (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی، تهران.

- مهدیان، مصطفی؛ و محمد جواد، لیاقدار؛ و عریضی، حمیدرضا. (۱۳۹۵). ارائه مدلی جهت رشد تفکر هندسی: تأثیر حافظه تصویری بر رشد تفکر هندسی از طریق معرفت شناسی علمی هندسه. مجله علوم تربیتی دانشگاه شهید چمران اهواز، ۲۴ (۱) : ۶۹-۴۵ .

- Alex, J. K, & Mammen, K. J. (2016). Lessons Learnt from Employing van Hiele Theory Based Instruction in Senior Secondary School Geometry Classrooms. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 12(8), 2223-2236

- Hoffer, A. (1981). Geometry Is More Than Proof Mathematics Teacher, 74(1), 11-18.
- Luneta, K. (2015). Understanding students' misconceptions: an analysis of final Grade 12 examination questions in geometry. Pythagoras, 36(1), 1-11.

- Mason, M. (1998). The Van Hiele modlof geometric understanding and mathematically talented students. Journal for the Education of theGifted, 21(1), 38-53

- Özerem, A. (2012). Misconceptions in geometry and suggested solutions for seventh grade students. Procedia-Social and Behavioral Sciences, 55, 720-729.

- I Al-ebous, T. (2016). Effect of the Van Hiele Model in Geometric Concepts Acquisition: The Attitudes towards Geometry and Learning Transfer Effect of the First Three Grades Students in Jordan. International Education Studies, 9(4), 87-98.

- Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight: A theory of mathematics education. Orlando, FL: Academic.

Full-Text:



نقش نظریة ون­هیلی برای ارتقاء مهارت­های هندسی دانش آموزان و بدفهمی های هندسه

چکیده

مدل ون هيلي يک مدل يادگيري است که انواع متفاوت تفکر را که دانش آموزان هنگام روبرو شدن با شکل هاي هندسي تجربه مي کنند، عرضه مي دارد و از مرحلة برخورد بصري با شکل هندسي تا درک صوري اثبات هندسي را شامل مي شود. بدفهمي ها ممکن است باعث سردرگمي و شکست دانش آموزان در حل مسائل شوند. گاهي نيز به دليل ماهيت به هم پيوستة مفاهيم رياضي، بدفهمي ها باعث ايجاد مشکل در يادگيري هاي آتي دانش آموزان مي شوند. هدف اين پژوهش شناسايي بدفهمي هاي دانش آموزان در مهارت هاي هندسي درس هندسه و استفاده از نظرية ون هيلي براي ارتقا و بهبود سطح مهارت هاي هندسي دانش آموزان بوده است. جامعة آماري آن دانش آموزان دوره متوسطه در استان گیلان بودندکه در سال تحصيلي 1399-1398 تحصیل مي کردند. نمونه مورد نظر به صورت تصادفي خوشه اي به تعداد 384 نفر درنظر گرفته شد. اين مطالعه ازنظر هدف کاربردي، ازنظر اجرا توصيفي، و از نوع زمينه يابي است. ابزار اندازه گيري اين پژوهش آزمون کتبي بوده است. ضريب آلفا کرونباخ 896 /0 به دست آمد. نتايج به دست آمده از اين پژوهش نشان داد که اغلب دانش آموزان خطاهاي متعددي در مباحث هندسه و مهارت هاي هندسي داشتند. ميانگين نمرات دانش آموزان گروه آزمايش در بدفهمي ها پايين تر از ميانگين نمرات دانش آموزان گروه گواه بود. بين عملکرد دانش آموزان گروه کنترل و آزمايش در سطوح تفکر ون هيلي تفاوت معناداري در سطح 05 /0 وجود داشت. اين تفاوت به سود دانش آموزان گروه آزمايش بود. همچنين، بين عملکرد دانش آموزان دو گروه در مهارت هاي هندسي تفاوت معناداري در سطح 05/0 به سود دانش آموزان گروه آزمايش وجود داشت. بنابراين اگر معلمان اگر از مدل ون هيلي در جهت آموزش مفاهيم و مهارت هاي هندسي استفاده کنند تا حدي بدفهمي هاي دانش آموزان کاهش مي يابد.

مقدمه

هندسه به عنوان بخشي از رياضيات، يكي از درس هاي مهم ،مشكل و در عين حال ، پر جاذبه و شيرين دوران تحصيل است. هر معلمي كه در مقطع دبيرستان درس رياضي يا هندسه را تدريس كرده باشد متوجه سردرگمي دانش آموزان در بخش هندسه مي شود مسائل را ناملموس تلقي مي كند. علت اين امر مي تواند دلايل خاص خود را داشته باشد. بايد از ديد دانش آموزان به مسئله نگاه كرد و عملكردهاي آن ها را در حل نمونه هاي متنوع مربوط به هندسه بررسي نمود تا منشاء اين مشكل پيدا شود و راه حل مناسبي پيشنهاد گردد ما در اين رساله سعي خواهيم كرد كه برخي از مشكلات مهم و تاثير گذار را احصاء و راه حل هاي اجرايي براي آموزش بهتر اين بخش از درس هندسه ارائه دهيم.

خيلي از افراد اين درس را مشكل و مبهم مي دانند و نتيجه اين باور ، عدم اعتماد به نفس در يادگيري است مي توان آموزش رياضي را به صورت ملموس تر در آورد و دانش آموزان را به صورت ملموس با مسائل مربوط به هندسه روبرو كرد .آموزش هايي كه دانش آموزان در مدرسه مي بينند بايد تا حدودي منعكس كننده زندگي واقعي آن ها باشد. آنچه كه ياد مي گيرد كاربردش را در زندگي بداند يك دوستي مي گفت يك روز به دانش آموزان گفتم تمام كلاس را با متر اندازه بگيريد و انداره هر كسي واقعي بود به او جايزه مي دهم شورو شوقي در كلاس ايجاد شد و همه شروع كردند به اندازه گرفتن سپس معلم شروع كرد به مفهوم واحد اندازه گيري يعني متر و واحد كوچكتر آن يعني سانتي متر و حتي جلوتر واحد هاي كوچكتر . فراگير ضمن علاقه مند شدن به آن عملا مسئوليت بيشتري را در امر يادگيري به عهده خواهد داشت .وقتي مفاهيم هندسه با شيوه های استدلالي و خشك تدريس مي شود كمتر مورد توجه قرار مي گيرد هرگاه به شيوه ي عملي و

كاربردي تدريس شود ، ضمن اين كه برخي ازمسائل تدريس و يادگيري ، از پيش پا برداشته خواهد شد ، در فراگيران شوق و علاقه به مطالعه و يادگيري اين درس ، ايجاد شده و رشد خواهد يافت هندسه مثل علم رياضي ، داراي مفاهيم مجرد و ذهني است و مفاهيمي كه تعاريف هايشان نشات گرفته از خودشان است ، مثل نقطه ، خط ، سطح و . ...در تدريس اين مفاهيم ، بايستي سعي كرد كه دور از ابهام ارائه شوند. هدف از تدريس رياضي ، پرورش قواي فكري ، توانايي درست انديشيدن ، به كار بستن صحيح دانش و معلومات در حل مسائل روزمره و پرورش ذهن هاي خلاق و مبتكر است نه محدود نمودن آن ها به حفظ تعريف ها و قضيه هاي خشك رياضي و هندسه. 

ریاضیات، یکی از مهم­ترین مؤلفه­های فرهنگی جوامع مدرن امروزی است. هدف کلی ریاضیات این است که فرد را قادر سازد که دانش ریاضیاتی لازم در زندگی روزمره را فراگیرد، نحوة حل مسائل را آموزش دهد، باعث شود که یادگیرنده روشی برای حل مسائل داشته باشد و روش­های استدلال را فراگیرد. هندسه شاخة مهمی از ریاضیات است و مهارت­های هندسی به عنوان مهارت­های اصلی ریاضیات شناسایی شده­اند. هندسه برای دانش­آموزان از آن رو اهمیت دارد که در سایر شاخه­های ریاضی هم تأثیر دارد. اساساً یادگیری هندسه دو هدف دارد: یکی توسعة مهارت تفکر و دیگری شکل­گیری شهود فضایی. منظور از شهود فضایی آن است که فرد چگونه فضا و ناحیه( مساحت­ها) را در دنیای واقعی می­نگرد. هر جا آموزش و یادگیری در میان باشد، فراگیری ناقص و نارسای برخی مطالب و مفاهیم بسیار امکان پذیر است. بنابراین، بدفهمی ها و ناتوانی­های ناشی از آ نها هم اتفاق می­افتند. پنداشت­های غلط و بدفهمی در ریاضیات، بنا بر دلایل مختلف و با شیوه­های متفاوت، توسط معلمان و شاگردان بروز می­کند و عرصة آن از اشکالات و ابهامات جزئی تا ناتوانی­های گسترده و مهم تغییر می­کند. بدفهمی را این­گونه تعریف می­کند: مشکلات مفهومی یا استدلالی که مانع از تسلط دانش­آموزان در هر رشته­ای می­شود. بدفهمی را به­عنوان مرحلة طبیعی رشد و توسعة مسائل مفهومی می­نگرد. برای اینکه دانش­آموزان بتوانند با مشکلات و دشواری­های مفهومی زیربنایی مواجه شوند، فائق آمدن بر این بدفهمی­ها ضروری است. بدفهمی­ها بخشی از فرایند یادگیری هستند که روی یادگیری­های بعدی دانش­آموزان تأثیر منفی می­گذارد. بدفهمی­ها ساختار شناختی محکمی دارند که به راحتی اصلاح نمی­شوند و ناشی از بی­دقتی و تصادفی نیستند. اشتباهات و خطاهای مفهومی سهوی نیستند، بلکه ناشی از فهم نادرست یا ناقص دانشجویان هستند. در واقع به عبارت دقیق­تر، بدفهمی را می­توان برداشت ناقص یا نادرست از یک مفهوم که سبب اشتباهات نظام­مندی در عملکرد فرد می­شود، تعریف کرد.گرابر و جانسون  بدفهمی­ها را در چهار گروه قرار می­دهند:

1. بیش­تعمیمی: دانش­آموز مفهوم یا رویه­ای که در یک وضعیت درست است را به وضعیتی دیگر تعمیم می­دهد.

2. بیش­تخصیصی: دانش­آموز محدودیتی را که ویژگی یک مفهوم یا رویه نیست به آن نسبت می­دهد.

3. ترجمه نادرست: دانش آموز در ترجمه واژگان، نمادها، جدول ها یا نمودارها اشتباه می کند.

 ۴. مفهوم سازی محدود: ریشه بدفهمی دانش آموز به درک نکردن مفهوم یا رویه بر می گردد.

یکی از راه های شناسایی ابعاد یادگیری دانش آموزان، توجه به اشتباهات مفهومی و خطاهایی است که آنها مرتکب می شوند تحقیقات نشان داده اند، که با وجود تلاش­های بسیار زیادی که برای پایین آوردن میزان اشتباهات دانش آموزان در درس ریاضی انجام شده، آموزش و یادگیری ریاضیات همچنان با اشتباه مفهومی همراه بوده است (کانسيز " و همکاران، ۲۰۱۱، به نقل از امیری، ۱۳۹۲).

شناسایی و کشف بدفهمی­های دانش آموزان، برای معلمان ریاضی اهمیت زیادی دارد، زیرا آنها می توانند تا حدودی روش تدریس خود را بر مبنای بدفهمی­های دانش آموزان تعدیل کنند. تشخیص بدفهمی­ها کمک خواهد کرد بفهمیم چه روشی، کی و کجا در یادگیری دانش آموزان مؤثر است. آگاهی از فرایندهای ذهنی آنها به معلمان ریاضی کمک خواهد کرد در صدد ایجاد تغییرات مناسب در روش یادگیری و کشف روش های بهتر باشند و دانش آموزان را با هدف های عادی تر درس های ریاضی و ارتباط تنگاتنگ آنها با دنیای واقعی آشنا سازند (آذرنگ، ۱۳۹۱).

مهارت های دیداری، شفاهی، ترسیمی، منطقی و کاربردی، پنج مهارت پایه در آموزش هندسه هستند که به توجه خاص نیاز دارند. توسعه بعضی از این مهارت ها از دوره های ابتدایی و راهنمایی شروع می شود و بعضی نیز در سطح آموزش متوسطه مطرح می شوند (غلام آزاد، ۱۳۷۹).

5. مهارت دیداری: بدون شک هندسه موضوعی دیداری است و این جنبه به عنوان ابزاری مقدماتی در اثبات ها بکار می رود. و مهارت شفاهی: درس هندسه از جمله درس هایی است که روی زبان تأکید دارد و دانش آموزان باید واژه های زیادی را یاد بگیرند و تعریف های دقیق و ویژگی های ش کل ها و روابط بین آنها را توصیف کنند.

6. مهارت ترسیمی: درس هندسه باید برای دانش آموزان فرصتی فراهم آورد که ایده های خود را در قالب تصویر و نمودار بیان کنند. آنها در آینده زندگی خود بیش از اثبات قضیه، نیازمند داشتن مهارت کافی در رسم تصویر از یک موقعیت هندسی هستند.

7. مهارت منطقی: هندسه یکی از موضوع هایی است که چگونگی تجزیه و تحلیل و تشخیص درستی آن را آموزش می دهد. متأسفانه بعضی از برنامه های درسی و بعضی از روش های تدریس دانش آموزان را به حفظ مفاهیم، و نه درک آن، سوق می دهد.

8. مهارت کاربردی: امروزه توصیف ریاضی پدیده ها «مدل سازی ریاضی» خوانده می شود. با تجزیه و تحلیل یک مدل، غالبا به اطلاعاتی در مورد پدیدۀ اصلی می رسیم. یکی از بهترین مثال های اولیه مدل سازی در کتاب اصول اقلیدس یافت شده است که ممکن است نتیجه تلاشش برای توصیف منطقی مدل سازی جهان بوده باشد. در حال حاضر، مدلسازی ریاضی در زمینه هایی مثل کشاورزی، زیست شناسی، جغرافیا، روان شناسی و کسب و کار مورد استفاده قرار می گیرد.

تحقیقات متعددی که در طول سالیان گذشته در کشورهای متفاوت انجام گرفته، بیانگر آن است که بسیاری از دانش آموزان در یادگیری هندسه مشکل دارند. نظریه ونهیلی شامل سطوح تفکری است که دانش آموزان در ضمن یادگیری هندسه از آن عبور می کنند. علاوه بر این توضیح می دهد چرا دانش آموزان در یادگیری هندسه با مشکل مواجه می شوند. این مدل نظری شامل سطوح تفکر و مراحل آموزشی است (ریحانی، ۱۳۸۴).

سطوح تفکر» توصیفی از روش های تفکر است که در یادگیری هندسه یافت می شوند. این سطوح نشانگر میزان تفکر افراد نسبت به ایده های هندسی هستند، نه میزان دانش هندسی فرد. بنابراین، چگونگی تفکر هندسی و آموزش هندسه در برنامه ریاضی مدرسه ای از جایگاه ویژه ای برخوردار است و یکی از شناخته شده ترین نظریه ها بین نظریه هایی که در مورد آموزش هندسه و تفکر هندسی وجود دارند، نظريه ون هیلی است (مهدیان، ۱۳۹۵).

پیر ون هیلی و همسرش دینا گلدوف ون هیلی" از جمله معلمانی بودند که در کلاس های درس هندسه متوجه مشکلات یادگیری دانش آموزان خود شدند و در نهایت تلاش آنها برای رفع مشکلات یادگیری دانش آموزان خود، به تدوین نظریه­ای در زمینه آموزش هندسه منجر شد که تحقیقات بعدی صورت گرفته توسط باتیستا، کلمنتس، گاز (۱۹۶۰) نشان دادند که این نظریه نقاط قوت زیادی در زمینه آموزش هندسه دارد (به نقل از ویسی، ۱۳۸۸). مدل ون هیلی یک مدل یادگیری است، این مدل انواع متفاوت تفکر را که دانش آموزان هنگام روبرو شدن با شکل های هندسی تجربه می­کنند، عرضه می­کند و از مرحله برخورد بصری با شکل هندسی تا درک صوری اثبات هندسی را شامل می­شود. ون هیلی ابتدا در پنج سطح از تفکر مدل خود را عرضه کرد، اما اینک مدل او با سه سطح از تفکر معرفی می­شود که او آنها را به ترتیب دیداری، توصیفی و نظری می­نامد (فويز ۱۹ وهمکاران، ۱۹۸۸ و ونهیلی، ۱۹۸۶).

تقسیم کردن هندسه به سطوح متفاوت بر اساس تئوری ون هیل، بسیار مناسب و منطقی است. دبیرستان­های دوره دوم متوسطه با توجه به تخصصی بودن درس­ها و موضوع های تدریس شده، باید تعیین کنند که دانش آموزان در چه سطحی هستند و می­خواهند به چه سطح برسند، و تدریس هندسه را با آن منطبق سازند. سطوح ون هیلی که به طور یکسان برای هر دو جنس (مرد و زن) مناسب اند(هسيو ، ۲۰۱۵ به نقل از العبوس ۲، ۲۰۱۶) عبارت اند از:

سطح ۱. تشخیص یا دیداری: در سطح ۱، دانش آموزان هندسه را از طریق تجسم یاد می­گیرند(ون­هیلی، ۱۹۸۴، به نقل از مرادی ویس، ۱۳۸۸). شکل ها بر اساس ظاهرشان قضاوت می شوند. کودک مستطیل را با شکل آن یاد می گیرد و برای او مستطيل متفاوت از مربع به نظر می رسد.  

سطح ۲. تجزیه و تحليل: در دومین سطح، شاید دانش آموزان درک کنند که ضلع­های روبه رو و احتمالا حتى قطر­های یک مستطیل متساوی هستند، اما متوجه نیستند که چگونه مستطیل­ها با مربع ها یا مثلث های قائم الزاویه مرتبط اند. دانش آموزان ویژگی های ش کل ها را تحلیل می کنند (هافر ۲۳۳، ۱۹۸۱). و س طح 3. استنتاج غیر رسمی یا مرتب سازی: دانش آموزان قادرند خواص مفاهیم، شکل ها و انواع تعریفهای مجرد را به صورت منطقی مرتب کنند. همچنین قادر به تشخیص شرط لازم و کافی مجموعه ای از خواص در مفاهیم و شکل ها هستند (بورگر و شانسی، ۱۹۸۶ به نقل از مرادی ویس، ۱۳۸۸).

سطح ۴. استنتاج رسمی: دانش آموزان می­توانند اثبات کند، نقش تعریف ها، قضیه­ها و معنی لازم و کافی را می دانند(میسون۲۴، ۱۹۹۸). در این سطح استنتاج معنی دار می­شود. دانش آموزان اهمیت استنتاج و نقش فرض ها، اصول موضوعه، قضایا و اثبات ها را درک می کند (هافر، ۱۹۸۱).

سطح ۵. دقت: دانش آموزان جنبه های رسمی اثبات، مثل مقایسه و ایجاد سیستم های ریاضی، را درک می کنند. در این سطح، دانش آموز اهمیت اثبات غیر مستقیم و اثبات مستقیم را می­فهمد و می­تواند هندسه نااقلیدسی را درک کند(میسون، ۱۹۹۸). ون هیلی ها در تحقیقات خود متوجه شدند، استدلال های رسمی در هندسه به صورت طبیعی در کودکان اتفاق نمی­افتد و برای این کار نظامی تربیتی مورد نیاز است. آنها بر نقش آموزش و اهمیت کسب تجربه توسط یادگیرنده برای سهولت عبور از سطحی به سطح دیگر تأکید بسیار داشتند. این امر با نقش آفرینی معلم و از طریق طراحی فعالیت­های مناسب برای یادگیرندگان سطوح متفاوت امکان پذیر است(ریحانی، ۱۳۸۴).

بخشی از کار ون­هیلی درباره تئوری ون­هیلی است که شامل پنج مرحله آموزشی است. این مراحل برای معلمان طراحی شده تا به دانش آموزان کمک کنند، از یک مرحله به مرحله بعدی بروند(فويزه و همکاران، ۱۹۸۴ به نقل از شریف پور، ۱۳۹۳). این مراحل عبارت اند:

١. کسب اطلاعات: معلم و دانش آموزان مشغول گفتگو و فعالیت در مورد موضوع­های مورد مطالعه می شوند و دانش آموزان با زمینه کار آشنایی پیدا می­کنند.

 ٢. جهت دهی: دانش آموزان هر مبحث مورد مطالعه را از طریق فعالیت هایی که معلم طراحی کرده است، توسعه می دهند و یاد می­گیرند.

 ٣. شفاف سازی: دانش آموزان از روابط بین اجزا آگاه می­شوند و می­کوشند آنها را به زبان خود بیان کنند. معلم جمله هایی را که دانش آموزان به کار می برند، پالایش می­کند و جمله های جدیدی به کار می برد.

 ۴. جهت گیری آزاد: دانش آموزان به فعالیت­ها و تکلیف هایی گماشته می­شوند که می­توانند آنها را با روش های متفاوت و با استفاده از دانش، مهارت ها و رابطه هایی که قبلا آموخته اند، انجام دهند.

 ۵. تلفيق: دانش آموزان قادرند دانش و اطلاعات و روابط جدید را در قالب یک کل جدید و یکپارچه ببینند. به عبارت دیگر، آنها همه آنچه را که در مورد یک موضوع یاد گرفته اند، باهم تلفیق می کنند.

ویژگی­های مدل ون­هیلی

 ١. دنباله ای بودن س طوح: تفکر هندسی سلسله مراتبی هستند یعنی یک دانش آموز نمی­تواند در سطح n ون­هیلی باشد بدون اینکه ۱- n سطح قبلی را طی کرده باشد (تامپسون، ۲۰۰۶ به نقل از شریف پور، ۱۳۹۳).

 ۲. زبان­شناختی بودن: هر سطح دارای نمادهای زبانی خاصی است و افرادی که در سطوح متفاوت هستند، نمی توانند یکدیگر را درک کنند(میسون، ۲۰۰۲، به نقل از صباغی، ۱۳۸۳).

 ۳. عدم وابستگی به سن: سطوح تفکر هندسی ون­هیلی به سن وابسته نیستند و در عوض، به تجربیاتی بستگی دارند که دانش آموزان کسب کرده اند.

 ۴. متمایز بودن ماهیت درونی و ماهیت بیرونی: ون هیلی­ها تأکید می کنند، سطوح به وسیله تفاوت در موضوع تفکر از یکدیگر تمیز داده می شوند. برای مثال، در سطح یک، فقط شکل ظاهری درک می شود، در حالی که شکل بهوسیله خواص خود تعیین می شود. این مطلب تا سطح دو که شکل به وسیله اجزا و مؤلفه هایش تجزیه و تحلیل و خواص آن کشف می شود، به دست نمی آید (ریحانی، ۱۳۸۴).

 ۵. نبود مطابقت: دو شخص که در سطوح متفاوت استدلال قرار دارند، نمی توانند یکدیگر را درک کنند. اگر در یک کلاس درس، معلم و سایر دانش آموزان در س طوح متفاوتی از تفکر باشند، با نمادهای متفاوت زبانی و شبکه های ارتباطی متفاوت با هم ارتباط برقرار می کنند و در نتیجه، نه معلم و نه دانش آموز، همدیگر را درک نمی کنند (میسون، ۱۹۹۸).

 ۶- نقش معلم: پژوهشگران نقش معلم را به گونه های متفاوت توصیف کرده اند. فرودنتال نقش معلم را نوعی راهنما می داند که مسیر یادگیری را به دانش آموزان نشان می­دهد. در این نقش معلم این امکان را فراهم می کند که دانش آموزان در مسیر مشخص تری حرکت کنند و مفاهیم ریاضی را در ذهن خود بپرورانند. طبیعی است که انسان در جریان ساخت و ساز دانش خود، به فهم­هاو بدفهمی های مختلفی می­رسد. باید در نظر داشت که بدفهمی­های دانش آموزان در ریاضی، اشتباهات سهوی نیستند که با تکرار و تمرین قابل اصلاح باشند. در ساختارها یا طرح­واره­های ذهنی دانش آموزان ریشه دارند. برای اصلاح آنها نیز نیازمند تحقیقاتی هستیم که هم بدفهمی­ها را شناسایی کنند و هم دلایل شکل­گیری آنها را روشن سازند تا بتوان با استناد به یافته­های پژوهشی، برای رویارویی مناسب به برنامه­ریزان درسی و مؤلفان کتاب های درسی ریاضی، رهنمودهای اجرایی ارائه داد.

از آنجا که هدف این پژوهش شناسایی بدفهمی های دانش آموزان و استفاده از نظریه ون­هیلی برای درک هندسی آنهاست، لذا امید می­رود نتایج پژوهش رویکرد نوینی را برای آموزش هندسه ارائه دهد که با بهره گیری از آن بتوان پاره ای از مشکلات معلمان را در فرایند آموزش هندسه رفع کرد. در ادامه مدلی برای شناسایی سطوح تفکر هندسی دانش آموزان، طراحی مراحل آموزشی و یادگیری درس هندسه به معلمان ارائه می شود که به کمک آن می توانند زمینه های ایجاد علاقه و انگیزه در دانش آموزان نسبت به هندسه، تقویت مهارت های هندسی دانش آموزان و بالا بردن سطوح تفکر هندسی آنان را  فراهم آورند.

تحقیقات داخلی و خارجی انجام گرفته در رابطه با بدفهمی 

پژوهش ویسی در سال ۱۳۸۸ بررسی میزان تأثیر آموزش به کمک هندسه پويا مبتنی بر نظریه ون هیلی بر رشد تفکر هندسی دانش آموزان سال سوم راهنمایی کلاترزان» را مورد بررسی قرار داد. نتایج پژوهش نشان داد که بین عملکرد دانش آموزان دو گروه در مهارت های دیداری، شفاهی، ترسیم و منطقی تفاوت معناداری در سطح 05/0 به سود دانش آموزان گروه آزمایش وجود دارد. اما در مهارت کاربرد تفاوت معناداری وجود ندارد.

پژوهش العبوس (۲۰۱۶) که به بررسی تأثیر مدل ون­هیلی بر یادگیری مفاهیم هندسی و بررسی نگرش­ها در مورد هندسه و اثر انتقال یادگیری دانش آموزان سه پایه اول در اردن است نشان داد تفاوت­های معناداری بین عملکرد هرکدام از دو گروه پژوهش در مقیاس یادگیری مفاهیم هندسی، به نفع گروه آزمایش وجود دارد، این گروه با استفاده از مدل ون­هیلی آموزش داده شده بودند. همچنین تفاوت های معناداری بین عملکرد دو گروه پژوهش در مقیاس نگرش در مورد هندسه به نفع گروه آزمایش که با مدل ون­هیلی آموزش داده شده بودند وجود داشت. همچنین تفاوت های معناداری بین عملکرد هر کدام از دو گروه پژوهش در آزمون انتقال یادگیری به نفع گروه آموزش داده شده با مدل ون هیلی مشاهده شد.

ولو، کریشناسامی و عبدالله (۲۰۱۵) تحقیقی تحت عنوان «حل مسئله» انجام دادند. هدف این پژوهش تشخیص میزان دشواری و میزان خطاها بر اساس نمادها، نمودارها و حل مسئله در ریاضیات بود. تحلیل محتوا نشان داد که ۵۲ نفر (۵۷٪) دچار خطاهای مفهومی شده بودند، ۲۲ نفر (۲۴٪) خطاهای سهوی داشتند، ۱۲ نفر (۱۳٪) خطاهای حل مسئله داشتند، و ۵ نفر (۶) خطاهای مقداری داشتند. مهم ترین علل ارائه شده برای این خطاها عبارت اند از: عدم فهم، فراموش کردن رویه حل مسائل، ناتوانی در فهم کامل اطلاعات سؤال، بی دقتی، و جواب دادن بر اساس حدس و گمان. این پژوهش در فرآیند یادگیری دانش آموزان و فهم نمودارها کاربرد دارد، زیرا در زندگی روزانه از نمودارها برای مدیریت، انتقال و تحلیل اطلاعات استفاده­های گسترده­ای می شود. پژوهش آزرم (۲۰۱۲)، «تصورات نادرست در مورد هندسه و راه حل­های پیشنهادی برای دانش آموزان دوره هفتم» بود. نتایج به دست آمده از این پژوهش نشان داد که دانش آموزان متوسطه دوره هفتم شماری تصورات نادرست دارند، فاقد دانش زمینه­ای کافی و فاقد استدلال هستند و دچار اشتباهاتی در عملیات پایه­ای در موارد مذکور می شوند.

روش پژوهش

ابتدا آزمونی محقق ساخته برای شناسایی بدفهمی­های دانش آموزان به عمل آمد و روایی و پایایی آن بررسی شد. با این آزمون، بدفهمی­های دانش آموزان شناسایی شدند. سپس دو گروه آزمایش و کنترل از دانش آموزانی که بیشترین بدفهمی را در مهارت­های هندسی داشتند، انتخاب شدند. روی گروه آزمایش به مدت هفت جلسه آموزش به کمک طرح درس مبتنی بر مدل ون­هیلی و برای گروه گواه هفت جلسه تدریس به روش سنتی اجرا شد. در آخر، پس آزمون بین دو گروه و سنجش عملکرد آنها نسبت به هم انجام شد. جامعه آماری در این پژوهش دانش آموزان پسر پایه هشتم ناحیه یک شهرستان سنندج که در سال تحصیلی ۹۶-۱۳۹۵ تحصیل می کردند و تعدادشان ۱۸۶۵ نفر بود. نمونه مورد نظر نیز شامل تمام دانش آموزان چند دبیرستان می باشد که به صورت تصادفی خوشه­ای انتخاب شدند

نمونه: برای تعیین نمونه، بر اساس جدول مورگان و فرمول شارل کوکران، ۳۱۸ نفر به صورت تصادفی خوشه­ای انتخاب شدند. در آغاز از این تعداد یک پیش آزمون به عمل آمد و دو گروه ۲۵ نفره (آزمایش و گواه) جمعا ۵۰ نفر که بیشترین بدفهمی را داشتند، در نظر گرفته شدند. این تعداد نمونه برای پژوهش حاضر، بر مبنای حداقل تعداد پیشنهادی برای گروه های مورد مقایسه در مطالعات آزمایشی، از جمله مطالعات شبه تجربی، انتخاب شدند. بر اساس نظر(گال، بورگ و گال ۲۷، ۱۹۹۷ /۱۳۹۵) این تعداد نمونه برای تحقیقات تجربی کافی است.

روایی: برای تعیین روایی ابزار مورداستفاده در این پژوهش، از روایی محتوایی (CVI) استفاده شد. روایی محتوایی بدین معناست که معین کنیم سؤالات انتخاب شده در آزمون یا پرسشنامه تا چه حد نماینده و معرف مجموعه سؤالات ممکن از موضوع موردنظر است. در این پژوهش، روایی محتوایی آزمون توسط هشت نفر که استادان و دبیران ریاضی بودند، بررسی شد.  در کل تعداد سؤالات پیش آزمون در مرحله اول ۲۹ سؤال بود که چون روایی محتوایی ۹ سؤال آن کمتر از 79/0  بود، آن ۹ سؤال حذف شدند.

پایایی: برای بررسی پایایی پیش آزمون و پس آزمون، پس از اجراء در نمونه های اولیه شامل ۲۰ و15 نفراز دانش آموزان پایه هشتم از «روش بر آورد ضریب آلفای کرونباخ» استفاده شد. ضریب آلفای کرونباخ آزمون به ترتیب 862/0 و 754/0 به بدست آمد که این مقدار وضعیت مناسبی را در مورد پایایی آزمون­ها نشان می­دهد.

 روش اجرا: در مرحله اول، نوع بدفهمی­های دانش آموزان پایه هشتم در زمینه هندسه، با استفاده از یک آزمون محقق ساخته که یک نمونه ۳۱۸ نفری از دانش آموزان پایه هشتم این شهرستان در آن شرکت کردند، شناسایی شدند. پس از مشخص شدن نوع بدفهمی های دانش آموزان در مهارت های هندسی، به منظور اصلاح و جلوگیری از بروز بدفهمی­ها، روش تدریس مبتنی بر مدل ون هیلی مورد استفاده قرار گرفت.

مرحله دوم این پژوهش روش تدریس پیشنهادی محقق را بررسی کرد. به این صورت که یک نمونه ۵۰ نفری از دانش آموزان پایه هشتم که بیشترین بدفهمی را داشتند، انتخاب و به دو گروه هم سنگ به نام­های آزمایش و کنترل تقسیم شدند، به دانش آموزان گروه کنترل مبحث های هندسه،  بدون گوشزد کردن بدفهمی­ها، به روش سنتی تدریس شد. در گروه آزمایش مباحث هندسه با  گوشزد کردن بدفهمی ها و بر اساس مدل ون­هیلی تدریس شد. سپس با انجام آزمونی هماهنگ بین این دو گروه، عملکرد دانش آموزان سنجیده شد.

فرضیه های پژوهش

 ١. شناسایی بدفهمی های دانش آموزان در مهارت های هندسی آنها تأثیر دارد.

 ۲. آموزش به کمک مدل ون هیلی در کاهش بدفهمی­ها تأثیر دارد.

 ٣. آموزش به کمک مدل ون هیلی در مهارت های هندسی دانش آموزان تأثیر دارد.

یافته های تحقیق

 نتیجه اجرای آزمون محقق ساخته شناسایی ۱۳ نوع بدفمهی در مهارت­های هندسی بود که عبارتند از :

 1. درک نادرستی از تعریف چندضلعی­ها دارند.

 ۲. خط­های تقارن و داشتن یا نداشتن مرکز تقارن در شکل ها را به درستی تشخیص نمی­دهند.

تصور می کنند هر نقطه که در فضای داخلی شکل قرار گیرد، مرکز تقارن است.

 ۴. درک درستی از زاویه ندارند.

 ۵. از نقاله به درستی استفاده نمی کنند (با توجه به اینکه روی نقاله دو ردیف عدد نوشته شده است).

 ۶. درک نادرستی از تعریف برخی از چهارضلعی های خاص دارند. مثلا فکر می کنند لوزی نوعی چهارضلعی با ضلع های روبروی موازی است که چهار ضلع برابر دارد و زاویه قائمه ندارد.

 7. مربع را از دسته مستطیل­ها جدا می دانند.

 ۸ پس از نوشتن رابطه فیثاغورس، در جاگذاری اندازه های اضلاع دچار اشتباه می شوند.

 9. در شکل های شلوغ خط­های موازی و مورب را به درستی تشخیص نمی­دهند.

 ۱۰. درک درستی از اثبات ندارند.

 11. مشکل دیگر بیشتر دانش آموزان در مورد هم نهشتی دو مثلث است. در تشخیص دو مثلث، اگر مثلث ها کاملا جدا از هم باشند، به راحتی آنها را می بینند، اما اگر دو مثلث در یک ضلع یا یک زاویه مشترک باشند، تشخیص آنها برایشان بسیار مشکل می شود. و چون دقيقة نمی­دانند چه کاری می خواهند انجام دهند، دو مثلث دیگر را که آشکار هستند، به اشتباه در نظر می گیرند.

 ۱۲. تفاوت اندازه و طول کمان را تشخیص نمی دهند.

 ۱۳. عبارت هایی مانند «کمان نظیر به یک وتر» و «وتر نظیر به یک کمان» بر ایشان ناملموس است.

این ۱۳ نوع بدفهمی را به هفت دسته طبقه بندی کردیم که شامل: چند ضلعی ها – زاویه ها – روابط فیثاغورث – چهارضلعی ها – توازی و تعامد – هم نهشتی و دایره بودند. پس از بررسی­ها مشخص شد که بیشترین میزان بدفهمی به میزان 58/0 % مربوط به گروه روابط فیثاغورث است و کمترین میزان بدفهمی­ها نیز مربوط به توازی و تعامد به میزان 8/15 % می­باشد.

در ادامه میانگین نمرات بدفهمی­های دانش آموزان در دو گروه پیش آزمون و پس آزمون ارائه داده شده است:

جدول1. میانگین نمرات بدفهمی دانش آموزان در هفت دسته در گروه پیش­آزمون و پس­آزمون

بدفهمی­ها	آزمون	تعداد	میانگین نمرات بدفهمی­ها	انحراف معیار	میزان کاهش بدفهمی­ها
چندضلعی	پیش آزمون	25	92/14	04/2	72/3
	پس آزمون	25	02/11	74/2
زاویه ها	پیش آزمون	25	65/14	3/1	2
	پس آزمون	25	65/12	96/2
چهارضلعی ها	پیش آزمون	25	61/13	5/1	55/4
	پس آزمون	25	06/9	95/1
فیثاغورث	پیش آزمون	25	22/16	3/2	77/2
	پس آزمون	25	45/13	78/2
توازی و تعامد	پیش آزمون	25	32/11	58/1	92/1
	پس آزمون	25	4/9	48/2
هم نهشتی	پیش آزمون	25	51/15	32/1	11/2
	پس آزمون	25	04/13	23/2
دایره	پیش آزمون	25	11/13	05/1	07/2
	پس آزمون	25	04/11	75/2

میانگین نمرات بدفهمی­های دانش آموزان در این هفت دسته بدفهمی کاهش پیدا کرده و به ترتیب از دسته اول 72/3 به دسته هفتم 07/2 کاسته شده است. بیشترین کاهش در بدفهمی­های نوع سوم یعنی بدفهمی­های مربوط به چهارضلعی­ها وکمترین کاهش در بدفهمی نوع پنجم، یعنی بدفهمی­های مربوط به توازی وتعامد بوده است. اما در کل، میانگین نمرات مهارت­های هندسی دانش آموزان گروه آزمایش در پیش آزمون 48/5 نمره بوده­است که این مقدار در پس آزمون به 12/9 رسید.

بیشترین کاهش در بدفهمی های نوع سوم یعنی بدفهمی های مربوط به چهارضلعی ها و کمترین کاهش در بدفهمی نوع پنجم، یعنی بدفهمی­های مربوط به توازی و تعامد بوده است.  اما در گروه کنترل، نمرات مهارت­های هندسی پیش آزمون و پس آزمون به ترتیب 48/5 و 28/6 بوده است. همان طور که از داده ها معلوم است میانگین نمرات مهارت های هندسی دانش آموزان در مرحله پس آزمون نسبت به مرحله پیش آزمون بیشتر و نمرات بدفهمی دانش آموزان، در مرحله پس آزمون نسبت به مرحله پیش آزمون کمتر بوده است. این نشان می دهد که آموزش به کمک مدل ون­هیلی در کاهش بدفهمی­ها و همچنین افزایش مهارت­های هندسی دانش آموزان تأثیر داشته است.

بررسی استنباطی داده ها

به منظور استفاده از آزمون های پارامتریک، برای بررسی تساوی واریانس نمرات مهارتهای هندسی و بدفهمی ها، از «آزمون لوین» استفاده شد. نتایج آزمون لوین به این صورت بود: فرضیه آماری، یکسانی پراکندگی واریانس ها را در تمام سطوح متغیر مستقل مورد سنجش قرار می دهد. در بررسی واریانس های دو گروه در سطح 05/0 فرض مساوی بودن واریانس های نمرات مهارت های هندسی و بدفهمی های دو گروه پذیرفته می شود.

به منظور بررسی نرمال بودن نمرات مهارت های هندسی و بدفهمی ها از «آزمون کلوموگروف اسمیرنف» استفاده شد. طبق نتایج این آزمون مهارت های هندسی در گروه آزمایش 130/0 و در گروه کنترل 176/0 بود و بدفهمی ها در گروه آزمایش 130/0 و در گروه کنترل 051/0  به دست آمد. مقدار P مربوط به بدفهمی ها و مهارت های هندسی در هر دو گروه کنترل و آزمایش در سطح معناداری 05/0 بیشتر بوده است که نتیجه می گیریم نمرات مهارت های هندسی و بدفهمی­ها نرمال هستند.

بررسی فرضیه های پژوهش

فرضیة اول: شناسایی بدفهمی­های دانش­آموزان، در مهارت­های هندسی آنها تأثیر دارد.

جدول ۲. جدول ضریب همبستگی چندگانه و ضریب بتای بدفهمی­ها و بدفهم­یها با مهارت­های هندسی

شاخص آماری   متغیر ملاک	متغیر پیش­بین	ضرایب بتا		ضریب همبستگی چندگانه	مجذور ضریب همبستگی		ضریب F	سطح معناداری
		بتای غیر استاندارد	بتای استاندارد		چندگانه	چندگانه تعدیل شده
مهارت های هندسی	عدد ثابت	954/19	020/0
	بدفهمی ها	996/0-	002/0	999/0	999/0	999/0	762/218814	003/0

 

از بین متغیرهای مورد مطالعه، رگرسیون بهترین پیش­بینی­کنندة مهارت­های هندسی در بدفهمی­ها بوده است. بر اساس نتایج تحلیل رگرسیون، ارتباط بین بدفهمی­ها با مهارت­های هندسی معنادار بوده است. بر این اساس، ضریب بدفهمی­ها 9/99 درصد واریانس مهار­ت­های هندسی  را تبیین می­کند. چون 01/0 > p می­باشد، بنابراین رگرسیون قابل تعمیم به جامعة آماری می­باشد. ضریب بتا به ازای یک واحد افزایش در بدفهمی­ها، مهار­­­تهای هندسی را 999 / 0 واحد کاهش می­دهد.

فرضیة دوم: آموزش به کمک مدل ون­هیلی در مهارت­های هندسی تأثیر دارد.

جدول ۳. نتایج آزمون t نمونه­های مستقل در مورد فرضیه­های اول و دوم برای دو گروه کنترل و آزمایش

گروه	تعداد	متغیرها	میانگین	شاخص­های آماری آزمون T			مقدار P برای بررسی واریانس های دوگروه
کنترل	25	52/14		مقدار T	درجه آزادی	مقدارP	0
		48/5
آزمایش	25	88/10		336/3-	44	002/0	0
		12/9		925/3-	25	001/0

 

در مهار تهای هندسی، با توجه به مقدار 002/ p=0 که برای واریانس­های دو گروه در سطح معناداری 05/0 به دست آمده، پس فرض مساوی بودن واریانس­های دو گروه رد می­شود. حال برای بررسی وجود اختلاف میانگین، از مقدار p دو گروه با t مربوط به آزمون  واریانس­های نابرابر استفاده می شود. پس فرض مساوی بودن میانگین­ها رد می­شود و درنتیجه فرض وجود اختلاف بین میانگین­ها پذیرفته می­شود. یعنی میانگین نمره کل مهارت­های هندسی در گروه آزمایش بیشتر شده است. پس آموزش به کمک مدل ون­هیلی توانسته است نمرات مهارت­های هندسی دانش­آموزان پایة هشتم را در مرحلة پس­آزمون را افزایش دهد.

فرضیه سوم: آموزش به کمک مدل ون­هیلی در کاهش بدفهمی دانش آموزان تأثیر دارد.

همانطور که در جدول 3 مشخص گردیده، در بدفهمی ها، با توجه به مقدار 002/0 = P در سطح معناداری 05/0 فرض مساوی بودن میانگین های دو گروه رد می شود و در نتیجه فرض وجود اختلاف بین میانگین های دو گروه پذیرفته می شود. یعنی میانگین نمره کل بدفهمی ها در گروه آزمایش کمتر شده است. پس، آموزش به کمک مدل ون هیلی بر نمره بدفهمی های دانش آموزان تأثیرگذار است و می توان نتیجه گرفت که آموزش به کمک مدل ونهیلی توانسته است نمرات بدفهمی های دانش آموزان پایه هشتم در مرحله پس آزمون کاهش دهد.

بحث و نتیجه گیری

 دانش آموزان پایه هشتم بدفهمی­های زیادی در مهارت­های هندسی دارند و دانش متناسب با موضوعات هندسی را ندارند. بیشترین بدفهمی­ها به ترتیب در مهارت­های کاربردی، منطقی و ترسیمی مشاهده می شوند. نتایج حاصل از این قسمت با یافته­های پژوهش های ویسی (۱۳۷۸)، لونتا، (۲۰۱۴)، آزرم، (۲۰۱۲) مطابقت ندارد. اگر چه ممکن است نتوان همواره از بروز بدفهمی­ها جلوگیری کرد، ولی می توان در جهت اصلاح آنها قدم برداشت. برای مثال، انجام فعالیتی که در آن از دانش آموز خواسته می شود درستی یا نادرستی قانونی را در وضعیت های متفاوت بررسی کند، این امکان را فراهم می سازد که اعتبار تعميم­ها بررسی و از قوت بدفهمی ها در ذهن کاسته شود. انجام فعالیت هایی که در آنها از دانش آموزان خواسته می شود بر فرایندها و اعمال خود نظارت داشته باشند و آنها را تحلیل کنند، می تواند به رفع اشتباهات، قبل از آنکه به بدفهمی تبدیل شوند، کمک کند.

لازم است دانش آموزان را در موقعیت هایی قرار دهیم که با تشخیص خطاها و بدفهمی­ها احساس کنند فضای فراخ تری پیش روی آنها باز شده است تا بتوانند درباره بدفهمی های خود کاوش و بحث کنند. ایجاد فرصت آشنایی با بدفهمی ها و مثال هایی از این گونه، به دانش آموزان کمک می کند درک بهتری از مفهوم به دست آورند، بدفهمی خود را اصلاح کنند و دانش خود را از فرایندها افزایش دهند. از طریق درگیر کردن دانش آموزان با مفاهیم درست و نادرست، دانش آموز تصویری ذهنی از صورت نادرست مفهوم در ذهن خود ایجاد می کند و آن را با برچسب نادرست مشخص می کند. مواجهه با مثال های نادرست انگیزه تفکر و بررسی عمیق تر مفهوم را در دانش آموز ایجاد می کند.

برخی از بدفهمی ها برای مدت های مدید در فرد باقی می مانند. بدفهمی ایده ای شهودی است که دانش آموز در تجربه و تعامل با دنیای بیرونی در ذهن خودساخته است. بدفهمی ناشی از آن است که دانش آموز مطلب را درک نکرده یا به غلط درک کرده است. میانگین نمرات دانش آموزان گروه آزمایش در بدفهمی ها پایین تر از میانگین نمرات دانش آموزان گروه گواه بود. یعنی بین دو گروه از لحاظ بدفهمی تفاوت معناداری وجود دارد. روش یادگیری هندسه که از طریق حفظ کردن و به خاطر آوری انجام می شود و معلم محور است، نمی تواند به دانش آموزان کمک کند سطح تفکر هندسی خودشان را تقویت کنند. روش سنتی یادگیری دانش آموزان را به استفاده از استدلال­شان تشویق نمی کند و در نتیجه، دستیابی به سطوح بالاتر از تفکر هندسی را برای آنها دشوار می سازد. بین میزان مهارت های هندسی دانش آموزانی که به کمک مدل ونهیلی و دانش آموزانی که به شیوه سنتی آموزش دیدند، تفاوت معناداری در سطح 05/0  وجود داشت.

دانش آموزان با ذهنی خالی در کلاس حاضر نمی شوند، بلکه با نظریه های ریاضی، و فرضیه های غیررسمی ساخته شده بر مبنای تجاربشان در کلاس حضور دارند. آنها دانش پیشین خود را از مفاهیم ریاضی با خود به کلاس درس می آورند. تحقیقات نشان می دهند کار با دانش پیشین می تواند به درک عمیقی از مفاهیم منجر شود. دانش ریاضی موجود دانش آموزان غالبأ ناقص يا نادقیق است، یا احتمالا دانشی که ما انتظار داریم، وجود ندارد. در چنین وضعیتی، ممکن است که دانش جدید نیز به صورت غیر دقیق ساخته شود. بدفهمی های رایج در ریاضی و اشتباهات مفهومی، به میزان قاب لتوجهی در میان دانش­آموزان کم و بیش فراگیر است. از دلایل مهم این بدفهمی­ها می­توان به ضعف اطلاعاتی یا پایه­ای دانش آموزان، روش­های سنتی تدریس، تغییر همه سالة کتاب­های درسی، کتاب­های کم آموزشی و ضعف تدریس بعضی از دبیران ریاضی اشاره کرد. توجه به عواملی مانند تجدیدنظر در روش­های تدریس ریاضی، توجه به یادگیری هوشمندانه و فهم رابطه­ای به جای فهم ابزاری، فراهم کردن فضای کارگروهی در کلاس و ایجاد بحث و تبادل نظر، می­تواند در کاهش دادن بدفهمی­های ریاضی دانش­آموزان مؤثر باشد. نتایج تحقیق حاضر به دانش­آموزان پایة هشتم چند مدرسة ناحیه یک شهرستان سنندج مربوط است. لذا تعمیم نتایج آن به سایر دانش­آموزان کشور و پایه­های دیگر با محدودیت مواجه است. همة دانش­آموزانی که در این پژوهش شرکت داشتند پسر بودند و نمی­توان گفت آیا دانش­آموزان دختر هم همین­طور عمل می­کنند یا خیر.

معلمان در کلاس­های درس بررسی کنند که بدفهمی­ها به چه دلایلی رخ می­دهند، چگونه می­توان از بروز آنها پیشگیری کرد و چگونه می­توان آنها را برطرف ساخت. بنابراین لازم است معلمان با آگاهی از بدفهمی­های دانش­آموزان، در طراحی هر واحد درسی به آ نها توجه داشته باشند و به­گون های برنامه­ریز ی­شده دانش­آموزان را درگیر تحلیل این بدفهمی­ها کنند. به منظور کاهش بدفهمی­های دانش­آموزان می­توان از

راهبردهای زیر در تدریس استفاده کرد:

 - اشتباهات دانش­آموزان را بررسی کنیم تا دربارة فرآیندهای فکری آ نها بینش لازم به دست آوریم.

- آموزش ریاضیات باید بر فرآیند و ساختار و نه پاسخ متمرکز باشد، دانش­آموزان را باید تشویق کرد که تفکر و کار خود را بررسی کنند، تنها دنبال پاسخ درست نباشند، بلکه در جستجوی این باشند که چرا یک روش در یک موقعیت خاص مفید یا نامفید است.

– بر تفاوتهاو شباهت­ها تأکید کنیم هنگام تدریس، به­ویژه  هنگامی­که احتمال اشتباه مفهومی زیاد است. تا تصورات مفهومی نادرست از ذهن دانش­آموزان دور شود.

 - دانش قبلی شاگردان را فعال و مطالب جدید و قدیم ریاضی را یکپارچه کنیم و بیشتر از مطالب

یادآوربهره بگیربم.

 - در کلاس از شیوه­های پرسشگری و خود پرسشی استفاده کنیم.

منابع

- امیری، محسن. (۱۳۹۲). مدل دو بعدی اشتباه مفهومی و خطا در ریاضی بر اساس نظریه تفکر هندسی ون هیلی و دانش مفهومی و رویه ای (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی، تهران.

- آذرنگ، يوسف. (۱۳۹۱). پیوستگی از شهود تا دقت. رشد آموزش ریاضی، ۲۶ (۳)، ۱۰-۱۵. - آقاپور باینوجی، امین. (۱۳۸۸). بررسی بدفهمی های دانش آموزان سال اول نظری در درس ریاضی (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه آزاد اسلامی واحد کرمان.

- اریحانی ابراهیم. (۱۳۸۴). معرفی نظریه پیاژه و نظریه ونهیلی - ونهیلی در مورد یادگیری هندسه. رشد آموزش ریاضی، ۲۲ (۸۰)، ۲۲-۱۲

- اعلم الهدایی، سیدحسن. (۱۳۸۸). اصول آموزش ریاضی. تهران: نما. اغلام آزاد، سهیلا. (۱۳۷۹). رویکردهای نوین آموزشی در هندسه. رشد آموزش ریاضی، (۵۹)، ۱۸-۲۵.

- اویسی، شورش. (۱۳۸۸). بررسی میزان آموزش به کمک هندسه پويا مبتنی بر نظریه ون هیلی بر رشد تفکر هندسی دانش آموزان سال سوم راهنمایی (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی، تهران.

شریف پور، شقایق. (۱۳۹۳). مدلی برای سنجش سطوح تفکر هندسی بر اساس سه سطح اول تئوری ونهیلی، نخستین همایش ملی علوم تربیتی و روان شناسی، مرودشت، شرکت اندیشه سازان مبتکر جوان.

 صباغی، زهرا. (۱۳۹۳). خطاهای دانش آموزان در همنهشتی مثلث ها (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی

مرادی ویس، اصغر. (۱۳۸۸). مطالعه جایگاه هندسه مدرسه ای در برنامه درسی کارشناسی دبیری ریاضی مبتنی بر نظریه ونهیلی (پایان نامه کارشناسی ارشد). دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی، تهران.

مهدیان، مصطفی؛ و محمد جواد، لیاقدار؛ و عریضی، حمیدرضا. (۱۳۹۵). ارائه مدلی جهت رشد تفکر هندسی: تأثیر حافظه تصویری بر رشد تفکر هندسی از طریق معرفت شناسی علمی هندسه. مجله علوم تربیتی دانشگاه شهید چمران اهواز، ۲۴ (۱) : ۶۹-۴۵ .

Alex, J. K, & Mammen, K. J. (2016). Lessons Learnt from Employing van Hiele Theory Based Instruction in Senior Secondary School Geometry Classrooms. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 12(8), 2223-2236

Hoffer, A. (1981). Geometry Is More Than Proof Mathematics Teacher, 74(1), 11-18.

Luneta, K. (2015). Understanding students' misconceptions: an analysis of final Grade 12 examination questions in geometry. Pythagoras, 36(1), 1-11.

Mason, M. (1998). The Van Hiele modlof geometric understanding and mathematically talented students. Journal for the Education of theGifted, 21(1), 38-53

zerem, A. (2012). Misconceptions in geometry and suggested solutions for seventh grade students. Procedia-Social and Behavioral Sciences, 55, 720-729.

I Al-ebous, T. (2016). Effect of the Van Hiele Model in Geometric Concepts Acquisition: The Attitudes towards Geometry

and Learning Transfer Effect of the First Three Grades Students in Jordan. International Education Studies, 9(4), 87-98.

Van Hiele, P. M. (1986). Structure and insight: A theory of mathematics education. Orlando, FL: Academic.

---